Α ΝΩΤΑΤΗ Σ ΧΟΛΗ ΠΑΙ ΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ Τ ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Ε ΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΚΥΜΑΤΑ KAI ΔΙΑΜΗΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ταχύτητα Εγκάρσιου Μηχανικού Κύματος. Ενέργεια Εγκάρσιου Κύματος. Η Διαταραχή της Πίεσης του Μέσου στα Διαμήκη Κύματα. Ταχύτητα Διαμήκους Κύματος σε Αέριο Μέσο. Εξάρτηση της Ταχύτητας του Ήχου από τη Θερμοκρασία

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t) Ένα Τμήμα χορδής σε ισορροπία δm=μ δx Το Τμήμα χορδής σε ταλάντωση x x+δx F 2x =F F 2y F 1x =F F 1y F 1x =F 2x =F Αποδείξαμε: Παράδειγμα Εγκάρσιου Μηχανικού Κύματος

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t) dx dy dx dy Ένα Τμήμα χορδής σε ισορροπία δm=μ δx Το Τμήμα χορδής σε ταλάντωση x x+δx F 2x =F F 2y F 1x =F F 1y Αποδείξαμε:

  Δ.Ε. Κύματος:  ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t) Αποδείξαμε:

x (m) x Γραμμική πυκνότητα μάζας: dx y Ολική Μηχανική Ενέργεια στοιχειώδους μάζας dm: dm υyυy Κάθε στοιχειώδες τμήμα dx τα χορδής με μάζα dm ταλαντώνεται γύρω από τη θέση ισορροπίας (η οποία βρίσκεται πάνω στον x-άξονα) σαν να ήταν η μάζα αυτή αναρτημένη σε ένα ελατήριο με ισοδύναμη σταθερά κ. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t)

x (m) x dx y dm υyυy Γραμμική πυκνότητα μάζας: ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t)

x (m) x Γραμμική πυκνότητα μάζας: dx y dm υyυy ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t)

x (m) x Γραμμική πυκνότητα μάζας: dx y dm υyυy ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t)

Σε χρόνο μιας περιόδου T, το εγκάρσιο κύμα αποδίδει ενέργεια: Επειδή η ενέργεια αυτή αποδίδεται σε μια περίοδο, η μέση κυματική ισχύς είναι: ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΓΚΑΡΣΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ D(x,t)=y(x,t) x (m) Γραμμική πυκνότητα μάζας: Αποδείξαμε: λ

Διαμήκη Κύμα TAXYTHTA ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΕΡΙΟ ΜΕΣΟ Διαμήκης Παλμός p(x, t+dt) S x x+Δx D(x, t) D(x+Δx, t) Κατάσταση Τμήματος Αέριας Στήλης τη Χρονική Στιγμή t p(x, t) = p(x+Δx, t) Κατάσταση Τμήματος Αέριας Στήλης τη Χρονική Στιγμή t+dt VfVf Νόμος Ελαστικότητας Όγκου V f = V i – S D(x,t) + S D(x+Δx,t)  V f – V i = ΔV = S D(x+Δx,t) – S D(x,t) p(x+Δx, t) S p(x+Δx, t+dt) S p(x, t) S p(x, t) = p(x+Δx, t) ΔV = S [ D(x+Δx,t) – D(x,t) ] ρ x V i = S Δx Δm=ρV i

Όταν: p(x+Δx, t+dt) S TAXYTHTA ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΕΡΙΟ ΜΕΣΟ p(x+Δx, t) S p(x, t+dt) S x x+Δx D(x, t) D(x+Δx, t) ρ VfVf p(x, t) S V i = S Δx Δm=ρV i p(x, t) = p(x+Δx, t) ΔV = S [ D(x+Δx,t) – D(x,t) ]

ΣΤΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ dt a) Μεταβολή της πίεσης στη θέση x: β) Μεταβολή της πίεσης στη θέση x+Δx: p(x, t) = p(x+Δx, t) p(x+Δx, t) S p(x, t+dt) S p(x+Δx, t+dt) S x x+Δx D(x, t) D(x+Δx, t) ρ VfVf p(x, t) S V i = S Δx Δm=ρV i TAXYTHTA ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΕΡΙΟ ΜΕΣΟ

2ος Νόμος Newton: p(x, t) = p(x+Δx, t) p(x+Δx, t) S p(x, t+dt) S p(x+Δx, t+dt) S x x+Δx D(x, t) D(x+Δx, t) ρ VfVf p(x, t) S V i = S Δx Δm=ρV i TAXYTHTA ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΕΡΙΟ ΜΕΣΟ

p(x, t) = p(x+Δx, t) p(x+Δx, t) S p(x, t+dt) S p(x+Δx, t+dt) S x x+Δx D(x, t) D(x+Δx, t) ρ VfVf p(x, t) S V i = S Δx Δm=ρV i Αποδείξαμε

p(x, t) = p(x+Δx, t) p(x+Δx, t) S p(x, t+dt) S p(x+Δx, t+dt) S x x+Δx D(x, t) D(x+Δx, t) ρ V i = S Δx VfVf p(x, t) S TAXYTHTA ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΕΡΙΟ ΜΕΣΟ Αποδείξαμε

Όταν: Εξίσωση Κύματος: Ταχύτητα Διαμήκους Κύματος: p(x, t) = p(x+Δx, t) p(x+Δx, t) S p(x, t+dt) S p(x+Δx, t+dt) S x x+Δx D(x, t) D(x+Δx, t) ρ V i = S Δx VfVf p(x, t) S TAXYTHTA ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΕΡΙΟ ΜΕΣΟ

ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΣΤΑ ΔΙΑΜΗΚΗ ΚΥΜΑΤΑ Όπου:

t (s) Ιστορικό Κύματος x (m) Στιγμιότυπο Κύματος t (s) Ιστορικό Κύματος x (m) Στιγμιότυπο Κύματος ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΣΤΑ ΔΙΑΜΗΚΗ ΚΥΜΑΤΑ

ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΑΠΌ ΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Κατά τη διάδοση του ήχου στον αέρα, οι μεταβολές της πίεσης p και του όγκου V ακολουθούν τον αδιαβατικό νόμο των αερίων:

ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Αριθμός Γραμμομορίων Μάζα ΑερίουΓραμμομοριακή Μάζα Αερίου Πυκνότητα ρ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΑΠΌ ΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