Καρτεσιανό Γινόμενο Ιδιότητες Σχέσεων Διατάξεις ΣχΕσεις Καρτεσιανό Γινόμενο Ιδιότητες Σχέσεων Διατάξεις

Διατεταγμένο Ζεύγος Διατεταγμένο ζέυγος ονομάζεται μία δυάδα αντικειμένων με καθορισμένη σειρά. Συμβολίζεται (α,β) όπου α: το πρώτο στοιχείο και β: το δεύτερο στοιχείο. Το ζεύγος (α,β) διαφέρει από το σύνολο {α,β}. Στο ζεύγος υπάρχει διάταξη (α,β)≠(β,α) Στο ζεύγος επιτρέπεται να ισχύει α=β δηλαδή μπορούμε να έχουμε ζεύγος (α,α). Η έννοια του ζεύγους γενικεύεται στην διατεταγμένη ν-άδα (α1,α2,…,αν) = ((α1,α2,…,αν-1), αν)

Καρτεσιανό Γινόμενο Καρτεσιανό Γινόμενο των συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο ΑΒ={(α,β)|αΑ, βΒ}. Παράδειγμα: {α,β,γ}  {1,2} = {(α,1), (α,2), (β,1), (β,2), (γ,1), (γ,2)}. Η πράξη γενικεύεται και μπορούμε να έχουμε Καρτεσιανό γινόμενο τριών συνόλων ΑΒΓ = (ΑΒ)Γ αλλά και ν συνόλων.

Διμελής Σχέση Διμελής Σχέση από το Α στο Β είναι ένα υποσύνολο του ΑΒ. Αν (α,β)  R τότε το α σχετίζεται με το β μέσω της R και συχνά γράφουμε αRβ ή R(α,β). Παράδειγμα: {(α,β) | ο φοιτητής α έχει περάσει το μάθημα β} {(α,β) | το προϊόν α περιέχει το συστατικό β} Μπορούμε να αναπαραστήσουμε μία διμελή σχέση Ως σύνολο {(Μαρία, Διακριτά), (Αντώνης, Διακριτά), (Αντώνης, Θεωρία Παιγνίων), (Φώτης, Θεωρία Παιγνίων)} Με πίνακα Με διάγραμμα Διακριτά Θ.Παιγνίων Μαρία  Αντώνης Φώτης Μαρία Διακριτά Αντώνης Θ.Παιγνίων Φώτης

Ν-μελής Σχέσεις Τριμελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α,Β,Γ ονομάζεται ένα υποσύνολο του ΑΒΓ. Παράδειγμα: {(α,β,γ) | ο φοιτητής α έχει δηλώσει το μάθημα β το ακαδημαικό εξάμηνο γ} Ν-μελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α1,Α2,…,ΑΝ ονομάζεται ένα υποσύνολο του Α1Α2… ΑΝ Παράδειγμα: {(α,β,γ,δ,ε) | η αυτοκινητοβιομηχανία α παράγει το μοντέλο β στα γ κυβικά με δ ίππους στο ε χρώμα}

Σχέσεις επί ενός συνόλου Σχέση επί ενός συνόλου Α ονομάζεται το υποσύνολο του Α  Α. Σύνολο φυσικών αριθμών: <, , Δ (αΔ β ανν ο α διαιρεί τον β) Δυναμοσύνολο φυσικών αριθμών: , Σύνολο πόλεων: όπου αβ ανν η πόλη α συνδέεται οδικά με την πόλη β. Σύνολο ανθρώπων: Α={(α,β) | ο α είναι αδερφός του β} Γ ={(α,β) | ο α είναι γονέας του β} Π= ={(α,β) | ο α είναι πρόγονος του β} Σύνολο μαθημάτων: όπου α~β ανν το α είναι στο ίδιο έτος με το β. Σύνολο εργασιών: όπου α[β ανν η εργασία α προαπαιτεί την εργασία β.

Ιδιότητες Σχέσεων – Ανακλαστικές Σχέσεις Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται ανακλαστική αν (α,α)R για κάθε στοιχείο α  R (κάθε στοιχείο σχετίζεται με τον εαυτό του). Ανακλαστικές σχέσεις: , , , , Δ Μη ανακλαστικές σχέσεις: <, , Α, Γ, Π, [ Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται αντιανακλαστική αν (α,α)R για κάθε στοιχείο α  R (κανένα στοιχείο δεν σχετίζεται με τον εαυτό του). Υπάρχουν σχέσεις που δεν είναι ούτε ανακλαστικές ούτε αντιανακλαστικές. R={(α,β) | α2<β} ισχύει ότι (3/4,3/4)R ενώ (6/5,6/5)R

Ιδιότητες Σχέσεων – Συμμετρικές Σχέσεις Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται συμμετρική αν (α,β)R συνεπάγεται (β,α)R, για οποιαδήποτε στοιχεία α,β Α (το α σχετίζεται με το β συνεπάγεται ότι και το β σχετίζεται με το α). Συμμετρικές σχέσεις: , Α,  Μη Συμμετρικές σχέσεις: <, , , , Γ,Π,[,Δ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΣΕΩΝ - αντισυμμετρικεσ σχεσεισ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΣΕΩΝ - αντισυμμετρικεσ σχεσεισ Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται αντισυμμετρική αν (α,β)R και (β,α)R συνεπάγεται α=β, για οποιαδήποτε στοιχεία α,β Α. Αντισυμμετρικές σχέσεις: <, , , , Δ,Γ,Π,[ Μη αντισυμμετρικές σχέσεις: , Α,  Μία σχέση μπορεί να μην είναι ούτε συμμετρική ούτε αντισυμμετρική (<)

