Πηγή: ‘Βιοστατιστική’ [Β.Γ. Σταυρινός, Δ.Β.Παναγιωτάκος] ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Πηγή: ‘Βιοστατιστική’ [Β.Γ. Σταυρινός, Δ.Β.Παναγιωτάκος]

Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Η μεθοδολογία του στατιστικού ελέγχου μιας υπόθεσης επιδιώκει ακριβώς την ελαχιστοποίηση της πιθανότητας μιας λανθασμένης απόφασης προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση

Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Η υπόθεση που κάνουμε συνήθως σε έναν έλεγχο είναι ότι η παρατηρούμενη μεταβολή στην τιμή της παραμέτρου είναι μηδενική [ΗΟ] ή ότι οφείλεται σε τυχαίες επιδράσεις [ΗΑ].

Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Παραδείγματα Μηδενικών Υποθέσεων [HO]: Το κάπνισμα δεν προκαλεί καρκίνο στους πνεύμονες Το φάρμακο δεν είναι αποτελεσματικό για την καταπολέμηση της ασθένειας Ο μέσος όρος αναμονής στα εξωτερικά ιατρεία του νοσοκομείου δεν υπερβαίνει τα 40 λεπτά Το μέσο εισόδημα των πελατών ενός ιδιωτικού νοσοκομείου δε διαφέρει από το μέσο εισόδημα των πελατών ενός δημόσιου νοσοκομείου Η διαιτητική αγωγή Α δεν είναι πιο αποτελεσματική από τη διαιτητική αγωγή Β ως προς την απώλεια βάρους σε παχύσαρκα άτομα ηλικίας 30-40 ετών

Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Σε κάθε Υπόθεση Μηδέν [ΗΟ] αντιστοιχεί μια Εναλλακτική Υπόθεση [ΗΑ], η οποία αποτελεί τη λογική άρνηση της ΗΟ. Αρα όταν δεν αληθεύει η ΗΟ θα αληθεύει η ΗΑ και αντιστρόφως.

Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Αντίστοιχα παραδείγματα Μηδενικών Υποθέσεων [HΑ]: Το κάπνισμα προκαλεί καρκίνο στους πνεύμονες Το φάρμακο είναι αποτελεσματικό για την καταπολέμηση της ασθένειας Ο μέσος όρος αναμονής στα εξωτερικά ιατρεία του νοσοκομείου υπερβαίνει τα 40 λεπτά Το μέσο εισόδημα των πελατών ενός ιδιωτικού νοσοκομείου διαφέρει από το μέσο εισόδημα των πελατών ενός δημόσιου νοσοκομείου Η διαιτητική αγωγή Α είναι πιο αποτελεσματική από τη διαιτητική αγωγή Β ως προς την απώλεια βάρους σε παχύσαρκα άτομα ηλικίας 30-40 ετών

Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Οι υποθέσεις ΗΟ και ΗΑ είναι πάντοτε ενδεχόμενα ασυμβίβαστα Ο σωστός προσδιορισμός τους αποτελεί καθοριστικό παράγοντα για τον έλεγχο μιας υπόθεσης Οι υποθέσεις ΗΟ και ΗΑ καθορίζονται πάντοτε πριν την εξέταση των στοιχείων δείγματος

Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Παράδειγμα: Μια φαρμακευτική εταιρεία επιδιώκει την έγκριση ενός νέου φαρμάκου από την αρμόδια υπηρεσία. Η εταιρεία πιστεύει ότι το νέο φάρμακο έχει αποτελεσματικότητα τουλάχιστον 70% στη θεραπεία της ασθένειας για την οποία προορίζεται. Προσδιορίστε τη ΗΟ και ΗΑ

Είδη Σφαλμάτων Η μέγιστη πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι ονομάζεται επίπεδο σημαντικότητας (α).

Είδη Σφαλμάτων Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου ΙΙ, δηλαδή να μην απορρίψουμε την Η0 όταν είναι ψευδής, συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα β. Η πιθανότητα 1-β του συμπληρωματικού ενδεχομένου, δηλαδή να απορρίψουμε την Η0 όταν είναι ψευδής, ονομάζεται δύναμη του ελέγχου.

