Ενότητα 1η: Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 1η: Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ Διάλεξη: Πλαίσια – διαγράμματα πλαισίων. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ.

Πλαίσιο – ορισμός Πλαίσια: φορείς (δίσκοι) που ο άξονάς τους είναι μια τεθλασμένη (όχι ευθεία) γραμμή, ή υπάρχει διακλάδωση στον άξονά τους.

1η περίπτωση πλαισίων ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1η Έστω πλαίσιο του οποίου ο άξονας είναι μια τεθλασμένη γραμμή. Συστήνεται η ίνα αναφοράς να τοποθετείται με τέτοιο τρόπο, ώστε να είναι συνεχής. Γενικά, οι φορείς αυτοί αντιμετωπίζονται με «διάσπαση» του πλαισίου στα επί μέρους τμήματά του και σε καθένα από αυτά εφαρμόζεται στη συνέχεια γνωστή μεθοδολογία (π.χ. της ομόλογης δοκού) για την εύρεση των διαγραμμάτων Μ, Q, Ν.

1η περίπτωση πλαισίων - σχεδιασμός διαγραμμάτων Τα διαγράμματα M, Q, N σχεδιάζονται με αφετηρία τον άξονα του κάθε τμήματος και πάντα κάθετα σε αυτόν. Για εποπτικούς λόγους θα πρέπει τελικά τα διαγράμματα να απεικονίζονται σε όλο το φορέα. Ιδιαίτερη προσοχή θα πρέπει να δίνεται στα σημεία των κόμβων των πλαισίων, δηλ. στα σημεία που αλλάζει η κλίση του άξονα του φορέα.

1η περίπτωση πλαισίων - κόμβοι Έστω ο κόμβος του πλαισίου: Γίνεται τομή στα δύο χαρακτηριστικά σημεία, κάτω και δεξιά του κόμβου και τοποθετούνται τα φορτία διατομής στα δύο άκρα της τομής, Mκ, Qκ, Nκ και Mδ, Qδ, Nδ αντίστοιχα. 𝑀 =0⇒ 𝑀 𝜅 = 𝑀 𝛿 Από ισορροπία ροπών στον κόμβο: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: σε κόμβους πλαισίων χωρίς διακλάδωση του άξονα και εφόσον υπάρχει συνέχεια της ίνας αναφοράς, οι ροπές που προκύπτουν είναι ίσες σε μέγεθος και πρόσημο. Άρα, αρκεί ο υπολογισμός της ροπής σε ένα μόνο σημείο του κόμβου (είτε λίγο πριν, είτε λίγο μετά).

1η περίπτωση πλαισίων – κόμβοι με συνεχή ίνα αναφοράς Ο ρόλος της θέσης της ίνας αναφοράς στο πλαίσιο: Έστω ότι στον προηγούμενο κόμβο, με συνέχεια της ίνας αναφοράς, υπολογίζεται ροπή Μδ=-10 kNm. Τότε, σύμφωνα και με τη γνωστή σύμβαση σχεδίασης των διαγραμμάτων ροπής, θα πρέπει να σχεδιαστεί:

1η περίπτωση πλαισίων – κόμβοι με μη συνεχή ίνα αναφοράς Έστω τώρα ότι στον ίδιο κόμβο δεν υπάρχει συνέχεια της ίνας αναφοράς. Τα φορτία διατομής για την περίπτωση αυτή απεικονίζονται στο σχήμα: Από ισορροπία δυνάμεων στον κόμβο: 𝑀 =0⇒ 𝑀 𝜅 = −𝑀 𝛿 Τότε, σύμφωνα και πάλι με τη σύμβαση σχεδίασης των διαγραμμάτων ροπής, θα πρέπει να σχεδιαστεί:

1η περίπτωση πλαισίων – παρατηρήσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: παρά την αλλαγή της θέσης της ίνας αναφοράς, η τοποθέτηση του διαγράμματος των M πάνω στον άξονα του φορέα παραμένει η ίδια και απλώς υπάρχει σε κάποιο σημείο αλλαγή του προσήμου της ροπής. Το σχήμα του τελικού διαγράμματος των ροπών είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις. Για τον υπολογισμό των τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων σε κόμβους χωρίς διακλάδωση: εάν είναι γνωστά (μετά από υπολογισμό) τα Q και Ν στη μια πλευρά του κόμβου, μπορούν να υπολογιστούν τα Q και Ν στην άλλη πλευρά, μέσω της ισορροπίας δυνάμεων στον κόμβο.

2η περίπτωση πλαισίων ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2η Έστω πλαίσιο με διακλάδωση στον άξονά του. Στην περίπτωση αυτή, υποχρεωτικά θα υπάρχει κάποια ασυνέχεια στην ίνα αναφοράς. Σε τέτοιου είδους φορείς θα πρέπει να υπολογίζονται τα μεγέθη Μ, Q, Ν σε χαρακτηριστικά σημεία τόσα, όσα και ο αριθμός των μελών που συντρέχουν σε κάθε κόμβο. Για το πλαίσιο του σχήματος και συγκεκριμένα για το σημειούμενο κόμβο, τα χαρακτηριστικά σημεία είναι τρία.

2η περίπτωση πλαισίων - σχεδιασμός διαγραμμάτων Έστω ο συγκεκριμένος κόμβος του πλαισίου: Γίνεται τομή στα τρία χαρακτηριστικά σημεία, κάτω, άνω και δεξιά του κόμβου και τοποθετούνται τα φορτία διατομής στα άκρα της τομής, Mκ, Qκ, Nκ, Mα, Qα, Nα και Mδ, Qδ, Nδ αντίστοιχα. Για τους υπολογισμούς των μεγεθών λαμβάνονται οι συνθήκες: 𝐹 𝑥 =0, 𝐹 𝑦 =0 𝜅𝛼𝜄 𝑀 𝐴 =0 Στην εξίσωση των ροπών τα πρόσημα εξαρτώνται από τη θέση που έχει τοποθετηθεί η ίνα αναφοράς.

Γενικά για τον υπολογισμό διαγραμμάτων πλαισίων Για κάθε είδος πλαισίου, αφού υπολογιστούν τα μεγέθη Μ και Q στα δύο άκρα κάθε επί μέρους τμήματός του, εφαρμόζεται η αρχή της ομόλογης δοκού για το σχεδιασμό των αντίστοιχων διαγραμμάτων. ΒΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΠΛΑΙΣΙΩΝ: Υπολογισμός ροπών και τεμνουσών σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία. Εύρεση διαγραμμάτων Μο και Qo για αμφιέρειστες δοκούς αντίστοιχες των επί μέρους τμημάτων του πλαισίου. Υπολογισμός διαγραμμάτων Μ και Q του πλαισίου μέσω της μεθόδου της ομόλογης δοκού. Από την ισορροπία δυνάμεων στους κόμβους υπολογίζονται τα Ν.