Παρουσίαση Διδασκαλίας Σχολείο: Λεόντειο Γυμνάσιο – Λύκειο Πατησίων Τάξη: Γ’ Γυμνασίου Φοιτητής: Ευάγγελος Θεοχάρης Καθηγητής: Ι. Πρίντεζης

Ο καθηγητής της τάξης κ. Πρίντεζης εισέρχεται στο τμήμα Ο καθηγητής της τάξης κ. Πρίντεζης εισέρχεται στο τμήμα. Καλημερίζει τους μαθητές. Αφού όλοι κάθονται στις θέσεις τους , ο καθηγητής τους λέει ότι το μάθημα της ημέρας θα είναι διαφορετικό αφού πρόκειται να το παραδώσει ο φοιτητής (τον οποίο οι μαθητές έχουν δει άλλες 3 φορές). Ο φοιτητής χαιρετά με τη σειρά του τους μαθητές και ξεκινάει να μοιράζει ένα φύλλο εργασίας σε κάθε θρανίο. Στη συνέχεια αφού όλοι γράφουν τα ονόματά τους μια μαθήτρια διαβάζει δυνατά την εκφώνηση του πρώτου θέματος.

1η Δραστηριότητα Ο Στέφανος είναι αθλητικός δημοσιογράφος . Η εφημερίδα στην οποία εργάζεται του ανέθεσε να κάνει το ρεπορτάζ ενός αγώνα μπάσκετ . Κατά τη διάρκεια του αγώνα όμως ο Στέφανος αποκοιμήθηκε ! Όταν ξύπνησε έμαθε ότι η ΟΜΑΔΑ Α έβαλε στον αγώνα 60 πόντους από δίποντα και τρίποντα και ότι τα τρίποντα ήταν περισσότερα. Α) Βρείτε πόσα δίποντα και πόσα τρίποντα μπορεί να έβαλε η ΟΜΑΔΑ Α για να βοηθήσετε τον Στέφανο να ολοκληρώσει το ρεπορτάζ. Β) Να παραστήσετε σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τα πιθανά αποτελέσματα που βρήκατε.

1ο Απόσπασμα 1. Α : Λοιπόν.. Θα μπορούσε να έχει βάλει 30 τρίποντα μόνο... 2. Κ : (γράφει στον πίνακα) 30 τρίποντα (πριν προλάβει να τελειώσει ο Αλκίνοος τον διακόπτει) 3. Α : Όχι , όχι! 20 τρίποντα και κανένα δίποντο. 4. Κ : (διορθώνει) 5. Μ2 : Μα γίνεται αυτό? Καθόλου δίποντα?? 6. Κ : Δε γίνεται? Τι λέτε? (οι μαθητές το συζητούν λίγο μεταξύ τους) 7. Α : Γιατί να μη γίνεται? Δε λέει κάτι... 8. Κ : (μια μαθήτρια σηκώνει το χέρι). Πώς σε λένε? 9. Ε : Εβελίνα 10. Κ : Για πες Εβελίνα 11. Ε : (διαβάζει από το φυλλάδιο) Λέει ότι «η ομάδα Α έβαλε 60 πόντους απο τρίποντα ΚΑΙ δίποντα». Άρα δε μπορεί τα τρίποντα να είναι 0! 12. Κ : Μπράβο Εβελίνα πολύ σωστή παρατήρηση. Άρα αυτή η απάντηση δε μας κάνει Αλκίνοε. 13. Μ3 : Κύριε το βρήκα! Μπορεί η μια ομάδα να έβαλε 18 τρίποντα και 3 δίποντα!