Είδη Σφαλμάτων Η τιμή β εξαρτάται από: το επίπεδο σημαντικότητας α το μέγεθος του δείγματος τον τύπο του ελέγχου το είδος κατανομής του πληθυσμού

Είδη Σφαλμάτων

Επιλογή Κατάλληλης Στατιστικής Ο στατιστικός έλεγχος μιας υπόθεσης Η0 απαιτεί πάντοτε τη χρησιμοποίηση μιας κατάλληλης στατιστικής της οποίας η τιμή S υπολογίζεται από τα στοιχεία του δείγματος. Η επιλογή της κατάλληλης στατιστικής εξαρτάται από: τη φύση της υπόθεσης Η0 και της εναλλακτικής υπόθεσης ΗΑ τη δύναμη του ελέγχου

Επιλογή Κατάλληλης Στατιστικής Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση: Η0: μ= μ0, δηλαδή ότι ο μέσος μ ενός χαρακτηριστικού στον πληθυσμό είναι ίσος με τη σταθερά μ0 Κατά της υπόθεσης: ΗΑ: μ≠ μ0

Επιλογή Κατάλληλης Στατιστικής Γενικότερα για τον έλεγχο της υπόθεσης: Η0: θ= θ0 κατά της ΗΑ: θ ≠ θ0 χρησιμοποιείται η στατιστική: όπου: θ^n: η κατάλληλη εκτιμήτρια της παραμέτρου θ Θ0: η τιμή της θ που καθορίζεται από την Η0 sθ^n: η τυπική απόκλιση της κατανομής δειγματοληψίας της θ^n

Επιλογή Κατάλληλης Στατιστικής

Επιλογή Κατάλληλης Στατιστικής

Διαδικασία Απόφασης για Απόρριψη ή όχι της Η0 Ως περιοχή απόρριψης της Η0 ορίζεται η κρίσιμη περιοχή, η οποία περιέχει όλες τις τιμές της S που έχουν πιθανότητα α να παρατηρηθούν όταν η Η0 είναι αληθής. Ως περιοχή μη απόρριψης της Η0 ορίζεται η περιοχή που όλες τις τιμές της S που έχουν πιθανότητα 1-α να παρατηρηθούν όταν η Η0 είναι αληθής.

Διαδικασία Απόφασης για Απόρριψη ή όχι της Η0 Απορρίπτουμε την υπόθεση Η0 αν η τιμή της στατιστικής S που υπολογίζουμε από το δείγμα εμπίπτει στην περιοχή απόρριψης της Η0, ή δεν απορρίπτουμε την Η0 αν η τιμή της στατιστικής S που υπολογίζουμε από το δείγμα εμπίπτει στην περιοχή μη απόρριψης της Η0.

Διαδικασία Απόφασης για Απόρριψη ή όχι της Η0 Η απόφαση για το ποιες τιμές θα περιλαμβάνονται στην περιοχή απόρριψης/μη απόρριψης προσδιορίζεται από το επίπεδο σημαντικότητας α που χρησιμοποιεί ο ίδιος ο ερευνητής Η θεωρητική κατανομή της στατιστικής S είναι γνωστή. Οι κρίσιμες τιμές που διαχωρίζουν τις περιοχές απόρριψης και αποδοχής για δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας προσδιορίζονται με το γνωστό τρόπο από τον σχετικό πίνακα

Αμφίπλευροι & Μονόπλευροι Έλεγχοι Αμφίπλευροι Έλεγχοι: Η0: η θεραπεία με το φάρμακο Β δεν έχει διαφορά από τη θεραπεία με το φάρμακο Α ΗΑ: η θεραπεία με το φάρμακο Β έχει διαφορά από τη θεραπεία με το φάρμακο Α Κρίσιμες τιμές της S για επίπεδο σημαντικότητας α: S(-α/2), S(α/2)

