Επιχειρησιακή Ερευνα στη Γεωργία Μαθηματικός προγραμματισμός Το κοινό στοιχείο στα προβλήματα για τη λύση των οποίων χρησιμοποιούμε προγραμματισμό είναι η αναζήτηση της καλύτερης λύσης, με την προυπόθεση ικανοποίησης μιας (ή περισσοτέρων) ‘δευτερεύουσας συνθήκης’, εκφρασμένης σε μαθηματικούς όρους. Οσο αυτή η συνθήκη είναι τελείως ορισμένη (με μορφή ισότητας) το πρόβλημα αριστοποίησης μπορεί γενικά να λυθεί με χρήση διαφορικού λογισμού. Στην πράξη όμως οι προυποθέσεις παίρνουν μορφή ανισότητας (ελάχιστες απαιτήσεις σε θερμίδες στο πρόβλημα διατροφής, μέγιστη δυνατότητα σε συντελεστές παραγωγής σε πρόβλημα επιχείρησης κλπ.). Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Γραμμικός προγραμματισμός Εστω γεωργική εκμετάλλευση 60 στρεμμάτων, που διαθέτει 2.000 ώρες εργασίας ετησίως και διαθέσιμο κυκλοφοριακό κεφάλαιο €300. Η γεωργική εκμετάλλευση έχει να επιλέξει ανάμεσα σε δύο δραστηριότητες, βαμβάκι και αραβόσιτο. Ζητείται ο άριστος συνδιασμός των δύο κλάδων για να επιτύχει η γεωργική εκμετάλλευση το μέγιστο Ακαθάριστο Κέρδος. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

μαθηματική μορφή του προβλήματος Μεταβλητές (μη αρνητικές) ΧΒ καλλιεργούμενη έκταση βαμβακιού ΧΑ καλλιεργούμενη έκταση αραβοσίτου Αντικειμενική συνάρτηση Ακαθάριστο κέρδος συναρτήσει των καλλιεργουμένων εκτάσεων Ζ = 5 ΧΑ + 8 ΧΒ υπό περιορισμούς (1) διαθέσιμης γής ΧΑ + ΧΒ  60 στρέμματα (2) διαθέσιμης εργασίας 25 ΧΑ +70 ΧΒ  2000 ώρες εργασίας (3) κυκλοφ. κεφαλαίου 2.5 ΧΑ +12 ΧΒ  300 χρημ. μονάδες Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Γραφική επίλυση του προβλήματος μαθηματικές (γραμμικές) σχέσεις του προβλήματος (περιορισμοί) στο δισδιάστατο χώρο, όπου παίρνουν τιμές οι μεταβλητές. Πρόκειται για τις γραμμές που οριοθετούν την εφικτή περιοχή: Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Οι γραμμές που εκφράζουν την αντικειμενική συνάρτηση όταν το Ζ λαμβάνει διάφορες τιμές είναι ευθείες γραμμές παράλληλες μεταξύ τους με κλίση - 5/8 (διακεκομένη γραμμή στο διάγραμμα). Χαράζοντας αυτές τις ευθείες για διάφορες τιμές της Ζ, δηλαδή μετατοπίζοντας (δεξιά και πάνω) την αντικειμενική συνάρτηση, διαπιστώνουμε ότι λαμβάνει τη μέγιστη δυνατή τιμή στο ( Ζ = 333.4 € ) δηλαδή την κορυφή του κυρτού πολύεδρου με συντεταγμένες (48.9, 11.1), δηλ. ΧΑ=48.9 και XΒ=11.1, που είναι και η άριστη λύση. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

