ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ Υπόδειγμα Ανοίγματος Δρ. Δημητρόπουλος Παναγιώτης

Αρχές Τραπεζικής Διοικητικής  Στόχος της τράπεζας: η μέγιστη δυνατή απόδοση των ιδίων κεφαλαίων της με το μικρότερο δυνατό κίνδυνο.  Αντιμετωπίζει τον ενδεχόμενο κίνδυνο απώλειας διαθεσίμων I.Διαχείριση ρευστότητας (liquidity management): διατήρηση ενεργητικών στοιχείων υψηλής ρευστότητας για να μπορεί να αντιμετωπίσει τη ζήτηση διαθεσίμων των καταθετών της. II.Διαχείριση ενεργητικού (asset management):  Διαχείριση πιστωτικού κινδύνου (credit risk management).  Διαχείριση επιτοκιακού κινδύνου (interest-rate risk management) III.Διαχείριση παθητικού (liability management) IV.Διαχείριση κεφαλαιακής επάρκειας (capital adequacy management)

Διαχείριση Ενεργητικού και Παθητικού  Διαχείριση Ενεργητικού:  Η τράπεζα έχει τρεις στόχους στη διαχείριση του ενεργητικού της, να επιτύχ I.τη μέγιστη δυνατή απόδοση των χορηγήσεων και επενδύσεων που κάνει II. το χαμηλότερο δυνατό κίνδυνο (default risk) στις χορηγήσεις και επενδύσει που κάνει – διαφοροποίηση χαρτοφυλακίου, και III. ικανοποιητική ρευστότητα διατηρώντας ενεργητικά στοιχεία υψηλής ρευστότητας, π.χ. ομολογίες και έντοκα του δημοσίου Όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός ρευστότητας ενός ενεργητικού στοιχείου τόσο μικρότερος είναι ο κίνδυνος ρευστότητας και τόσο χαμηλότερη είναι η απόδοσή του 

Διαχείριση Ενεργητικού και Παθητικού  Διαχείριση Παθητικού:  Πριν από τη δεκαετία του ’60, οι τράπεζες θεωρούσαν το παθητικό τους δεδομένο και προσπαθούσαν να προσδιορίσουν την «άριστη διάρθρωση του ενεργητικού τους» όμως, μετά τη δεκαετία του ’60 οι τράπεζες άρχισαν να μην εξαρτώνται από τις καταθέσεις για άντληση κεφαλαίων η τράπεζα προσδιορίζει το μέγεθος και το ρυθμό ανάπτυξης του ενεργητικού της και αντλεί τα αναγκαία κεφάλαια από το παθητικό της, εκδίδοντας νέες υποχρεώσεις ( liabilities ) π.χ. πιστοποιητικά καταθέσεων (certificates of deposits), δανεισμό από τη διατραπεζική αγορά, κ.α. αν υπάρχουν κερδοφόρες ευκαιρίες χορηγήσεων, η τράπεζα μπορεί να δανεισθεί από επιχειρήσεις, ιδιώτες ή άλλες τράπεζες για να τις ικανοποιήσει σήμερα οι τράπεζες διαχειρίζονται τόσο το ενεργητικό όσο και το παθητικό του ισολογισμού τους για την επίτευξη των στόχων τους.    

Διαχείριση Κεφαλαιακής Επάρκειας  Η απόφαση για το μέγεθος του κεφαλαίου της τράπεζας είναι σημαντική γιατί: περιορίζει τις πιθανότητες πτώχευσης της τράπεζας 1) 2) επηρεάζει την απόδοση των ιδίων κεφαλαίων της τράπεζας:↑ μέγεθος κεφαλαίου → ↓ απόδοση μετοχικού κεφαλαίου Δείκτες κερδοφορίας: Απόδοση ενεργητικού(Return on Total Assets, ROA) : ROA = καθαρά κέρδη/σύνολο ενεργητικού μας πληροφορεί πόσο αποτελεσματικά λειτουργεί η τράπεζα Απόδοση ιδίων κεφαλαίων (Return of Equity, ROE) ROE = καθαρά κέρδη / ίδια κεφάλαια Πολλαπλασιαστής ιδίων κεφαλαίων (equity multiplier) EM =Σύνολο ενεργητικού / ίδια κεφάλαια → ROE = ROA x EM    