Αμφίπλευροι & Μονόπλευροι Έλεγχοι Μονόπλευροι Έλεγχοι: Η0: Το φάρμακο έχει αποτελεσματικότητα <70% ΗΑ: Το φάρμακο έχει αποτελεσματικότητα >70% Κρίσιμες τιμές της S για επίπεδο σημαντικότητας α: S(-α) ή S(α)

Υπολογισμός Πιθανότητας p του Σφάλματος Τύπου Ι Η ακριβής πιθανότητα p να παρατηρηθεί η συγκεκριμένη τιμή της S, ή ακόμα μεγαλύτερη, στο δείγμα ερμηνεύεται ως το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας στο οποίο είναι δυνατή η απόρριψη της Η0. Η πιθανότητα p είναι ένα μέτρο του σφάλματος που κάνει κάποιος όταν ισχυριστεί ότι υπάρχει διαφορά στον πληθυσμό, με βάση τα δεδομένα του δείγματος, ενώ στην πραγματικότητα δεν υπάρχει διαφορά στον πληθυσμό.

Υπολογισμός Πιθανότητας p του Σφάλματος Τύπου Ι

Έλεγχος Υπόθεσης H0 με Χρήση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Για δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας α στο οποίο διεξάγεται ο έλεγχος της υπόθεσης Η0: θ=θ0, ΗΑ : θ≠θ0 Κατασκευάζεται το 100(1-α) ΔΕ για την αληθή τιμή της παραμέτρου θ στον πληθυσμό.

Τα Βήματα που ακολουθούνται για τον Έλεγχο μιας Υπόθεσης Προσδιορίζουμε τη φύση των στατιστικών στοιχείων που θα αποτελέσουν τη βάση για τη διεξαγωγή του ελέγχου Προσδιορίζουμε την Η0 και την ΗΑ. Διατυπώνουμε τις υποθέσεις που διέπουν τη συμπεριφορά του πληθυσμού από τον οποίον προέρχονται τα στατιστικά στοιχεία. Επιλέγουμε την κατάλληλη στατιστική S για την διεξαγωγή του ελέγχου και προσδιορίζουμε το είδος της θεωρητικής κατανομής της. Προσδιορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας α στο οποίο θα διεξαχθεί ο έλεγχος και καθορίζουμε τις περιοχές απόρριψης και μη απόρριψης της Η0 στην κατανομή της S.

Τα Βήματα που ακολουθούνται για τον Έλεγχο μιας Υπόθεσης Υπολογίζουμε την τιμή της στατιστικής S από το δείγμα κάτω από την υπόθεση ότι ισχύει η Η0. Απορρίπτουμε την Η0 αν η τιμή της S από το δείγμα εμπίπτει στην περιοχή απόρριψης και δεν απορρίπτουμε την Η0 αν η τιμή της S εμπίπτει στην περιοχή αποδοχής. Υπολογίζουμε την ακριβή πιθανότητα να παρατηρηθεί η δεδομένη τιμή της S και δίνουμε την ερμηνεία της. Διατυπώνουμε το συμπέρασμα του ελέγχου: Αν η Η0 απορρίπτεται, συμπεραίνουμε ότι, σε επίπεδο α, η ΗΑ είναι αληθής. Αν η Η0 δεν απορρίπτεται, συμπεραίνουμε ότι, σε επίπεδο α, η Η0 είναι αληθής.

