Gödel, Realism And Mathematical ‘Intuition’ Michael Hallett Παρουσίαση άρθρου: Mπιλίνη Ελένη Παναγιωτίδου Μαρία

Kurt Gödel O Kurt Friedrich Gödel, (1906 -1978) ήταν Αυστριακός επιστήμονας της Λογικής, Μαθηματικός και Φιλόσοφος. Eίχε τεράστια επιρροή στην επιστημονική και φιλοσοφική σκέψη του 20ου αιώνα, σε μια εποχή όταν πολλοί, όπως ο B. Russell ,ο A.N Whitehead και ο D. Hilbert , πρωτοπορούσαν στη χρήση της λογικής και της θεωρίας Συνόλων για την κατανόηση των θεμελίων των μαθηματικών. Στα διάσημα θεώρηματα μη-πληρότητας διατυπώνεται ότι για κάθε αυτο-συνεπές αναδρομικό αξιωματικό σύστημα αρκετά ισχυρό ώστε να περιγράφει την αριθμητική των φυσικών αριθμών (αριθμητική Peano), υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους φυσικούς που δεν μπορούν να αποδειχθούν από τα αξιώματα.

Εισαγωγή Η φιλοσοφία του Gödel προσεγγίζει την έννοια της μαθηματικής εποπτείας και την κριτική φιλοσοφία του Kant . Στόχος του άρθρου είναι να προσεγγίσει τις απαντήσεις σε δυο ερωτήματα: To 1ο είναι να διασαφηνίσουμε το ρόλο της εποπτείας για τον Gödel (κυρίως κάνοντας σαφές τι δεν συνιστά την έννοια της εποπτείας για τον Gödel) Το 2ο είναι να διαπιστώσουμε και ίσως να οριοθετήσουμε την σύνδεση με την φιλοσοφία του Kant για την οποία ο Gödel είναι στην καλύτερη περίπτωση αινιγματικός. Αυτό που επιχειρεί ο Gödel με την χρήση του όρου της μαθηματικής εποπτείας δεν είναι μια προσέγγιση του όρου με την καντιανή της σημασία ή μια επέκταση της ούτε και κάποια ερμηνεία της Κριτικής Φιλοσοφίας του Κant. Ο Gödel πάντως φαίνεται να διαχωρίζει τη θέση του καθώς θεωρεί την καντιανή έννοια της εποπτείας αρκετά περιοριστική στο να επιχειρήσει να κατανοήσει στην ολότητα τους τα μοντέρνα Μαθηματικά . Η προσέγγιση της Καντιανής φιλοσοφίας από τον Gödel λειτουργεί υποστηρικτικά στον ρεαλισμό του και γι ’αυτό το λόγο προτείνει την απόσπαση και τροποποίηση ενός συγκεκριμένου στοιχείου που βλέπει στον Κant.

O ρεαλισμός του Gödel Βασικοί Ισχυρισμοί “Τα μαθηματικά αντικείμενα και θέσφατα (ή τουλάχιστον κάτι μέσα σε αυτά) υπάρχουν ανεξάρτητα από τις νοητικές μας λειτουργίες και τις αποφάσεις μας.” “...τ’ αντικείμενα και τα θεωρήματα των Μαθηματικών είναι τόσο αντικειμενικά και ανεξάρτητα από την ελεύθερη επιλογή μας όσο είναι και ο φυσικός κόσμος.” Οι έννοιες σε μια μαθηματική πρόταση “διαμορφώνουν μια αντικειμενική πραγματικότητα από μόνες τους , την οποία δεν είμαστε σε θέση να δημιουργήσουμε ή ν’ αλλάξουμε παρά μόνο να την συλλάβουμε και να την περιγράψουμε”. Οι έννοιες και τα θεωρήματα από τη Θεωρία Συνόλων περιγράφουν μια σαφώς αποφασίσιμη πραγματικότητα , στην οποία η εικασία του Cantor θα είναι είτε αληθής είτε ψευδής. Ο ρεαλισμός του Gödel θα λέγαμε ότι καλείται οντολογικός ρεαλισμός ή μαθηματικός ρεαλισμός ( ρεαλισμός για τα μαθηματικά αντικείμενα).H έννοια της εποπτείας όπως θα διαπιστώσουμε στην συνέχεια έχει υποστηρικτικό ρόλο στον ρεαλισμό του

