ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

Ο οικονομικός κύκλος Επιχορηγήσεις Δαπάνες πρόνοιας Κυβέρνηση Φόροι Εταιρικός φόρος Φόροι Προσφορά αγαθών Ζήτηση αγαθών Αγορά αγαθών Αμοιβές Επιχειρήσεις Νοικοκυριά Δαπάνες για αγαθά και υπηρεσίες Ζήτηση εργασίας Προσφορά εργασίας Αγορά εργασίας Επενδύσεις Αποταμιεύσεις Αγορά χρήματος Ο οικονομικός κύκλος

Το εθνικό εισόδημα

ΜΑΘΗΜΑ 1ο Γραμμικές εξισώσεις Αλγεβρικές και γραφικές λύσεις σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: απεικονίζετε ένα σημείο, δεδομένων των συντεταγμένων του, απεικονίζετε μια ευθεία γραμμή, δεδομένων δύο σημείων της, επιλύετε αλγεβρικά και γραφικά σύστημα εξισώσεων,

Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων άξονας των y αρχή των αξόνων άξονας των x

Παράδειγμα 1 Για την κατανόηση της απεικόνισης σημείου με βάση τις συντεταγμένες του ας δοκιμάσουμε να βάλουμε πάνω στο σύστημα των αξόνων τα σημεία Α(2,3) Β(-1,4) Γ(-3,-1) Δ(3,-2) και Ε(5,0).

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 1

Εφαρμογή 1 Απεικονίστε τα παρακάτω σημεία σε σύστημα αξόνων. (2,5), (1,3), (0,1), (-2,-3), (-3,-5) Τι παρατηρείτε;

Εφαρμογή 1

ΜΑΘΗΜΑ 1ο Γραμμικές εξισώσεις Αλγεβρικές και γραφικές λύσεις σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: απεικονίζετε ένα σημείο, δεδομένων των συντεταγμένων του, απεικονίζετε μια ευθεία γραμμή, δεδομένων δύο σημείων της, επιλύετε αλγεβρικά και γραφικά σύστημα εξισώσεων,

Απεικόνιση ευθείας γραμμής Ας θυμηθούμε τα σημεία (2,5), (1,3), (0,1), (-2,-3), (-3,-5)

Σύνδεση γραφικού και αλγεβρικού Όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία. ΛΕΜΕ ότι : Η ευθεία περιγράφεται από την εξίσωση -2x+y=1 (1) ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι: για κάθε σημείο που ανήκει στην ευθεία, οι συντεταγμένες του ικανοποιούν (επαληθεύουν) την αντίστοιχη εξίσωση (1) πχ για το σημείο (2,5): -2(2) + 5 = -4 + 5 =1 Να κάνετε τον έλεγχο και για τα υπόλοιπα σημεία (1,3), (0,1), (-2,-3), (-3,-5)

Η ευθεία γραμμή Η γενική μορφή μιας εξίσωσης, της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή είναι: Μια, λοιπόν, γραμμική εξίσωση έχει μαθηματικά τη μορφή αx+βy=γ Οι αριθμοί α,β ονομάζονται συντελεστές της εξίσωσης και ο γ σταθερός όρος.

Παράδειγμα 2 Να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της ευθείας 4x+3y=11 Θέτουμε αρχικά μια (αυθαίρετη) τιμή στο x, έστω x=5 Η εξίσωση γίνεται 4(5) + 3y= 11 δηλαδή 20 + 3y = 11 Αν αφαιρέσουμε τον αριθμό 20 και από τα δύο μέλη έχουμε 20 + 3y – 20 = 11 – 20, δηλαδή 3y=-9 Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον αριθμό 3 έχουμε 3y / 3 = -9 / 3, δηλαδή y = -3 Επομένως το πρώτο σημείο που βρήκαμε για την ευθεία έχει συντεταγμένες (5,-3)