14. Κ. :. (το γράφει στον πίνακα). Για να δούμε. δηλαδή 14. Κ : (το γράφει στον πίνακα). Για να δούμε... δηλαδή 18 επί τρία και 3 επί 2? Μας κάνει 60? Ναι. Το βλέπετε όλοι? Συμφωνείτε? (απαντούν ναι). Μάλιστα. Άλλη πρόταση? 15. Δ : 16 τρίποντα και 6 δίποντα? 16. Κ : (το γράφει στον πίνακα). 60 μας κάνει? (υπολογίζει) Ναι! Είναι και αυτό μια λύση! Συμφωνούμε όλοι? 17. Μ : Ναι (απαντούν όλοι) 18. Κ : Ωραία. Για να τα έχουμε όμως έτσι πιο ωραία γραμμένα... σας πειράζει να τα γράψω έτσι? (γράφει τις 2 λύσεις που έχουν βρει στη μορφή (16 , 6) , (18 , 3) και από πάνω γράφει «τρίποντα / δίποντα» στην αντίστοιχη στήλη.) 19. Μ : Να τα γράψουμε και εμείς έτσι? 20. Κ : Ναι αμέ. Να σας ρωτήσω κάτι τώρα... Αυτό που κάνετε τόση ώρα στο μυαλό σας... Μήπως μπορούμε να το γράψουμε κάπως πιο γενικά... σαν τύπο ας πούμε? (οι μαθητές σκέφτονται για λίγο και κάποιος σηκώνει το χέρι) 21. Δ : Αν πούμε... ότι x είναι είναι τα δίποντα? 22. Κ : Πολύ ωραία! Ακούμε όλοι? Για πες μου Δημήτρη τι να γράψω?

23. Δ. :. x + y = 60 (ο μαθητής στο πρώτο θρανίο 23. Δ : x + y = 60 (ο μαθητής στο πρώτο θρανίο διαφωνεί και διακόπτει λέγοντας «2x αφού είναι δίποντα») 24. Κ : Αχά.. 2x λέει εδώ ο συμμαθητής σας άρα τελικά εγώ τι να γράψω? 25. Μ : 2x + 3y = 60 26. Κ : Αυτό μόνο μου έλεγε? 27. Α : Έλεγε και ότι τα τρίποντα είναι περισσότερα. 28. Κ : Αυτό πώς θα το γράψω? 29. Α : Ξέρω γω? x > y ? 30. K : Ώπα μισό μη μπερδευτούμε. x τι βάλαμε? Τα δίποντα, άρα? 31. Α : y > x ? 32. K : Έτσι μπράβο

Σχολιασμός Ένα κρίσιμο συμβάν εντοπίζεται στα σημεία 5-11 του πρώτου αποσπάσματος. Ο πρώτος μαθητής που δίνει απάντηση υποστηρίζει ότι η ομάδα Α μπορεί να έβαλε 20 τρίποντα και κανένα δίποντο. Αν και εξαιρετικά σπάνιο δεν είναι απίθανο. Εκεί έρχεται σε αντιπαράθεση πρώτα με τον διπλανό του (5) ο οποίος απορρίπτει τη λύση καθαρά με κριτήριο το ρεαλισμό μια τέτοιας κατάστασης και στη συνέχεια (11) μια μαθήτρια αναλαμβάνει να ξαναδιαβάσει την εκφώνηση τονίζοντας το ΚΑΙ (δίποντα ΚΑΙ τρίποντα). Κατά τη γνώμη μου είναι η πρώτη προσέγγιση του προβλήματος αυτό με μαθηματικό κριτήριο. Η μαθήτρια εντόπισε ένα δεδομένο που δε θα μπορούσε να παραλειφθεί , έναν περιορισμό που απέκλειε την λύση που πρότεινε ο πρώτος μαθητής. Αξίζει να σημειωθεί ότι παρόμοια κατάσταση εμφανίστηκε όταν κάποιος πρότεινε τη λύση (12,12) για να απορριφθεί αμέσως από τον ίδιο («αλλά όχι τα τρίποντα είναι περισσότερα...»).

