Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο της Αθήνας Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας Σέργιος Θεοδωρίδης Αθήνα, 2003

Ακολουθίες Σημάτων Διακριτού Χρόνου
Παραδείγματα Μοναδιαία Βηματική

Παραδείγματα (συνέχεια)

Απλές Ταυτότητες

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα (ΓΧΑ – LTI)
Σύστημα = Μετασχηματισμός Γραμμικότητα Για πεπερασμένο Ν. Για με προσοχή!!!

Σχέση Εισόδου – Εξόδου ΓΧΑ Συστημάτων Συνέλιξη (Συγκερασμός)
(Γραμμικότητα)

Παράδειγμα Η συμπεριφορά του συστήματος αλλάζει ανάλογα με τη χρονική στιγμή διέγερσης του.

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα (ΓΧΑ)
Γενικά: ΓΧΑ: Μετατοπίζοντας τη διέγερση κατά k δείγματα η απόκριση απλά μετατοπίζεται επίσης κατά k δείγματα.

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα
Συνέλιξη

Ιδιότητες Συνέλιξης Αντιμεταθετική Απόδειξη:

Ιδιότητες Συνέλιξης Επιμεριστική Προσεταιριστική

Εφαρμογή Ιδιοτήτων Συνέλιξης
Επιμεριστική

Εφαρμογή Ιδιοτήτων Συνέλιξης
Προσεταιριστική

Γραφική Εκτέλεση Συνέλιξης

Περισσότερα για τη Συνέλιξη

Η Συνέλιξη Πρακτικά τώρα πριν πιο πριν πιο πιο πριν Δείγματα Εισόδου Επίδραση Συστήματος y(0)=x(0) h(0) y(1)=x(1) h(0) + x(0) h(1) y(2)=x(2) h(0) + x(1) h(1) + x(0) h(2) y(n)=x(n) h(0) + x(n-1) h(1) + x(n-2) h(2) + … + x(0) h(n)

Παράδειγμα Υπολογισμού Συνέλιξης
Να υπολογιστεί η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου η κρουστική απόκριση ορίζεται ως:

Λύση

Τελικό Αποτέλεσμα

Μετασχηματισμός Fourier Σημάτων Διακριτού Χρόνου
Ν-1

Λύση

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist)
Ζητούμενο:

Μετασχηματισμοί Fourier συνεχούς και διακριτού χρόνου Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου

Άρα: ή: Θέτοντας:

Θέτοντας: για Όμως ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου:

Άρα: ή:

Αρα για να ΜΗ ΧΑΘΕΙ πληροφορία θα πρέπει: ή ισοδύναμα: Δηλαδή: Κυκλική συχνότητα δειγματοληψία μεγαλύτερη ή ίση του εύρους του φάσματος του αναλογικού σήματος.

Eάν όχι; Τότε την πατήσαμε!!! Υπάρχει ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ και η αρχική μορφή του φάσματος του αναλογικού σήματος ΧΑΝΕΤΑΙ. Το αρχικό φάσμα, άρα και το x(t) ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ να ανακτηθούν. Eάν ναι; Πως γίνεται η ανάκτηση του αρχικού σήματος xa(t) από το x(n);;;

Να πως γίνεται η ανακατασκευή:

Άρα: Δηλαδή κατωπερατό φίλτρο!

Συνεπώς: Η έξοδος του φίλτρου όταν η είσοδος είναι το σήμα, θα είναι:

Για t ακέραιο πολλαπλάσιο του nT, n=0, ±1, ±2 ktl. MONO MIA Sa(t-nT) ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΕΙ με πλάτος x(nT). Για t¹nT, ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΟΥΝ ΟΛΕΣ! Τ 2Τ Τ Τ 5Τ -5Τ -4Τ Τ Τ -Τ

Παράδειγμα Δειγματοληψίας
Η περίοδος δειγματοληψίας είναι Τ=0.1 secs. Με την περίοδο αυτή να γίνει δειγματοληψία στα εξής σήματα: x1(t)=cos(6πt), x2(t)=cos(18πt). Να σχεδιαστούν τα φάσματα των x1(n), x2(n). Υπάρχει επικάλυψη; Θα σχεδιάσουμε τα ως συνάρτηση του Ω. Περίοδος δειγματοληψίας: Λύση

-6π π

-18π π π π -38π π π π 0 2π π π π -π/Τ π/Τ

Γενικά: Άρα για να δούμε ποιες συχνότητες θα συνεισφέρουν μεταξύ –π/Τ και π/Τ θα πρέπει να εξετάσουμε το: όπου

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)
Υπόθεση: Ζητούμενο: Υπάρχει ωs έτσι ώστε το X(e jω) να δειγματοληπτηθεί χωρίς να χάσουμε πληροφορία; Πόσα δείγματα Μ χρειάζονται για την ανάκτηση της πληροφορίας; Όπως και στο πεδίο του χρόνου: Βάλε:

Τα Ν αυτά δείγματα αρκούν για τον υπολογισμό του X(e jω) για κάθε ω!!!