Έλεγχοι Υποθέσεων για Αναλογίες

Έλεγχοι Υποθέσεων για Αναλογίες Παράδειγμα: Σε ένα τυχαίο δείγμα 240 πρωτοετών φοιτητριών, 50 ήταν καπνίστριες. Διαφέρει η αναλογία των πρωτοετών φοιτητριών που καπνίζουν από την αναλογία των καπνιστών στο γενικό πληθυσμό; {Από άλλη έρευνα διαπιστώθηκε ότι η αναλογία των καπνιστών στο γενικό πληθυσμό είναι ίση με 30%}, α=0.05

Έλεγχοι Υποθέσεων για Αναλογίες Παράδειγμα: Σε δείγμα 2712 ανδρών ηλικίας 40-64 ετών, 146 πέθαναν από νόσημα της στεφανιαίας στα επόμενα 10έτη. Η θνησιμότητα στο γενικό πληθυσμό είναι 4%. Εξετάστε αν διαφέρει η θνησιμότητα στις δύο περιπτώσει για α=0.05 Να εξετάσετε αν η διαφορά είναι σημαντικά μεγαλύτερη του 4% και να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την αληθή τιμή της θνησιμότητας στον πληθυσμό των ανδρών ηλικίας 40-64 ετών.

Έλεγχοι Υποθέσεων για Αναλογίες Παράδειγμα: p^1=288/1168=0.247 στα περιστατικά p^2=490/2348=0.209 στους ελέγχους Επιθυμούμε να ελέγξουμε την υπόθεση Η0: p1≤p2 (ή p^1-p^2≤0) ΗΑ: p1 > p2 (ή p^1-p^2>0)

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους Παράδειγμα: Για το μέσο ημερήσιο κόστος θεραπείας των ασθενών σε ένα νοσοκομείο προέκυψαν τα ακόλουθα στοιχεία από ένα τυχαίο δείγμα 37 ασθενών: Χ- = 900 ευρώ, s = 25 ευρώ Να ελέγξετε την υπόθεση ότι το μέσο ημερήσιο κόστος θεραπείας μ των ασθενών στο νοσοκομείο αυτό είναι μεγαλύτερο από 900 ευρώ (α=0.05)

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους Παράδειγμα: 35 άνδρες 35-54 ετών ακολούθησαν μια δίαιτα χορτοφαγίας επί ένα μήνα. Κατά τη διάρκεια της δίαιτας η μέση ημερήσια πρόσληψη λινολεϊκού οξέος στην ομάδα των 35 ανδρών μετρήθηκε σε 13 gr με τυπική απόκλιση 4 gr. Αν η μέση ημερήσια πρόσληψη λινοκλεϊκού οξέος στον γενικό πληθυσμό είναι 15 gr , να ελέγξετε αν η μέση ημερήσια πρόσληψη λινοκλεϊκού οξέος στους άνδρες ηλικίας 35-54 ετών που υποβάλλονται στη δίαιτα αυτή είναι μικρότερη από τη μέση ημερήσια πρόσληψη λινοκλεϊκού οξέος στον γενικό πληθυσμό.

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους Συχνά, οι χρονικοί περιορισμοί και το υψηλό κόστος περιορίζουν τη δυνατότητα να έχουμε αρκούντως μεγάλο δείγμα. Σε περίπτωση που το n<30 χρειαζόμαστε μια διαφορετική διαδικασία ελέγχου υποθέσεων.

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους Παράδειγμα: n=15 Χ-=1.273, s=0.435, μ0=1

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους Παράδειγμα: Από μετρήσεις της αμυλάσης του ορού 24ώρου σε ένα τυχαίο δείγμα 18 υγειών ατόμων, προέκυψε ότι Χ-=102 μονάδες/ml και s=32 μονάδες/ml. Να ελέγξετε αν το μέσο επίπεδο της αμυλάσης του ορού στον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται το δείγμα είναι 120 μονάδες (α=0.05)

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους Η σύγκριση των μέσων έχει συνήθως ως σκοπό να αξιολογήσει το αποτέλεσμα μιας παρέμβασης ή την επίδραση ενός κινδύνου ή να συγκρίνει τα μέσα επίπεδα ενός χαρακτηριστικού σε δύο πληθυσμούς.

