Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική συμπερασματολογία: εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό μέσω τυχαίων δειγμάτων εκτιμήσεις σημείου και διαστήματος έλεγχος υποθέσεων (ενός και δύο δειγμάτων) Παράδειγμα: όριο θραύσης ιμάντα εκτίμηση σημείου: μέση τιμή ορίου θραύσης πληθυσμού εκτίμηση διαστήματος: εύρεση διαστήματος μέσα στο οποίο βρίσκεται η μέση τιμή με πιθανότητα > 90% έλεγχος υπόθεσης: η μέση τιμή θραύσης ισούται με συγκεκριμένη προδιαγραφή Κάθε πληθυσμός και δείγμα ακολουθούν μια κατανομή: π.χ. κανονική Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: οι μέσες τιμές των δειγμάτων μιας τυχαίας μεταβλητής ακολουθούν την κανονική κατανομή (𝜇= 𝑥 , 𝑠 𝑥 = 𝜎 𝑛 )
Ιδιότητες εκτιμητών: α) Αμεροληψία: Τα εκτιμώμενα μέτρα θέσης και μεταβλητότητας να ταυτίζονται με του πληθυσμού β) Αποτελεσματικότητα: Ο εκτιμητής που επιλέγεται έχει τη μικρότερη δυνατή τυπική απόκλιση.
Υπολογισμός άνω και κάτω ορίου διαστήματος εμπιστοσύνης i) Έστω 𝑋 ~ Ν 𝜇, 𝜎 με σ = γνωστό. Παίρνουμε δείγμα n μετρήσεων με δειγματικό μέσο 𝑥 . Διάστημα εμπιστοσύνης: 𝑥 − 𝑍 1− 𝑎 2 𝜎 𝑛 ≤𝜇≤ 𝑥 + 𝑍 1− 𝑎 2 𝜎 𝑛 , όπου Ζ 1− 𝛼 2 το σημείο της τυπικής κανονικής κατανομής με πιθανότητα 1− 𝛼 2 . Διάστημα εμπιστοσύνης → 0 όσο το n → +∞. ii) Έστω 𝑋 ~ Ν 𝜇, 𝜎 με σ = άγνωστο. Παίρνουμε δείγμα n > 30 μετρήσεων με δειγματικό μέσο 𝑥 . 𝑥 − 𝑡 𝑎 2 ;𝑛−1 𝑠 𝑛 ≤𝜇≤ 𝑥 + 𝑡 𝑎 2 ;𝑛−1 𝑠 𝑛 όπου: 𝑡= 𝑥 −𝜇 𝑠 𝑛 ~ 𝑛−1 βαθμούς ελευθερίας (μετατροπή κανονικής κατανομής σε t-student)
Έλεγχος υποθέσεων Έλεγχος υπόθεσης εξετάζει την πιθανότητα που έχουν οι παράμετροι του πληθυσμού να έχουν ορισμένες τιμές Η0: μηδενική υπόθεση (null hypothesis) → η παράμετρος του υπό εξέταση πληθυσμού έχει την τιμή που αναμένουμε για τη συγκεκριμένη μεταβλητή (συμφωνεί με τις προδιαγραφές) Η1: εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothesis) → η παράμετρος του υπό εξέταση πληθυσμού δεν έχει την τιμή που αναμένουμε για τη συγκεκριμένη μεταβλητή (δεν συμφωνεί με τις προδιαγραφές) Η0: μ = 0 Η1: μ ≠ 0
