Παρέμβαση σε μαθητές Α’Λυκείου 4ο Λύκειο Χαλανδρίου

Γραμμές 59-80 (Ζωή) Φ : Δείξτε ότι αν δυο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Σκεφτείτε το και οι 3 και πείτε μου. Κάνουν σχήματα και τα δείχνουν αλλά δυσκολεύονται. Α: Το σχήμα είναι εύκολο, το πώς το δείχνουμε είναι το δύσκολο. Φ: Σας λέει ότι είναι παράλληλες; Γιατί τις έχετε κάνει παράλληλες; Α: Μπορεί να είναι τεμνόμενες; (και τις σχεδιάζει τεμνόμενες) Φ: Τι δεδομένα έχετε; Α: Ότι δυο ευθείες τέμνονται από μια τρίτη. Φ: Λέει ότι είναι παράλληλες; Β. Όχι. Φ: Οπότε αφού δεν το λέει;

Α: Πρέπει να το δείξουμε εμείς! Φ: Άρα το σχήμα; ..... Φ: Κολλήσαμε; Αλ: Πρέπει να δείξω ότι οι εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Α: Λίγο...Και τώρα αφού τις έχουμε κάνει δεν πρέπει να δούμε αν σχηματίζονται οι εντός εναλλάξ; Φ: Ποιές είναι οι εντός εναλλάξ; Τις δείχνουν σωστα. Φ: Ωραία!Τι θέλουμε να δείξουμε;Θέλουμε να δείξουμε ότι είναι ίσες οι εντός εναλλάξ;

Β: Ναι. Πρέπει να καταλήξουμε σε άτοπο; Για να πούμε ότι δεν είναι ίσες... Φ: Πώς; Τί δεδομένα έχουμε; Παίρνουμε κάτι από τα δεδομένα; Α: Εφόσον είναι παράλληλες δεν σχηματίζουν δυο γωνίες ίσες; Β: Θα δείξω ότι αυτές οι δυο γωνίες δεν είναι ίσες άρα θα είναι άτοπο, οπότε... Α: Πρέπει να καταλήξουμε ότι είναι ίσες (δείχνει). Αν αυτή είναι η φ και αυτή είναι η ω και αυτές είναι παράλληλες....Αν δείξω ότι δεν είναι ίσες....Μήπως να μην καταλήξω σε άτοπο; Φ: Τι είπαμε ότι μας δίνει η άσκηση; Θέλετε να τα γράψουμε; Τι μας δίνει και τι μας ζητάει.

Παρατηρήσαμε ότι οι μαθητές είχαν αρκετή δυσκολία να ξεχωρίσουν τα δεδομένα από τα ζητούμενα του θεωρήματος. Σχεδίασαν κατ’ευθείαν παράλληλες ευθείες Επικαλέστηκαν γνώσεις από το Γυμνάσιο από Προτάσεις που είχαν δεχτεί χωρίς απόδειξη. Δυσκολεύτηκαν και μπερδεύτηκαν.

Οι συγκεκριμένοι μαθητές (οι οποίοι ήταν καλοί μαθητές) είχαν τυποποιήσει και περιορίσει αρκετά τη σκέψη τους σε οπτικές αναπαραστάσεις που τους ήταν ήδη γνωστές και όταν είδαν στο θεώρημα κάτι που τους ήταν γνωστό,αυτόματα το σχεδίασαν με τον τρόπο που ήδη ήξεραν. Έδωσαν λίγη σημασία πού πρέπει να καταλήξουν και αυτό τους περιόρισε αρκετά.

Η φοιτήτρια προσπάθησε να εκμαιεύσει από τους μαθητές το βαθμιαίο χτίσιμο της απόδειξης χρησιμοποιώντας την μέθοδο της «εις άτοπο απαγωγής» βοηθώντας τους να αποσαφηνίσουν τα δεδομένα της Πρότασης και να συνειδητοποιήσουν πλήρως τι μπορούν και τι δεν μπορούν να χρησιμοποιήσουν.

Επίσης, με διαδοχικές ερωτήσεις κατάφερε να αναπτύξουν φραστικά και γραπτά οι μαθητές τον τρόπο σκεψης τους, έστω κι αν ήταν μπερδεμένος και κάποιες φορές λάθος, ώστε να εντοπίσουν και να φέρουν στην επιφάνεια οι μαθητές και η ίδια τα σημεία που δυσκολεύονται ή δεν έχουν ξεδιαλύνει στη σκέψη τους για να μπορέσουν να αποσαφηνιστούν.

Γραμμές 60-70 (Αλέξανδρος) 56)Αλ:Βασικά τώρα…εφόσον είναι τρίγωνο…μπορούμε να βρούμε αν η φ είναι μεγαλύτερη…η ω δεν θα είναι μικρότερη από την εξωτερική εξωτερική της…; 57)Φ:Ναι ναι… 58)Αλ:Βασικά αν ονομάσουμε το τρίγωνο ΑΒΓ…(σχεδιάζει) 59)Φ:Ωραία,ονομάστε το κι εσείς. 60)Αλ:Η εξωτερική της Γ θα είναι μεγαλύτερη από την εσωτερική της Α,δηλαδή την ω… 61)Α+Β: Αααααααα!!Το’χω το’χω!(γελούν και οι τρεις) 62)Β:Λοιπόν,αυτό που είπες,είναι κατακορυφήν,άρα η φ είναι ίση με τη Γ,και εφόσον η εξωτερική είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι εσωτερικές…

63)Φ:Ωραία… 64)Β:Άρα καταλήγουμε ότι η φ είναι μεγαλύτερη από την ω,άρα άτοπο. 65)Φ:Ωραία αλλά γιατί πήγατε με τη Γ;Η φ δεν είναι κι αυτή εξωτερική; 66)Β:Μισό…αυτή είναι ίση με τη φ,σωστά; 67)Φ:Ναι μια χαρά το είπες.Αλλά γιατί πρέπει να πάρουμε τη Γ; 68)Β:Ε,γιατι έτσι έχουμε συνηθισει στο μάτι. 69)Φ:Καταλαβαίνετε όμως ότι και η φ είναι εξωτερική του τριγώνου; 70)Όλοι:Ναι ναι!

Ένα άλλο συμβάν που παρατηρησαμε είναι ότι οι μάθητές είναι «εθισμένοι» σε συγκεκριμένα σχήματα, όπως αυτό της εξωτερικής γωνίας του τριγώνου. Γ φ

Δεν τους ήρθε κατ’ευθείαν σαν σκέψη ότι η γωνία φ είναι εξωτερική του τριγώνου και πήραν την κατακορυφήν της, τη Γ, η οποία είναι ίση με τη φ, για να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου που σχημάτισαν. Φαίνεται λοιπόν ότι έχουν προκαθορισμένα κάποια σχήματα τα οποία εχουν μάθει απ’έξω. Μπορούν πιο εύκολα να εργαστούν με αυτά και οτιδήποτε διαφορετικό τους κάνει να μπερδευτούν.

Ακόμη μεγαλύτερη εντύπωση προκάλεσε στο φοιτητή το γεγονός ότι μπορούν να καταλάβουν(όπως προαναφέραμε πρόκειται για επιμελείς μαθητές) ότι και η γωνία φ είναι εξωτερική του τριγώνου, αλλά παρολ’αυτά προτιμούν να χρησιμοποιήσουν την κατακορυφήν της γιατί μόνο έτσι έχουν συνηθίσει. Δηλαδή προτιμούν να κάνουν ένα παραπάνω , ίσως περιττό, βήμα στη σκέψη τους προκειμένου να καταλήξουν σε ένα γνώριμο σχήμα.