Έλεγχοι Υποθέσεων για Μέσους Περιπτώσεις Σύγκρισης δύο Πληθυσμών: Περιστατικά Έλεγχοι - δύο ανεξάρτητα ίσου ή διαφορετικού μεγέθους από διαφορετικούς πληθυσμούς ίδιο πληθυσμό Αντιστοίχηση ζευγών ή πριν-μετά

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Ανεξάρτητα Δείγματα Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Ανεξάρτητα Δείγματα

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Ανεξάρτητα Δείγματα Παράδειγμα: Δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους 60 και 70 επιλέγονται από άνδρες και γυναίκες ηλικίας 40-59 ετών για να συγκριθεί η επίδραση ενός υπνωτικού χαπιού στα δύο φύλα. Καταγράφηκε ο αριθμός των ωρών που κοιμήθηκαν τα επιμέρους άτομα μετά τη λήψη του χαπιού και τα αποτελέσματα συνοψίζονται ως εξής: Άνδρες: Χ-=8.65, s2=9, n=60 Γυναίκες: Χ- =7.15, s2=5, n=70 Να εξετασθεί αν η επίδραση του υπνωτικού χαπιού είναι η ίδια στους άνδρες και τις γυναίκες

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Ανεξάρτητα Δείγματα Όταν τα μεγέθη των δειγμάτων n1 και n2 δεν είναι κατάλληλα για την εφαρμογή της διαδικασίας των μεγάλων δειγμάτων, τότε εφαρμόζουμε τη διαδικασία ελέγχου των υποθέσεων για τη διαφορά δύο μέσων σε μικρά δείγματα

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Ανεξάρτητα Δείγματα Η αξιοπιστία της διαδικασίας αυτής εξαρτάται από το κατά πόσον η κατανομή των σχετικών συχνοτήτων του χαρακτηριστικού που εξετάζουμε στους πληθυσμούς από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα είναι κανονική και κατά πόσον οι διακυμάνσεις των σχετικών συχνοτήτων είναι ίσες. Αν τα μεγέθη των δειγμάτων είναι ίσα, τότε η διαδικασία των μικρών δειγμάτων μπορεί να εφαρμοστεί ακόμα και αν οι διακυμάνσεις δεν είναι ίσες.

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Ανεξάρτητα Δείγματα Παράδειγμα: Για την αξιολόγηση της φυσικής κατάστασης των βαδιστών μετρήθηκε ο μέγιστος όγκος πρόσληψης οξυγόνου (VO2) σε ένα τυχαίο δείγμα 25 βαδιστών και σε ένα τυχαίο δείγμα 26 μη ασκούμενων. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων συνοψίζονται ως εξής: n1=25, X1=47.5, s1=4.8 n2=26, X2=37.5, s2=5.1 Να εξετασθεί αν η μέση πρόσληψη οξυγόνου στους βαδιστές είναι, στατιστικά, σημαντικά μεγαλύτερη από τη μέση πρόσληψη οξυγόνου στους μη ασκούμενους

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Αντιστοίχηση Ζευγών Μέτρηση ενός χαρακτηριστικού στα ίδια άτομα πριν και μετά… Πειραματόζωα επιλέγονται τυχαία για να χορηγηθούν φάρμακο και ψευδοφάρμακο Ζεύγη διδύμων ή αδελφών υποβάλλονται σε διαφορετική αγωγή Κατά τη σύγκριση δύο μεθόδων το υλικό χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη, ώστε το μισό να αναλυθεί με μία μέθοδο και το άλλο μισό με άλλη Ζεύγη μπορούν να αντιστοιχηθούν λαμβάνοντας υπόψη κάποιο χαρακτηριστικό το οποίο συσχετίζεται υψηλά με το χαρακτηριστικό που επιθυμούμε να αναλύσουμε

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Αντιστοίχηση Ζευγών Τα δείγματα που προκύπτουν από την αντιστοίχηση των ζευγών δε θεωρούνται ανεξάρτητα. Αν το δείγμα των διαφορών είναι μεγάλο -> z Αν το δείγμα των διαφορών είναι μικρό -> t

Έλεγχοι Υποθέσεων για τη διαφορά δύο Μέσων: Αντιστοίχηση Ζευγών Παράδειγμα: n=36, d-=18.6, sd-=14.2, α=0.05