Διαχείριση Κεφαλαιακής Επάρκειας  Δεδομένου του ROA, όσο↑ EMτόσο ↑ ROE ↑ ιδίων κεφαλαίων → ↓ EM, ↓ ROE Αντιστάθμιση κινδύνου-απόδοσης (risk-return trade-off): ↑ ίδια κεφάλαια → ↓κίνδυνο πτώχευσης και ↓ EM → δεδομένου του ROA → ↓ ROE και αντίστροφα Το ελάχιστο μέγεθος του ιδίου κεφαλαίου καθορίζεται από τον κανονισμό των ελεγκτικών αρχών Διαχείριση κεφαλαίου : π.χ. μια σημαντική αύξηση ζημιών από χορηγήσεις →↓ιδίων κεφαλαίων, η τράπεζα έχει τρεις επιλογές: αύξηση μετοχικού κεφαλαίου με έκδοση νέων μετοχών, ή αύξηση του μετοχικού κεφαλαίου αυξάνοντας τα αδιανέμητα κέρδη και μειώνοντας τη διάθεση κερδών (μέρισμα), ή μείωση των χορηγήσεων και συνεπώς, μείωση του μεγέθους της τράπεζας  

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου (interest rate risk)  Μέχρι τη δεκαετία του ’70 τα κυρίαρχα προβλήματα των τραπεζών ήταν η διαχείριση του πιστωτικού κινδύνου και του κινδύνου ρευστότητας  Από τη δεκαετία του ’80, η φιλελευθεροποίηση των αγορών είχε ως αποτέλεσμα τη μεγαλύτερη μεταβλητότητα των επιτοκίων  Οι τόκοι αποτελούν την κύρια πηγή εσόδων και εξόδων των τραπεζών  Ο κίνδυνος επιτοκίου αναφέρεται στη μεταβλητότητα της κερδοφορίας των τραπεζών λόγω αυξομειώσεων των επιτοκίων  Ο κίνδυνος επιτοκίου οφείλεται στη διαφορά του χρόνου λήξης μεταξύ των στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού  Η διαχείριση της διάρθρωσης του ισολογισμού είναι αναγκαία για να ελαχιστοποιηθεί ο κίνδυνος επιτοκίου

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου (interest rate risk)  Αυξομειώσεις στα επιτόκια επηρεάζουν τα κέρδη των τραπεζών.  Ποια όμως είναι η ακριβής σχέση μεταξύ της μεταβολής των επιτοκίων και των τραπεζικών κερδών;  Θα μειωθούν ή θα αυξηθούν τα κέρδη αν τα επιτόκια αυξηθούν;  Για να απαντήσουμε την ερώτηση αυτή πρέπει να γνωρίζουμε σε τι βαθμό επηρεάζονται τα στοιχεία του ισολογισμού από τις μεταβολές των επιτοκίων.

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ «ΑΝΟΙΓΜΑΤΟΣ» (Gap Analysis) Τ α στοιχεία του ενεργητικού και παθητικού χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:  τα στοιχεία που φέρουν κυμαινόμενο επιτόκιο  και τα στοιχεία που φέρουν σταθερό επιτόκιο.

Ορισμός του Ανοίγματος  Ενεργητικό με Κυμαινόμενο Επιτόκιο (ΕΚΕ).Στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται τα στοιχεία εκείνα του ενεργητικού τα οποία φέρουν κυμαινόμενο επιτόκιο.Το επιτόκιο για τα στοιχεία αυτά θα αλλάζει κάθε φορά που τα επιτόκια στην αγορά αλλάζουν.  Ενεργητικό με Σταθερό Επιτόκιο (ΕΣΕ).Στην κατηγορία αυτή έχουμε τα στοιχεία εκείνα του ενεργητικού που έχουν σταθερό επιτόκιο για μια συγκεκριμένη περίοδο.Αλλαγές στα επιτόκια αγοράς δεν επηρεάζουν το επιτόκιο του ΕΣΕ.

