Δυαδικό Σύστημα Δεκαδικό Σύστημα Δεκαεξαδικό Σύστημα

Γενικά Ένας υπολογιστής χειρίζεται διακριτά στοιχεία πληροφοριών Τα στοιχεία αυτά παρουσιάζονται σε δυαδική μορφή

Δεκαδικό Σύστημα (1/3) Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αναλύεται στην παρακάτω μορφή: π.χ (1234)10 : 1 x 103+ 2 x 102+ 3 x 101+ 4 x 100

Δεκαδικό Σύστημα (2/3) Γενικά ένας αριθμός n ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα έχει την παρακάτω μορφή: αn-1 x 10n-1+...+ α1 x 101+ α0 x 100

Δεκαδικό Σύστημα (3/3) Τα αi ανήκουν στο σύνολο (0,1,2,...,9) Το 10 καλείται βάση του δεκαδικού συστήματος

Δυαδικό Σύστημα (1/2) Γενικά ένας αριθμός n ψηφίων στο δυαδικό σύστημα έχει την παρακάτω μορφή: αn-1 ... α1 α0, το οποίο αναλύεται: αn-1 x 2n-1+...+ α1 x 21+ α0 x 20

Δυαδικό Σύστημα (2/3) Τα αi ανήκουν στο σύνολο (0,1) Το 2 καλείται βάση του δυαδικού συστήματος

Δυαδικό Σύστημα (3/3) Παράδειγμα αριθμού στο δυαδικό σύστημα: π.χ (1101)2 : 1 x 23+ 1 x 22+ 0 x 21+ 1 x 20

Μετατροπή αριθμού από το δυαδικό στο δεκαδικό (αn-1 ... α1 α0)2→ (bm-1 ... b1 b0)10 Βήμα 1: Γράφουμε τον αριθμό στην παρακάτω μορφή: αn-1 x 2n-1+...+ α1 x 21+ α0 x 20 Βήμα 2: Υπολογίζουμε τα αθροίσματα του βήματος 1

Παραδείγματα (1100)2 → ? 1 x 23+ 1 x 22+ 0 x 21+ 0 x 20 =8+4+0+0 =12

Μετατροπή αριθμού από το δεκαδικό στο δυαδικό (αn-1 ... α1 α0)10→ (bm-1 ... b1 b0)2 Βήμα 1: Διαίρεση αριθμού με το 2. Όσο το πηλίκο της διαίρεσης είναι διάφορο του μηδενός συνεχίζουμε να διαιρούμε με το δύο Βήμα 2: Ο δυαδικός αριθμός είναι η αναγραφή των υπολοίπων των διαιρέσεων με αντίστροφη σειρά

Παράδειγμα 1 (1/2) (41)10 → ? 41:2 → Πηλίκο 20, Υπόλοιπο 1 20:2 → Πηλίκο 10, Υπόλοιπο 0 10:2 → Πηλίκο 5, Υπόλοιπο 0 5:2 → Πηλίκο 2, Υπόλοιπο 1 2:2 → Πηλίκο 1, Υπόλοιπο 0 1:2 → Πηλίκο 0, Υπόλοιπο 1

Παράδειγμα 1 (2/2) Αντίστροφη σειρά υπολοίπων: (101001)2

Παράδειγμα 2 (15)10 → ? 15:2 → Πηλίκο 7, Υπόλοιπο 1 7:2 → Πηλίκο 3, Υπόλοιπο 1 3:2 → Πηλίκο 1, Υπόλοιπο 1 1:2 → Πηλίκο 0, Υπόλοιπο 1 Αντίστροφη σειρά υπολοίπων: (1111)2

Δεκαεξαδικό σύστημα (1/2) Γενικά ένας αριθμός n ψηφίων στο δεκαεξαδικό σύστημα έχει την παρακάτω μορφή: αn-1 ... α1 α0, το οποίο αναλύεται: αn-1 x 16n-1+...+ α1 x 161+ α0 x 160

Δεκαεξαδικό σύστημα (2/2) Τα αi ανήκουν στο σύνολο (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) Τα αi πολλαπλασιάζονται με δυνάμεις του 16 Το 16 καλείται βάση του δεκαεξαδικού συστήματος

