Ενότητα 1η: Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 1η: Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ Διάλεξη: Παραδοχές στα πλαίσια της Στατικής Ι – ο δίσκος - η κίνηση και η στήριξη του δίσκου – ο υπολογισμός των αντιδράσεων του δίσκου Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ.

Παραδοχές στα πλαίσια της Στατικής Ι Στα πλαίσια του μαθήματος ΣΤΑΤΙΚΗ Ι γίνονται οι εξής βασικές παραδοχές. 1η παραδοχή: η συμπεριφορά των υλικών είναι γραμμικά ελαστική, δηλαδή οι παραμορφώσεις είναι ανάλογες προς τις τάσεις. 2η παραδοχή: οι παραμορφώσεις και οι μετακινήσεις είναι «μικρές».

Η θεώρηση των «μικρών μετακινήσεων» (1) Τι είναι η θεώρηση των «μικρών μετακινήσεων»? Έστω ο πρόβολος του σχήματος, πακτωμένος στο κάτω άκρο, ενώ στο άνω άκρο του ασκούνται δύο δυνάμεις, μια κατακόρυφη και μια οριζόντια. Σύμφωνα με τα γνωστά η ροπή του υπολογίζεται ως εξής: Μ=PH*L (ροπή 1ης τάξης)

Η θεώρηση των «μικρών μετακινήσεων» (2) Στην πραγματικότητα όμως ο πρόβολος θα καμπυλωθεί υπό τη δράση των δυνάμεων με αποτέλεσμα την ανάπτυξη μετακίνησης στην κορυφή του. Ταυτόχρονα, μετατοπίζεται και το σημείο εφαρμογής των δυνάμεων. Τότε, η ροπή θα πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: Μ=PH*L+PV*δ (ροπή 2ης τάξης)

Η θεώρηση των «μικρών μετακινήσεων» (3) Η παραμόρφωση του προβόλου οδήγησε στον υπολογισμό του επαυξητικού όρου Pv*δ. Όμως, η αύξηση αυτή στη ροπή θα έχει ως αποτέλεσμα επιπλέον παραμόρφωση, κατά συνέπεια επιπλέον ροπή κ.λ.π. Θα χρειαστεί, δηλαδή, μια επαναληπτική διαδικασία υπολογισμού. Το φαινόμενο αυτό το αγνοούμε θεωρώντας τις μετακινήσεις «μικρές». Δηλαδή, οι μετακινήσεις είναι τόσο μικρές, ώστε η ένταση που προκαλείται ως αποτέλεσμα των μετακινήσεων, να μην επηρεάζει σημαντικά τον αρχικό υπολογισμό της ροπής (γραμμικότητα εξισώσεων ισορροπίας).

Παραδοχές στα πλαίσια της Στατικής Ι (συνέχεια) 3η παραδοχή: τα σώματα θεωρούνται απολύτως στερεά. Έστω το σώμα του σχήματος: Ένα σώμα θεωρείται στερεό όταν, όσο μεγάλο φορτίο και αν επιβληθεί σε αυτό, η απόσταση Α-Β δεν αλλάζει.

Η αρχή της επαλληλίας (1) Οι δύο πρώτες παραδοχές δίνουν τη δυνατότητα εφαρμογής δύο βασικών αρχών: Αρχή της επαλληλίας. Έστω ο πρόβολος του σχήματος: στον οποίο ασκούνται οι δυνάμεις PA και PΒ σε δύο διαφορετικά σημεία του και προκαλούν τις ροπές ΜA και ΜΒ αντίστοιχα. Εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας μπορούμε να υπολογίσουμε το ισοδύναμο σύστημα του σχήματος:

Η αρχή της επαλληλίας (2) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εάν δε γίνει η παραδοχή του γραμμικά ελαστικού υλικού και των μικρών μετακινήσεων δεν μπορεί να εφαρμοστεί η αρχή της επαλληλίας. Παράδειγμα: Έστω ψαθυρό υλικό με νόμο τάσεων-παραμορφώσεων που δίνεται στο σχήμα. Έστω σΑ, σΒ οι τάσεις που προκαλούνται από τις ροπές ΜΑ, ΜΒ αντίστοιχα. Παρατηρείται ότι η κατάσταση σΑ+σΒ δεν είναι αποδεκτή για το υλικό, καθώς αυτό θα έχει αστοχήσει για μικρότερη τάση.