Οι απόψεις του Gödel Προκειμένου να διαλευκάνουμε την οπτική του Gödel για τον ρεαλισμό θα αναφερθούμε αρχικά στην βασική του ένσταση: Η σημαντικότερη ένσταση του αφορά την ισχυρή κατασκευασιοκρατική θέση για τα Μαθηματικά που βρίσκει κάποιος στον Russell (στο έργο του Principia Mathematica). Κατά τον Russell το μεγαλύτερο μέρος των Μαθηματικών αναφέρεται σε αντικείμενα που κατασκευάζουμε οι ίδιοι και τα οποία δεν υπάρχουν ως υλικά του σύμπαντος.( Σύμφωνα με το αξίωμα της απειρίας του Russell υπάρχει άπειρο πλήθος ατόμων , αλλα οι αριθμοί και τ' άλλα μαθηματικά αντικείμενα κατασκευάζονται από εμάς με την ιεραρχία των τύπων.) Η ένσταση του Gödel είναι εμφανής στην στάση που διατηρεί ο ίδιος αναφορικά με την αρχή του φαύλου κύκλου την εφαρμογή της οποίας ο Gödel δέχεται μόνο αν θεωρήσει κανείς τα μαθηματικά αντικείμενα ως κατασκευές . Ισχυρίζεται ότι δεν θα ήταν δυνατόν να υποστηριχθεί από κάποιον που πιστεύει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ανεξάρτητα από εμάς και που θεωρεί ότι σκοπός των Μαθηματικών είναι να περιγράψει τις δομές στις οποίες τα Μαθηματικά λαμβάνουν χώρα. Έν κατακλείδι θα λέγαμε ότι ο Gödel ήταν αντίθετος προς την θέση ότι το περιεχόμενο των Μαθηματικών δομείται κατά κάποιον τρόπο από εμάς , που έχουμε την δυνατότητα "της ελεύθερης επιλογής". αρχής του φαύλου κύκλου" , η οποία έλεγε ότι καμιά οντότητα δεν μπορεί να οριστεί με αναφορά σε μια ολότητα που περιέχει την οντότητα που θέλουμε να ορίσουμε.

Ένα 2ο σημαντικό σημείο στον ρεαλισμό του Gödel είναι η αναλογία μεταξύ Μαθηματικών και Φυσικής. “Οι κλάσεις και οι έννοιες μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως πραγματικά αντικείμενα, ονομάζοντας τις κλάσεις ως “συλλογές πραγμάτων” ή ως δομές αποτελούμενες από μια συλλογή πραγμάτων ,και τις έννοιες ως ιδιότητες και σχέσεις μεταξύ πραγμάτων που υπάρχουν ανεξάρτητα από τους ορισμούς και τις κατασκευές μας. Μου φαίνεται ότι η θεώρηση τέτοιων αντικειμένων είναι τόσο θεμιτή όσο και η θεώρηση των φυσικών σωμάτων και υπάρχουν αρκετοί λόγοι να πιστεύουμε στην ύπαρξη τους. Είναι κατά τον ίδιο τρόπο απαραίτητα για ένα ικανοποιητικό μαθηματικό σύστημα όσο απαραίτητα είναι και τα φυσικά σώματα για μια ικανοποιητική θεωρία που περιγράφει τα αποτελέσματα της αισθητηριακής μας πρόσληψης. Σε κάθε περίπτωση είναι αδύνατο να ερμηνεύσει κανείς τις προτάσεις που συνάγονται γι’ αυτές τις οντότητες ως προτάσεις για τα ίδια τα δεδομένα (στην τελευταία περίπτωση εννοεί τα δεδομένα που προκύπτουν από την ίδια την αισθητηριακή αντίληψη).” Με αφετηρία αυτήν ακριβώς την άποψη (δηλαδή το αναπόδραστο της αφηρημένης έννοιας του μαθηματικού αντικειμένου ) θα δούμε πόσο σημαντικός είναι ο ρόλος της εποπτείας για τον Gödel.

Ο Gödel ουσιαστικά ισχυρίζεται ότι ακριβώς όπως κατασκευάζουμε πολύπλοκες φυσικές θεωρίες για να ερμηνεύσουμε (και να προβλέψουμε) αισθητηριακές παρατηρήσεις , στα μαθηματικά κατασκευάζουμε πολύπλοκες θεωρίες για να περιγράψουμε τα αποτελέσματα της εποπτείας που δημιουργούν τις πεποιθήσεις μας για τα μαθηματικά αντικείμενα. Ας σημειωθεί ότι ο ρεαλισμός του Gödel είναι πολύ ισχυρής μορφής και αναφέρεται σε ολόκληρη την συνολοθεωρία .Έτσι όταν ο Gödel αναφέρεται σε θέσφατα που υπάρχουν ανεξάρτητα από εμάς εννοεί κάθε μαθηματικό ισχυρισμό που έχει μια ορισμένη τιμή αληθείας ανεξάρτητα της γνώσης μας για αυτήν την τιμή. Θα καλούμε αυτόν τον όρο ως “φαινόμενο πληρότητας ως προς την τιμή αληθείας”. Η ρεαλιστική στάση του Gödel γίνεται εμφανής όταν γίνεται αναφορά στα φαινόμενα μη πληρότητας δηλαδή σε ισχυρισμούς που δεν είναι εμφανώς ούτε αποδείξιμοι ούτε απορριπτέοι σε βασικά αξιωματικά συστήματα (για π.χ στο αξιωματικό σύστημα της αριθμητικής ή της θεωρίας συνόλων).