Απόδειξη:

Συνεπώς: Ζεύγος Διακριτού Μετασχηματισμού Fourier (DFT)

Ιδιότητες DFT Γραμμικότητα (προφανής)
Συμμετρία. Αν x(n) πραγματική τότε: Re[ X(k) ] = Re[ X(N - k) ] Im[ X(k) ] = - Im[ X(N - k) ] Απόδειξη: Άρα για πραγματικά x(n), X(k) = X*(N-k) Συνεπώς Re[ X(k) ] = Re[ X(N - k) ], Im[ X(k) ] = - Im[ X(N - k) ], | X(k) | = | X(N - k) |

Ιδιότητες DFT (πραγματικό σήμα)
n k

Κυκλική Ολίσθηση Ακολουθίας
Η συνήθης ολίσθηση δεν έχει νόημα για ακολουθίες πεπερασμένου εύρους Ορισμός: Για ένα σήμα διακριτού χρόνου ορισμένο στο διάστημα 0 £ n £ N-1 καλούμε κυκλική ολίσθηση του x(n) κατά m δείγματα την ακολουθία: xc,m(n) º x((n-m))N όπου ((n-m))N = (n-m) mod N

Παράδειγμα (Ν=5, m=2)

Η κυκλικότητα του πεδίου είναι απόρροια της modulo Ν πράξης. Αντίθετα στην κλασική ολίσθηση το πεδίο είναι «γραμμικό». Σημαντική Ιδιότητα Απόδειξη:

Κυκλική Συνέλιξη Λύση

Κυκλική Συνέλιξη Κυκλική Συνέλιξη: Αν x1(n), x2(n) ακολουθίες μήκους Ν, 0 £ n £ N-1, ορίζω ως κυκλική συνέλιξη την:

Υπολογισμός Κυκλικής Συνέλιξης

Θεώρημα Parseval

Fast Fourier Transform (FFT)
Προτάθηκε από τους Cooley και Tukey το 1965.

Αλλά ο DFT περιοδικός, με περίοδο ίση με το μήκος της ακολουθίας. Άρα:

Πόσες πράξεις; Ένας DFT μήκους Ν απαιτεί Ο(Ν2) πράξεις Ένας DFT μήκους Ν/2 απαιτεί Ο( (Ν/2)2 ) = Ο(Ν2/4) πράξεις Δύο DFT μήκους Ν/2 απαιτούν O(Ν2/2) πράξεις Άρα το σύνολο μέχρι εδώ είναι O(Ν2/2+Ν) πράξεις

Παράδειγμα για Ν=8

Ενδιαφέρον. Ας συνεχίσουμε:

Συνεπώς και σε αυτή τη φάση μεταχειριζόμαστε το ίδιο w, δηλαδή το:
Παράδειγμα για N=8 Άρα: Συνεπώς και σε αυτή τη φάση μεταχειριζόμαστε το ίδιο w, δηλαδή το:

Γενικά: Αριθμός πράξεων

x0=x(000) = x0 x1=x(001) = x4 x2=x(010) = x2 x3=x(011) = x6 x4=x(100) = x1 x5=x(101) = x5 x6=x(110) = x3 x7=x(111) = x7 Bit Reversal

Σχήματα Υλοποίησης Ψηφιακών Φίλτρων

Άμεσο Σχήμα Τύπου Ι

Άμεσο Σχήμα Τύπου ΙΙ

Σχήμα Σειριακής Υλοποίησης
Υπολόγισε ρίζες P(z) Υπολόγισε ρίζες Q(z) Συνδύασε ανά δύο (μία) Κάθε ένα από τα Hi(z) με άμεσο ΙΙ

Σχήμα Σειριακής υλοποίησης

Σχήμα Παράλληλης Υλοποίησης
Ανάπτυξε σε απλά κλάσματα Συνδύασε πόλους ανά δύο

Σχήμα Παράλληλης Υλοποίησης

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων
Αν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τη συνθήκη συμμετρίας h(n)=h(N-1-n) τότε το φίλτρο έχει γραμμική φάση. Απόδειξη: (Ν άρτιο)

Ν άρτιο: Ν περιττό:

Σχεδιασμός FIR φίλτρων
Άρα η φάση γραμμική! Υπάρχει λόγος για φάση ΓΡΑΜΜΙΚΗ; ΝΑΙ!

Να το γιατί: Έστω σύστημα με γραμμική φάση, Είσοδος, (Δηλαδή δύο ημίτονα) Έξοδος, Δηλαδή: α) | Η | επιδρά στο πλάτος β) φάση επιδρά στην καθυστέρηση Υπενθύμιση:

Η γραμμική μεταβολής της φάσης προκαλεί χρονική υστέρηση αλλά διατηρεί την μορφή του σήματος.