Η αρχή της αποδέσμευσης Αρχή της αποδέσμευσης. Με βάση την αρχή αυτή σχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος. Για παράδειγμα, εάν σε ένα σύστημα υπάρχει κάποιος σύνδεσμος, μπορεί αυτός να αφαιρεθεί εφόσον αντικατασταθεί με τη δύναμη που μεταφέρεται από αυτόν. Η αρχή της αποδέσμευσης βοηθάει στη μετατροπή του στατικού προβλήματος σε μαθηματικό πρόβλημα.

Δίσκος - ορισμός Στα πλαίσια του μαθήματος ΣΤΑΤΙΚΗ Ι μελετώνται επιφανειακοί φορείς – δισδιάστατο πρόβλημα. Δίσκος: φορέας του οποίου οι δύο διαστάσεις είναι πολύ μεγαλύτερες από την τρίτη διάστασή του και εκτείνεται παράλληλα προς ένα επίπεδο. Ένταση, παραμόρφωση και μετακίνηση αναπτύσσονται πάνω στο επίπεδο του φορέα. Στερεός δίσκος: επιφανειακός φορέας (π.χ. τοίχος ή δικτύωμα) που δεν παραμορφώνεται. Στο επίπεδο, ένας ελέυθερος δίσκος έχει τρεις ελευθερίες κίνησης: μετακίνηση σε δύο άξονες (x και y) και στροφή.

1ος τρόπος θεώρησης της κίνησης του δίσκου (1) Ο δίσκος εκτελεί μια καθαρή περιστροφική κίνηση γύρω από τον απόλυτο πόλο περιστροφής. Έστω ότι ο δίσκος του σχήματος κινήθηκε και άλλαξε θέση. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΑ’ και ΒΒ’ που συνδέουν την αρχική θέση των σημείων Α και Β με την τελική τους θέση Α’ και Β’, ονομάζεται απόλυτος πόλος περιστροφής Ω.

1ος τρόπος θεώρησης της κίνησης του δίσκου (2) Κάθε σημείο του δίσκου εκτελεί μια καθαρή περιστροφική κίνηση ως προς το σημείο Ω, διαγράφοντας ένα τόξο. Οι ακτίνες ΩΑ και ΩΑ’ σχηματίζουν τη γωνία ω που ονομάζεται γωνία περιστροφής. Οι ακτίνες ΩΒ και ΩΒ’ σχηματίζουν επίσης την ίδια γωνία ω. Το ίδιο ισχύει για κάθε σημείο του δίσκου. Οποιαδήποτε κίνηση του ελεύθερου δίσκου χρειάζεται τρεις παραμέτρους για να προσδιοριστεί: τη γωνία ω, και τις συντεταγμένες x και y για το σημείο Ω.

2ος τρόπος θεώρησης της κίνησης του δίσκου (1) Ο δίσκος εκτελεί αρχικά μια μετάθεση παράλληλα προς την αρχική του θέση και στη συνέχεια μια στροφή. Έστω ότι ο δίσκος του σχήματος κινήθηκε κατακόρυφα κατά το διάνυσμα μετατόπισης uy, οριζόντια κατά το διάνυσμα μετατόπισης ux και ακολούθως στράφηκε γύρω από το σημείο Α’. Το σημείο Α’ ονομάζεται σχετικός πόλος περιστροφής.

2ος τρόπος θεώρησης της κίνησης του δίσκου (2) ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η γωνία ω που σχηματίζεται γύρω από το σχετικό πόλο περιστροφής και η γωνία ω που σχηματίζεται γύρω από τον απόλυτο πόλο περιστροφής είναι ίσες, για την ίδια τελική θέση του δίσκου. Και σε αυτή την περίπτωση, η κίνηση του ελεύθερου δίσκου χρειάζεται τρεις παραμέτρους για να προσδιοριστεί: τη γωνία ω, και τα διανύσματα μετατόπισης ux και uy.

Ειδική περίπτωση κίνησης του δίσκου Ειδική περίπτωση κίνησης του δίσκου Ο δίσκος εκτελεί μόνο μια παράλληλη μετατόπιση σε σχέση με την αρχική του θέση. Έστω ότι ο δίσκος του σχήματος κινήθηκε μόνο παράλληλα με την αρχική του θέση. Η γωνία περιστροφής είναι ίση με μηδέν και εφόσον οι μεσοκάθετοι των ευθειών ΑΑ’ και ΒΒ’ είναι παράλληλες, ο απόλυτος πόλος περιστροφής Ω βρίσκεται στο άπειρο.