Παράδειγμα 2 Να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της ευθείας 4x+3y=11 Για να βρούμε ένα δεύτερο σημείο θέτουμε μια άλλη τιμή στο x, έστω x=-1 Η εξίσωση γίνεται 4(-1) + 3y= 11 δηλαδή -4 + 3y = 11 Αν προσθέσουμε τον αριθμό 4 και στα δύο μέλη έχουμε -4 + 3y +4 = 11 + 4, δηλαδή 3y= 15 Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον αριθμό 3 έχουμε 3y / 3 = 15 / 3, δηλαδή y = 5 Επομένως το δεύτερο σημείο που βρήκαμε για την ευθεία έχει συντεταγμένες (-1,5)

Παράδειγμα 2 (-1,5) (5.-3)

ΜΑΘΗΜΑ 1ο Γραμμικές εξισώσεις Αλγεβρικές και γραφικές λύσεις σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: απεικονίζετε ένα σημείο, δεδομένων των συντεταγμένων του, απεικονίζετε μια ευθεία γραμμή, δεδομένων δύο σημείων της, επιλύετε αλγεβρικά και γραφικά σύστημα εξισώσεων,

Παράδειγμα 3 Να βρεθεί το σημείο τομής των γραμμών 4x+3y=11 2x+ y= 5 Ήδη έχουμε απεικονίσει την πρώτη ευθεία γραμμή. Για την απεικόνιση της δεύτερης θα χρειαστούμε δύο σημεία. Για το πρώτο σημείο, έστω x=0. Η εξίσωση γίνεται 2(0) + y= 5 δηλαδή, y=5. Επομένως το πρώτο σημείο έχει συντεταγμένες (0,5). Για το δεύτερο σημείο θέτουμε y=1 και η εξίσωση γίνεται 2x + 1= 5, δηλαδή, 2x = 5-1 άρα 2x = 4 και x =2. Επομένως το δεύτερο σημείο είναι το (2,1).

Παράδειγμα 3 (-1,5) (5.-3)

Παράδειγμα 3

ΜΑΘΗΜΑ 1ο Γραμμικές εξισώσεις Αλγεβρικές και γραφικές λύσεις σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: απεικονίζετε ένα σημείο, δεδομένων των συντεταγμένων του, απεικονίζετε μια ευθεία γραμμή, δεδομένων δύο σημείων της, επιλύετε αλγεβρικά και γραφικά σύστημα εξισώσεων,

Υπόδειγμα προσφοράς - ζήτησης Η ποσότητα (σε μονάδες) που ζητά η αγορά ενός αγαθού (quantity demand) Q είναι άμεσα εξαρτώμενη από την τιμή διάθεσης του αγαθού στην αγορά P (market price). Επομένως, η σχέση αυτή μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια μιας συνάρτησης Q=f(P). Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση ζήτησης. Ας δούμε τώρα από την πλευρά των παραγωγών το πρόβλημα. Η ποσότητα Q την οποία επιθυμούν να παράγουν και να διαθέσουν στην αγορά εξαρτάται από την τιμή P στην οποία μπορεί να πωληθεί το αγαθό. Επομένως η συνάρτηση προσφοράς θα έχει τη γενική μορφή P = aQ +b, όπου a και b θετικοί αριθμοί. Υποθέτουμε ότι η αγορά είναι σε ισορροπία όταν η ποσότητα που ζητά η αγορά είναι ακριβώς ίση με την ποσότητα που διαθέτουν στην αγορά οι παραγωγοί. Στο σημείο ισορροπίας, εκεί δηλαδή που τέμνονται η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς, (Q0,P0) επιτυγχάνεται η ποσότητα ισορροπίας Q0 και η τιμή ισορροπίας αγοράς P0.

Άσκηση 1 Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: P = -2QD + 50 P= (1/2)QS + 25 Να προσδιοριστεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας της αγοράς, Τι θα συμβεί αν η κυβέρνηση αποφασίσει να εισάγει φόρο 5€ ανά μονάδα αγαθού