Ορισμός του Ανοίγματος  Παθητικό με Κυμαινόμενο Επιτόκιο (ΠΚΕ) Στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται τα στοιχεία εκείνα του παθητικού τα οποία φέρουν κυμαινόμενο επιτόκιο. Το επιτόκιο για τα στοιχεία αυτά θα αλλάζει κάθε φορά που τα επιτόκια στην αγορά αλλάζουν.  Παθητικό με Σταθερό Επιτόκιο (ΠΣΕ). Στην κατηγορία αυτή έχουμε τα στοιχεία εκείνα του παθητικού που έχουν σταθερό επιτόκιο για μια συγκεκριμένη περίοδο. Αλλαγές στα επιτόκια αγοράς δεν επηρεάζουν το επιτόκιο του ΠΣΕ.

Ορισμός του Ανοίγματος και Καθαρής Θέσης  Το «άνοιγμα» μιας τράπεζας ορίζεται ως διαφορά μεταξύ του ΕΚΕ και ΠΚΕ.Έτσι: Άνοιγμα = G =ΕΚΕ – ΠΚΕ Καθαρή Θέση = (ΕΚΕ+ΕΣΕ )-(ΠΚΕ+ΠΣΕ)  Γενικά, όσο μεγαλύτερο είναι το άνοιγμα τόσο μεγαλύτερος είναι ο κίνδυνος επιτοκίων.  Το άνοιγμα μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν.  Δεδομένης μιας μεταβολής των επιτοκίων, τα κέρδη και η καθαρή θέση της τράπεζας θα αυξηθούν ή θα μειωθούν ανάλογα με το αν το άνοιγμα είναι θετικό ή αρνητικό.

Συνέπεια της μεταβολής των επιτοκίων στα κέρδη και την καθαρή θέση  Δεδομένου του ανοίγματος, μπορούμε να υπολογίσουμε την μεταβολή στα κέρδη (ΔΚ) και στην καθαρή θέση της τράπεζας (ΔΕ) αν τα επιτόκια μεταβληθούν στις δύο πλευρές του ισολογισμού.  Συγκεκριμένα:ΔΚ = ΔΕ = (ΕΚΕ x Δr A – ΠΚΕ x Δr L ) ΔΕ = μεταβολή καθαρής θέσης ΔΚ = μεταβολή των κερδών Δr A =μεταβολή των επιτοκίων στοιχείων ενεργητικού Δr L =μεταβολή των επιτοκίων στοιχείων παθητικού

Περιπτώσεις Ανοίγματος α)Αν ΕΚΕ > ΠΚΕ και συνεπώς G > 0, τότε: (ι) τα κέρδη και καθαρή θέση θα αυξηθούν εάν τα επιτόκια αυξηθούν. (ιι) τα κέρδη και καθαρή θέση θα μειωθούν εάν τα επιτόκια μειωθούν. β)Αν ΕΚΕ < ΠΚΕ και συνεπώς G < 0, τότε: (ι) τα κέρδη και η καθαρή θέση θα μειωθούν εάν τα επιτόκια αυξηθούν. (ιι) τα κέρδη και η καθαρή θέση θα αυξηθούν εάν τα επιτόκια μειωθούν. Και γ)ΑνΕΚΕ = ΠΚΕ και συνεπώς G= 0, τότε: τα κέρδη και η καθαρή θέση δεν επηρεάζονται από τη μεταβολή των επιτοκίων.

Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι μια τράπεζα έχει τον ακόλουθο ισολογισμό.: Ενεργητικό Τράπεζα ΧΠαθητικό 180εκατ.180 εκατ. Το επιτόκιο για το ΕΚΕ είναι 8%, για το ΕΣΕ είναι 9%, για το ΠΚΕ είναι 6% και για το ΠΣΕ είναι 7%. Υποθέτοντας ότι η τράπεζα δεν έχει άλλους λογαριασμούς, μπορούμε να βρούμε τα κέρδη. Παρατήρηση : τα στοιχεία ενεργητικού και παθητικού στην κατηγορία σταθερού επιτοκίου ( ΕΣΕ και ΠΣΕ) δεν έχουν όλα την ίδια περίοδο λήξης. ΕΚΕ80 εκατ.ΠΚΕΠΚΕ90 εκατ. ΕΣΕ100 εκατ.ΠΣΕ70 εκατ. K.Θ20 εκατ.

