Μαθηματικά Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α‘: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο -  Οι φυσικοί αριθμοί § A1.1. Φυσικοί Αριθμοί – Διάταξη – στρογγυλοποίηση (1 διδ. ώρα)

Στην παράγραφο αυτή, ο μαθητής: • Κατανοεί τους φυσικούς αριθμούς • Αντιστοιχίζει τους φυσικούς αριθμούς με σημεία του άξονα • Συγκρίνει φυσικούς αριθμούς • Στρογγυλοποιεί φυσικούς αριθμούς

Διάλεξε ένα τριψήφιο αριθμό. Π.χ. 253 ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η Διάλεξε ένα τριψήφιο αριθμό. Π.χ. 253 Βρες όλους τους διαφορετικούς τριψή- φιους αριθμούς που προκύπτουν όταν εναλλάξεις τα ψηφία του αριθμού που διάλεξες. 235, 325, 253, 523, 352, 532 Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο με-γαλύτερος; Μικρότερος (min): 235 Μεγαλύτερος (max): 532 Γράψε όλους τους αριθμούς που βρήκες με σειρά αύξουσα. 235, 253, 325, 352, 523, 532 Γράψε τους ίδιους αριθμούς με φθίνου-σα σειρά. 532, 523, 352, 325, 253, 235

Πώς μπορούμε να βαθμολογήσουμε ένα θερμόμετρο; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η Πώς μπορούμε να βαθμολογήσουμε ένα θερμόμετρο; Στη συνέχεια το αφήνουμε μέσα σε νερό που βράζει και στο σημείο που θα σταθεί ο υδράργυρος σημειώνουμε το εκατό (100°). Το αφήνουμε στον πάγο αρκετή ώρα και στο σημείο που θα σταθεί ο υδράργυρος σημειώνουμε το μηδέν (0°). Με ποιόν τρόπο μπορούμε να σημειώσουμε τις «ενδιάμεσες» ενδείξεις; Μπορούμε να διαιρέσουμε το διάστημα από 0ο έως 100ο σε 10 υποδιαστήματα και να αποκτήσουμε τις εν- διάμεσες ενδείξεις 10ο , 20ο , 30ο , …90ο Επίσης, διαιρώντας καθένα από τα νέα διάστημα σε 10 υποδια- στήματα θα αποκτήσουμε όλες τις ενδιάμεσες 0ο , 1ο , 2ο , …,99ο , 100ο

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Φυσικοί αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 98, 99, 100, …, 1999, 2000, 2001, … Κάθε μη μηδενικός φυσικός αριθμός α έχει προηγούμενο α-1 επόμενο α+1 Το 0 έχει μόνο επόμενο φυσικό αριθμό, το 1.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε είναι το δεκαδικό, αφού για να σχηματίσουμε οποιονδήποτε αριθμό, χρησιμοποιούμε κάποια από τα γνωστά μας δέκα (10) ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Η θέση που κατέχει ένα ψηφίο σε κάποιο αριθμό λέγεται δεκαδική τάξη του ψηφίου αυτού. Στους φυσικούς αριθμούς οι (δεκαδικές) τάξεις των ψηφίων τους από το τέλος προς την αρχή είναι οι : Μονάδες , Δεκάδες , Εκατοντάδες , Χιλιάδες (ή Μονάδες Χιλιάδες), Δεκάδες Χιλιάδες κλπ

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Μπορούμε πάντα να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς μεταξύ τους, δηλαδή, να εξετάσουμε αν αυτοί είναι ίσοι και στην περίπτωση που δεν είναι ίσοι, να βρούμε ποιος από τους  δύο  αριθμούς είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Εκφράζουμε το αποτέλεσμα της σύγκρισης δυο αριθμών με ένα από τα παρακάτω σύμβολα: το = που σημαίνει “ίσος με” το < που σημαίνει “ μικρότερος από ” το > που σημαίνει “ μεγαλύτερος από”

Αν δύο φυσικοί αριθμοί δεν έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει τα πιο πολλά ψηφία. Ο αριθμός 1.105 έχει 4 ψηφία, ενώ ο αριθμός 978 έχει 3 ψηφία. Άρα ισχύει: 1.105 > 978 Π.χ. Για να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς που έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, συγκρίνουμε τα ψηφία τους από αριστερά προς τα δεξιά. Οι αριθμοί 3.049 και 3.051 έχουν ως προς τα ψηφία τους (από αριστερά προς δεξιά) ίδιο το ψηφίο των χιλιάδων ίδιο το ψηφίο των εκατοντάδων διαφορετικά ψηφία δεκάδων 4 < 5 Επομένως ισχύει 3.049 < 3.051 Π.χ.