αν cA/cB < 0.208 τότε άριστη γωνία είναι η (0, 25) Εχει αποδειχτεί ότι η άριστη λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι πάντα μια γωνία του κυρτού πολυγώνου που ορίζεται από τους περιορισμούς του προβλήματος, η δε άριστη αυτή γωνία προκύπτει από την κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης. Για τη γενική μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης Ζ = cA ΧΑ + cB ΧΒ η άριστη γωνία ορίζεται ανάλογα με την τιμή της κλίσης cA/cB αν cA/cB < 0.208 τότε άριστη γωνία είναι η (0, 25) αν 0.208 < cA/cB < 0.36 τότε άριστη γωνία είναι η (24, 20) αν 0.36 < cA/cB < 1 τότε άριστη γωνία είναι η (49, 11) αν 1 < cA/cB τότε άριστη γωνία είναι η (60, 0) Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Οι μεταβλητές άεργου δυναμικού Γ γη που δεν καλλιεργείται Ε μη χρησιμοποιηθείσα εργασία Κ κυκλοφοριακό κεφάλαιο που δεν χρησιμοποιείται Αν εισάγουμε στο πρόβλημα μας ως μεταβλητή την άεργη δυναμικότητα κάθε παραγωγικού συντελεστή τότε μπορούμε να ξαναγράψουμε το πρόβλημα με τη μορφή ισοτήτων. ΧΑ + ΧΒ + Γ = 60 (4) 25 ΧΑ + 70 ΧΒ + Ε = 2000 (5) 2.5 ΧΑ + 12 ΧΒ + Κ = 300 (6) Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Υπάρχει πάντα μια άριστη λύση στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού στο οποίο ο συνολικός αριθμός των μη αρνητικών μεταβλητών (κανονικών και άεργης δυναμικότητας) είναι ακριβώς ίδιος με τον αριθμό περιορισμών. Οι μεταβλητές που τίθενται ίσες με μηδέν ονομάζονται μη βασικές. Οι υπόλοιπες m οι (θετικές) τιμές των οποίων προκύπτουν από τη λύση του συστήματος ονομάζονται βασικές με την έννοια ότι η ύπαρξη της εξαρτάται από την παρουσία των τριών γραμμικώς ανεξαρτήτων συντελεστών-διανυσμάτων, τα οποία ορίζουν μια βάση για ένα χώρο m διαστάσεων τροποποιούμε το πρόβλημα έτσι ώστε όλες οι κανονικές μεταβλητές να βρεθούν στο δεξιό σκέλος των ισοτήτων Αρχική βασική εφικτή λύση Γ = 60 - ΧΑ - ΧΒ (7) Ε = 2000 - 25 ΧΑ - 70 ΧΒ (8) Κ = 300 - 2.5 ΧΑ - 12 ΧΒ (9) Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Οταν το πρόβλημα γραφτεί σε μορφή ισοτήτων μπορούμε να βρούμε εύκολα μια βασική λύση, να επιβεβαιώσουμε οτι αυτή η λύση είναι εφικτή και να ελέγξουμε άν είναι άριστη. Η αρχική βασική λύση ναι μεν σέβεται όλους τους περιορισμούς αλλά δίνει συνολικό ακαθάριστο κέρδος ίσο με μηδέν. Ειναι λογικό επομένως να αναζητηθεί κάποια άλλη βασική λύση που θα δίνει μεγαλύτερο ακαθάριστο κέρδος. Στην περίπτωση μας επιλέγουμε να γίνει θετική η ΧΒ (καλλιέργεια βαμβακιού) η οποία έχει το μεγαλύτερο συντελεστή στην αντικειμενική συνάρτηση μεταξύ των μη βασικών μεταβλητών. Υπολογίζουμε την τιμή αντικειμενικής συνάρτησης που δίνει αυτή η λύση (Γ=35, Ε=250, ΧΒ=25) η οποία είναι ίση με 200 δηλαδή μεγαλύτερη από την προηγούμενη. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Παρατηρούμε ότι μεταξύ των μη βασικών μεταβλητών υπάρχει ακόμα μία που έχει θετικό συντελεστή στην αντικειμενική συνάρτηση (ο αραβόσιτος), που σημαίνει ότι αν της έδινα θετική τιμή (θετικό ΧΑ), θα είχα μεγαλύτερο κέρδος. Επομένως η διαδικασία αναζήτησης δεν σταματάει εδώ. Αν ύστερα απο διαδοχικές αντικαταστάσεις έχουμε φτάσει σε ένα σημείο όπου καμμία νέα αντικατάσταση δεν μπορεί να αυξήσει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, προφανώς έχουμε φτάσει στην άριστη λύση, εκείνη δηλαδή που μεγιστοποιεί την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Η συστηματική παρουσίαση της διαδικασίας είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την χρήση υπολογιστή. Η μέθοδος simplex (simple complex) χρησιμοποιείται για το σκοπό αυτό και κωδικοποιείται στα εξής: Βρίσκουμε μια οποιαδήποτε βασική λύση (γωνία του πολυέδρου). Επειδή αυτό δεν είναι πάντα εύκολο συνήθως επιλέγουμε την αρχή των αξόνων Υπολογίζουμε το κέρδος (τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) στο σημείο αυτό και τα γειτονικά του Αν κάποιο από τα γειτονικά σημεία αποδίδει μεγαλύτερα κέρδη από το σημείο Ο μετακινούμαστε σε αυτό. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία και με διαδοχικούς αποκλεισμούς καταλήγουμε στην άριστη λύση. Το πιο δύσκολο μέρος είναι ο εντοπισμός των γειτονικών σημείων. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Παρουσίαση του προβλήματος και επίλυση σε φύλλο εργασίας

Παρουσίαση της αριστης λύσης από το Solver Excel σε φύλλο εργασίας Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Ανάλυση ευαισθησίας Ερώτημα συγκριτικής στατικής : τι θα συμβεί στην άριστη λύση αν οι τιμές των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης αλλάξουν ; Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Πρόβλημα μεγιστοποίησης συνολικού ακαθάριστου κέρδους Ζ = 5 ΧΑ + 8 ΧΒ Για κάθε πρόβλημα μεγιστοποίησης υπάρχει ένα (δυϊκό) πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Στην περίπτωση της επιχείρησης που θέλει να μεγιστοποιήσει το κέρδος σε επίπεδα όμως που επιτρέπουν οι περιορισμένες ποσότητες συντελεστών υπάρχει ταυτόχρονα η λογική της ελαχιστοποίησης του κόστους χρήσης των σπάνιων παραγωγικών συντελεστών για κάθε προϊόν χωρίς όμως να πέσει κάτω από τα επίπεδα των τιμών (οριακό έσοδο ίσο με οριακό κόστος). Αυτή η λογική αποτυπώνεται στο λεγόμενο δυϊκό πρόβλημα που προκύπτει από το αρχικό. Πρόβλημα μεγιστοποίησης συνολικού ακαθάριστου κέρδους Ζ = 5 ΧΑ + 8 ΧΒ υπό περιορισμούς (1) διαθέσιμης γής ΧΑ + ΧΒ  60 στρέμματα (ΥΓ) (2) διαθέσιμης εργασίας 25 ΧΑ +70 ΧΒ  2000 ώρες εργασίας (ΥΕ) (3) κυκλοφ. κεφαλαίου 2.5 ΧΑ +12 ΧΒ  300 χρημ. μονάδες (ΥΚ) Οι μεταβλητές του δυϊκού προβλήματος αντιστοιχούν στους περιορισμούς του αρχικού ΥΓ τιμή συντελεστή έδαφος ανά μονάδα έκτασης ΥΕ τιμή συντελεστή εργασία ανά ώρα ΥΚ τιμή συντελεστή κυκλοφοριακό κεφάλαιο ανά χρηματική μονάδα Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

