ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ II Διάλεξη 2η Σειρές Fourier Καθ. Πέτρος Π. Γρουμπός

Περιγραφή περιοδικού σήματος στο πεδίο της συχνότητας Η ανάπτυξη περιοδικού σήματος σε σειρά Fourier επιτρέπει μία άλλη περιγραφή. Είναι φανερό ότι μία περιοδική συνάρτηση x(t) με περίοδο T=2π/ω που έχει αναπτυχθεί σε τριγωνομετρική σειρά Fourier της μορφής ορίζεται πλήρως από τα σύνολα

Οι συναρτήσεις που ορίζονται στο σύνολο Ω={0,ω0,2ω0,….} από τις σχέσεις ονομάζονται φάσμα πλάτους (amplitude spectrum) και φάσμα φάσεως (phase spectrum) αντιστοίχως.

Παράδειγμα 3 Η σειρά Fourier του συρμού παλμικών σημάτων του παραδείγματος 2 (βλ. διάλεξη 1η) είναι άρα τα φάσματα πλάτους και γωνίας του σήματος είναι

Μίας άλλης μορφής φάσματα πλάτους και φάσης ορίζονται με βάση την εκθετική μορφή των σειρών Fourier όπου το σήμα ορίζεται πλήρως από το σύνολο των συντελεστών Χn. Eπειδή οι συντελεστές αυτοί είναι (εν γένει) μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να παρασταθούν στην πολική τους μορφή: Στην περίπτωση αυτή τα φάσματα πλάτους και φάσης ορίζονται από τις συναρτήσεις

όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή ω ανήκει στο σύνολο Ω={…, -2ω, -ω, 0, ω, 2ω, …} και Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα , η απεικόνιση του φάσματος του συρμού παλμικών σημάτων έχει την μορφή μιας ακολουθίας παράλληλων γραμμών. Λόγω της μορφής αυτής ένα τέτοιο φάσμα ονομάζεται γραμμωτό φάσμα (line spectrum). Είναι φανερό ότι λόγω του διακριτού χαρακτήρα τους, αυτό συμβαίνει με όλα τα φάσματα περιοδικών σημάτων.

Σχήμα 1: (α) Το φάσμα πλάτους και (β) το φάσμα φάσεως του ημιτονοειδούς ημιανορθωμένου σήματος

Παράδειγμα 4 Έστω το ημιανορθωμένο ημιτονοειδές σήμα που χρόνου ορίζεται από τις σχέσεις x(t)=x(t + 2π/ω0) και Σχήμα 2: Το ημιανορθωμένο ημινοτοειδές σήμα

Η εκθετική σειρά Fourier του σήματος είναι

Το φάσμα πλάτους του σήματος δίνεται από τις σχέσεις το δε φάσμα γωνίας προκύπτει

Παράδειγμα 5 Ας θεωρήσουμε πάλι τον συρμό παλμικών σημάτων που μελετήσαμε στο παράδειγμα 2 Από την σειρά Fourier

Τα φάσματα, εκτός από το ότι μπορούν να αναπαραστήσουν πλήρως το ίδιο το σήμα, μας επιτρέπουν να έχουμε και πληροφορίες για την ισχύ ή και την ενέργειά του. Αν pav υποδηλώνει την μέση ανά περίοδο ισχύ ενός περιοδικού σήματος x(t) με περίοδο Τ, τότε

Συνεπώς Από αυτή την σχέση, γνωστή με το όνομα σχέση Parseval, προκύπτει ότι η μέση ανά περίοδο ισχύς ενός περιοδικού σήματος είναι ίση με το άθροισμα των μέσων ισχύων όλων των αρμονικών του. Αυτό μας οδηγεί στην έννοια του φάσματος ισχύος σαν την συνάρτηση Ρ(ω):Ω→R που ορίζεται από την σχέση

Ιδιότητες σειρών Fourier Α) Γραμμικότητα Αν για δύο περιοδικά σήματα με ίδια περίοδο Τ=2π/ω0 ισχύουν οι Σχέσεις τότε για κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών a και b ισχύει η σχέση Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής είναι προφανής

Β) Χρονική μετατόπιση Αν για ένα περιοδικό σήμα με περίοδο Τ=2π/ω0 ισχύει η σχέση τότε, με αντικατάσταση της μεταβλητής t από την t-t0 προκύπτει ότι (17)

Αν X( t 0 ),n υποδηλώνουν τους συντελεστές της σειράς Fourier του σήματος x(t-t0), τότε Άρα που σημαίνει ότι η χρονική μετατόπιση ενός σήματος δεν μεταβάλλει το φάσμα πλάτους του.

Γ) Αλλαγή κλίμακας χρόνου Αν στη σειρά Fourier (17) ενός περιοδικού σήματος με περίοδο Τ=2π/ω0 αντικατασταθεί η χρονική μεταβλητή t από την αt όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε προκύπτει ότι Αν υποθέσουμε ότι α>0, τότε από τα προηγούμενα προκύπτει ότι τα σήματα x(t) και x(αt) έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier. Η μόνη διαφορά εντοπίζεται στην περίοδο των σημάτων αυτών που στην περίπτωση του σήματος x(t) είναι Τ ενώ στην περίπτωση του σήματος x(αt) γίνεται Tα=T/α=2π/αω0.

Στην ειδική περίπτωση όπου α= -1, με αντικατάσταση της μεταβλητής t από την t-t0 προκύπτει ότι Άμεση συνέπεια των προηγουμένων είναι ότι η αντιστροφή της φοράς της κλίμακας του χρόνου συνεπάγεται την αντιστροφή της φοράς της Κλίμακας συχνοτήτων του φάσματος του σήματος.

Δ) Συζυγής συμμετρία πραγματικών σημάτων Από τη σχέση προκύπτει ότι οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier είναι εν γένει Μιγαδικοί αριθμοί. Ας θεωρήσουμε τώρα την περίπτωση όπου το σήμα είναι x(t) είναι πραγματικό. Τότε και Άρα, οι συντελεστές Xn και X-n των πραγματικών σημάτων είναι συζυγείς μεταξύ τους. Κατά συνέπεια το φάσμα πλάτους πραγματικών σημάτων είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας ενώ το φάσμα γωνίας είναι συνάρτηση περιττή.