2η Δραστηριότητα Μετά τον αγώνα ο Στέφανος πήρε συνέντευξη από τον Πρόεδρο της ΟΜΑΔΑΣ Α. Εκείνος του αποκάλυψε ότι πρόκειται να αλλάξει το παρκέ του γηπέδου παραγγέλνοντας καλύτερο , 250 τετραγωνικών μέτρων. Αργότερα όταν ο Στέφανος έγραφε το άρθρο του δε μπορούσε να θυμηθεί τις διαστάσεις του γηπέδου. Αν γνωρίζετε ότι το πλάτος του γηπέδου είναι 15 μέτρα μικρότερο από το μήκος του μπορείτε να βοηθήσετε τον Στέφανο να βρει τις διαστάσεις του γηπέδου?

2ο Απόσπασμα 1. Μ1 : Κύριε τι ακριβώς ψάχνουμε δεν έχω καταλάβει. 1. Μ1 : Κύριε τι ακριβώς ψάχνουμε δεν έχω καταλάβει. 2. Κ : Ψάχνουμε τις διαστάσεις του γηπέδου. Δηλαδή το μήκος και το πλάτος. 3. Μ2 : Μα αφού τα χουμε. Το 250 τι είναι? 4. Κ : Να ξαναδιαβάσουμε τι λέει? (ο Μ2 ξαναδιαβάζει δυνατά) 5. Μ3 : Το εμβαδό είναι 250 τετραγωνικά μέτρα. 6. Κ : Για αυτά που ψάχνουμε ξέρουμε τίποτα? 7. Μ3 : Ξέρουμε ότι το πλάτος είναι 15 μέτρα μικρότερο από το μήκος. 8. Κ : Ωραία. Έχει κανείς κάποια ιδέα? Για πες μας Ηλία.. 9. Η : Αν πούμε x τη μία πλευρά? 10. Κ : Πολύ ωραία. Να πούμε x το μήκος? (γράφει στον πίνακα) 11. Η : Ναι. Τότε το πλάτος θα είναι x-15. 12. K : Α πολύ ωραία. Και τώρα? 13. Η : Τώρα θα πούμε ότι το εμβαδό του παραλληλογράμμου είναι μήκος επί πλάτος , θα είναι x · ( x - 15) = 250. Και θα λύσουμε τη δευτεροβάθμια.

14. Η : Μπράβο Ηλία. Συμφωνείτε οι υπόλοιποι? Μαριάνθη? 15. Μ : Δε θα μπορούσαμε να βάλουμε x το πλάτος? 16. Κ : Βεβαίως δε θα άλλαζε κάτι. Αλλά βέβαια τότε το μήκος πόσο θα ήταν? 17. Μ : (δεν απαντάει) 18. Κ : Δημήτρη? 19. Δ : x + 15 20. K : Έτσι μπράβο. 21. Μ : Τελικά εμείς τι να γράψουμε? 22. Κ : Γράψτε το όπως είπαμε στην αρχή για να κάνουμε όλοι το ίδιο και να μη μπερδευτούμε. Λύστε την εξίσωση και ξαναμιλάμε.

Σχολιασμός Ένα δεύτερο κρίσιμο συμβάν εντοπίζεται στο 2ο απόσπασμα στο σημείο 9. Ο μαθητής εδώ προτείνει την εισαγωγή μεταβλητής για να προχωρήσει η διαδικασία επίλυσης. Στο πλαίσιο της μοντελοποίησης αυτός ακριβώς ήταν ο στόχος. Το ζήτημα ήταν σχεδιασμένο έτσι ώστε (στο μέτρο του δυνατού) να μην παραπέμπει σε τυπικό μαθηματικό πρόβλημα. Ο μαθητής ωστόσο εισάγωντας τον άγνωστο χ αμέσως το μετατρέπει και πλέον η ρεαλιστική κατάσταση ανάγεται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση την οποία οι μαθητές καλούνται να λύσουν. Ας θυμηθούμε εδώ ότι στο πρώτο ζήτημα η μαθηματικοποίηση του προβλήματος προτάθηκε από τον καθηγητή ενώ εδώ έγινε αυθόρμητα. Από εκείνη τη στιγμή και έπειτα η δραστηριότητα αντιμετωπίστηκε ως μια καθαρά μαθηματική άσκηση με συνέπεια οι «ζωηροί» μαθητές της τάξης να χάσουν το ενδιαφέρον τους για τη δραστηριότητα.

