ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ-3 η εβδομάδα Συνέχεια συναρτήσεων δυο μεταβλητών Ισοσταθμικές καμπύλες-Ασκήσεις

Συνέχεια συνάρτησης δυο μεταβλητών Μια ακολουθία σημείων θα λέμε ότι τείνει σε κάποιο σημείο P o (x o, y o ) αν το ίδιο ισχύει για τις ακολουθίες των αντιστοίχων συντεταγμένων τους. δηλαδή: P i (x i,y i ) P o (x o, y o ) αν x i x o και y i y o.

Μια συνάρτηση f(x, y) θα λέμε ότι είναι συνεχής σε κάποιο σημείο P o αν για κάθε ακολουθία σημείων P i που τείνει σ‘ αυτό (P i P o ), ισχύει το ίδιο και για τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης: ( f(P i ) f(P o ) ) Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, αυτό γεωμετρικά σημαίνει ότι θα υπάρχουν "διακοπές" στην επιφάνεια που αποτελεί τη γραφική της παράσταση

Παράδειγμα Θεωρούμε την συνάρτηση: Εδώ υπάρχουν ακολουθίες σημείων P i, οι οποίες τείνουν στο σημείο (2,3) και για τις οποίες έχουμε f(P i ) 24. Όμως f(2,3)=0 24 Άρα η f(x,y) δεν είναι συνεχής στο σημείο (2,3).

Στην γραφική παράσταση της f(x,y) η κατακόρυφη ευθεία (x=2,y=3,z=t) η παράλληλη προς τον z-άξονα δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την επιφάνεια παρά μόνο με το μοναχικό σημείο της επιφανείας το (2,3,0) που βρίσκεται στο xy-επίπεδο.

Την ασυνέχεια της f(x,y) μπορούμε να διακρίνουμε από την γραφική παράσταση των ισοσταθμικών της. Το οριζόντιο επίπεδο z=24 τέμνει την επιφάνεια έτσι ώστε η αντίστοιχη ισοσταθμική παρουσιάζει ασυνέχεια στο σημείο (2,3).

Η συνάρτηση θα γίνει συνεχής εάν ορίσουμε να παίρνει την τιμή 24 όταν (x,y)=(2,3). Δηλαδή να είναι f(2,3)=24.

Ισοσταθμικές καμπύλες (contour lines)

Οι ισοσταθμικές καμπύλες μιας συνάρτησης αποτελούν την αποτύπωση της γραφικής της παράστασης στο xy-επίπεδο. Επομένως αυτές μπορούν να φανούν χρήσιμες στο να βγουν συμπεράσματα για την μορφή της γραφικής παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Χ=α =σταθερά, τότε παραβολή που έχει ελάχιστο στο σημείο Χ=α, Υ=0, Ζ= -α 2 Υ=α =σταθερά, τότε παραβολή που έχει μέγιστο στο σημείο Χ=0, Υ=α, Ζ= α 2

Αν Ζ =σταθερά Ζ=4

Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ 1. Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις και οι ισοσταθμικές τους σε διαφορετική διάταξη. Να βρείτε την σωστή αντιστοίχιση : a) f(x,y)=e -x+y2 b) f(x,y)=ln(x 2 +y 2 ) c) f(x,y)=x 2 -xy d) f(x,y)=y/x e) f(x,y)=4x 2 +y 2 -x+y.

Απάντηση : Για κάθε μια από τις παραπάνω συναρτήσεις δίνονται τρία σχήματα. - Το πρώτο είναι η αντίστοιχη επιφάνεια, -το δεύτερο σχήμα οι ισοσταθμικές - το τρίτο σχήμα είναι οι ισοσταθμικές, χρωματισμένες σε αποχρώσεις του γκρί. Σκουρότερες περιοχές αντιστοιχούν σε οριζόντιες τομές (z=c) με μικρότερο c Λιγότερο σκούρες περιοχές αντιστοιχούν σε οριζόντιες τομές (z=c) με μεγαλύτερο c.

a) Οι ισοσταθμικές της f(x,y)=e -x+y2 είναι παραβολές της μορφής x=y 2 +c. παραβολές

b) Οι ισοσταθμικές της f(x,y)=ln(x 2 +y 2 ) κύκλοι της μορφής x 2 +y 2 =c.

c) Οι ισοσταθμικές της f(x,y)=x 2 -xy είναι υπερβολές της μορφής x 2 -xy=c. Περιστροφή αξόνωνυπερβολέςΠεριστροφή αξόνων

d) Οι ισοσταθμικές της f(x,y)=y/x είναι ευθείες της μορφής y/x=c. Δεν διέρχονται από την αρχή των αξόνων, διότι σημεία της μορφής (0,y) δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f(x,y).

e) Οι ισοσταθμικές της f(x,y)=4x 2 +y 2 - x+y είναι ελλείψεις της μορφής 4x 2 +y 2 -x+y=c.ελλείψεις

ΑΣΚΗΣΗ 2. Δίνεται το γράφημα της f(x,y)=100-x 2 -y 2. Να σχεδιασθούν οι ισοσταθμικές καμπύλες f(x,y)=0, f(x,y)=51, και f(x,y)=75 στο πεδίο ορισμού της.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το γράφημα είναι το παραβολοειδές z=100-x 2 -y 2. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το xy-επίπεδο και το πεδίο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών μικρότερων ή ίσων του 100. Η ισοσταθμική f(x,y)=0 είναι το σύνολο των σημείων του xy-επιπέδου στα οποία f(x,y)=100-x 2 -y 2 =0, ή x 2 +y 2 =100, και που είναι στην περιφέρεια ενός κύκλου κέντρου (0,0) και ακτίνας 10. Αναλόγως έχουμε το συμπέρασμα ότι οι ισοσταθμικές f(x,y)=100-x 2 -y 2 =51 και f(x,y)=100-x 2 -y 2 =75 είναι οι περιφέρειες των κύκλων x 2 +y 2 =49 και x 2 +y 2 =25.

ΑΣΚΗΣΗ 3. Να δοθεί το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων και να προσδιορισθούν οι ισοσταθμικές τους: a) f(x,y)=x+y, b) f(x,y)=ln(x+y), c) f(x,y)= ΑΠΑΝΤΗΣΗ: a) f(x,y)=x+y Πεδίο ορισμού το xy-επίπεδο. Πεδίο τιμών όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Οι ισοσταθμικές είναι ευθείες της μορφής x+y=k.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ b) f(x,y)=ln(x+y) Πεδίο ορισμού {(x,y): y>-x}. Πεδίο τιμών όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Οι ισοσταθμικές είναι ευθείες της μορφής x+y=e k. ΑΠΑΝΤΗΣΗ c) f(x,y)= Πεδίο ορισμού {(x,y): x ≠ 0, y > 0}. Πεδίο τιμών όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Οι ισοσταθμικές είναι παραβολές της μορφής y=kx 2, k > 0, x > 0.