Παραδείγματα (ΑΒ45)16 (1234)16 (99FF)16

Μετατροπή από το δεκαεξαδικό στο δεκαδικό (αn-1 ... α1 α0)16→ (bm-1 ... b1 b0)10 Βήμα 1: Γράφουμε τον αριθμό στην παρακάτω μορφή: αn-1 x 16n-1+...+ α1 x 161+ α0 x 160 Βήμα 2: Υπολογίζουμε τα αθροίσματα του βήματος 1

Παράδειγμα (AB45)16 : 10 x 163+ 11 x 162+ 4 x 162+ 5 x 160 =43845 (9F45)16 : 9 x 163+ 15 x 162+ 4 x 162+ 5 x 160 =40773

Μετατροπή από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό (αn-1 ... α1 α0)10→ (bm-1 ... b1 b0)16 Βήμα 1: Διαίρεση αριθμού με το 16. Όσο το πηλίκο της διαίρεσης είναι διάφορο του μηδενός συνεχίζουμε να διαιρούμε με το 16 Βήμα 2: Ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι η αναγραφή των υπολοίπων των διαιρέσεων με αντίστροφη σειρά

Παράδειγμα 1 (43845)10 → ? 43845:16 → Πηλίκο 2.740, Υπόλοιπο 5 2.740:16 → Πηλίκο 171, Υπόλοιπο 4 171:16 → Πηλίκο 10, Υπόλοιπο 11 10:16 → Πηλίκο 0, Υπόλοιπο 10 Αντίστροφη σειρά υπολοίπων: (ΑΒ45)16

Παράδειγμα 2 (345)10 → ? 345:16 → Πηλίκο 21, Υπόλοιπο 9 21:16 → Πηλίκο 1, Υπόλοιπο 5 1:16 → Πηλίκο 0, Υπόλοιπο 1 Αντίστροφη σειρά υπολοίπων: (159)16

Μετατροπή από το δυαδικό στο δεκαεξαδικό (1/2) Κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε τέσσερα δυαδικά (24=16) Για την μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό στο δεκαεξαδικό ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία:

Μετατροπή από το δυαδικό στο δεκαεξαδικό (2/2) Χωρίζουμε τον αριθμό σε ομάδες των τεσσάρων ψηφίων αρχίζοντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο (LSB) Σε κάθε τετράδα ψηφίων αντιστοιχούμε έναν αριθμό του δεκαεξαδικού συστήματος

Παράδειγμα (001011110101)2 → ? (0010 1111 0101)2 → (2F5)16 (010110100001)2 → ? (0101 1010 0001)2 → ? (5A1)16

Μετατροπή από το δεκαεξαδικό στο δυαδικό Διαδικασία αντίστροφη της προηγούμενης Κάθε ψηφίο του δεκαεξαδικού συστήματος μετατρέπεται στο αντίστοιχο τετραψήφιο δυαδικό

Παράδειγμα (2F5)16→ ? (2 F 5)16→ (001011110101)2

Παρατηρήσεις (1/2) Οι δυαδικοί αριθμοί είναι δύσκολοι στη χρήση τους γιατί απαιτούν περισσότερα ψηφία για την αναπαράστασή τους από τους αντίστοιχους δεκαδικούς. Συνήθως είναι πιο απλό να μετατρέπουμε τους αριθμούς από το δυαδικό στο δεκαεξαδικό σύστημα

Παρατηρήσεις (2/2) Κάθε δυαδικό ψηφίο μπορεί να αναπαραστήσει ένα bit (binary digit) H ομαδοποίηση των bits σε ομάδες των οκτώ αποτελούν ένα byte. Για την αναπαράσταση ενός byte απαιτούνται 8 δυαδικά ψηφία ή 2 σε δεκαεξαδική μορφή.

Αναπαράσταση αριθμών Δεκαδικό Δυαδικό Οκταδικό Δεκαεξαδικό 0000 1 0001 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 10 9 1001 11 1010 12 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 1110 16 E 1111 17 F