ΕρευνητιΚΗ εργασια ΟΙ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΓΙΝΑΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΑΥΛΟΣ αΜαξασ ΚΩΣΤΑΝΤινοσ χριστοδουλοπουλοσ Κωσταντινα αποστολοπουλου αθανασια βρυνια ΥΠΕΥΘΗΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Κ. ΒΑΛΑΝΙΔΗΣ

ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΥΒΟΥ Ο διπλασιασμός του κύβου (επίσης γνωστός ως πρόβλημα της Δήλου-Δήλιον πρόβλημα) είναι ένα απο τα τρία γνωστά προβλήματα της αρχαιότητας που δεν είναι δυνατόν να λυθούν μόνο με κανόνα και διαβήτη. Ήταν γνωστό στους μαθηματικούς της αρχαιότητας στην Αίγυπτο, την Ελλάδα και την Ινδία. Το πρόβλημα είναι στην κατασκευή ενος κύβου με όγκο διπλάσιο απο έναν κύβο πλευράς α. Ο απλός διπλασιασμός του μήκους της ακμής του κύβου, οδηγεί σε οχταπλασιασμό του όγκου.

Ο μυθοσ Αρκετοί μύθοι υπάρχουν για το Δήλιο πρόβλημα. Ο Ερατοασθενής ο Κυρηναίος σύγχρονος, του Αρχιμήδη, σε επιστολή του προς του Έλληνα Βασιλιά της Αιγύπτου Πτολεμαίο, αναφέρει ότι σύμφωνα με πληροφορία αρχαίου τραγωδού ο Μίνωας είχε παραγγείλει να κατασκευαστεί ο τάφος για τον γιο του Γλαύκου σε σχήμα κύβου. Όταν τον κατασκεύαστηκε ο Μίνωας τον θεώρησε μικρό και διέταξε να τον διπλασιασιάσουν. Ο Θέων ο Σμυρναίος σε ένα διάλογο του με τίτλο ‘Πλατονικός’ αναφέρει ότι οι κάτοικοι της Δήλου αρρώστησαν και ζήτησαν απο το Μαντείο των Δελφών να τους πει τι να κάνουν για να γλυτώσουν. Η Πυθία τους απάντησε ότι πρέπει να διπλασιάσουν σε όγκο το ναό του Αππόλωννα που είχε κυβικό σχήμα διατηρώντας το σχήμα του κύβου. Οι Δήλιοι αρχικά πίστευαν ότι το πρόβλημα ήταν απλό και λυνόταν με διπλασιασμό των πλευρών. Όταν ανακάλυψαν ότι αυτό δεν διπλασιάζει τον όγκο αλλά τον οκταπλασιάζει έστειλαν πρεσβείς στην ‘Ακαδημία Πλάτωνος’ και ζήτησαν λύση του προβλήματος. Ο Πλάτωνας μάλιστα τους απάντησε ότι θεός έδωσε αυτό το χρήσιμο στους Δήλους όχι επειδή είχε ανάγκη ενός διπλάσιου βωμού, αλλά για να κατακρίνει και να επι πλήξει τους Έλληνες, επειδή αμελούν τα μαθηματικά και την γεωμετρία.

Το αλυτο του προβληματοσ Στην εποχή που παρουσιάζεται το πρόβλημα, κάθε μαθηματική μέθοδος που δεν χρησιμοποιεί αποκλειστικά κανόνα και διαβήτη θεωρείται ασέβεια. Οι αρχαίοι μαθηματικοί πιθανότατα γνώριζαν ότι ήταν αδύνατη η λύση μόνο με κανόνα και διαβήτη, αλλά δεν είναι σίγουρο. Πιο κοντά στην λύση βρέθηκε ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο οποίος το 460 ή 430 π.Χ απέδειξε ότι το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση σύο μισών αναλόγων όταν δοθούν δύο ευθύγραμμα τμήματα το ένα διπλάσιο του άλλου. Απο αυτό οδηγούμαστε στο αποτέλεσμα ότι για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να κατασκευαστεί ακμή ίση με ‘τρία ρίζα 2’ Με το σύγχρονα μαθηματικά αποδείχτηκε ότι το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί μόνο με κανόνα και διαβήτη.

Η λυση Αρκετοί αρχαίοι και vέοι ασχολήθηκαν με το πρόβλημα όπως ο Ταραντίνος, Εύδοξο ο Κνίδιος, Μέναιχμος, Νικομήδης, Απολλώνιος ο Περγαίος, Διοκλής, Ηρών ο Αλεξανδρεύς, Πάππος ο Αλεξανδρεύς, Καρτέσιος κ.α. Όλοι όμως έδιναν λύση και χρισιμοποιούσαν και άλλες μεθόδους εκτός απο την κλασική. Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης δίνει στα έργα του πληροφορίες για 12 λύσεις του Δήλιου προβλήματος. Σήμερα συμαντικότερη θεωρείται η λύση του Αρχύτα, καθώς χρησιμοποιεί τρία στερεά κύλινδρο, κώνο και σφαίρα.

Ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Η διατύπωση του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων. Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς. Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό στην περίπτωση που ο αριθμός π είναι υπερβατικός, οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή.

ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Οι γεωμετρείς του 5ου αιώνα π.Χ. αφιέρωσαν πολύ χρόνο στην έρευνα για να βρουν ενα τρόπο να τριχοτομήσουν μια γωνία, χρησιμοποιώντας κύκλους και ευθείες. Γνώριζαν βέβαια πως κάποιες γωνίες μπορούν να τριχοτομηθούν. Η τριχοτόμιση μιας ορθής γωνίας είναι απλή. Αρκεί να σχεδιάσει κανείς το τόξο ΑΒ και στη συνέχεια χωρίς να αλλάξει το άνοιγμα του διαβήτη και με κέντρο το σημείο Β σχεδιάζει τόξο που θα τέμνει το τόξο στο ΑΒ στο Γ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ χωρίζει την ορθή γωνία σε γωνίες 60ο και 30ο. Στη συνέχεια διχωτομόντας την γωνία των 60ο έχουμε πετύχει την τριχοτόμηση της ορθής. Με διάφορους περιορισμούς μπορούμε να τριχοτομίσουμε διάφορες ειδικές γωνίες. Οι Έλληνες γεωμετρείς προσπαθούσαν να βρούνε μια γενική μέθοδο τριχοτόμησης των γωνιών. Αυτό το πρόβλημα μαζί με το διπλασιασμό του κύβου και του τετραγωνισμού του κύκλου αποτελούν τα τρία μεγαλύτερα κατασκευαστικά προβλήματα ens γεωμετρίας των Αρχαίων Ελλήνων.

ΥΠΟΘΕΣΗ RIEMANN Η υπόθεση Ρίμαν συναιπάγει αποτελέσματα για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Θεωρείται απο κάποιους μαθηματικούς, ως το πιο σημαντικό άλυτο πρόβλημα των θεωρητικών μαθηματικών. Η υπόθεση Riemann μαζί με την Εικασία Γκόλντμπουχ αποτελεί μέρος του ογδόου προβλήματος του Χίλμπερτ στον κατάλογο του Νταβίντ Χίλμπερετ των 23 άλυτων προβλημάτων. Η ακολουθία των πρώτων αριθμών αρχίζει με τους 2,3,5,7 και 11. Όσο προχωράει κανείς στην ακουλουθεία , η συχνότητα τους μειώνεται, αλλά η κατανομή τους σεν σταματά να παρουσιάζει μια συστηματοποιήση, που ίανι γνωστή εδώ και αιώνες. Όμως υπάρχουν μικρές παρεκκλίσεις και Riemann υπέθεσε ότι θα μπορούσε να τις περιγράψει επακριβώς, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη μιας ξεχωριστής ιδιότητας για τις τιμές που μηδένιζαν μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Η υπόθεση έχει επαληθευτεί για τις πρώτες 1.500.000.001 λύσεις, αλλά εξακουλουθεί να λείπει η τελική απόδειξη.  

ΑΚΟΥΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI Στα μαθηματικά οι αριθμοί Fibonacci είναι οι αριθμοί της ακολουθίας 0,1,1,2,3,5,8,13,21,24,55,89,144 Σε μαθηματικούς όρους η ακουλουθία Fn των αριθμών Fibonacci ορίζεται με τον αναδρομικό τύπο: Fn= fn-1 + Fn-2 με τον αναδρομικό τύπο: Fn= Fn-1 + Fn-2 με Fa=0 και Fn=1 Η Ακουλουθία Fibonacci ονομάστηκε έτσι απο τον Λεονάριο της Πίζας, γνωστό και ως Φιμπονάτσι. Το βιβλίο του Fibonacci το 1202 ( Liber Abaci ) εισήγαγε την ακουλουθία στα μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης. Οι Αριθμοί Fibonacci είναι συμληρωματικές ζωγοί της Ακουλοθίας Λούκας, και είναι απόλυτα συνδεδεμένοι με την χρυσή αναλογία. Έχει αρκετές εφαρμογές σε υπολογισμικούς αλγόριθμους, όπως η τεχνική αναζήτησης και η δομή δεδομένων καιρόν Φιμπονάτσι. Ακόμα υπάρχουν γραφικές παραστάσεις οι οποίες ονομάζονται κύβοι Φιμπονάτσι και χρησιμοποιούνται στις παραστάσεις διασύδενσης του στα κατανιμημένα συστήματα.

Ακουλουθια Fibonacci στη φύση Οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται στη φύση, όπως η διακλάδωση στα δέντρα, η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος, τα στόμια του καρπού ενός ανανά, το μοτύβο των πετάλων ενός λουλουδιού, ένος κουκουναριού, ένος κοχυλιού. Η ακουλουθία εφαρμόζεται στο σώμα ενός δελφινιού, στα αστέρια αλλά και στο ανθρώπινο σώμα.