Η αρχή της μη πληρότητας Τα φαινόμενα της μη πληρότητας μπορούν να ενταχθούν σε 2 κατηγορίες: Αφενός σε αυτά που αφορούν τους ισχυρισμούς περί συνέπειας και αφετέρου σε ισχυρισμούς αναφορικά με μαθηματικά ερωτήματα που δεν επιδέχονται λύση όπως αυτά που σχετίζονται με την Υπόθεση του Συνεχούς. Αναφορικά με τα φαινόμενα της μη πληρότητας για ισχυρισμούς περί συνέπειας, ο Gödel υποστήριξε ότι κανένα τυπικό μαθηματικό σύστημα τόσο ισχυρό που να περιλαμβάνει την αριθμητική, δεν μπορεί να αποδείξει την συνέπεια του. Ο Gödel έδειξε ότι υπό αυτές τις συνθήκες είναι πάντοτε εφικτό να κωδικοποιηθούν οι βασικές μετα-μαθηματικές έννοιες που αναφέρονται στην θεωρία σε βασική αριθμητική και όταν αυτό συμβεί μπορεί εύκολα κάποιος να διατυπώσει έναν ισχυρισμό που να επιβεβαιώνει τη μη αποδειξιμότητα του στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας. Για αυτά τα συστήματα επομένως όσο ισχυρά κι αν είναι θα υπάρχουν πάντα αριθμητικοί ισχυρισμοί , η ορθότητα των οποίων δε θα είναι αποφασίσιμη.

Δεύτερον, ο μετα-μαθηματικός ισχυρισμός της συνέπειας ενός συστήματος Τ (θα αναφέρεται παρακάτω ως consT) επίσης μετατρέπεται σε έναν αριθμητικό που συνδέεται στενά με τον ισχυρισμό της μη αποδειξιμότητας μέσα στο ίδιο το σύστημα. Στο 2ο θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel αποδεικνύεται ότι ανεξάρτητα από το πόσο ισχυρό είναι το σύστημα Τ με την προυπόθεση ότι είναι συνεπές και περιέχει ένα ελάχιστο αριθμητικής όπως προηγουμένως , τότε η consT δεν θα είναι αποδείξιμη στην Τ. Έτσι το Τ δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπεια του με μέσα του ίδιου του συστήματος. Ο Gödel θεωρεί τους ισχυρισμούς περί συνέπειας (και τους ισχυρισμούς της μη αυτό - αποδειξιμότητας ) ως αληθείς αν και μη αποδείξιμους .Κατά συνέπεια γι’ αυτά τα συστήματα η αριθμητική πρόταση ConsT θα είναι αληθής ισχυρισμός για αριθμούς αλλα όχι αποδείξιμη στο Τ , κι έτσι η Τ θα είναι μη πλήρης. Η μη πληρότητα αυτής της μορφής θα καλείται μετα-μαθηματική μη πληρότητα.

Η υπόθεση του Συνεχούς Το πρόβλημα του συνεχούς δεν είναι απλώς ένα καλό παράδειγμα αλλα και ενδεικτικό του έργου του Gödel. To πρόβλημα αυτό θα μπορούσε να διατυπωθεί με την εξής ερώτηση :Πόσα σημεία υπάρχουν σε μια ευθεία; Όταν το ερώτημα τίθεται στο πλαίσιο της θεωρίας του Cantor περί μεγέθους του απείρου και πληθαρίθμων η ερώτηση διατυπώνεται ως ακολούθως:Ποιος είναι ο άπειρος πληθικός αριθμός που αποδίδεται στο συνεχές; Ο Cantor πρότεινε μια υπόθεση γνωστή ως υπόθεση του συνεχούς η οποία εικάζει ότι η απάντηση είναι ο πληθάριθμος του συνεχούς Η υπόθεση του Συνεχούς είναι ανεξάρτητη από τα περισσότερα βασικά σετ αξιωμάτων για την συνολοθεωρία, όπως τα αξιώματα των Zermelo -Fraenkel (ΖF) κάτι που αποδεικνύει ότι το πρόβλημα του Συνεχούς δεν επιδέχεται λύση. Τα αποτελέσματα στα τέλη της δεκαετίας του 30 από τον Gödel και του Paul Cohen το 1963 οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να αποδειχθεί, ούτε να διαψευσθεί με βάση το τυπικό της θεωρίας ZF συν το αξίωμα επιλογής (ο συνδυασμός καλείται "ZFC").

