Ενότητα 5η: Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 5η: Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη: Εφαρμογές της Α.Δ.Ε. – υπολογισμός αντιδράσεων και εσωτερικών μεγεθών. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ.

Πώς αξιοποιείται η Α.Δ.Ε. για μη κινητούς φορείς? – Παράδειγμα 1 Πώς αξιοποιείται η Α.Δ.Ε. για μη κινητούς φορείς? – Παράδειγμα 1 Έστω η δοκός που ισορροπεί (δίσκος που στηρίζεται μέσω 3 δ.ρ.) Εφαρμόζεται η αρχή της αποδέσμευσης: καταργείται η κύλιση και η Βy είναι τέτοια ώστε να υπάρχει ισορροπία. Το σύστημα που προκύπτει είναι μονοκινητό.

Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Ακολούθως, το μονοκινητό σύστημα που προέκυψε, εξετάζεται ανεξάρτητα από φορτίσεις: βρίσκεται ο πόλος περιστροφής, η παράμετρος περιγραφής της μετακίνησης και η δυνατή μετακίνηση. Εφαρμόζεται η Α.Δ.Ε. και υπολογίζεται το δυνατό έργο: 𝑊 𝑣 =𝑃∗ 𝛿 2 − 𝐵 𝑦 ∗𝛿 Αλλά, ο φορέας ισορροπεί (προέκυψε από τον ισοστατικό). Συνεπώς θα πρέπει: 𝑊 𝑣 =0 Έτσι, προκύπτει συνθήκη από την οποία μπορεί να υπολογιστεί η Βy: 𝐵 𝑦 = 𝑃 2 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Με κατάλληλη εφαρμογή της Α.Δ.Ε. μπορεί να υπολογιστεί οποιοδήποτε εσωτερικό μέγεθος ή αντίδραση ενός φορέα μέσω μιας μόνο σχέσης, η οποία στην πραγματικότητα είναι μια εξίσωση ισορροπίας.

Διαδικασία υπολογισμού αντίδρασης Έστω ότι ζητούμενο είναι ο υπολογισμός μιας αντίδρασης ενός φορέα. Αρχικά, καταργείται ο σύνδεσμος που αντιστοιχεί στην αντίδραση αυτή. Εφαρμόζεται η αρχή της αποδέσμευσης: στο σημείο που καταργείται ο σύνδεσμος, προστίθεται δύναμη που να εξασφαλίζει την ισορροπια του φορέα. Ακολούθως, εφαρμόζεται στον κινητό πλέον φορέα η Α.Δ.Ε. και τίθεται το δυνατό έργο ίσο με μηδέν (ο αρχικός φορέας είναι ισοστατικός, άρα ισορροπεί). Τέλος, από τη σχέση που προκύπτει υπολογίζεται η ζητούμενη αντίδραση. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο Παράδειγμα 1 η παράμετρος περιγραφής της κίνησης απλοποιήθηκε στη σχέση του δυνατού έργου. Η απλοποίηση αυτή θα συμβαίνει πάντα στη διαδικασία υπολογισμού μιας αντίδρασης και άρα, δεν έχει σημασία η τιμή της παραμέτρου αυτής.

Παράδειγμα 2 Έστω η δοκός του σχήματος και ζητούμενο είναι ο υπολογισμός της ΜΓ. Αρχικά, στο Γ τοποθετείται εσωτερική άρθρωση, ώστε να μη μπορεί να μεταφερθεί η ροπή. Ακολούθως, τοποθετείται η ΜΓ ως διπλή ροπή (εξασφάλιση ισορροπίας). Εξετάζεται το μονοκινητό σύστημα που έχει προκύψει, θεωρώντας τις ΜΓ α) ως δύο ξεχωριστές ροπές και β) ως διπλή ροπή.

Παράδειγμα 2 (συνέχεια) α) Εφαρμόζεται η Α.Δ.Ε. και υπολογίζεται το δυνατό έργο θεωρώντας τις ΜΓ ως δύο ξεχωριστές ροπές: 𝑊 𝑣 =𝑃∗𝛿− 𝑀 Γ ∗𝜔− 𝑀 Γ ∗𝜔=0⇒𝜔∗ 𝑙 2 ∗𝑃− 𝑀 Γ ∗2𝜔=0⇒ ⇒𝑀 Γ = 𝑃∗𝑙 4 β) Εφαρμόζεται η Α.Δ.Ε. και υπολογίζεται το δυνατό έργο θεωρώντας τις ΜΓ ως ζεύγος ροπών. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν επιβάλλονται οι θετικές ροπές η αμοιβαία γωνία στροφής είναι θετική, όπως ακριβώς φαίνεται στο σχήμα. Η αντίθετη αμοιβαία γωνία στροφής είναι αρνητική. 𝑊 𝑣 =𝑃∗𝛿−2( 𝑀 Γ ∗𝜔)=0⇒ 𝑀 Γ = 𝑃∗𝑙 4

Διαδικασία υπολογισμού εσωτερικού μεγέθους (1) Έστω ότι ζητούμενο είναι ο υπολογισμός ενός εσωτερικού μεγέθους έντασης (Μ, Q ή Ν) ενός φορέα. Αρχικά, αφαιρείται η ράβδος που μεταφέρει το ζητούμενο εσωτερικό μέγεθος και ακολούθως, αποκαθίσταται η ισορροπία επιβάλλοντας σαν εξωτερικά επιβεβλημένο το ζητούμενο μέγεθος (διπλή ροπή, διπλή Q ή διπλή Ν), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Διαδικασία υπολογισμού εσωτερικού μεγέθους (2) Στη συνέχεια εξετάζεται ο μονοκινητός φορέας που έχει προκύψει: υπολογίζεται ο σχηματισμός των πόλων και σχεδιάζεται η μετακινημένη θέση του συστήματος που περιγράφεται από μια μοναδική παράμετρο. Υπολογίζεται το δυνατό έργο όλων των δυνάμεων για τις μετακινήσεις του μονοκινητού συστήματος και το έργο αυτό τίθεται ίσο με μηδεν, ώστε να εφασφαλίζεται η ισορροπία που υπάρχει και στον αρχικό φορέα. Τέλος, από την εξίσωση της Α.Δ.Ε. υπολογίζεται και πάλι το ζητούμενο μέγεθος. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όπως και προηγουμένως, κατά τη διαδικασία υπολογισμού μιας αντίδρασης, έτσι και στο Παράδειγμα 2 η παράμετρος περιγραφής της κίνησης απλοποιήθηκε στη σχέση του δυνατού έργου. Η απλοποίηση αυτή θα συμβαίνει πάντα στη διαδικασία υπολογισμού ενός εσωτερικού μεγέθους και άρα, δεν έχει σημασία η τιμή της παραμέτρου αυτής.