Περίπτωση 1: Τι θα συμβεί στα κέρδη αν τα επιτόκια αυξηθούν κατά μία ποσοστιαία μονάδα τόσο στο ΕΚΕ όσο και στο ΠΚΕ; Βρίσκουμε την αλλαγή στα έσοδα και έξοδα. Η μεταβολή στα έσοδα είναι 0,8 εκ. (=80 εκ.x 0,01), ενώ στα έξοδαείναι 0,9 εκ.( = 90 εκ.x0,01). Συνεπώς, τα κέρδη και η καθαρή θέση της τράπεζας μειώνονται κατά € Ή, σύμφωνα με τα παραπάνω : αφού Δr = Δr A = Δr L, ΔΚ= ΔΕ = G x Δr = -10 εκ.x0,01 = - €

Περίπτωση 2 : Τι θα συμβεί στα κέρδη αν τα επιτόκια μειωθούν κατά μία ποσοστιαία μονάδα τόσο στο ΕΚΕ όσο και στο ΠΚΕ; σύμφωνα με τα παραπάνω : αφού Δr = Δr A = Δr L, ΔΚ= ΔΕ = G x Δr = -10 εκ.x (- 0,01) =€ Περίπτωση 3: Τι θα συμβεί στα κέρδη αν τα επιτόκια αυξηθούν για το ΕΚΕ κατά τρεις ποσοστιαίες μονάδες (Δr A = +2%) και για το ΠΚΕ κατά δύο ποσοστιαίες μονάδες (Δr L =+1%); ΔΚ = ΔΕ = 80 x 0, x 0,01 = 1,6 – 0,9 = 0,7 = €

Γενικεύοντας: 1.Εάν:ΕΚΕ (Δr Α ) > ΠΚΕ (Δr L ) (ι) τα κέρδη και η καθαρή θέση θα αυξηθούν εάν τα επιτόκια αυξηθούν. (ιι) τα κέρδη και η καθαρή θέση θα μειωθούν εάν τα επιτόκια μειωθούν. 2.Εάν: ΕΚΕ (Δr A ) < ΠΚΕ (Δr L ) (ι) τα κέρδη και η καθαρή θέση θα μειωθούν εάν τα επιτόκια αυξηθούν. (ιι) τα κέρδη και η καθαρή θέση θα αυξηθούν εάν τα επιτόκια μειωθούν. 3.Εάν: ΕΚΕ (Δr A ) = ΠΚΕ (Δr L ) τα κέρδη και η καθαρή θέση δε θα μεταβληθούν

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Διαχείριση του Ανοίγματος  Το μέγεθος του ανοίγματος δείχνει το μέγεθος του κινδύνου ρευστότητας που αναλαμβάνει η τράπεζα: Δεδομένης μιας μεταβολής του επιτοκίου, όσο μεγαλύτερο είναι το άνοιγμα τόσο μεγαλύτερη θα είναι η μεταβολή των καθαρών εσόδων από τόκους της τράπεζας Η τράπεζα μπορεί να κερδοσκοπήσει προσαρμόζοντας την τιμή του ανοίγματος στην αναμενόμενη κίνηση του επιτοκίου. Αν αναμένει ότι τα επιτόκια θα αυξηθούν (μειωθούν) θα πρέπει να αυξήσει (μειώσει) τη τιμή του ανοίγματος Η τράπεζα μπορεί να αντισταθμίσει πλήρως τον κίνδυνο επιτοκίου καθιστώντας τη τιμή του ανοίγματος μηδενική Στρατηγικές που μηδενίζουν το άνοιγμα: Περιοδικοί υπολογισμοί του ανοίγματος σε μικρά χρονικά διαστήματα Σύνδεση των στοιχείων ενεργητικού και παθητικού που μπορούν να ανατιμολογηθούν έτσι ώστε το περιοδικό άνοιγμα να → στο μηδέν Χρησιμοποίηση συναλλαγών εκτός ισολογισμού για την αντιστάθμιση του κινδύνου [π.χ ανταλλαγή επιτοκίων (interest rate swaps)]      

