Επιστημονικός Υπολογισμός Ι Τρίτο Εργαστήριο Αραιά Μητρεία 22 Δεκεμβρίου 2010

Γενικά Μικρός αριθμός μη μηδενικών στοιχείων εν σχέσει με τον συνολικό αριθμό. Κατά μέσο όρο σταθερός αριθμός ανά γραμμή. Ενδέχεται να υπάρχουν περιοχές ενδιαφέροντος ανάλογα με την χωρική κατανομή των μηδενικών και το πεδίο προέλευσης του μητρείου.

Προέλευση (ενδεικτικά) Γενικά αραιά μητρεία: Διακριτοποίηση διαφορικών εξισώσεων (Οι ολοκληρωματικές δίνουν πυκνά). Μάθηση μηχανής (νευρωνικά δίκτυα). Δυαδικά αραιά μητρεία: Αραιά γραφήματα (φασματική θεωρία). Χωρικές/λογικές βάσεις δεδομένων. Ασπρόμαυρες εικόνες

Ζητούμενα (ενδεικτικά) Εξοικονόμηση χώρου. Ταχύτητα πράξεων. Εντοπισμός αλγεβρικών ιδιοτήτων. Εκμετάλλευση υποκείμενης δομής / εξαρτήσεως / συσχετίσεως μεταξύ των στοιχείων. Εντοπισμός περιοχών ενδιαφέροντος.

Συμπίεση – Απλός Τρόπος Ι Απαιτούνται τρία διανύσματα: - Γραμμή μη μηδενικού στοιχείου. - Στήλη μη μηδενικού στοιχείου. - Τιμή μη μηδενικού στοιχείου. - Δεν προσφέρει κάποια ερμηνεία για το υποκείμενο μητρείο. - Χρησιμοποιείται εσωτερικά από το MATLAB (τουλάχιστον στις παλαιότερες εκδόσεις).

Συμπίεση – Απλός Τρόπος ΙΙ Τι παράγεται όταν εφαρμοστεί ο αλγόριθμος στο μητρείο T = [ 1 0 0 0 -1 0 ... 0 0 0 0 -1 1 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 0 -1 -1 0 0 ... 0 0 0 0 0 -1 ... 0 1 0 0 0 0 ]

Συμπίεση – CSR Απαιτούνται τρία διανύσματα: - Συμπιεσμένη γραμμή μη μηδενικού στοιχείου - Σημειώνεται έμμεσα η γραμμή κάθε μη μηδενικού στοιχείου αριθμοδεικτοδο-τώντας το διάνυσμα των στηλών. - Στήλη μη μηδενικού στοιχείου. - Τιμή μη μηδενικού στοιχείου.

Συμπίεση - CSC Ίδια λογική με την SCR αλλά αριθμοδεικτοδοτείται το διάνυσμα των γραμμών. Ισοδύναμη με την CSR στο ανάστροφο μητρείο.

CSR και CSC I Η επιλογή εξαρτάται από την χωρική κατανομή των στοιχείων. Απαιτείται προσοχή για κενές (μηδενικές) γραμμές / στήλες. Καλύτερη συμπίεση εν σχέσει με την απλή. Απαιτούνται όμως δύο επίπεδα αριθμοδεικτοδότησης (κώδικας, χρόνος). Προσφέρουν περιορισμένη ερμηνεία.

CSR και CSC II Τι παράγεται όταν εφαρμόζονται οι csr και csc στο μητρείο T = [1 0 0 0 -1 0 ... 0 0 0 0 -1 1 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 0 -1 -1 0 0 ... 0 0 0 0 0 -1 ... 0 1 0 0 0 0 ]

Συμπίεση–Δυαδικά Μητρεία Μέθοδος λεξικού. - Κάθε στήλη / γραμμή θεωρείται ως λέξη και αποθηκεύεται η θέση της λέξης στο λεξικό. Παραγοντοποίηση. Γινόμενο (πυκνών;) παραγόντων. Χρήση κλασσικών μεθόδων. Δεν χρειάζεται το διάνυσμα των τιμών.

Δημιουργία I S = sparse(A) Εξάγει τα μη μηδενικά στοιχεία του A και τα αποθηκεύει στο S. Συνεργάζεται κανονικά με τις εντολές του MATLAB.

Δημιουργία ΙΙ S = sparse(A) - Στο S μπορούν να προστεθούν στοιχεία.

Ειδικά Αραιά Μητρεία Ι speye - Αραιό ταυτοτικό μητρείο. sprand - Αραιά τυχαία μητρεία (ομοιόμορφη κατανομή). sprandn - Αραιά τυχαία μητρεία (κανονική κατανομή).

Ειδικά Αραιά Μητρεία ΙΙ sprandsym - Αραιό συμμετρικό μητρείο (ομοιόμορφη κατανομή).

Απεικόνιση Μητρείου spy(A) Ο καθιερωμένος τρόπος στο MATLAB για την γραφική απεικόνιση αραιών μητρείων. Εύκολη εποπτεία της δομής ενός μητρείου (όχι απαραιτήτως αραιού). Easter egg: spy (χωρίς ορίσματα)

Ειδικές Συναρτήσεις Ι spones - Αντικαθιστά τα μη μηδενικά στοιχεία ενός αραιού μητρείου με μονάδες. spfun - Εφαρμόζει μια δεδομένη συνάρτηση στα μη μηδενικά στοιχεία ενός αραιού μητρείου.

Ειδικές Συναρτήσεις ΙΙ spdiags - Εξαγωγή διαγώνιων στοιχείων nnz - Πλήθος μη μηδενικών στοιχείων. full - Μετατρέπει ένα αραιό μητρείο σε πυκνό.

Αντί μελομακάρονου Ι Υπάρχει μια βέλτιστη μέθοδος αναπαράστασης / συμπίεσης (Σ/Λ). Η συμπίεση συνεπάγεται ερμηνεία (Σ/Λ). Η θέση των μη μηδενικών στοιχείων είναι σημαντική για την συμπίεση (Σ/Λ). Η φύση των τιμών των μη μηδενικών στοιχείων είναι σημαντική για την συμπίεση (Σ/Λ). Η nnz επιστρέφει τον αριθμό των μηδενικών στοιχείων ενός αραιού μητρείου (Σ/Λ). Το μητρείο της επόμενης διαφάνειας

Αντί μελομακάρονου ΙΙ Α = [ 0 -1 0 1 ; 0 0 0 1 ; .... 0 0 -1 0 ; 1 0 0 -1 ] όταν συμπιεστεί κατά CSC δίδει τα i = [1 1 2 3 4] j = [] v = [-1 1 1 -1 1 -1] (Σ/Λ)