ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Μηχανική Ρευστών Ι Ενότητα 9: Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής Νίκος Πελεκάσης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Σκοποί ενότητας Κατάστρωση ισοζυγίων μάζας σε ΟΕ που περιγράφει ένα σύστημα ροής παρουσία εισερχομένων και εξερχομένων ρευμάτων. Αναγνώριση διαφόρων μορφών ενέργειας καθώς και του συντελεστή απόδοσης διαφόρων διεργασιών μετατροπής ενέργειας Χρήση εξίσωσης Bernoulli για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων ροής κατανοώντας τους περιορισμούς της Κατάστρωση ισοζυγίων ενέργειας σε ΟΕ που περιλαμβάνει σύστημα ροής για τον υπολογισμό απαιτούμενου εισερχόμενου ή εξερχόμενου ενεργειακού περιεχόμενου, με όρους ισοδύναμων υψών, με την μορφή αντλιών και στροβίλων ενταγμένων στο σύστημα ροής Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Μηχανική Ενέργεια Απόδοση - απόδοση αντλιών και στροβίλων 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος - Γενική Μορφή Διατήρησης Ενέργειας Εξίσωση Συνολικής Ενέργειας: Παραγωγή Διαφορικών και Ολοκληρωτικών μορφών ισοζυγίων Συνολικής, Μηχανικής και Θερμικής Ενέργειας - απλοποιημένες παραδοχές τους Ενεργειακή Ανάλυση Συστημάτων Ροής σε Μόνιμη κατάσταση Γραμμή Ενέργειας και Υδραυλική Γραμμή Ενέργειας Εξίσωση Bernoulli Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής

Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα εκφράσουμε τον 1ο Θερμοδυναμικό νόμο, που αφορά την διατήρηση και μετατροπή της ενέργειας, για Σύστημα και Όγκο Ελέγχου Με βάση τον 1ο Θερμοδυναμικό Νόμο θα εξαχθεί η γενική εξίσωση διατήρησης ενέργειας σε διαφορική και ολοκληρωτική μορφή με χρήση του Θεωρήματος Μεταφοράς Reynolds Παράλληλα θα εξαχθεί η εξίσωση μηχανικής ενέργειας σε διαφορική και ολοκληρωτική μορφή σε συνδυασμό με τις απώλειες λόγω αναντιστρεπτότητας Αφαιρώντας από την γενική εξίσωση ενέργειας θα εξαχθεί η εξίσωση διατήρησης θερμικής ενέργειας σε ολοκληρωτική και διαφορική μορφή Τέλος, θα εξαχθεί η εξίσωση Bernoulli η οποία, για ιδανική ροή χωρίς απώλειες, περιγράφει την διατήρηση της συνολικής μηχανικής ενέργειας, σαν άθροισμα της κινητικής, δυναμικής και ενέργειας ροής ενός ρεύματος ρευστού, καθώς και τις μεταξύ τους μετατροπές Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής

Μηχανική Ενέργεια Μηχανική Ενέργεια είναι το είδος της ενέργειας που μπορεί να μετατραπεί πλήρως σε μηχανικό έργο μέσω ενός ιδεατού μηχανικού συστήματος χωρίς απώλειες, όπως π.χ. Μιας αντλίας ή μιας τουρμπίνας Ενέργεια ροής P/r, κινητική V2/g, και δυναμική gz ενέργεια είναι οι τρεις μορφές μηχανικής ενέργειας emech= P/r + V2/g + gz Η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας μεταξύ δύο θέσεων ενός συστήματος ροής ασυμπίεστου ρευστού δίδεται από την σχέση Απουσία απωλειών η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας, Demech, αντιπροσωπεύει το έργο που παρέχεται στο σύστημα (Demech>0), π.χ. μέσω μιας αντλίας, η αποδίδεται από το σύστημα (Demech<0), π.χ. μέσω μιας τουρμπίνας Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής

Απόδοση Η μεταφορά μηχανικής ενέργειας, emech, επιτυγχάνεται συνήθως μέσω ενός περιστρεφόμενου άξονα: αξονικό έργο Αντλίες, φτερωτές και προωθητήρες: δέχονται αξονικό έργο (π.χ., από ηλεκτρικό κινητήρα) το οποίο αποδίδουν στο ρευστό με την μορφή μηχανικής ενέργειας Στρόβιλοι (ή τουρμπίνες): μετατρέπουν την μηχανική ενέργεια emech ενός συστήματος ροής σε αξονικό έργο Η μηχανική απόδοση (mechanical efficiency) ενός μηχανισμού ή μιας διεργασίας ορίζεται ως Η απόδοση είναι μικρότερη της μονάδας, ηmech < 100%, λόγω απωλειών στην διαδικασία μεταφοράς ενέργειας. Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής

Απόδοση αντλιών και στροβίλων Σε συστήματα ροής ενδιαφερόμαστε να αυξήσουμε την πίεση, την ταχύτητα και την ανύψωση του ρευστού Στις περιπτώσεις αυτές η απόδοση ορίζεται καλύτερα μέσω του λόγου μεταξύ του ρυθμού απόδοσης/απαγωγής ενέργειας προς/από το σύστημα ροής και του ρυθμού αύξησης/μείωσης της μηχανικής του ενέργειας Η συνολική απόδοση του συστήματος πρέπει να περιέχει την απόδοση του κινητήρα ή της γεννήτριας που συνδέονται με την αντλία ή την τουρμπίνα αντίστοιχα Κινητήρας Αντλία Αξονική Ισχύς Ωφέλιμη Υδραυλική Ισχύς Απώλειες στα Μηχανικά μέρη Αντλίας Υδραυλικές Απώλειες της Αντλίας Παρεχόμενη ισχύς από δίκτυο 7

Διατήρηση Ενέργειας Ένας από τους θεμελιώδεις νόμους της φύσεως είναι ο 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος ο οποίος είναι γνωστός και ως Βασική Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Συνίσταται στο ότι η ενέργεια δεν μπορεί να δημιουργηθεί ή να καταστραφεί σε μία διεργασία, παρά μόνο να αλλάζει μορφές Ένας βράχος που πέφτει επιταχύνεται καθώς η δυναμική ενέργεια, PE, μετατρέπεται σε κινητική, KE Εάν αμελήσουμε τις αντιστάσεις του αέρα η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή PE + KE = σταθερό Σχήμα 1: Εφαρμογή της Αρχής Διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας κατά την πτώση ενός βράχου στο πεδίο βαρύτητας Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος Γενική Μορφή Διατήρησης Ενέργειας 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος Γενική Μορφή Διατήρησης Ενέργειας Το ενεργειακό περιεχόμενο ενός συστήματος μπορεί να αλλάξει με δύο τρόπους: μετάδοση θερμότητας Q και μετάδοση αξονικού έργου W Ο ρυθμός μεταβολής της συνολικής ενέργειας κλειστού συστήματος ισούται με τον ρυθμό πρόσδοσης θερμότητας στο σύστημα από το περιβάλλον μείον τον ρυθμό μετάδοσης έργου από το σύστημα προς το περιβάλλον Καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας προς το σύστημα από το περιβάλλον: Καθαρός ρυθμός απόδοσης έργου από το σύστημα προς το περιβάλλον: Σχήμα 2: Εφαρμογή του 1ου θερμοδυναμικού νόμου σε κλειστό σύστημα Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 9

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος για Όγκο Ελέγχου Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds Η εξίσωση διατήρησης ενέργειας για OE παράγεται θέτοντας B=E και b=e= u + V2/g + gz (u εσωτερική ενέργεια) Ανάλυση θερμικού φορτίου σε ογκομετρικό και επιφανειακό στις διεπιφάνειες με το περιβάλλον Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 10

Ανάλυση προσδιδόμενου έργου σε (α) αξονικό έργο (shaft work) που παράγεται λόγω των επιφανειακών δυνάμεων που αναπτύσσονται στις διεπιφάνειες με το περιβάλλον όπου η ταχύτητα του ρευστού ταυτίζεται με αυτήν του Όγκου Ελέγχου (ΟΕ) και (β) έργο επιφανειακών δυνάμεων που αναπτύσσεται στις διεπιφάνειες όπου το ρευστό διαπερνά τον ΟΕ Ο ΟΕ μπορεί να κινείται με ενιαία ταχύτητα ή να παραμορφώνεται Η ταχύτητα του ΟΕ, , στις διάφορες περιοχές της διεπιφάνειας μπορεί να είναι διαφορετική Αυτό αντανακλά στην περιπλοκότητα της διαδικασίας ολοκλήρωσης των επιφανειακών όρων Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 11

Έργο κάθετων τάσεων Έργο διατμητικών τάσεων Συνήθως ο ΟΕ λαμβάνεται έτσι ώστε το διάνυσμα της ταχύτητας να είναι συγγραμμικό με το κάθετο διάνυσμα στην διεπιφάνεια και συνεπώς το έργο των διατμητικών τάσεων μηδενίζεται συνήθως αμελητέο Το έργο βαρύτητας έχει ενσωματωθεί στην εντατική ιδιότητα b=e= u + V2/g + gz και έτσι δεν συμπεριλαμβάνεται στην παραγωγή έργου Σχήμα 3: Σχηματική αναπαράσταση ΟΕ, ΕΕ, Ws και των χαρακτηριστικών διανυσματικών μεγεθών Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 12