Παράδειγμα υπολογισμού του Ανοίγματος για διαφορετικές χρονικές περιόδους  Η θέση του ανοίγματος της τράπεζας εξαρτάται από τη χρονική περίοδο για την οποία υπολογίζεται το άνοιγμα  Το άνοιγμα δείχνει την πιθανή καθαρή εκροή διαθεσίμων και τον κίνδυνο ρευστότητας  Η τράπεζα λαμβάνει πληροφορίες από το άνοιγμα και στη συνέχεια τις αξιοποιεί για τη διαχείριση των στοιχείων του ενεργητικού και παθητικού

Παράδειγμα Άνοιγμα (σε εκατ. €) n Ενεργητικό (A) Παθητικo (L) Άνοιγμα (G) Αθροιστικό άνοιγμα 1 ημέρα Έως 3 μήνες μήνες μήνες έτη Πάνω από 5 έτη

Παράδειγμα  Α. Κατά πόσο θα μεταβληθεί το καθαρό επιτοκιακό εισόδημα της τράπεζας εάν την επομένη ημέρα τα επιτόκια αυξηθούν κατά 1%; G = -€ ΔΚ = G x Δr = x 0,01=-€  Β. Κατά πόσο θ μεταβληθεί το καθαρό επιτοκιακό εισόδημα της τράπεζας εάν μετά από ένα χρόνο το μέσο επιτόκιο αυξηθεί κατά 1%; G= - € ΔΚ = x 0,01= -€

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Σταθμισμένης Διάρκειας (Duration Analysis-D)  Αποτελεί μια εναλλακτική μέτρηση του κινδύνου επιτοκίου.  Μετράει την ευαισθησία της αγοραίας αξίας του συνόλου των στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού στις μεταβολές του επιτοκίου.  Ο κίνδυνος επιτοκίου αυξάνει όσο περισσότερο διαφέρει η χρονική περίοδος των εισροών από την αντίστοιχη των εκροών.  Η πλήρης αντιστάθμιση του χρόνου και του μεγέθους των εισροών και εκροών έχει ως αποτέλεσμα οι μεταβολές του επιτοκίου να μην επηρεάζουν την καθαρή θέση της τράπεζας.

Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Σταθμισμένης Διάρκειας (Duration Analysis-D)  Ο Δείκτης Μέσης Διάρκειας είναι ο μέσος σταθμικός χρόνος που χρειάζεται να καλυφθεί το αρχικό κόστος ενός χρηματοδοτικού προϊόντος.  Η μέθοδος του Δείκτη χρησιμοποιεί το μέσο σταθμικό χρόνο διάρκειας των στοιχείων του ενεργητικού και παθητικού της τράπεζας για να βρεθεί πως αντιδρά η καθαρή της θέση στις μεταβολές του επιτοκίου.  Συγκεκριμένα, ο δείκτηςτης σταθμισμένης διάρκειας ενός περιουσιακού στοιχείου (D) ορίζεται ως το σταθμισμένο άθροισμα των περιόδων μέχρι τη λήξη του, με συντελεστή στάθμισης για κάθε περίοδο την παρούσα αξία της χρηματοροής της περιόδου, ως κλάσμα της τρέχουσας τιμής του περιουσιακού στοιχείου.

Τύπος της Σταθμισμένης Διάρκειας (D) Γενικά για τον υπολογισμό της σταθμισμένης διάρκειας ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος χρησιμοποιείται ο τύπος: n  w t  1 t  1 C  V w  t0,t,   έ   ά   ά   ό ,  V  (1  r)  1,   ύ   ί   ό   ώ   ά  t  ό   ό  ή  t 1ό :t 1ό : ]  t  w  t]  t  w  t [ P0P0 0,t0,t t 1t 1 P0P0 0,t0,t C  V D D  nn t n t t