Παρατήρηση πάνω στη κίνηση ενός σημείου του δίσκου ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Έστω Α το σημείο ενός δίσκου που κινείται πάνω στο τόξο Α-Α’, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν γίνει η θεώρηση των μικρών μετακινήσεων, η διαδρομή ΑΑ’ και η γωνία στροφής ω θα είναι μικρές. Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο Α κινείται κάθετα στην πολική ακτίνα και όχι πάνω στο τόξο, ενώ η μετατόπιση uA θα είναι: u=r*ω

Σύνδεσμοι – μία δεσμική ράβδος Στις κατασκευές πολιτικού μηχανικού, οι φορείς δεν είναι ελέυθεροι, αλλά συνδέονται με το ακίνητο υπόβαθρο (έδαφος). Τα μέσα σύνδεσης που περιορίζουν τη δυνατότητα κίνησης του δίσκου ονομάζονται σύνδεσμοι. Ο πιο απλός από αυτούς είναι η δεσμική ράβδος. Μέσω της δεσμικής ράβδου του σχήματος απαγορεύεται η μετατόπιση του απολύτως στερεού δίσκου κατά τη διεύθυνση της δεσμικής ράβδου. Παραμένουν οι άλλες δύο ελευθερίες κίνησης του δίσκου. Ο απόλυτος πόλος περιστροφής βρίσκεται υποχρεωτικά πάνω στην ευθεία που ορίζεται από τη διεύθυνση της δεσμικής ράβδου.

Ισορροπία δίσκου με μία δεσμική ράβδο Για να ελεγχθεί η ισορροπία του δίσκου, εφαρμόζεται η αρχή της αποδέσμευσης. Αφαιρείται η ράβδος και ασκείται στο ίδιο σημείο του δίσκου η άγνωστη δύναμη R1 που αναπτύσσεται λόγω της ράβδου (αντίδραση). Ο δίσκος ισορροπεί μόνο στην περίπτωση που σε αυτόν ασκείται δύναμη P στη δίευθυνση της ράβδου. Η R1 είναι ίση και αντίθετη της P, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση φορτίου, ο δίσκος δεν ισορροπεί.

Δύο δεσμικές ράβδοι Στην περίπτωση σύνδεσης του δίσκου με το έδαφος μέσω δύο δεσμικών ράβδων, ο απόλυτος πόλος περιστροφής Ω βρίσκεται υποχρεωτικά στο σημείο τομής των ευθείων των δύο ράβδων. Ο δίσκος πλέον διατηρεί μόνο την ελευθερία στροφής περί τον πόλο Ω. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: στην περίπτωση που το σημείο τομής των ευθειών των ράβδων είναι κάποιο θεωρητικό σημείο (και όχι πραγματικό σημείο του δίσκου), μια μετακίνηση του δίσκου συνεπάγεται και αλλαγή της θέσης του απόλυτου πόλου περιστροφής.

Ισορροπία δίσκου με δύο δεσμικές ράβδους Αντίθετα, όταν οι δύο ράβδοι συνδέονται μεταξύ τους σε ένα σημείο της περιμέτρου του δίσκου, η θέση του δεν αλλάζει με τη μετακίνηση του δίσκου. Πρόκειται για μια σταθερή στήριξη (άρθρωση). Μετά την εφαρμογή της αρχής της αποδέσμευσης, ασκούνται στο δίσκο δύο αντιδράσεις R1 και R2 λόγω των ράβδων στήριξης, όπως φαίνεται στο σχήμα: Ο δίσκος μπορεί να ισορροπήσει μόνο όταν ασκείται σε αυτόν δύναμη P στο σημείο τομής των φορέων των R1 και R2

Τρεις δεσμικές ράβδοι – ισοστατικότητα Στην περίπτωση σύνδεσης του δίσκου με το έδαφος μέσω τριών δεσμικών ράβδων, αίρεται και η τρίτη ελευθερία του δίσκου, καθώς ακινητοποιούνται τρία σημεία του. Δεν υπάρχει πόλος περιστροφής και ο δίσκος ισορροπεί για κάθε φορτίο. Ο φορέας είναι ισοστατικός: διαθέτει τον ελάχιστο αριθμό δεσμικών ράβδων ώστε να μην κινέιται, δηλ. να είναι στερεός. Ειδική περίπτωση: η τρίτη ράβδος να διέρχεται από το σημείο τομής των άλλων δύο. Τότε, υπάρχει απόλυτος πόλος περιστροφής και υφίσταται η δυνατότητα απειροστής στροφής γύρω από αυτόν. Δεν υπάρχει όμως δυνατότητα πεπερασμένης στροφής διότι με την ελάχιστη μετακίνηση του δίσκου, αλλάζουν οι διευθύνσεις των ράβδων, οι προεκτάσεις τους δεν τέμνονται πλέον στο ίδιο σημείο, δεν υπάρχει Ω και ο δίσκος γίνεται στερεός. Γενικά, είναι μια μη επιθυμητή κατάσταση στις κατασκευές (απειροστή κινητότητα).