Παραγωγή Έργου στα Όρια του Συστήματος Παράδειγμα από την χρήση εμβόλων Συμβάσεις πρόσημων: κάθετο διάνυσμα με κατεύθυνση προς τα έξω Το αρνητικό πρόσημο χρησιμοποιείται ώστε το έργο να είναι θετικό όταν προσδίδεται στο σύστημα. Όταν το έμβολο κινείται προς τα κάτω κατά ds υπό την επίδραση δύναμης πίεσης F=PA, θεωρώντας αμελητέες ιξώδεις τάσεις από το περιβάλλον στο έμβολο, το αξονικό έργο που προσδίδεται στο σύστημα είναι dWshaft=PAds. Εάν διαιρέσουμε με dt παίρνουμε Για γενικευμένους όγκους ελέγχου: Σχήμα 4: Παραγωγή έργου: (α) κατά την κίνηση εμβόλου και (β) για γενικευμένο ΟΕ Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 13

Εξίσωση Συνολικής Ενέργειας Αναπαριστά το έργο που καταναλώνεται για να φέρει το ρευστό στον ΟΕ Έργο Ιξωδών Τάσεων Θερμικό φορτίο Αξονικό έργο Έργο Ροής Μεταφέροντας το ολοκλήρωμα της πίεσης στο αριστερό μέρος: Ρυθμός συσσώρευσης ενέργειας Ρυθμός καθαρής εκροής ενέργειας Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής h: ενθαλπία 14

Παραγωγή Διαφορικής Μορφής Ισοζυγίου Συνολικής Ενέργειας 15

Παραγωγή Διαφορικής και Ολοκληρωτικής Μορφής Ισοζυγίου Μηχανικής Ενέργειας Ρυθμός μεταβολής μηχανικής ενέργειας στον ΟΕ Καθαρή εκροή μηχανικής ενέργειας και έργου ροής Αξονικό έργο Έργο τριβών Απώλειες στον ΟΕ

Εναλλακτική Μορφή του 1ου Θερμοδυναμικού Νόμου Παραγωγή Διαφορικής και Ολοκληρωτικής Μορφής Ισοζυγίου Θερμικής Ενέργειας Αφαιρώντας το ισοζύγιο μηχανικής ενέργειας από αυτό της συνολικής προκύπτει σε ολοκληρωτική μορφή το ισοζύγιο θερμικής ενέργειας Αφαιρώντας την διαφορική μορφή μηχανικής ενέργειας από αυτήν της συνολικής προκύπτει σε το ισοζύγιο θερμικής ενέργειας σε διαφορική μορφή Ρυθμός μεταβολής εσωτερικής ενέργειας στον ΟΕ Καθαρή εκροή εσωτερικής ενέργειας από τον ΟΕ Ρυθμός πρόσδοσης θερμότητας Θερμικές απώλειες λόγω αναντιστρεπτότητας Απώλειες λόγω συμπιεστότητας Εναλλακτική Μορφή του 1ου Θερμοδυναμικού Νόμου Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 17

Απλοποιημένες Παραδοχές Ισοζυγίων Ενέργειας Στις εφαρμογές της υδραυλικής σε κλειστούς λεπτούς αγωγούς είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθούν μέσες τιμές στις διατομές εισόδου και εξόδου Για λεπτούς αγωγούς εισόδου/εξόδου όπου η ροή είναι περίπου πλήρως ανεπτυγμένη το έργο των ιξωδών τάσεων είναι αμελητέο αφού e=u+ke+pe = u+V2/2+gze+P/ρ=h+V2/2+gz Μέσες τιμές α: συντελεστής διόρθωσης κινητικής ενέργειας Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 18

Συντελεστής διόρθωσης κινητικής ενέργειας Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 19

Ενεργειακή Ανάλυση Συστημάτων Ροής σε Μόνιμη κατάσταση Σε μόνιμη κατάσταση, ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας στον ΟΕ μηδενίζεται. Σε συνθήκες τυρβώδους ροής α1 Για λεπτούς αγωγούς όπου επικρατούν συνθήκες πλήρως ανεπτυγμένης ροής το έργο ιξωδών τάσεων είναι αμελητέο Φυσική σημασία του παραπάνω ισοζυγίου ενέργειας: Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας και παραγωγής αξονικού έργου στον ΟΕ σε μόνιμη κατάσταση ισούται με την διαφορά του συνολικού ενεργειακού περιεχομένου μεταξύ των ροών εισόδου και εξόδου του συστήματος ροής Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 20