Παράδειγμα 1 ο : Να υπολογισθεί η σταθμισμένη διάρκεια ενός εξαετούς ομολόγου, ονομαστικής αξίας €1.000, ονομαστικού επιτοκίου 8% και απόδοση στη λήξη 8%. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣΧΡΗΜΑΤΟ -ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣΠΑΡΟΥΣΑΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ(ΠΑΡΟΥΣΑΚΥΡΤΟΤΗΤΑ t ΡΟΗΠΡΟ ΕΞΟΦΛΗΣΗΣΑΞΙΑΣΤΑΘΜΙΣΗΣΑΞΙΑ) x W t t(t+1) CtCt V 0, tV 0, t C V 0, ttC V 0, tt (1/ P ) xC t V 0, t = w t (ΠΕΡΙΟΔΟ) W t t = CX 180(1,08) -1 = 0,92674,070, , (1,08) -2 = 0,85768,590,068590,137180, (1,08) -3 = 0, 79463,510,063510,190530, (1,08) -4 = 0,73558,800,058800,235201, (1,08) -5 = 0,68154,450,054450,272251, (1,08) -6 = 0,630680,580,680584, ,58449 ΑΘΡΟΙΣΜΑ1.000,004, ,71569 D = 4,99271, MD = 4,9927 1/(1,08)=4,62288, CX = 32,71569/(1,08) 2 = 28,04843 Δ P/P  -MD Δ r + (1/2) CX (Δ r) 2

Duration σαν ελαστικότητα της τιμής της ομολογίας Η τιμή ή η τρέχουσα αξία της ομολογίας ορίζεται ως το άθροισμα της παρούσας αξίας των αναμενόμενων χρηματικών ροών της, ως εξής: P  C  C ...  C  F 1  r (1  r) 2 (1  r) n H μετ αβολή της αξίας του ομολόγου σε μια μικρή μεταβολή του επιτοκίου, dr, υπολογίζεται από την πρώτη παράγωγο της τιμής ως προς το επιτόκιο: (1  r) n  1 dr(1 r)2(1 r)3dr(1 r)2(1 r)3 dP   2C ...   n (C  F) CC

Duration σαν ελαστικότητα Βγάζοντας κοινό παράγοντα:   C  2C... n (C  F)   1 r (1 r)(1 r)21 r (1 r)(1 r)2 dP   1  (1 r)n(1 r)n dr Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο της σταθμισμένης διάρκειας, διαπιστώνεται ότι : D  1 r (1 r) (1 r) P 1  C 2 C...n (C  F)  2n2n 

Duration σαν ελαστικότητα Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις, συμπεραίνεται ότι η αλλαγή της τιμής και η σταθμισμένη διάρκεια της ομολογίας συνδέονται με την ακόλουθη σχέση : dP   1  P  D  dr1  rdr1  r ή: dP P   D 1  r1  r dr

Duration σαν ελαστικότητα Η ανωτέρω εξίσωση παρουσιάζει τη σταθμισμένη διάρκεια ως μέτρο της ελαστικότητας της αξίας της ομολογίας ως προς το επιτόκιο. Πιο χρήσιμη μορφή της εξίσωσης είναι η ακόλουθη:  1r1r dP drdP dr DD P Ο παραπάνω τύπος γενικεύεται και ισχύει για οποιοδήποτε στοιχείο έχει σταθερές μελλοντικές ροές

Χρήσιμοι Τύποι Υπολογισμού Duration Duration ράντας Παρατηρήσατε ότι αν σε μια ομολογία σταθερού επιτοκίου αφαιρέσουμε το ποσό της ονομαστικής αξίας, F, που προσφέρεται στη λήξη, τότε καταλήγουμε σε μια χρονική ροή. Η παρούσα αξία μιας χρονικής ροής είναι : P  C   1  (1  r)  n  r dP   C  1  (1  r)  n   C  n  (1  r)  n  1.   έ C 1  (1  rC 1  (1  r  r 2 1  rdP 1  r  C  1  11 r(1  r)nr(1  r)n  1  r  n 1  r  n r) n 1  r) n 1   n(1n(1 (1r) n(1r) n )) 2  nrnr       r C r Pdr D rdr L

