Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς και μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας επιτάχυνσης, Διαγράμματα θέσης σε σχέση με το χρόνο, ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο και επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη κίνηση. Κατανόηση ευθύγραμμης κίνησης με σταθερή επιτάχυνση. Ελεύθερη πτώση σωμάτων.

Μετατόπιση, Χρόνος και Μέση Ταχύτητα Ένα σωματίδιο που κινείται σε ευθεία γραμμή, πάνω στον άξονα x έχει συντεταγμένη x. Η μεταβολή στις συντεταγμένες του σωματιδίου είναι  x = x 2  x 1. Ορίζουμε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου-σωματιδίου, στο χρονικό διάστημα Δt, ως μια διανυσματική ποσότητα, της οποίας η συνιστώσα x είναι η μεταβολή του x, Δx, μέσα σ’ αυτό το χρονικό διάστημα Δt,διαιρεμένη με το Δt. Η μέση ταχύτητα του σωματιδίου στον άξονα x είναι v av-x =  x/  t.

Αρνητική ταχύτητα Η μέση ταχύτητα στον άξονα x είναι αρνητική σε ένα χρονικό διάστημα αν το σωματίδιο κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x γι΄αυτό το χρονικό διάστημα.

Διάγραμμα θέσης-χρόνου Το διάγραμμα θέσης-χρόνου (x-t) δείχνει τη θέση του σωματιδίου x για κάθε χρονική στιγμή t. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται πώς σχετίζεται η μέση ταχύτητα στον άξονα x με τη κλίση στο διάγραμμα x-t.

Στιγμιαία ταχύτητα

Σημαντική σημείωση: Το μέσο μέτρο ταχύτητας δεν είναι το μέτρο της μέσης ταχύτητας. Όταν ο Alexander Popov κατέρριψε το παγκόσμιο ρεκόρ το 1994 κολυμπώντας 100,0 m σε 46,74 s, το μέσο μέτρο της ταχύτητάς του ήταν 100 m/ 46,74s =2, 139 m/s. Επειδή όμως κολύμπησε δυο φορές, ξεκίνησε και τερμάτισε στο ίδιο σημείο σε πισίνα 50 m, έχοντας μηδενική συνολική μετατόπιση, και επομένως μηδενική μέση ταχύτητα. Τόσο το μέσο μέτρο ταχύτητας όσο και το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας είναι βαθμωτά, όχι διανυσματικά μεγέθη, δηλ. δεν περιέχουν πληροφορία για την διεύθυνση.

Παράδειγμα: Μέση και στιγμιαία ταχύτητα

Εύρεση της ταχύτητας σε διάγραμμα x-t.

Διάγραμμα x-t και διάγραμμα κίνησης. Ένα διάγραμμα κίνησης δείχνει τη θέση του σωματιδίου σε διάφορους χρόνους κατά τη διάρκεια της κίνησης καθώς και τα βέλη που παριστούν την ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγμή. Είναι δηλ. ένα στιγμιότυπο.

Μέση και Στιγμιαία Επιτάχυνση.

Παράδειγμα: Μέση επιτάχυνση. Μια αστροναύτης βγαίνει από διαστημικό λεωφορείο για να ελέγξει μια νέα συσκευή ατομικών ελιγμών. Καθώς αυτή κινείται σε ευθεία γραμμή, ο συνεργάτης της στο διαστημικό λεωφορείο παίρνει τις παρακάτω μετρήσεις της ταχύτητάς της κάθε 2,0 s αρχίζοντας την στιγμή t= 1s, ως ακολούθως: Βρείτε τη μέση επιτάχυνση, και περιγράψτε εάν η ταχύτητα της αστροναύτου αυξάνει ή ελαττώνεται για κάθε ένα από τα παρακάτω χρονικά διαστήματα: α) από t 1 =1,0 εως t 2 =3,0 s, β) από t 1 =5,0 εως t 2 =7,0 s, γ) από t 1 =9,0 εως t 2 =11,0 s, δ) από t 1 =13,0 εως t 2 =15,0 s. tυxυx tυxυx 1,0 s0,8 m/s9,0 s-0,4 m/s 3,0 s1,2 m/s11,0 s-1,0 m/s 5,0 s1,6 m/s13,0 s-1,6 m/s 7,0 s1,2 m/s15,0 s-0,8 m/s

Παράδειγμα: Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση.

Εύρεση της επιτάχυνσης σε Διάγραμμα υ x -t ή σε Διάγραμμα x-t. Η μέση επιτάχυνση μεταξύ των σημείων P 1 και P 2 της διαδρομής του σωματιδίου που αντιστοιχούν στα σημεία p 1 και p 2 στο διάγραμμα υ x -t είναι η κλίση της γραμμής που ενώνει τα σημεία p 1 και p 2. Ενώ η στιγμιαία επιτάχυνση στο σημείο p 1 είναι η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο αυτό.