Μπορούμε να διατάξουμε τους φυσικούς αριθμούς από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο, δηλαδή με αύξουσα σειρά μεγέθους. Για παράδειγμα: 0<1<2<3< .... <10<11<12< ... <297< ... <1000< ... Η προηγούμενη ιδιότητα της διάταξης των φυσικών αριθμών, επιτρέπει να τους τοποθετήσουμε πάνω σε μια ευθεία γραμμή. Διαλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο Ο της ευθείας, που το λέμε αρχή, για να παραστήσουμε τον αριθμό 0. Δεξιά από το σημείο Ο διαλέγουμε ένα άλλο σημείο Α, που παριστάνει τον αριθμό 1 Με μονάδα μέτρησης το ΟΑ, βρίσκουμε τα σημεία που παριστα- νουν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5, ...

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άσκηση 5 (σχ. βιβλίο σελ 13) Τοποθέτησε το κατάλληλο σύμβολο: < = > στο κενό μεταξύ των αριθμών: (α) 45 45 (β) 38 36 (γ) 456 465 (δ) 8.765 8.970 (ε) 90.876 86.945 (στ) 345 5.690 = > < < > < Άσκηση 4 (σχ. βιβλίο σελ 13) Τοποθέτησε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: 3.515, 4.800, 3.620, 3.508, 4.801. Απ. 3.508, 3.515, 3.620 , 4.800, 4.801.

Στις 13 Ιουνίου 2004, ακούστηκε στις ειδήσεις ότι ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η Στις 13 Ιουνίου 2004, ακούστηκε στις ειδήσεις ότι από τα 450 εκατομμύρια πολιτών της Ευρωπαϊκής Ένωσης, ψηφίζουν τα 338 εκατομμύρια για να εκλέξουν 732 βουλευτές του Ευρωκοινοβουλίου. Γνωρίζουμε ότι το ακριβές πλήθος των πολιτών της Ε.Ε. είναι 454.018.512 ο ακριβής αριθμός των πολιτών που είχαν δικαίωμα ψήφου είναι 337.922.145 Γιατί δεν αναφέρθηκε το ακριβές πλήθος των 454.018.512 πολιτών της Ε.Ε., καθώς και ο ακριβής αριθμός των 337.922.145 που είχαν δικαίωμα ψήφου; Αυτό που κυρίως ενδιαφέρει είναι η “τάξη μεγέθους”, π.χ. τα εκατομμύρια. Γιατί, αντίθετα, στην περίπτωση των 732 ευρωβουλευτών, αναφέρθηκε ο ακριβής αριθμός; Για τους ευρωβουλευτές ο ακρι-βής αριθμός είναι απαραίτητος, π.χ. στις ψηφοφορίες.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Πολλές φορές αντικαθιστούμε έναν φυσικό αριθμό με μια προσέγγισή του, δηλαδή κάποιο άλλο λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερό του. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμε στρογγυλοποίηση. Για παράδειγμα για το ύψος ενός βουνού που είναι 1987 m., λέμε, συνήθως, 2000 m. Όμως, ο αριθμός ενός τηλεφώνου, ο ΑΦΜ ή ο ταχυδρομικός κωδικός μιας πόλης αναφέρονται πάντα με ακρίβεια.

Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν φυσικό αριθμό: ― Προσδιορίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. Π.χ. εκατοντάδες Π.χ. 1ο Π.χ. 2ο 4823 4873 ― Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης δηλαδή, το πρώτο προς τα δεξιά μετά από αυτό που σημειώσαμε. 4823 4873 Αν αυτό είναι μικρότερο του 5 (δηλαδή είναι 0, 1, 2, 3 ή 4 ), τότε το ψηφίο αυτό και όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδε-νίζονται. 4800 Aν αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), τότε το ψηφίο αυτό και όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδε-νίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1 4900

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 9.573.842 (α) στις εκατοντάδες, (β) στις χιλιάδες, (γ) στα εκατομμύρια. Λ ύ σ η (α) Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες. Προηγούμενη τάξη: 4 μικρότερο του 5. 9.573.842 Το 4 και όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται. 9.573.800 (β) Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες. Προηγούμενη τάξη: 8 μεγαλύτερο του 5. 9.573.842 Το 8 και όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται και το 3 αυξάνεται κατά 1 9.574.000 (γ) Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες. Προηγούμενη τάξη: 5 ίσο του 5. 9.573.842 Το 5 και όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται και το 9 αυξάνεται κατά 1 10.000.000

Στρογγυλοποίησε στην πλησιέστερη εκατοντάδα τον αριθμό 279.961 Άσκηση Στρογγυλοποίησε στην πλησιέστερη εκατοντάδα τον αριθμό 279.961 Απ. Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες. Προηγούμενη τάξη: 6 μεγαλύτερο του 5. 279.961 Το 6 και όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται και το 9 αυξάνεται κατά 1 (ουσιαστικά το 2799 αυξάνεται κατά 1) 280.000