Χρήσιμοι Τύποι Υπολογισμού Duration Duration διηνεκούς ομολογίας Ποια είναι η τιμή P, και ποια είναι η σταθμισμένη διάρκεια, D, εντόκου γραμματίου που πληρώνει 1 εκατ. ευρώ το χρόνο και δε λήγει ποτέ, αν το επιτόκιο είναι 15%; Λύση :Χρησιμοποιώνταςτοντύπογιατηναξίαδιηνεκούςομολογίας: P  C  P  1 .   ,67  ώ rr0,15 Επίσης είναι γνωστό ότι :   D    D    1  r  1  r    D   D   dPdr P  (1  r) (1  r) dP / dr P  7,67 r 2  (1  r)  1  r  1  1 CC  D   D   r r r C χρόνια. Ερώτηση : Γιατί η σταθμισμένη διάρκεια είναι πεπερασμένη, τη στιγμή που η διάρκεια έως τη λήξη είναι το άπειρο;

Χρήσιμοι Τύποι Υπολογισμού Duration Duration Ομολογίας Η τιμή της ομολογίας δίνεται από τον τύπο: P  C    1  r   n   F   1  r   n r Η σταθμισμένη διάρκεια δίνεται από τον τύπο :  1 r n c r(1 r) 1 r n c r(1 r) (1r)c(cr)(1r)c(cr) r D n 

Duration ομολογίας τελικής απόδοσης (zero coupon ή deep discount bond) Για ομολογίες χωρίς τοκομερίδιο, ή για τα έντοκα γραμμάτια ελληνικού Δημοσίου, C=c=0. Συνεπώς, ο τύπος της σταθμισμένης διάρκειας απλοποιείται σε D=n, γεγονός που δεν πρέπει να μας εκπλήσσει μια και υπάρχει μόνο μια ροή, στη χρονική περίοδο t + n. Ο τύπος της τιμής, επίσης, απλοποιείται σε P=F(1 + r) -n.

Χρήσιμοι Τύποι Υπολογισμού Duration Duration ομολογίας στο άρτιο Για ομολογίες που εκδίδονται στο άρτιο, c=r,ο τύπος της σταθμισμένης διάρκειας απλοποιείται σε: ο τύπος της τιμής σε : P=F. D  1 r  1(1 r)  nD  1 r  1(1 r)  n  και r

Χρήσιμοι Τύποι Υπολογισμού Duration Duration ομολογίας κυμαινόμενου επιτοκίου Η σταθμισμένη διάρκεια σε δάνεια και ομολογίες των οποίωνταεπιτόκιαήτοκομερίδιαμεταβάλλονται συνηθισμένο διαχρονικάδενυπολογίζονταιμετο τρόπο. Στην πλειονότητα αυτών των περιπτώσεων, η σταθμισμένη διάρκεια ισούται με τη χρονική περίοδο έως την αναπροσαρμογή του τόκου ή τοκομεριδίου.

Κυρτότητα [convexity (CX)] Ο τύπος της διάρκειας περιγράφει μια γραμμική σχέση μεταξύ της μεταβολής της τιμής του ομολόγου και του επιτοκίου.Ο τύπος αυτός δεν λαμβάνει υπόψη την κυρτότητα που υπάρχει μεταξύ παρούσης αξίας (τιμής) και επιτοκίου.Είναι δυνατόν να πάρουμε μια μαθηματική σχέση η οποία μας παρέχει μια καλύτερη προσέγγιση της μεταβολής της τιμής του ομολόγου όταν η απαιτούμενη απόδοση (yield) μεταβάλλεται.Μια τέτοια προσέγγιση μπορεί να γίνει με την πολυωνυμική σειρά του Taylor.

Κυρτότητα [convexity (CX)] Για παράδειγμα, το ανάπτυγμα β΄ βαθμού είναι ως εξής: (1) Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με την τιμή (Ρ) παίρνουμε την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής: (2) 2 2dr22dr2 2   dP   r  1 d P  (  r) dr  P  dP  1   r  1  1  d P  (  r) 2Pdr22Pdr2 2 PdrPPdrP

Κυρτότητα (Convexity) (r)2(r)2 dr2 dr 2 dPd2PdPd2P Pr1Pr1 όπου,  t1t1         n (CF)n (CF) dr1r1rdr1r1r dP 1  C 2C r nr n   1 n t0,tt0,t PDPD 1r1r tCF V 1r1r (1r)(1)(1r)(1) 2 1 L 2  2  CF t  V 0, t  t(t  1)  P  CX t1t1  d 2 P 1 n dr(1r)dr(1r) και CX wt (t)(t1)t 1wt (t)(t1)t 1 (CFt )(V0,t )(t)(t1)(CFt )(V0,t )(t)(t1)  (1r)Pt1(1r)Pt1    1n1n   1 n (1r)(1r) 22 1, ορίζεται ως ο συντελεστής κυρτότητας.