Είδη συνδέσμων (1) ΕΙΔΗ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ δεσμική ράβδος: απαγόρευση μετακίνησης και ανάπτυξη αντίδρασης στη διεύθυνση της ράβδου ux=0, Rx≠0. κύλιση: ux ≠ 0, Rx= 0, uy = 0, Ry ≠ 0, φ ≠0, Μ = 0 Θεωρείται ισοδύναμη με μια δεσμική ράβδο (απείρου μήκους) κάθετα στη διεύθυνσή της. άρθρωση: ux = 0, Rx ≠ 0, uy = 0, Ry ≠ 0, φ ≠ 0, Μ = 0 Θεωρείται ισοδύναμη με δύο τεμνόμενες δεσμικές ράβδους.

Είδη συνδέσμων (2) πάκτωση: ux = 0, Rx ≠ 0, uy = 0, Ry ≠ 0, φ = 0, Μ ≠ 0 Θεωρείται ισοδύναμη με τρεις δεσμικές ράβδους συγκεντρωμένες σε μια πολύ μικρή περιοχή του δίσκου. κινητή πάκτωση: ux = 0, Rx ≠ 0, uy ≠ 0, Ry = 0, φ = 0, Μ ≠ 0 Είναι ισοδύναμη με δύο παράλληλες δεσμικές ράβδους. δικινητή πάκτωση: ux ≠ 0, Rx = 0, uy ≠ 0, Ry = 0, φ = 0, Μ ≠ 0 Θεωρείται ισοδύναμη με μια δεσμική ράβδο.

Εξισώσεις ισορροπίας Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων ενός δίσκου κατασκευάζεται αρχικά το διάγραμμα ελευθέρου σώματος. Σε αυτό αποτυπώνονται τα εξωτερικά φορτία που ενεργούν σε αυτό, καθώς και οι αντιδράσεις που προκύπτουν από την αφαίρεση των στηρίξεων. Οι εξωτερικές δυνάμεις Ρ1, Ρ2 και Ρ3 είναι γνωστές, ενώ οι αντιδράσεις R1, R2 και R3 είναι άγνωστες και υπολογίζονται μέσω των εξισώσεων ισορροπίας: 𝑭 𝒙 =0, 𝑭 𝒚 =0, 𝑴 𝑨 =0 𝑭 𝒙 =0, 𝑴 𝑨 =0, 𝑴 𝑩 =0 𝑴 𝑨 =0, 𝑴 𝑩 =0, 𝑴 𝚪 =0

Παρατηρήσεις πάνω στις εξισώσεις ισορροπίας ΠΡΟΣΟΧΗ: Για τη 2η ομάδα εξισώσεων ισορροπίας: ο άξονας x που θα επιλεγεί για τις προβολές των δυνάμεων θα πρέπει να μην είναι κάθετος στην ευθεία ΑΒ, που ενώνει τα σημεία ως προς τα οποία υπολογίζονται οι ροπές. Για την 3η ομάδα εξισώσεων ισορροπίας: Περιορισμός τα 3 σημεία να μην βρίσκονται επί ευθείας. Μπορεί γενικώς να αποφευχθεί η επίλυση συστήματος εξισώσεων αν επιλεγούν ως Α, Β και Γ, τα σημεία τομής των φορέων των ράβδων. (π.χ. στο σημείο Α του σχήματος οι ροπές των R1 και R3 μηδενίζονται, οπότε υπολογίζεται κατευθείαν η R2)

Υπερστατικότητα φορέα ΠΡΟΣΟΧΗ: Εάν προστεθούν επιπλέον δεσμικές ράβδοι, ο φορέας θα είναι στερεός αλλά υπερστατικός και όλες οι επιπλέον εξισώσεις ισορροπίας θα είναι γραμμικά εξαρτημένες από τις τρεις πρώτες, με αποτέλεσμα να μην επιλύεται το σύστημα (αυξάνεται ο αριθμός των αγνώστων αλλά όχι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων εξισώσεων).