Για συστήματα ροής μιας εισόδου και εξόδου, που βρίσκονται σε μόνιμη κατάσταση η μαζική παροχή είναι δεδομένη Μπορούμε να ορίσουμε το ενεργειακό περιεχόμενο ανά μονάδα μεταφερόμενης μάζας στο υδραυλικό κύκλωμα, για τους διάφορους όρους του ισοζυγίου ενέργειας Σχήμα 5: Ισοζύγιο ενέργειας για σύστημα ροής μιας εισόδου και εξόδου, που βρίσκονται σε μόνιμη κατάσταση και με μαζική παροχή δεδομένη Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 21

Το αξονικό έργο της αντλίας και του εισερχόμενου ρεύματος δεν μετατρέπονται πλήρως σε ωφέλιμο μηχανικό έργο στο ρεύμα εξόδου και την τουρμπίνα, αλλά μέρος τους χάνεται, θερμαίνοντας αναντίστρεπτα το ρεύμα εξόδου, πέραν του εισερχόμενου θερμικού φορτίου qnet,in Οι απώλειες συμβαίνουν στο εσωτερικό της αντλίας και της τουρμπίνας καθώς και στους αγωγούς μεταφοράς του ρευστού Διαιρώντας με το g παίρνουμε όλους τους όρους σε ισοδύναμα μανομετρικά ύψη του ρευστού που κυκλοφορεί στο υδραυλικό κύκλωμα Οι απώλειες hL στην παραπάνω σχέση αφορούν μόνο τις σωληνώσεις μεταφοράς του ρευστού και όχι τυχόν αντλίες και τουρμπίνες στο κύκλωμα Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 22

Σχήμα 6: Εφαρμογή ισοζυγίου μηχανικής ενέργειας σε όγκο ελέγχου με αντλία και τουρμπίνα Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 23

Γραμμή Ενέργειας & Υδραυλική Γραμμή Ενέργειας Είναι πολλές φορές χρήσιμο να σχηματίσουμε γραφήματα της μηχανικής ενέργειας μέσω της Γραμμής Ενέργειας (Energy Grade Line EGL) και της υδραυλικής Γραμμής Ενέργειας (Hydraulic Grade Line HGL) Υδραυλική Γραμμή Ενέργειας Ενεργειακή Γραμμή ή (Γραμμή Συνολικής Ενέργειας) Η διαφορά της Ενεργειακής Γραμμής μεταξύ δύο θέσεων στο κύκλωμα της σωλήνωσης δίνει τις απώλειες ενέργειας στο σχετικό κομμάτι της σωλήνωσης: x Σχήμα 7: Απεικόνιση γραμμής ενέργειας και Υδραυλικής γραμμή ενέργειας Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 24

Εξίσωση Bernoulli Αν αγνοήσουμε τις απώλειες στις σωληνώσεις του κυκλώματος και θεωρήσουμε κύκλωμα χωρίς αντλίες ή τουρμπίνες παίρνουμε την εξίσωση Bernoulli Μπορεί επίσης να προκύψει από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα αν αμελήσουμε μεταβατικά φαινόμενα και τριβές Περιέχει 3 όρους που αντιστοιχούν στο: Υδροστατικό (πίεση), Δυναμικό και Υψομετρικό μανομετρικό ύψος Σε αυτή την περίπτωση ισχύει σε κάθε σημείο του πεδίου ροής Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 25

Περιορισμοί της Εξίσωσης Bernoulli Μόνιμη κατάσταση: d/dt = 0 Δεν ισχύει μέσα σε συνοριακά στρώματα και ολκούς όπου υπάρχει έντονη στροβιλότητα στο πεδίο ροής Σχήμα 8: Περιοχές όπου είναι έγκυρη και περιοχές όπου δεν είναι έγκυρη η εξίσωση Bernoulli Περιορισμοί της Εξίσωσης Bernoulli Μόνιμη κατάσταση: d/dt = 0 Άτριβη και ασυμπίεστη ροή, μ0, ρ=σταθερό Απουσία Αξονικού Έργου: wpump=wturbine=0 Απουσία μεταφοράς θερμότητας: qnet,in=0 Εφαρμόζεται επάνω σε ροϊκή γραμμή (πλην της περίπτωσης αστρόβιλης ροής όπου ισχύει σε κάθε σημείο του ρευστού) Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής 26

Τέλος Ενότητας