Αναστοχασμός Ένα σημαντικό για μένα στοιχείο είναι ότι το σύνολο της τάξης ήταν πιο προσηλωμένο και ήρεμο από ό,τι ήταν στις προηγούμενες επισκέψεις μας. Αναμφίβολα σε αυτό συμβάλλουν και άλλοι παράγοντες όπως το ότι για τα παιδιά ήταν κάτι πρωτόγνωρο και διαφορετικό. Χαρακτηριστικό είναι ωστόσο ότι στο πρώτο ζήτημα οι μαθητές με την πιο έντονη συμμετοχή ήταν οι πιο «αδιάφοροι» και «ζωηροί» ενώ σταδιακά δείχνουν να χάνουν το ενδιαφέρον τους όσο η δραστηριότητα μαθηματικοποιείται. Το γεγονός αυτό εμφανίζεται ως φαινόμενο υπό τον όρο «μαθηματικοφοβία». Ακολουθεί απόσπασμα από το βιβλίο του Δ. Καραγεώργου , Λέκτορα του Πανεπιστημίου Αθηνών και τ. Συμβούλου του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

Σήμερα ακόμη συζητώντας με καταξιωμένους επιστήμονες και πετυχημένους επαγγελματίες ακούμε τη φράση : «Μαθηματικός είπατε? Πω πω ποτέ μου δεν τα κατάφερα στα μαθηματικά! Και τώρα που τ’ακούω με πιάνει πυρετός.» Και αυτό λέγεται από ανθρώπους αξιοθαύμαστους για την επιτυχία τους σε όλους τους τομείς της ζωής. Έτσι ο προβληματισμός έρχεται αβίαστα. Γιατί να υπάρχει αυτή η αντίληψη? Πόσο δικαιολογημένη είναι? Τι πρέπει να κάνουμε για να σταματήσει αυτή η μοιρολατρική αντιμετώπιση των μαθηματικών? (...) Πολλοί πιστεύουν ότι η ιστορία των μαθηματικών είναι μια αφηρημένη ιστορία που αναφέρεται σε μια άψογη διαδοχή εννοιών που συνδέονται μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα είναι μια ιστορία αναγκών και ανησυχιών κοινωνικών ομάδων που επιθυμούσαν να καταμετρήσουν τα μέλη τους , τα αγαθά τους , τις απώλειές τους , τις νίκες και τις ήττες τους χρησιμοποιώντας χαραγές σε ξύλα και οστά , παράδοξα σύμβολα που έμοιαζαν με τις θεότητές τους κτλπ. Έτσι δημιούργηθηκε ένας μύθος , ένα μυστήριο ή προκατάληψη που φέρνει φόβο. Η άγνοια της πραγματικότητας ήταν και είναι ουσιαστικός παράγοντας καθυστέρησης της ανάπτυξης και μυθικών ερμηνειών , ακόμη και απλών φυσικών και κοινωνικών φαινομένων.(...)

Το φαινόμενο της μαθηματικοφοβίας δεν καταπολεμάται με «ξόρκια» αλλά με ουσιαστικά μέτρα για τη βελτίωση των προγραμμάτων σπουδών , των διδακτικών εγχειριδίων , της υλικοτεχνικής υποδομής, της εξατομικευμένης διδασκαλίας και πάνω απ’όλα με τον κατάλληλο δάσκαλο που θα διδάξει το μάθημα των μαθηματικών. Ο δάσκαλος των μαθηματικών πρέπει να έχει όλα τα εφόδια του καλού εκπαιδευτικού, αλλά και εκείνα που είναι απαραίτητα για να διδάξει το αντικείμενό του. Ο σωστός δάσκαλος θα βοηθήσει τους μαθητές του να αγαπήσουν τα μαθηματικά και να αποβάλουν κάθε φοβία για αυτά.

ΤΕΛΟΣ