συνολικό κόστος = 60 ΥΓ + 2000 ΥΕ + 300 ΥΚ Κατασκευή του δυϊκού προβλήματος. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι το γινόμενο των τιμών των συντελεστών (μεταβλητές) επί τις αντίστοιχες διαθέσιμες ποσότητες από την επιχείρηση Αντιπροσωπεύει το συνολικό κόστος χρησιμοποιούμενων συντελεστών παραγωγής και στόχος της επιχείρησης είναι να ελαχιστοποιηθεί συνολικό κόστος = 60 ΥΓ + 2000 ΥΕ + 300 ΥΚ Οι περιορισμοί αντιστοιχούν στις μεταβλητές του αρχικού προβλήματος, θα είναι επομένως δύο υπό περιορισμούς (4) ΥΓ + 70 ΥΕ + 12 ΥΚ  8 ευρώ/στρέμμα (ΧΒ) βαμβάκι (5) ΥΓ + 25 ΥΕ + 2.5 ΥΚ  5 ευρώ/στρέμμα (ΧΑ) αραβόσιτος Ο πρώτος περιορισμός αναφέρεται στο βαμβάκι και η οικονομική του έννοια είναι η εξής : αν το συνολικό κόστος του βαμβακιού (πρώτο μέλος του περιορισμού 3 που είναι το γινόμενο των τιμών των συντελεστών επί τις ποσότητες που χρησιμοποιούνται ανά στρέμμα βαμβακιού) υπερβαίνει το στρεμματικό κέρδος τότε η εκμετάλλευση δεν έχει ενδιαφέρον να καλλιεργήσει βαμβάκι. Αν εξισωθεί με το μοναδιαίο κέρδος (οριακό κόστος ίσο με οριακό κέρδος) τότε θα παραχθεί βαμβάκι. Αντίστοιχα για τον αραβόσιτο. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

συνολικό κόστος = 60 ΥΓ + 2000 ΥΕ + 300 ΥΚ Δομικές σχέσεις αρχικού και δυϊκού προβλήματος Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού γίνονται δεξιά μέλη των περιορισμών του δυϊκού ενώ αντίστοιχα οι τιμές των δεξιών μελών περιορισμών του αρχικού γίνονται συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του δυϊκού. Η μήτρα των τεχνικών συντελεστών αντικαθίσταται από την ανάστροφη της. αρχικό πρόβλημα (πρωτεύον) να μεγιστοποιηθεί το συνολικό ακαθάριστο κέρδος Ζ = 5 ΧΑ + 8 ΧΒ υπό περιορισμούς (1) διαθέσιμης γής ΧΑ + ΧΒ  60 στρέμματα (ΥΓ) (2) διαθέσιμης εργασίας 25 ΧΑ +70 ΧΒ  2000 ώρες εργασίας (ΥΕ) (3) κυκλοφ. κεφαλαίου 2.5 ΧΑ +12 ΧΒ  300 χρημ. μονάδες (ΥΚ) Δευτερογενές πρόβλημα (δυϊκό) συνολικό κόστος = 60 ΥΓ + 2000 ΥΕ + 300 ΥΚ (4) ΥΓ + 70 ΥΕ + 12 ΥΚ  8 ευρώ/στρέμμα (ΧΒ) βαμβάκι (5) ΥΓ + 25 ΥΕ + 2.5 ΥΚ  5 ευρώ/στρέμμα (ΧΑ) αραβόσιτος Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Το πρόβλημα της δίαιτας Καταναλωτής επιθυμεί να τηρήσει τη συνταγή του γιατρού με το ελάχιστο δυνατό κόστος : πρέπει να λαμβάνει καθημερινά τουλάχιστον 9 μονάδες βιταμίνης Α και 19 μονάδες βιταμίνης C Γνωρίζοντας τις περιεκτικότητες της κάθε τροφής σε βιταμίνες (αριθμοί σε κελιά στον πίνακα) ο καταναλωτής πρέπει να εξασφαλίσει ότι : το γινόμενο των ποσοτήτων των τροφών επί το περιεχόμενο τους σε βιταμίνη Α δεν θα είναι μικρότερο από την ελάχιστη ημερήσια απαιτούμενη ποσότητα της βιταμίνης αυτής (πρώτος περιορισμός). Αντίστοιχα για τη βιταμίνη C (δεύτερος περιορισμός). Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Η μαθηματική μορφή του προβλήματος της δίαιτας συνολικό κόστος = 1*Χ1 + 0*Χ2 + 2*Χ3 + 2*Χ4 + 1*Χ5 + 2*Χ6 υπό περιορισμούς 1*Χ1 + 0*Χ2 + 2*Χ3 + 2*Χ4 + 1*Χ5 + 2*Χ6  9 μονάδες βιταμίνης Α 0*Χ1 + 1*Χ2 + 3*Χ3 + 1*Χ4 + 3*Χ5 + 2*Χ6  19 μονάδες βιταμίνης Α όπου οι μεταβλητές ποσότητες των τροφών είναι θετικές Η άριστη λύση του προβλήματος δείχνει ότι πρέπει να πάρει 5 και 2 μονάδες από τις τροφές f5 και f6 αντίστοιχα, και τίποτα από τις υπόλοιπες. Το συνολικό κόστος της δίαιτας θα είναι 5.07 ευρώ. Αυτές είναι και οι πιό φθηνές ανά μονάδα τροφές. Θα ήταν ενδιαφέρον να βρίσκαμε πόσο πρέπει να μειωθεί η τιμή των άλλων τροφών (που δεν περιλαμβάνονται στη βασική λύση) για να προτιμηθούν αντί για τις f5 και f6 . Επίσης θα ήταν ενδιαφέρον να ξέραμε πόσο θα κόστιζε (με δεδομένες τις τιμές των τροφών) να πρόσθετε ο καταναλωτής μία επιπλέον μονάδα βιταμίνης στη δίαιτα του. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Το πρόβλημα της δίαιτας Τα διαφυγόντα κέρδη (reduced gradient) που προκύπτουν από τη λύση του προβλήματος και αντιστοιχούν στις μεταβλητές του προβλήματος δείχνουν πόσο θα έπρεπε να μειωθεί η τιμή της τροφής fx για να περιληφθεί στη δίαιτα. Οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές (shadow prices) που προκύπτουν από τη λύση του προβλήματος και αντιστοιχούν στους περιορισμούς του προβλήματος δείχνουν ποιό θα ήταν το πρόσθετο κόστος του καταναλωτή αν ο γιατρός τον υποχρέωνε να πάρει μία μονάδα βιταμίνης επιπλέον. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007

Το πρόβλημα του φαρμακοποιού (δυϊκό πρόβλημα ) Ο φαρμακοποιός θέλει να προσδιορίσει τις τιμές πώλησης των βιταμινών που θα τις κάνουν ανταγωνιστικές σε σχέση με τα τρόφιμα της αγοράς μεγιατοποιώντας το εισόδημα του. Για να αγοράσει ο καταναλωτής έτοιμες βιταμίνες αντί να τις πάρει από τις τροφές, θα πρέπει το περιεχόμενο κάθε τροφής (αποτιμώμενο σε τιμές του φαρμακείου) να είναι φθηνότερο από την τιμή του στην αγορά. Λύνοντας το πρόβλημα παρατηρούμε ότι αν οι βιταμίνες πουληθούν προς 12 και 21 λεπτά, η περιεκτικότητα των τροφίμων 5 και 6 επιτυγχάνεται με κόστος ίσο με την τιμή τους στην αγορά, ενώ τα άλλα τρόφιμα αποδίδουν τις ίδιες βιταμίνες αρκετά ακριβότερα από τα χαπάκια που πουλάει το φαρμακείο. Επιχειρησιακή Ερευνα Σειρά 2007