Άρα: Στην περίπτωση γραμμικής φάσης όλες οι συνιστώσες καθυστερούν το ίδιο άρα δεν αλλοιώνεται η μορφή του σήματος. Δηλαδή στη μη γραμμική φάση τι γίνεται; Γίνεται της … αλλοίωσης!!!

Για παράδειγμα: τότε: Άρα στην έξοδο το πρώτο ημίτονο μετακινείται κατά aω1 δείγματα και το δεύτερο κατά aω2 δείγματα.

Το ίδιο φασματικό περιεχόμενο από άποψη ενεργειακή (πλάτος), αλλά το σήμα εξόδου έχει διαφορετική μορφή. Το μάτι είναι ευαίσθητο στη φάση ενώ το αυτί όχι.

Η συνθήκη h(n)=h(N-1-n) είναι και αναγκαία για να έχουμε σύστημα αιτιατό με γραμμική φάση. Άρα υπάρχουν ΜΟΝΟ FIR φίλτρα τα οποία είναι αιτιατά και έχουν γραμμική φάση.

Τι θα θέλαμε; όπου hd(n) IIR! ασταθές!

Χρειάζεται αποφασιστικότητα: ή με ακολουθία παραθύρου

Πόσο κοστίζει όμως;

Άλλες λύσεις Παράθυρα:

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 log10 ( |W( e j ω)| / |W( e j 0)| ) Τετραγωνικό Bartlett - Hanning - Hamming

Να σχεδιαστεί κατωπερατό ψηφιακό φίλτρο με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Υπάρχει δηλαδή η απαίτηση για γραμμική φάση

Ο στόχος Τα βήματα για την προσέγγιση του στόχου: Επιλέγω το Ν Τότε α=(Ν-1)/2 Επιλέγω το παράθυρο Ο καημός μου: Για καλή προσέγγιση απαιτείται μεγάλο Ν αλλά τότε προκύπτει μεγάλη καθυστέρηση στην έξοδο

Για ωc=0.3π, Ν=21 (δηλ. α=10) Παράδειγμα

-100 -80 -60 -40 -20 |H(e jω)| dB N=21 - Με τετραγωνικό - Με Hamming -100 -80 -60 -40 -20 |H(e jω)| dB Τετραγωνικό - Ν=11 - Ν=21 - Ν=41

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων
Απόκριση συχνοτήτων Γενικά ξέρουμε ότι: Για Ν=2:

Γραφήματα σε γραμμική κλίμακα

Κλίμακα σε dB Γιατί; ή

Μερικές ενδεικτικές τιμές

Απόκριση Συχνοτήτων ΓΧΑ Συστημάτων Πόλοι-Μηδενικά-Φυσική Σημασία

Απόκριση Συχνοτήτων ΓΧΑ Συστημάτων Πόλοι-Μηδενικά-Φυσική Σημασία
Άρα Δηλαδή η απόκριση συχνοτήτων καθορίζεται πλήρως από τους πόλους και τα μηδενικά!

Γεωμετρική Ερμηνεία

Γεωμετρική Ερμηνεία Άρα: και

Πρώτο Παράδειγμα

Πρώτο Παράδειγμα | H(ω) / H(0) | Φάση (Ακτίνια) -π π 0.5 1 -π π -20
π 0.5 1 | H(ω) / H(0) | -π π -20 -15 -10 -5 20 log10 ( | H(ω) / H(0) | ) -π π -1 -0.5 0.5 1 Φάση (Ακτίνια)

Δεύτερο Παράδειγμα

Φάση απόκρισης συχνοτήτων r=0.7
Δεύτερο Παράδειγμα -π π -15 -10 -5 5 20 log10 | H(e j ω) | Μέτρο απόκρισης συχνοτήτων r=0.7 - θ=0 - θ=π/2 - θ=π -π π -1 -0.5 0.5 1 θ(ω) Φάση απόκρισης συχνοτήτων r=0.7 - θ=0 - θ=π/2 - θ=π

Δεύτερο Παράδειγμα - r=0.8 - r=0.95 - r=0.8 - r=0.95
-π π -25 -20 -15 -10 -5 5 Μέτρο απόκρισης συχνοτήτων θ=0 20 log10 | H(e j ω) | - r=0.8 - r=0.95 -π π -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 Φάση απόκρισης συχνοτήτων θ=0 θ(ω) - r=0.8 - r=0.95

Σχεδιασμός IIR Φίλτρων
Σκεπτικό Επιλέγω μία συνάρτηση Ηα(s) που να προσεγγίζει το γράφημα ιδανικού κατωπερατού φίλτρου. Για παράδειγμα: Μια τέτοια συνάρτηση θα αντιστοιχεί σε ένα κατωπερατό αναλογικό φίλτρο Ηα(s) Υπάρχει τώρα τρόπος να βρω ένα αντίστοιχο ψηφιακό μέσα από ένα μετασχηματισμό Ναι, υπάρχει!