Μετα –μαθηματική vs Μαθηματική μη πληρότητα Ένας τρόπος να εκφράσει κανείς την διαφορά μεταξύ μετα –μαθηματικής και μαθηματικής μη πληρότητας είναι ο ακόλουθος: Δουλεύοντας με μια καλά διατυπωμένη θεωρία Τ υπάρχει μια αίσθηση ότι η συνέπεια της είναι υπόρρητα δεδομένη και ότι ένας προσεκτικός χειρισμός της θεωρίας (με μεγαλύτερη εμπειρία ίσως του πώς να αποφύγεις τις γνωστές αντιφάσεις) αυξάνει την πεποίθηση γι’ αυτήν την συνέπεια. Έτσι ένας προφανής τρόπος να «κλείσουν» οι μετα-μαθηματικές μη πληρότητες αυτού του είδους είναι να βρεθεί ένας φυσικός τρόπος να επισυναφθούν οι ισχυρισμοί της μορφής consT δημιουργώντας νέες θεωρίες Τ’. Με τις γνήσεις μαθηματικές μη πληρότητες δεν υπάρχει προφανής τρόπος να κάνουμε τέτοιου είδους επεκτάσεις (Πως θα επιλέγαμε τέτοιες προτάσεις σ’ αυτήν την περίπτωση;) Παρά όμως αυτήν την επιφανειακή διαφορά ο Gödel προσομοίασε αυτά τα δυο είδη μη πληρότητας.

Γεφυρώνοντας το χάσμα Όπως αναφέρθηκε ο απλούστερος τρόπος να κλείσουν οι βασικές μαθηματικές μη πληρότητες είναι να επισυναφθεί μια πρόταση ConsT στο σύστημα Τ ως ένα νέο αξίωμα. Γνωρίζουμε όμως ότι η συνέπεια είναι ισοδύναμη με την ικανοποιησιμότητα (ύπαρξη ενός μοντέλου) στην περίπτωση των θεωριών 1ης τάξης κι έτσι θα μπορούσαμε εναλλακτικά να προσθέσουμε έναν ισχυρισμό που να εκφράζει την ύπαρξη ενός μοντέλου. Στην περίπτωση της θεωρίας Συνόλων η ιδέα επεκτείνεται στην προσθήκη ενός κανονικού μοντέλου που είναι το ίδιο με το να προστεθεί στην θεωρία ένας ισχυρισμός που συνάγει την ύπαρξη ενός μεγάλου διατακτικού αριθμού, του οποίου η ύπαρξη δεν μπορεί ν’ αποδειχθεί από την βασική θεωρία ΖF. Αυτό σημαίνει ότι κάτι το οποίο δεχόμαστε ως αληθές (αξίωμα), είναι αποδείξιμο στη νέα θεωρία κι έτσι η μια από τις δυο μη πληρότητες κλείνει (ενώ μια νέα μη πληρότητα ανοίγει) Η προσομοίωση των μη πληροτήτων από τον Gödel στους μεγάλους διατακτικούς αριθμούς είναι βασισμένη σε μια εικασία που βρίσκεται στην καρδιά του Προγράμματος του Gödel για τους μεγάλους πληθαρίθμους όπου ουσιαστικά δηλώνεται ότι οι μαθηματικές μη πληρότητες μπορούν συστηματικά να κλείνουν με τον ίδιο τρόπο .

Όπως υπογραμμίζει ο Gödel, οι μαθηματικές μη πληρότητες δείχνουν ότι εν τέλει οι μικρές επεκτάσεις του αξιωματικού συστήματος δεν επιτυγχάνουν να συμπληρώσουν την θεωρία. Αλλα: “... αυτό δεν αποκλείει ότι όλα αυτά τα βήματα θα μπορούσαν να περιγραφούν και να συλλεχθούν όλα μαζί με κάποιον μη κατασκευαστικό τρόπο. Στην θεωρία συνόλων, για παράδειγμα, οι επιτυχείς επεκτάσεις μπορούν πιο εύκολα να αναπαρασταθούν με ολοένα και ισχυρότερα αξιώματα του απείρου.” … “ Είναι δύσκολο να δώσουμε έναν χαρακτηρισμό του τι συνιστά ένα αξίωμα του απείρου αλλα μάλλον υπάρχει : Ένα αξίωμα του απείρου έχει μια αποφασίσιμη (αυστηρή) δομή και επιπλέον είναι αληθές”. Λαμβάνοντας υπόψη μας όλες αυτές τις επεκτάσεις έχουμε μια ευρύτερη έννοια για το συνιστά το ευαπόδεικτο.

Αυτό που χαρακτηρίζει τις θέσεις του Gödel είναι η υιοθέτηση δυο κεντρικών δογμάτων του Hilbert. Εντούτοις δεν θεωρεί το φαινόμενο της μη πληρότητας ως μια αδυναμία της αξιωματικής μεθόδου, απορρίπτοντας την άποψη του Ζermelo ότι η αξιωματικοποίηση αποτελεί μια διαστρέβλωση του περιεχομένου των Μαθηματικών. Το 2ο δόγμα το οποίο υιοθετεί ο Gödel είναι η αρχή της επιλυσιμότητας κάθε μαθηματικού προβλήματος με την έννοια ότι για κάθε άλυτο μαθηματικό πρόβλημα (από τη θεωρία συνόλων) μπορεί να βρεθεί ένα νέο αξίωμα της θεωρίας συνόλων και ένα αντίστοιχα κατάλληλο σύστημα που να κάνει αποφασίσιμο το πρόβλημα.

Στο παρόν πλαίσιο το σημαντικό στοιχείο για αυτό είναι η πίστη σε μια αντικειμενική μαθηματική αλήθεια η οποία οδηγεί στην πεποίθηση ότι υπάρχουν αξιωματικά συστήματα που θα μπορούσαν να βρεθούν ώστε να “κλείνουν” τα διάφορα φαινόμενα μη πληρότητας μ’ έναν ενιαίο τρόπο .

Ο Gödel και η μαθηματική εποπτεία Στη διάσημη διατριβή του Gödel για το πρόβλημα του συνεχούς όπου γίνεται εκτενέστατη συζήτηση τόσο για την μαθηματική εποπτεία όσο και για το πως κάποιος αποφασίζει για το ποια θα είναι τα νέα αξιώματα ο Gödel παραθέτει ότι η αναζήτηση νέων αξιωμάτων είναι μια διαδικασία παρόμοια με την αναζήτηση νέων υποθέσεων στην θεωρητική φυσική και οτι τα ίδια τα αξιώματα μπορούν να δικαιολογηθούν με έναν υποθετικό-παραγωγικό τρόπο: για παράδειγμα μελετώντας τις συνέπειες τους. Έπεται ότι η εποπτεία δεν συνιστά σημείο αναφοράς για την αλήθεια νέων αρχών .Η απόφαση για επέκταση της συνολοθεωρίας προκύπτει ως συνδυασμός της μαθηματικής μας εμπειρίας σ’ ένα δεδομένο σύστημα και της γνώσης μας σχετικά με την εξέλιξη της θεωρίας Για τον Gödel η εποπτεία λειτουργεί ως πρόσβαση στα στοιχειώδη αξιώματα της συνολοθεωρίας. Ο Gödel ωστόσο απορρίπτει την προσκόλληση του Hilbert σε μια εκδοχή της Καντιανής εποπτείας για την βασική Αριθμητική .Δεν πιστεύει οτι είναι λανθασμένη αλλα οτι είναι τόσο αδύναμη που ουσιαστικά στερείται λειτουργικότητας. Υπάρχει επομένως ένα αρνητικό στοιχείο που μπορούμε ήδη να πούμε ήδη για την θεωρία του Gödel περί εποπτείας. Έχοντας όμως δώσει έμφαση στην γεμάτη εικασίες φύση των ανώτερων Μαθηματικών θα πρέπει να τονίσουμε ότι είναι υποθετική μόνο έως ένα βαθμό. Οι εικασίες θα βασίζονται σε μια καθορισμένη συνολοθεωρητική δομή και αυτό που την χαρακτηρίζει είναι η έννοια του συνόλου.

Υπάρχουν δυο διακριτές όψεις για την έννοια της εποπτείας όπως αυτή παρουσιάζεται στο έργο του Gödel και σε καμία από αυτές η εποπτεία δεν παρουσιάζεται ως άμεση πηγή γνώσης. Η 1η άποψη έχει την έννοια μιας βασικής υποδηλωτικής οπτικής που είναι θεμελιώδης στην μαθηματική μας δραστηριότητα. Αυτή προσομοιάζει κατά μια έννοια την γεωμετρική εποπτεία όπως αυτή παρουσιάζεται για παράδειγμα στο έργο του F. Κlein όπου συνδέεται με την ικανότητα να δημιουργούμε εικόνες. Παρόλα αυτά η εποπτεία δεν αποτελεί άμεση πηγή αλήθειας. Αυτού του είδους την εποπτεία επικαλείται ο Gödel όταν ισχυρίζεται ότι τα βασικά αξιώματα της συνολοθεωρίας είναι άκρως αληθοφανή για να είναι κοινώς αποδεκτά από οποιονδήποτε έχει ισχυρή γνώση των μαθηματικών συνεπειών των διάφορων συνολοθεωρητικών αρχών και τεχνικών. Η εποπτεία αυτή δεν σχετίζεται καθόλου με την a priori εποπτεία του Κant ούτε με το Raumanschauung του Frege το οποίο θεωρεί ως πηγή γνώσης για την Ευκλείδεια Γεωμετρία, ως ένα σώμα συνθετικών α priori αληθειών

Το 2ο είδος εποπτείας όπως θα δούμε κατέχει πιο κεντρικό ρόλο Το 2ο είδος εποπτείας όπως θα δούμε κατέχει πιο κεντρικό ρόλο. Ακόμη όμως και σε αυτήν την περίπτωση η εποπτεία δεν παρέχει από μόνη της γνώση των μαθηματικών προτάσεων αλλα θα αντιμετωπίζεται ως προαπαιτούμενο για την απόκτηση υψηλού επιπέδου μαθηματικής γνώσης , γνώση που η απόκτηση της συνιστά περισσότερο μια διαδικασία παραγωγής εικασιών. Η κυρίαρχη οπτική εδώ δίνεται από την αναλογία που κάνει ο Gödel με την αισθητηριακή αντίληψη του υλικού κόσμου .Η δήλωση του Gödel από την αναφορά του στον Russell φανερώνει ξεκάθαρα αυτήν την οπτική. Επίσης συνδέεται με μια άλλη παρατήρηση του Gödel από το Supplement (1964) για το πρόβλημα του συνεχούς, όπου η έννοια της εποπτείας αρχίζει να έχει σπουδαίο ρόλο . Στη συνέχεια παραθέτουμε το σχετικό απόσπασμα:

“ ...τ’ αντικείμενα της Θεωρίας Συνόλων σαφώς δεν ανήκουν στον φυσικό κόσμο και ακόμη και η έμμεση σύνδεση τους με την φυσική εμπειρία είναι πολύ ασθενής (καθώς οι οντότητες από την θεωρία συνόλων παίζουν έναν πολύ μικρό ρόλο στις φυσικές θεωρίες του σήμερα..) Αλλα παρά την απομάκρυνση από την αισθητηριακή μας εμπειρία έχουμε μια συναίσθηση των αντικειμένων της συνολοθεωρίας όπως φαίνεται από το γεγονός ότι τ’ αξιώματα επιβάλλονται σε εμάς ως αληθή. Δεν βλέπω λοιπόν κάποιον λόγο να έχω λιγότερη εμπιστοσύνη σε αυτού του είδους την συναίσθηση από αυτήν που έχω στην αισθητηριακή μου αντίληψη που μας εισάγει στο να χτίσουμε τις φυσικές μας θεωρίες και ν’ αναμένουμε ότι και οι μελλοντικές μας αισθητηριακές αντιλήψεις θα συμφωνήσουν με αυτές και πολύ περισσότερο να πιστεύουμε ότι μια ερώτηση μη αποκρίσιμη στο παρόν έχει νόημα και ότι ίσως να είναι αποκρίσιμη στο μέλλον. Τα συνολοθεωρητικά παράδοξα είναι πολύ πιο επιζήμια για τα Μαθηματικά από ότι είναι η εξαπάτηση των αισθήσεων για την Φυσική. Το ότι νέες μαθηματικές εποπτείες θα μας οδηγήσουν σε μια απόφαση για προβληματα όπως η υπόθεση του Συνεχούς του Cantor είναι πολύ πιθανόν όπως σημείωσα και νωρίτερα...”

Αυτό το τελευταίο απόσπασμα προκαλεί σύγχυση κατά τον Parsons καθώς είναι δύσκολο να δούμε πως ο Gödel μεταβαίνει από τον ισχυρισμό ότι τ’ αξιώματα επιβάλλονται σ’ εμάς ως αληθή στο συμπέρασμα ότι έχουμε κάτι ανάλογο με την αισθητηριακή αντίληψη των αντικειμένων της θεωρίας συνόλων Μιλώντας για κλάσεις και έννοιες φαίνεται ότι ο Gödel ερμηνεύει την αναλογία της αισθητηριακής αντίληψης των φυσικών αντικειμένων με την αισθητηριακή αντίληψη που οφείλεται στις ίδιες τις έννοιες . Έτσι αν η μαθηματική εποπτεία θεωρηθεί ως ένα είδος αισθητηριακής αντίληψης τότε αυτό που κάνει είναι να μας επιτρέπει να συλλάβουμε τις έννοιες. Εν συνεχεία αυτού, αυτό που μας επιβάλλεται ως αληθές είναι οι προτάσεις που “διανοίγουν” την έννοια του συνόλου. Τα αξιώματα που μας επιβάλλονται ως αληθή είναι επομένως τα βασικά αξιώματα της πρωταρχικής έννοιας του συνόλου που ισοδυναμούν με τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων των Ζermelo –Fraenkel .Αυτά δεν συνιστούν απλώς προϊόντα της ίδιας της μαθηματικής εποπτείας αλλα είναι προϊόντα αναστοχασμού πάνω στην έννοια , η αισθητηριακή αντίληψη της οποίας είναι το πραγματικό εξαγόμενο της εποπτείας Αυτό μοιάζει να δένει με το ερώτημα για το ποιος είναι ο ακριβής ρόλος των αξιωμάτων και πως κάποιος μπορεί να αποφασίσει ποια θα είναι αυτά

Σύνολα και καντιανή σύνθεση Η μαθηματική εποπτεία δεν μας δίνει άμεση γνώση των σχετικών αντικειμένων. Όπως στη φυσική εμπειρία, διαμορφώνουμε τις ιδέες γι αυτά με βάση κάποιο άλλο που δίνεται άμεσα. Αυτό το κάτι άλλο δεν είναι πρωταρχικά οι αισθήσεις . Διότι ακόμα και οι ιδέες που αναφέρονται σε φυσικά αντικείμενα περιέχουν συστατικά ποιοτικά διαφορετικά από τις αισθήσεις. Τα «δεδομένα» που υπόκεινται των μαθηματικών είναι στενά συνδεδεμένα με τα αφηρημένα στοιχεία που εμπεριέχονται στις εμπειρικές μας ιδέες. Ο Gödel ισχυρίστηκε ότι τα αξιώματα επιβάλλονται ως αληθή.

Επίσης παρατήρησε ότι και στα φυσικά αντικείμενα, οι αισθητηριακές μας αντιλήψεις δεν συμφωνούν ακριβώς με τις «διαισθητικές» πεποιθήσεις μας για τα φυσικά αντικείμενα. Η αισθητηριακή αντίληψη είναι μερικές φορές παραπλανητική. Ο Gödel διατύπωσε ότι υπάρχει μία αναλογία ανάμεσα στις οπτικές απάτες στον φυσικό κόσμο και τις αντινομίες στο μαθηματικό κόσμο. Και στις δύο περιπτώσεις τα διαισθητικά μας πιστεύω μπορούν να είναι παραπλανητικά και χρειάζεται να διορθωθούν από τη θεωρία. Σημεία που συνδέουν με την καντιανή εποπτεία: Σε υποσημείωση αναφέρει «στενή σχέση ανάμεσα στην έννοια του συνόλου και … τις κατηγορίες της καθαρής κατανόησης με την έννοια του Kant . Η λειτουργία και των δύο είναι η «σύνθεση» δηλαδή η παραγωγή ενοτήτων από πολλαπλότητες. …» Η ιδέα ενός φυσικού αντικειμένου δεν περιέχεται στις ίδιες τις αισθητηριακές αντιλήψεις, αλλά είναι συνεισφορά του νου.

Ο Gödel παρεκκλίνει από τους ιντουισιονιστές και από τον Kant, με τον οντολογικό του ρεαλισμό. Ισχυρίζεται ότι για τον Kant η εμπειρία είναι υποκειμενική, τα μαθηματικά εξαρτώνται από το νου. Αντίθετα για τον Gödel οι μαθηματικές μας εμπειρίες είναι φευγαλέες θεάσεις ενός αντικειμενικού μαθηματικού κόσμου. Ο μαθηματικός κόσμος είναι πέρα από την «αντίληψή» μας για αυτόν όπως ακριβώς και ο φυσικός κόσμος, δηλαδή είναι κάτι ανεξάρτητο από το νου. Ο Gödel έχοντας την καντιανή επιρροή στη σκέψη του θεώρησε ότι τα μαθηματικά είναι συνθετικά. ( Ο Kant υποστήριζε για παράδειγμα ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι συνθετική) Ο Καντ υποστηρίζει ότι η σύνθεση στην πιο γενική έννοια είναι η δράση διαφορετικών αναπαραστάσεων τις οποίες τοποθετούμε μαζί τη μία με την άλλη και κατανοούμε την πολλαπλότητά τους. Μια τέτοια σύνθεση είναι απλή αν η πολλαπλότητα δεν δίνεται εμπειρικά αλλά a priori .

Η σύνθεση συλλέγει τα γνωστικά στοιχεία και τα ενοποιεί ως προς το περιεχόμενο και έτσι παράγεται μια πολλαπλότητα. Οι a priori έννοιες προηγούνται διότι χωρίς την προϋπόθεσή τους δεν είναι εφικτές ως αντικείμενο της εποπτείας. Ο Καντ χρησιμοποιεί τη φράση “putting together”, «τοποθετώντας μαζί» αντί της ”combination” or “synthesis”, «συνδυασμός» ή «σύνθεση». Ωστόσο είναι σαφές ότι η τοποθέτηση μαζί σε μια πολλαπλότητα δεν είναι αρκετή στο να δώσει ένα αντικείμενο. Θα δώσει ένα πλήθος, το οποίο δεν είναι ενιαίο πράγμα. Αυτό που είναι απαραίτητο είναι η έννοια της ενότητας.

Εκτός από την έννοια της πολλαπλότητας και της σύνθεσής της, η έννοια του συνδυασμού συνεπάγεται την ιδέα της ενότητας της πολλαπλότητας. Η αναπαράσταση της ενότητας δεν προκύπτει από το συνδυασμό, μάλλον η πρόσθεση στην αναπαράσταση της πολλαπλότητας κάνει την έννοια του συνδυασμού δυνατή. Η ενότητα προηγείται των a priori εννοιών του συνδυασμού. Με μόνη την έννοια της ενότητας κάνει τη διαλογή «τοποθετώντας μαζί», την αντίληψη της πολλαπλότητας να οδηγεί στην αντίληψη ενός αντικειμένου. Η ιδέα των συναθροίσεων ως ενότητες είναι το αφηρημένο εννοιολογικό θεμέλιο της έννοιας των αντικειμένων του Καντ και ο λόγος για τον οποίο οι γνώσεις μας για τα αντικείμενα είναι συνθετικές.

Gödel και Κant Ο Gödel συμφωνεί με τον Κant ότι είναι απαραίτητη η έννοια της «συνθετικής ενότητας» για να παραχθούν στοιχεία που περιλαμβάνονται στην εποπτεία. Υπάρχει δηλαδή μία αντιστοιχία της έννοιας του συνόλου με την έννοια «συνθετική ενότητα» του Καντ. Στη θεωρία των συνόλων η έννοια της συλλογής είναι μια ενότητα που χρειάζεται πέρα και πάνω από την απλή συνάθροιση των στοιχείων. Προέκυψε η ανάγκη να διατυπωθούν αξιώματα με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να πούμε πότε ένα σύνολο θα ληφθεί ως ενότητα. Τα αξιώματα έχουν σχεδιαστεί ώστε να μπορούμε να πούμε πότε μία συλλογή ή συνάθροιση κάτω από ένα κατηγόρημα θα αποδώσει ένα σύνολο.

Ο Gödel πήρε από τον Καντ, στο βαθμό που ήταν σκόπιμο στα μαθηματικά , το τι μαθηματική γνώση είναι γνώση του «για» και του «τί» κάνουμε. (Θεωρία των συνόλων) Ο Gödel προτείνει να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία των συνόλων για να μιλήσουμε για την έννοια του αντικειμένου και την συνακόλουθη έννοια της «συνθετικής ενότητας» . Η ιδέα «σύνολο» είναι αυτή που μας δίνει τη δυνατότητα να ισχυριζόμαστε ότι υπάρχει ένα αντικείμενο. Η χρήση της έννοιας σύνολο έγκειται στην αναγνώριση ότι ορισμένες συλλογές είναι συνεχή αντικείμενα που αποτελούνται από στοιχεία ( δεν περιγράφονται ξεχωριστά). Η έννοια «σύνολο» αντανακλά την ομαλοποίηση της συνάρτησης στην οποία ο Καντ αποδίδει τη συνθετική ικανότητα. Αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο που δεν παρατηρούμε ή τα μέρη του κόσμου που δεν μπορούμε να παρατηρήσουμε ως στοιχειώδες επίπεδο που μοιάζει πολύ με τον κόσμο που παρατηρούμε. («Υπόθεση της ομοιομορφίας») Αυτό αποτεεί απαραίτητη προϋπόθεση για τη διατύπωση καθολικών νόμων για τoν κόσμο.

Δυσαναλογίες με τον Καντ Δυσαναλογίες με τον Καντ Στη θεωρία του Καντ η συνθετική ενότητα εισφέρει την κατανόηση όσον αφορά τις αποφάσεις μας με αυτόματο τρόπο (π.χ. δωμάτιο στο οποίο είμαι). Δεν συμβαίνει το ίδιο στη θεωρία συνόλων με τη μαθηματική εμπειρία. Υπάρχουν δύο εξηγήσεις για την κατανόηση σχετικά με την εμπειρία μας για τον κόσμο ως μια εμπειρία συνεχών αντικειμένων. Η πρώτη ( την οποία χρησιμοποιεί ο Καντ) υποστηρίζει ότι η κατανόηση μας συνεισφέρει το απαραίτητο εννοιολογικό πλαίσιο για την ερμηνεία του κόσμου με αυτό τον τρόπο. Η δεύτερη ( με την οποία συμφωνεί ο μαθηματικός κόσμος του Gödel) λέει ότι η εννοιολογική δομή είναι ουσιαστικά παρούσα στον κόσμο και είναι αυτή την οποία θα αντιληφθούμε.

Συμπεράσματα Η μαθηματική γνώση ως προς τη θέαση του μαθηματικού κόσμου είναι καντιανή σε ιδαίτερα περιορισμένο βαθμό. ( Η μαθηματική γνώση είναι γνώση του «για» και του «τί» κάνουμε και δεν είναι άμεσα εμπειρία) Δεν είναι καντιανή διότι η βασική έννοια της σύνθεσης βοηθάει στην αντίληψη και όχι στην κατανόηση. Ο νους έχει την ικανότητα να αντιλαμβάνεται τη σύνθεση , η οποία είναι πιο θεμελιώδης από το να αντιλαμβάνεται άλλες έννοιες. Οι σχετικές προτάσεις του Καντ είναι εσφαλμένες αν ληφθούν κατά γράμμα . π.χ. για την παραγωγή των γεωμετρικών θεωρημάτων χρειάζεται πάντα νέα γεωμετρική εποπτεία και επομένως μια καθαρά λογική παραγωγή από ένα πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων είναι αδύνατη. Αυτό είναι ψευδές. Ωστόσο το ερώτημα που τίθεται είναι τι θα ίσχυε αν σε αυτή την πρόταση αντικαταστήσουμε το “geometrical“ με το “set-theoretical”.