ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 2 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Λύση της Δ.Ε. Αρμονικού Ταλαντωτή Γραφική Αναπαράσταση Αρμονικής Ταλάντωσης Ταχύτητα και Επιτάχυνση στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση Διερεύνηση της Εξίσωσης της Αρμονικής Ταλάντωσης Ενέργεια Αρμονικού Ταλαντωτή

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Επίδειξη – Παρατήρηση Με τη βοήθεια του mouse μετακινείστε τη σφαίρα που βρίσκεται στον δίσκο στην περιφέρεια του δίσκου. Κυκλική Κίνηση και Αρμονική Ταλάντωση Ρυθμίσεις 1: Γωνιακή ταχύτητα δίσκου: ω=4,5 rad/s Σταθερά ελατηρίου k=1,4 Αρχική ταχύτητα μάζας υ0=0 m/s Πλάτος ταλάντωσης Α=75 Η ανάλυση της προσομοίωσης να γίνει στον Πίνακα Ρυθμίσεις 2: Γωνιακή ταχύτητα δίσκου: ω=1,2 rad/s Σταθερά ελατηρίου k=0,1 Αρχική ταχύτητα μάζας υ0=0 m/s Πλάτος ταλάντωσης Α=75 Η κίνηση της μάζας του ελατηρίου ταυτίζεται με την κίνηση της προβολής της περιστρεφόμενης σφαίρας πάνω στο x-άξονα

είναι η αρχική φάσης της ταλάντωσης ΛΥΣΗ ΤΗΣ Δ.Ε. ξ1 = α cos(ωt) Μερικές Λύσεις ξ2 = a sin(ωt) Γενική Λύση Δ.Ε.: ή ισοδύναμα: Όπου: είναι το πλάτος της ταλάντωσης είναι η αρχική φάσης της ταλάντωσης

ΛΥΣΗ ΤΗΣ Δ.Ε. Γενική Λύση Δ.Ε.:

ω2 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Όπου: Ελατήριο – Μάζα Απλό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές ΤΑΛΑΝΤΟΥΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ω2 ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f (s-1 ή Hz ) ΠΕΡΙΟΔΟΣ T (sec) Ελατήριο – Μάζα Απλό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές Στροφικό Εκκρεμές Πλωτήρας x = A cos(ωt+φ) θ = θmax cos(ωt+φ) θ = θmax cos(ωt+φ) θ = θmax cos(ωt+φ) y = A cos(ωt+φ) Όπου:

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ t ξ ξ(t) = ξmax cos(ωt+φ) T Περίοδος: Τ ξmax ξ0 ξ0= ξ(0) = ξmax cos(φ) -ξmax Συχνότητα: Γωνιακή Συχνότητα :

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Συνοριακή συνθήκη t=0 s : Θέση : x(t) = Α cos(ωt + φ) x(0) = x0 = Α cos(φ) Ταχύτητα : υmax = ω Α Επιτάχυνση: amax = ω2Α

ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ x=0 x=x0 x=-x0 (α) x=x0 ; υ=0 ; a=-amax (β) x=0 ; υ=-υmax ; a=0 (γ) x=-x0 ; υ=0; a=amax (δ) x=0 ; υ=υmax ; a=0 (ε) x=x0 ; υ=0 ; a=-amax

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0 x = A cos(ωt+φ)  x0 = A cos(φ) x A t x0 = A  φ = 0 rad x0 = - A  x -A t φ = π rad

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0 x = A cos(ωt+φ) x0 = A cos(φ) υ0 = -υmax sin(φ) x A t x0 = 0  υ0 < 0  0 < φ < π

x = A cos(ωt+φ) x0 = A cos(φ) υ0 = -υmax sin(φ) ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0 x A t x0 = 0  υ0 > 0 

x = A cos(ωt+φ) x0 = A cos(φ) υ0 = -υmax sin(φ) ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ όταν t=0 s, x(0)=x0 και υ(0)=υ0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν είναι γνωστά η αρχική ταχύτητα υ0 και η μέγιστη ταχύτητα του ταλαντωτή, η αρχική φάση υπολογίζεται μόνο από την Εξίσωση:

ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ x(t) = Α cos(ωt + φ) υ(t) = -ωΑ sin(ωt + φ) a(t) = -ω2Α cos(ωt + φ) ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Κινητική Ενέργεια μάζας: Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου:

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ Ολική Ενέργεια Συστήματος: E = K + U  E = Υπενθύμιση:  k = mω2 Οπότε: E = E =

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Κινητική Ενέργεια Μάζας: Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου: Ενέργεια Συστήματος Ελατηρίου-Μάζας: E = K + U

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ  x = A cos(ωt+φ)

ΣΕ ΚΑΘΕ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: Η ταλάντωση λαμβάνει χώρα γύρω από ένα σημείο ισορροπίας στο οποίο η δύναμη που προκαλεί την ταλάντωση είναι μηδέν. Η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης διατηρείται σταθερή. Μέσα σε μια ημιπερίοδο, η μηχανική ενέργεια εναλλάσσεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα . Η περίοδος ταλάντωσης δεν εξαρτάται από το πλάτος αυτής. Η περίοδος ταλάντωσης δεν εξαρτάται από τη μέγιστη ταχύτητα υmax.