Έλεγχος υπόθεσης μέσου μ με γνωστή τυπική απόκλιση σ για επίπεδο σημαντικότητας α: Σφάλμα τύπου Ι: απόρριψη της Η0 ενώ ισχύει Σφάλμα τύπου ΙΙ: αποδοχή H0 ενώ δεν ισχύει Μεθοδολογία: 1) Διατύπωση Η0 και Η1 2) Επιλογή α [0.90, 0.95, 0.99] 3) Προσδιορισμός ορίων ελέγχου [Ζ1, Ζ2] 4) Προσδιορισμός τιμής προς έλεγχο Ζ= 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑛 5) Αν Ζ περιοχή αποδοχής → Η0 αποδεκτή Αν Ζ περιοχή απόρριψης → Η0 απόρριψη
Παλινδρόμηση: η ποσοτικοποίηση της σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών που μετριούνται με τις ίδιες μονάδες Γραμμική Παλινδρόμηση: 𝑌 𝑖 =α+β 𝑋 𝑖 + 𝑢 𝑖 όπου i = οι παρατηρήσεις του δείγματος 𝑌 𝑡 =α+β 𝑋 𝑡 + 𝑢 𝑡 όπου t = ο χρόνος μέτρησης της μεταβλητής Παράδειγμα: ποσοτικοποίηση της σχέσης μεταξύ του ύψους και του βάρους των φοιτητών Β Υ 56 1.65 75 1.85 80 1.80 95 2.00 60 1.50 78 1.90 65 1.70
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων: το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των σημείων (παρατηρήσεων) από τη ευθεία είναι ελάχιστο. Η ευθεία είναι μοναδική. 𝛽 = 𝑖=1 𝑛 ( 𝑋 𝑖 − 𝑋 )( 𝑌 𝑖 − 𝑌 ) 𝑖=1 𝑛 ( 𝑋 𝑖 − 𝑋 ) 2 𝑎 = 𝑌 − 𝛽 𝑋 Στατιστικός έλεγχος 𝑎 και 𝛽 (t-έλεγχος) Η 0 : 𝛽 =0 και Η 0 : 𝛽 ≠0 ή Η 0 : 𝛼 =0 και Η 0 : 𝛼 ≠0 t 𝑛−2;a/2 = 𝛽 − β 𝜊 𝜎 ( 𝑋 𝑖 − 𝑋 ) 2 (1) και t 𝑛−2;a/2 = 𝑎 − 𝑎 𝜊 𝜎 1 𝑛 + 𝑋 2 ( 𝑋 𝑖 − 𝑋 ) 2 (2)
Αν tn-2;a/2 > tc απορρίπτω την αρχική υπόθεση ta/2 = η τιμή της t – κατανομής από τους πίνακες Ερμηνεία παλινδρόμησης: 𝑌 𝑖 = 𝑎 + 𝛽 𝑋 𝑖 + 𝑢 𝑖 Αν η μεταβλητή Xi αυξηθεί κατά 1% τότε η μεταβλητή Yi θα αυξηθεί κατά 𝛽 % Αν η μεταβλητή Χi πάρει τη τιμή 0 τότε η μεταβλητή Υi θα πάρει τη τιμή 𝑎 Παράδειγμα: Υπολογίστηκε ότι η γραμμική σχέση μεταξύ του βάρους Β και του ύψους Υ ενός δείγματος φοιτητών είναι: Β 𝑖 =2.34+0.74 Υ 𝑖 + 𝑢 𝑖 συντελεστής Τιμή t-στατιστική t-κατανομή για a = 0.05 𝛽 0.74 3.4 2 𝑎 2.34 1.5
Ερμηνεία συντελεστών 𝛽 = 0.74: η αύξηση του ύψους κατά 1% θα οδηγήσει στην αύξηση του βάρους κατά 0.74% 𝑎 =2.34: για ύψος = 0 το βάρος θα είναι 2.34. Στατιστική σημαντικότητα για συντελεστή 𝛽 : tn-2;a/2 > tc → 3.4 > 2 → Η αρχική υπόθεση απορρίπτεται. Ο συντελεστής 𝛽 είναι στατιστικά σημαντικός (Ho: 𝛽 =0) για συντελεστή 𝑎 : tn-2;a/2 < tc → 1.5 < 2 → Η αρχική υπόθεση δεν απορρίπτεται. Ο συντελεστής 𝑎 δεν είναι στατιστικά σημαντικός (Ho: 𝛼 =0) και δεν επηρεάζει τη σχέση του βάρους με το ύψος.
Βιβλιογραφία: Σύψας Π. Θ. (1998). Σημειώσεις Στατιστικής. Εκτυπωτικό Κέντρο Πανεπιστήμιο Πατρών. Πάτρα.