Ιδιοτητεσ σχεσεων – ασυμμετρες σχεσεισ Ιδιοτητεσ σχεσεων – ασυμμετρες σχεσεισ Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται ασύμμετρη αν (α,β)R συνεπάγεται (β,α)R, για οποιαδήποτε στοιχεία α,β Α Ασύμμετρες σχέσεις: <,,Γ,Π,[ Μη ασσύμετρες σχέσεις: , ,, Δ,Α Μία σχέση μπορεί να είναι αντισυμμετρική αλλά όχι ασύμμετρη (, ). Κάθε ασύμμετρη σχέση είναι αντιανακλαστική και αντισυμμετρική. Μία σχέση δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα συμμετρική και ασύμμετρη. Μία σχέση δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα ανακλαστική και ασύμμετρη.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΣΕΩΝ – ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙς Μία σχέση R επί του Α ονομάζεται μεταβατική αν (α,β) R και (β,γ) R συνεπάγεται (α,γ)R , για οποιαδήποτε στοιχεία α,β,γ Α (αν το α σχετίζεται με το β και το β σχετίζεται με το γ τότε και το α σχετίζεται με το γ). Μεταβατικές σχέσεις: <, , , , ,  Δ,Α,[ Μη μεταβατικές: Π, Γ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΣΕΩΝ Έστω R μία σχέση επί του Α και έστω ΒΑ Περιορισμός της R στο Β ονομάζεται η σχέση R(ΒΒ). Μία σχέση ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας αν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Σχέσεις ισοδυναμίας: ,  Μία σχέση ισοδυναμίας R επί του Α ορίζει μία διαμέριση {Α1, Α2,…,Αr) του Α τέτοια ώστε: α,β Αi για κάποιο i ανν (α,β) R.

Διατάξεις Μία σχέση ονομάζεται μερική διάταξη αν είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική. Τα ζεύγη (Α,R) όπου Α ένα σύνολο και R μία σχέση μερικής διάταξης επί του Α ονομάζεται μερικά διατεταγμένο σύνολο. Μία διάταξη  επί ενός συνόλου Α ονομάζεται ολική διάταξη αν για οποιαδήποτε στοιχεία α,β  A ισχύει αβ ή βα (δεν υπάρχουν ασυσχέτιστα στοιχεία).

Διατάξεις Έστω (Α,) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Ένα στοιχείο α του Α ονομάζεται: Μεγιστικό αν δεν υπάρχει βΑ, β≠α τέτοιο ώστε αβ. Ελαχιστικό αν δεν υπάρχει βΑ, β≠α τέτοιο ώστε βα. Μέγιστο αν για κάθε βΑ, αν β≠α τότε βα. Ελάχιστο αν για κάθε βΑ, αν β≠α τότε αβ Ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο μπορεί να έχει κανένα, ένα ή περισσότερα μεγιστικά (ελαχιστικά) στοιχεία. Αν ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο έχει μέγιστο (ελάχιστο) στοιχείο, τότε αυτό είναι μοναδικό Κάθε μέγιστο (ελάχιστο) στοιχείο είναι και μεγιστικό (ελαχιστικό), χωρίς να ισχύει απαραίτητα το αντίστροφο.

Άνω φράγμα Εστω (Α,R) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο και α,βΑ. Το γ ονομάζεται άνω φράγμα των α,β αν αγ και βγ. Το γ ονομάζεται ελαχιστικό άνω φράγμα των α,β αν είναι άνω φράγμα των α,β και δεν υπάρχει άνω φράγμα δ≠γ των α,β τέτοιο ώστε δγ. Το γ ονομάζεται ελάχιστο άνω φράγμα των α,β αν είναι άνω φράγμα των α,β και για κάθε άνω φράγμα δ των α,β τέτοιο ώστε γδ.

Κάτω φράγμα Εστω (Α,R) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο και α,βΑ. Το γ ονομάζεται κάτω φράγμα των α,β αν γα και γβ. Το γ ονομάζεται μεγιστικό κάτω φράγμα των α,β αν είναι κάτω φράγμα των α,β και δεν υπάρχει κάτω φράγμα δ≠γ των α,β τέτοιο ώστε γδ. Το γ ονομάζεται μέγιστο κάτω φράγμα των α,β αν είναι κάτω φράγμα των α,β και για κάθε κάτω φράγμα δ των α,β τέτοιο ώστε δγ.

ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Ένα διατεταγμένο σύνολο ονομάζεται δικτυωτό αν δύο οποιαδήποτε στοιχεία του έχουν ελάχιστο άνω φράγμα και μέγιστο κάτω φράγμα. Μία σχέση ονομάζεται αυστηρή μερική διάταξη αν είναι ασύμμετρη και μεταβατική. Μία σχέση ονομάζεται προδιάταξη αν είναι ανακλαστική και μεταβατική.