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης
Φιλοσοφία μεθόδου Επιλέγω την κρουστική απόκριση του ψηφιακού φίλτρου να είναι η δειγματοληψία της απόκρισης του αναλογικού Υπόθεση: Το Ηα(s) έχει ΑΠΛΟΥΣ πόλους.

Άρα:

Δηλαδή για τους ΑΠΛΟΥΣ πόλους ΜΟΝΟ! ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ για τα μηδενικά ή τους σύνθετους πόλους!

Γιατί;

Παρατηρήσεις Πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο μετασχηματίζονται σε πόλους εντός του μοναδιαίου κύκλου. Άρα διατηρείται η ευστάθεια Υπάρχει πρόβλημα επικάλυψης

Διορθώνεται η επικάλυψη με το Τ; Δυστυχώς όχι! Το Τ δεν παίζει ρόλο. Περίεργο και όμως αληθινό! Ο λόγος; Ο σχεδιασμός βασίζεται στη συχνότητα ωc αποκοπής του ψηφιακού φίλτρου. Αυτή επιβάλλεται από τις προδιαγραφές. Για παράδειγμα:

Η σχέση αναλογικής συχνότητας Ω και ψηφιακής συχνότητας ω είναι από το θεώρημα του Nyquist: Χοντρικά: Το ποσοστό επικάλυψης είναι το ίδιο

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης (παράδειγμα)

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης (παράδειγμα)
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 dB

Διγραμμικός Μετασχηματισμός

Διγραμμικός Μετασχηματισμός
ωc ωa | H(e jω) | π ω

Διγραμμικός Μετασχηματισμός (παράδειγμα)

Διγραμμικός Μετασχηματισμός (παράδειγμα)
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 dB

Διγραμμικός Μετασχηματισμός – Αμετάβλητη Κρουστική Απόκριση (παράδειγμα)
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 dB

Παράδειγμα Σχεδιασμού Ψηφιακού Κατωπερατού Φίλτρου Butterworth
Σχεδιασμός: Από τον ορισμό του dB προκύπτει: Επίσης:

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth
Αμετάβλητη Κρουστική Απόκριση Επιλέγω Ηα(s) Butterworth Χαρακτηριστικές συχνότητες: Δηλαδή:

Παράλληλο. Θα μπορούσε σειριακό

Διγραμμικός μετασχηματισμός Η υπόλοιπη διαδικασία παραμένει αμετάβλητη.

0.2π 0.4π 0.6π 0.8π -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 π 20 log10 | H(e j ω) |

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Κατωπερατό
Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Κατωπερατό Άρα:

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Ζωνοπερατό
(Δευτεροβάθμια)

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Zωνοπερατό
Απαιτώ:

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Ζωνοπερατό
Άρα ο μετασχηματισμός: πλήρως ορισμένος

Σχεδιασμός Ζωνοπερατού (μεθοδολογία)
Βήμα 1 Υπολόγισε αντίστοιχες αναλογικές συχνότητες

Βήμα 2 Δύο είδη χαρακτηριστικών συχνοτήτων Εμπλοκή; Βήμα 3 ΟΧΙ, απόφαση: Υπολόγισε άλλα Ωa που να μας κάνουν. Ναι, αλλά πως;;;

Βήμα 4 Να έτσι Ωραίο αλλά απομένει το Ωα του αντίστοιχου κατωπερατού Βήμα 5

Βήμα 6 Κάτι για πιο χαζούς

Βήμα 7 Με ίδιο τρόπο Βήμα 8 Επιτέλους να τελειώνουμε

Βήμα 8 (συνέχεια)

Μετατροπή Αναλογικών Σημάτων σε Ψηφιακά – A/D Conversion
Βήματα Δειγματοληψία (Sampling) Κβάντωση (Quantization) Κωδικοποίηση (Coding)

Δειγματοληψία

Sample and Hold Βασική ιδέα

Sample and Hold Με τη διαδικασία sample and hold εξασφαλίζεται χρόνος για την μετατροπή σε ψηφιακό σήμα

Κβάντιση Μη αντιστρέψιμη διαδικασία
Το Δ μπορεί να μην είναι ίδιο για όλα τα διαστήματα

Λάθος Κβάντισης Τότε:

Kωδικοποίηση Παράδειγμα

Κωδικοποίηση Η εξίσωση χρησιμοποιείται για να καθορίσει την ακρίβεια του A/D στην πράξη, για ιδανικά S/H κυκλώματα. Για κάθε επιπλέον bit 6dB επιπλέον.

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια