ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 4ο Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε δυνάμεις και λογαρίθμους, αντιλαμβάνεστε την έννοια του επιτοκίου και του τόκου, χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές.

ΔΥΝΑΜΗ ΕΚΘΕΤΗΣ ΒΑΣΗ

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κανόνες: aman=am+n am/an=am-n (am)n=amn (ab)m=ambm

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 𝑥 1 4 𝑥 3 4 𝑥 1 4 𝑥 3 4 = 𝑥 1 4 + 3 4 = 𝑥 1 =𝑥 𝑥 1 4 𝑥 3 4 𝑥 1 4 𝑥 3 4 = 𝑥 1 4 + 3 4 = 𝑥 1 =𝑥 𝑥 2 𝑦 3 𝑥 4 𝑦 𝑥 2 𝑦 3 𝑥 4 𝑦 = 𝑥 2 𝑥 4 𝑦 3 𝑦 1 = 𝑥 2−4 𝑦 3−1 = 𝑥 −2 𝑦 2 = 𝑦 2 𝑥 2 = 𝑦 𝑥 2 𝑥 2 𝑦 − 1 3 3 = 𝑥 2 3 𝑦 −1 3 3 = 𝑥 6 𝑦 −1 = 𝑥 6 𝑦

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (𝑥 3 4 ) 8 (𝑥 3 4 ) 8 = 𝑥 24 4 = 𝑥 6 𝑥 2 𝑥 3 2 (𝑥 3 4 ) 8 (𝑥 3 4 ) 8 = 𝑥 24 4 = 𝑥 6 𝑥 2 𝑥 3 2 𝑥 2 𝑥 3 2 = 𝑥 2− 3 2 = 𝑥 4−3 2 = 𝑥 1 2 = 𝑥 𝑥 𝑥 5 2 + 𝑦 3 𝑥 𝑥 5 2 + 𝑦 3 = 𝑥 1 2 𝑥 5 2 + 𝑦 3 = 𝑥 1 2 𝑥 5 2 + 𝑥 1 2 𝑦 3 = 𝑥 5+1 2 + 𝑦 3 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑦 3 𝑥

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Εξ’ ορισμού έχουμε ότι αν M=bn τότε logbM=n (α) log39 = x σημαίνει 3x = 9 δηλαδή 3x=32 άρα x=2 (β) log42 = x σημαίνει 4x = 2 δηλαδή 22x=(2)1 άρα 2x=1 x=1/2 (γ) log7(1/7) = x σημαίνει 7x = 1/7 δηλαδή 7x=7-1 άρα x= -1 ΚΑΝΟΝΕΣ logb(xy) = logbx + logby logb(x/y) = logbx - logby logbxm=mlogbx

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Να βρεθεί το x όταν (α) 200(1.1)x=20000 δηλαδή log(1.1)x= log 100 δηλαδή xlog(1.1)= log 100 δηλαδή xlog(1.1)= 2 άρα x=2/log(1.1)  (β) 5x = 2(3x), δηλαδή log5x = log[2(3x)] δηλαδή xlog5 = log2+log(3x) δηλαδή xlog5 = log2+xlog3 δηλαδή xlog5 - xlog3= log2 δηλαδή x(log5 - log3)= log2 δηλαδή x(log5/3)= log2 δηλαδή x= log2 / (log5/3)

ΜΑΘΗΜΑ 4ο Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε δυνάμεις και λογαρίθμους, αντιλαμβάνεστε την έννοια του επιτοκίου και του τόκου, χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΕΠΙΤΟΚΙΟ - ΤΟΚΟΣ Το κόστος του χρήματος ουσιαστικά αντικατοπτρίζει αφενός την αντιστάθμιση του πληθωρισμού και αφετέρου την προσδοκία για την αύξηση του αρχικού κεφαλαίου. Πως αντιδράμε στην ερώτηση «Θα ήθελα να σας δώσω 500 € τώρα (άμεσα) ή 500 € σε περίοδο τριών ετών. Τι επιλέγετε;» Οι περισσότεροι θα απαντήσουν για καθαρά πρακτικούς λόγους 500 € τώρα, γιατί έτσι επιλύουν άμεσα κάποιο τωρινό πρόβλημά τους. Αν υποθέσουμε όμως ότι το αρχικό κεφάλαιο στο τέλος κάθε έτους αποδίδει μια επιπλέον αξία της τάξης του 10% τότε σημαίνει ότι στο τέλος της πρώτης χρονιάς το κεφάλαιο θα είναι 500€ + 0.1Χ 500€ = 550€.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΕΠΙΤΟΚΙΟ - ΤΟΚΟΣ Τα επιπλέον 50€ ονομάζονται τόκος του αρχικού κεφαλαίου το οποίο δόθηκε με επιτόκιο 10%. Αν και στο τέλος του δεύτερου έτους ο τόκος είναι πάλι 50€ τότε μιλάμε για απλό τόκο, συνήθως όμως οι επενδυτές ενδιαφέρονται για την αύξηση του κεφαλαίου τους οπότε ο τόκος του πρώτου έτους γίνεται κεφάλαιο με αποτέλεσμα να έχουμε σύνθετο τόκο και στο τέλος της δεύτερης χρονιάς ο τόκος να είναι 550Χ0.1=55 €. Τέλος έτους Τόκος Επένδυση 1 50 550 2 55 605 3 60.5 665.5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΕΠΙΤΟΚΙΟ - ΤΟΚΟΣ Γενικότερα λοιπόν, αν το επιτόκιο είναι r% και το αρχικό κεφάλαιο είναι P, τότε με σύνθετο τόκο (και ανατοκισμό στο τέλος κάθε έτους) το αρχικό κεφάλαιο μετά από ν έτη θα γίνει: S=P(1+r/100)ν Πόσο θα γίνει αρχικό κεφάλαιο 1000€ μετά από 10 έτη αν τοκιστεί με σύνθετο τόκο και ετήσιο επιτόκιο 8%; Με την εφαρμογή του τύπου θα έχουμε S=P(1+r/100)ν = 1000(1+0.08)10 = 1000 (1.08)10 =1000 Χ 2.159 =2159 €

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Αρχικό κεφάλαιο 25.000€ επενδύεται με ετήσιο επιτόκιο 12% και ανατοκισμό. Μετά από πόσα έτη η επένδυση θα υπερβεί για πρώτη φορά το ποσό των 250.000€; Επίλυση S=P(1+r/100)ν δηλαδή 250.000 = 25.000(1+0.12)ν 10 = (1.12)ν log 10 = log (1.12)ν log 10 = ν log (1.12) ν = 1/ log (1.12) ν = 1/ 0.049 ν = 20.48

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Έστω αρχικό κεφάλαιο 10 € το οποίο επενδύεται για ένα έτος με επιτόκιο 12%. Ποια θα είναι η μελλοντική αξία αν ο ανατοκισμός είναι: (α) ετήσιος (β) εξαμηνιαίος (γ) τριμηνιαίος (δ) μηνιαίος και (ε) εβδομαδιαίος Επίλυση Σύμφωνα με τον τύπο που δίνει το κεφάλαιο στο τέλος της περιόδου επένδυσης έχουμε S=P(1+r/100)ν με P=10€ r=12 και ν=1 για τον ετήσιο ανατοκισμό, δηλαδή S=10(1+12/100)1 = 10 Χ (1.12) = 11.20 € (β) Στον ίδιο τύπο με εξαμηνιαίο ανατοκισμό έχουμε δύο περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/2=6 και ν=2 S=10(1+6/100)2 = 10 Χ (1.06)2 = 10 Χ 1.1236 = 11.24 €

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (συνέχεια) (γ) Στον ίδιο τύπο με τριμηνιαίο ανατοκισμό έχουμε τέσσερις περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/4=3 και ν=4 S=10(1+3/100)4 = 10 Χ (1.03)4 = 10 Χ 1.125 = 11.26 € (δ) Στον ίδιο τύπο με μηνιαίο ανατοκισμό έχουμε δώδεκα περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/12=1 και ν=12 S=10(1+1/100)12 = 10 Χ (1.01)12 = 10 Χ 1.1268 = 11.27 € (ε) Στον ίδιο τύπο με εβδομαδιαίο ανατοκισμό έχουμε πενήντα δύο περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/52=0.23 και ν=52 S=10(1+0.23/100)52 = 10 Χ (1.0023)52 = 10 Χ 1.1269 = 11.27 €

ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ Γενικότερα, όταν ένα αρχικό κεφάλαιο P επενδύεται με επιτόκιο r για περίοδο t ετών, τότε η μελλοντική του αξία S είναι: S=Pert/100 Αν στο προηγούμενο παράδειγμα εφαρμόσουμε τον τύπο αυτό θα έχουμε: S=10 (2.72)12Χ1/100 S=10 (2.72)0.12 S=10 Χ 1.1274 =11.27

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Αρχικό κεφάλαιο 2.000€ επενδύεται με συνεχή ανατοκισμό και επιτόκιο 10%. Μετά από πόσες ημέρες θα ξεπεράσει το ποσό των 2.100€; Επίλυση 2100=2000e10t/100 1.05=e0.1t ln(1.05)=lne0.1t 0.0488=0.1t t=0.488 Καθώς το t που υπολογίσαμε αναφέρεται σε ετήσια βάση πρέπει να το μετατρέψουμε σε ημέρες και θα είναι 365 Χ 0.488 = 178.1 ημέρες.