Έλεγχοι Υποθέσεων για Διακύμανση Κανονικού Πληθυσμού

Έλεγχοι Υποθέσεων για Διακύμανση Κανονικού Πληθυσμού Οι τιμές της αιμογλοβίνης (%) μετρήθηκαν σε ένα δείγμα 18 παιδιών στο πλαίσιο μιας μελέτης περιπτώσεων οξείας λευχαιμίας. Η διακύμανση των παρατηρήσεων ήταν ίση με 4.8 Είναι η ένδειξη αυτή ικανή για να συμπεράνουμε ότι η διακύμανση της αιμογλοβίνης στον πληθυσμό των παιδιών με οξεία λευχαιμία είναι μεγαλύτερη από 4, σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05;

Έλεγχοι Υποθέσεων για το λόγο Διακ/σεων σε δύο Κανονικούς Πληθυσμούς Κατά κανόνα η μόνη πληροφόρηση που διαθέτουμε για τις διακυμάνσεις του χαρακτηριστικού στους δύο πληθυσμούς είναι οι εκτιμήσεις των διακυμάνσεων στα αντίστοιχα δείγματα.

Έλεγχοι Υποθέσεων για το λόγο Διακ/σεων σε δύο Κανονικούς Πληθυσμούς Παράδειγμα: Οι τιμές της καρδιακής παροχής μετρήθηκαν σε δύο ομάδες ασθενών, των οποίων τα μέλη είχαν υποβληθεί πρόσφατα σε αντικατάσταση της μητροειδούς βαλβίδας, με τα ακόλουθα αποτελέσματα: n1=18 n2=11 s1=4.04 s2=2.20 Παρέχουν τα στοιχεία αυτά επαρκή ένδειξη για την ύπαρξη διαφοράς στις διακυμάνσεις των δύο πληθυσμών από τους οποίους προήλθαν τα δύο δείγματα; (α=0.10)

Έλεγχοι Υποθέσεων για το λόγο Διακ/σεων σε δύο Κανονικούς Πληθυσμούς Παράδειγμα: Ένας διαγνωστικός έλεγχος για τη μέτρηση του βαθμού ανησυχίας των ασθενών πριν από την ίδια εγχείρηση ανοιχτής καρδιάς, έδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα: Γυναίκες: n1=23, s1=286 Άνδρες: n2=16, s2=160 Παρέχουν τα στοιχεία αυτά επαρκή ένδειξη για το ότι οι μετρήσεις των γυναικών παρουσιάζουν μεγαλύτερη διακύμανση από τις μετρήσεις των ανδρών; (α=0.05)

Ανάλυση Διακύμανσης Η ανάλυση Διακύμανσης εξετάζει αν υπάρχουν διαφορές στις μέσες τιμές του ποσοτικού χαρακτηριστικού μεταξύ των πληθυσμών, δηλαδή των ομάδων που προσδιορίζονται από ένα άλλο, κατηγορικό, χαρακτηριστικό.

Ανάλυση Διακύμανσης Η διαφορά της ανάλυσης διακύμανσης με τον έλεγχο υποθέσεων για τη διαφορά δύο μέσων είναι ότι οι μέσοι όροι που συγκρίνονται είναι τουλάχιστον τρεις H0: μ1=μ2=μ3 HA: μ1≠μ2≠μ3

Ανάλυση Διακύμανσης

Ανάλυση Διακύμανσης

Ανάλυση Διακύμανσης

Ανάλυση Διακύμανσης

Ανάλυση Διακύμανσης

Πολλαπλές Συγκρίσεις Με την ανάλυση διακύμανσης δίνεται απάντηση στο ερώτημα αν δύο ή περισσότεροι μέσοι όροι διαφέρουν. Πολλές φορές όμως μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε ποιοι είναι οι μέσοι όροι που διαφέρουν

Πολλαπλές Συγκρίσεις

Πολλαπλές Συγκρίσεις