ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

Κανονικότητα Μια από τις υποθέσεις του υποδείγματος της γραμμικής παλινδρόμησης είναι ότι ο διαταρακτικός όρος κατανέμεται κανονικά με μέσο μηδέν και σταθερή διακύμανση. Άρα θα έχουμε: Η κανονικότητα (normality) του διαταρακτικού όρου συνιστά βασική προϋπόθεση για την ισχύ αρκετών από τις υποθέσεις στις οποίες στηρίζεται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (Ordinary Least Squares Method OLS)

Κανονικότητα Η κανονικότητα του διαταρακτικού όρου σε ένα γραμμικό υπόδειγμα είναι σημαντική για την οικονομετρική ανάλυση. Αν ο διαταρακτικός όρος χαρακτηρίζεται από έντονη μη κανονικότητα (non-normality) τότε η εφαρμογή των διαγνωστικών ελέγχων των καταλοίπων για την ανίχνευση κυρίως της αυτοσυσχέτισης και της ετεροσκεδαστικότητας χαρακτηρίζονται από αναξιοπιστία και στατιστική ανεπάρκεια (βλέπε, Jarque και Bera 1980).

Έλεγχος της Κανονικότητας του Διαταρακτικού Όρου Οι Jarque και Bera (1987) πρότειναν μια μέθοδο που βασίζεται στα κατάλοιπα που προκύπτουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ο έλεγχος αυτός ο οποίος βασίζεται στα κατάλοιπα ακολουθεί τα παρακάτω βήματα: Εκτιμούμε το υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και σώζουμε τα κατάλοιπα et . Χρησιμοποιώντας τα κατάλοιπα υπολογίζουμε τους συντελεστές της ασυμμετρίας και της κύρτωσης ως εξής:

Υπολογίζουμε το στατιστικό των Jarque – Bera ως εξής: Αν τα κατάλοιπα ακολουθούν την κανονική κατανομή τότε θα έχω S = 0 και Κ=3, n είναι το μέγεθος του δείγματος. Η στατιστική των Jarque – Bera ακολουθεί ασυμπτωτικά την Χ2 κατανομή με δύο βαθμούς ελευθερίας.

Οι δύο υποθέσεις μηδενική (null hypothesis) και εναλλακτική) (alternative hypothesis) στον παραπάνω έλεγχο μπορούν να διατυπωθούν ως εξής: Η0: Τα κατάλοιπα ακολουθούν την κανονική κατανομή (κατανέμονται κανονικά). Ηα:Τα κατάλοιπα δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή (δεν κατανέμονται κανονικά).

Αν η τιμή της στατιστικής των Jarque – Bera (JB) είναι μεγαλύτερη από την κριτική τιμή της X2 κατανομής (τιμή των πινάκων) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση οπότε τα κατάλοιπα δεν κατανέμονται κανονικά. Αντίθετα, αν η τιμή της στατιστικής των Jarque – Bera (JB) είναι μικρότερη από την κριτική τιμή της X2 κατανομής (τιμή των πινάκων) τότε η μηδενική υπόθεση δεν απορρίπτεται και συνεπώς τα κατάλοιπα κατανέμονται κανονικά.

Πρέπει εδώ να επισημάνουμε ότι ο έλεγχος των Jarque – Bera (JB) δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα μόνο σε μεγάλα δείγματα. Επίσης, ο διαγνωστικός έλεγχος των Jarque – Bera εκτός από τον έλεγχο της κανονικότητας των καταλοίπων ελέγχει και τα σφάλματα εξειδίκευσης του υποδείγματος.

Παράδειγμα με E-Views Για να ελέγξουμε την κανονικότητα των καταλοίπων (αφού προηγουμένως έχουμε εκτιμήσει το υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων OLS) επιλέγουμε από το κεντρικό παράθυρο του οικονομετρικού πακέτου E-Views (βασικό κατάλογο) την εντολή View και στη συνέχεια τις επιλογές Residual Diagnostics και Histogram – Normality Test.

Από τα αποτελέσματα παρατηρούμε ότι η κανονικότητα των καταλοίπων ελέγχεται από το ιστόγραμμα των καταλοίπων και τη στατιστική των Jarque – Bera. Επειδή η διαγραμματική μέθοδος (ιστόγραμμα) δεν είναι αρκετά διευκρινιστική γι’αυτό στον έλεγχο της κανονικότητας των καταλοίπων, χρησιμοποιούμε τη στατιστική των Jarque – Bera. Στα αποτελέσματα, η στατιστική των Jarque – Bera (JB) = 2.51 είναι μικρότερη από την κριτική τιμή της κατανομής Χ2.

(κριτική ή κρίσιμη τιμή critical region) που βρίσκεται από τους πίνακες της κατανομής Χ2 με ν= 2 βαθμούς ελευθερίας και επίπεδο σημαντικότητας 5% ή 0.05. Άρα δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση Η0 οπότε λέμε ότι τα κατάλοιπα της συνάρτησης της εθνικής ιδιωτικής κατανάλωσης ακολουθούν την κανονική κατανομή.

Στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν χρησιμοποιούμε τα επίπεδα σημαντικότητας (probability). Δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση επειδή το probability της στατιστικής των Jarque – Bera, probability JB = 0.285 > 0.05 (5%), οπότε λέμε ότι τα κατάλοιπα της συνάρτησης της εθνικής ιδιωτικής κατανάλωσης ακολουθούν την κανονική κατανομή.