Όταν το υ x και το α x έχουν το ίδιο πρόσημο, το σώμα επιταχύνεται. Εάν και οι δύο είναι θετικές, το σώμα κινείται στην θετική κατεύθυνση με αυξανόμενο μέτρο ταχύτητας. Εάν και οι δύο είναι αρνητικές, το σώμα κινείται στην αρνητική κατεύθυνση με ταχύτητα που γίνεται όλο και πιο αρνητική, αλλά πάλι το μέτρο αυξάνει. Όταν το υ x και το α x έχουν αντίθετα πρόσημα, το σώμα επιβραδύνεται. Εάν το υ x είναι θετικό και το α x αρνητικό, το σώμα κινείται στη θετική κατεύθυνση με μειούμενο μέτρο ταχύτητας. Εάν το υ x είναι αρνητικό και το α x θετικό, το σώμα κινείται στην αρνητική κατεύθυνση με ταχύτητα που γίνεται λιγότερο αρνητική, όμως πάλι το σώμα επιβραδύνεται. Διάγραμμα υ x -t και διάγραμμα κίνησης.

Διάγραμμα x-t και διάγραμμα κίνησης.

Κίνηση με Σταθερή Επιτάχυνση.

Παράδειγμα: Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Ένας μοτοσικλετιστής, που κατευθύνεται ανατολικά, βγαίνει από ένα χωριό της Αττικής και επιταχύνει, αφού περάσει το σήμα που ορίζει τα όρια του χωριού, στη θέση x=0. Η επιτάχυνσή του είναι σταθερή, 4,0 m/s 2. Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται 5,0 m ανατολικά από το σήμα και έχει ταχύτητα 15 m/s. α) Βρείτε τη θέση και την ταχύτητα του τη χρονική στιγμή t=2,0 s. β) Πού βρίσκεται ο μοτοσικλετιστής όταν η ταχύτητα του είναι 25 m/s;

Παράδειγμα: Δυο σώματα με διαφορετικές επιταχύνσεις Ένας οδηγός που ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 15 m/s περνάει μπροστά από σχολείο, όπου το όριο ταχύτητας είναι 10 m/s (περίπου 40 km/h). Ακριβώς τη στιγμή που περνά ο οδηγός, ένας τροχονόμος, που περίμενε στη γωνία με τη μοτοσικλέτα του, αρχίζει να καταδιώκει τον οδηγό με σταθερή επιτάχυνση 3,0 m/s 2. α) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει ο τροχονόμος τον οδηγό; β) Ποια είναι η ταχύτητα του τροχονόμου εκείνη τη στιγμή; γ) Πόση είναι η συνολική απόσταση που διάνυσε κάθε όχημα μέχρι εκείνο το σημείο;

Ελεύθερη πτώση σωμάτων. Για τη μελέτη της ελεύθερης πτώσης παίρνουμε την εξιδανικευμένη περίπτωση όπου η αντίσταση του αέρα είναι μηδενική. Ελεύθερη πτώση λέγεται η πτώση ενός σώματος υπό την επίδραση της βαρύτητας. Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι το μπαλάκι πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας και αλλάζει η ταχύτητά του. Η ταχύτητά του μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό. Το μπαλάκι επιταχύνεται με την σταθερή επιτάχυνση ίση με g=9,8 m/s 2 =980 cm/s 2.

Παράδειγμα: Κέρμα που πέφτει ελεύθερο Κέρμα ενός ευρώ ρίχνεται από τον κεκλιμένο πύργο της Πίζας. Το κέρμα ξεκινάει από την ηρεμία και πέφτει ελεύθερα. Υπολογίστε τη θέση και την ταχύτητά του μετά από 1,0, 2,0 και 3,0 s.

Παράδειγμα: Κίνηση πάνω-κάτω στην ελεύθερη πτώση. Υποθέστε ότι ρίχτετε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω από την ταράτσα ψηλού κτιρίου. Η μπάλα φεύγει από το χέρι σας στο ύψος του κάγκελου της ταράτσας με ταχύτητα 15,0 m/s προς τα πάνω, η μπάλα είναι σε ελεύθερη πτώση. Στο δρόμο της προς τα κάτω μόλις και δεν κτυπάει το κάγκελο. Στη θέση του κτιρίου, g=9,80 m/s 2. Βρείτε α) τη θέση και την ταχύτητα της μπάλας 1,00 s και 4,00 s από τη στιγμή που άφησε το χέρι σας, β) τη ταχύτητά της, όταν βρίσκεται 5,00 m πάνω από το κάγκελο, γ) το μέγιστο ύψος, που έφτασε η μπάλα και το χρόνο που έφτασε σε αυτό, και δ) την επιτάχυνση της μπάλας όταν είναι στο μέγιστο ύψος.

Παράδειγμα: Δύο λύσεις ή μία; Να βρείτε το χρόνο που η μπάλα στο προηγούμενο παράδειγμα βρίσκεται 5,00 m κάτω από το κάγκελο.