Κυρτότητα (Convexity) Συνεπώς,  P   D  r  1 CX (  r) 2   MD(  r)  1 CX (  r) 2,όπου MD  D, 2 σταθμισμένη 1  r21  r2 P 1  r διάρκεια ονομάζεταιπροσαρμοσμένη(Modified Duration ή MD)

Κυρτότητα (convexity) Παράδειγμα: Έστω ότι r= 8%, έχουμε την ευρωομολογία του προηγούμενου παραδείγματος, όπου c =8%, F=1.000 ευρώ, Ρ= ευρώ και D =4,99 χρόνια. Σχήμα 3

Convexity Πρόβλεψη του υποδείγματος Δr > 0 από 8% στο 10%   4,99   0,02    9,2407%. Άρα  1,08 1,08    PP  P νέα τιμή Ρ= 907,543 ευρώ στοσημείο Β του σχήματος. Δr < 0 από 8% στο 6%  4,99P 1,08  4,99P 1,08  0,020,02       PP 9,2457%. Άρα νέα τιμή: Ρ= 1.092,457 ευρώ στο σημείοΔ.

Κυρτότητα (Convexity) Πραγματική αλλαγή στην τιμή Όταν r  10%, P  80   1   1,1   6    912,895 ευρώ, στο (1,1)6(1,1)6 0,10 σημείο Γ, λάθος υποδείγματος 5,35 ευρώ. Όταν r=6%, P  80   1   1,06   6    1.098,347 ευρώ, (1,06)6(1,06)6 0,06 στο σημείο Ε, λάθος υποδείγματος 5,89 ευρώ.

Κυρτότητα (Convexity) 1.Η κυρτότητα είναι επιθυμητή στον επενδυτή γιατί πρώτον, λειτουργείωςασφάλειαγιατονεπενδυτήσεπεριόδους ανοδικών επίδραση ομολόγων. επιτοκίων,καιδεύτερον,αυξάνειτηθετική τηςκαθόδουτωνεπιτοκίωνστηντιμήτων 2.Όσο μεγαλύτερη είναι η μεταβολή του επιτοκίου ή όσο μεγαλύτερη είναι η κυρτότητα, τόσο μεγαλύτερο το λάθος προσέγγισης για ένα ΧΙ που χρησιμοποιεί αποκλειστικά τη σταθμισμένη διάρκεια για την εξουδετέρωση του επιτοκιακού κινδύνου. 3.Όλοι οι τίτλοι με σταθερό εισόδημα έχουν κυρτότητα.

Κυρτότητα (Convexity) Η κυρτότητα CX του εξαετούς ευρω -ομολόγου του Πίνακα 1 μπορεί να μετρηθεί ως εξής:  CX Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της κυρτότητας :  1   1  t 1t 1   6 (1,08)2(1,08)2 (1r)2(1r)2 (0,07407)(1)(2)(0,06859)(2)(3)(0,06351)(3)(4)wtt(t1)wtt(t1)  (0,05880)(4)(5)  (0,05445)(5)(6)  (0,68058)(6)(7)   1  32,7157  28,0484 (1,08) 2

Ιδιότητες κυρτότητας 1.Όσοαυξάνειηχρονικήχρονικήδιάρκεια,τόσοαυξάνεικαιη τόσο κυρτότητα. 2.Όσομεγαλύτεροτοτοκομερίδιομιαςομολογίας, μικρότερη είναι η κυρτότητα. 3.Μετηνίδιασταθμισμένηδιάρκεια,ομολογίεςτελικής απόδοσης (πχ. έντοκα γραμμάτια) έχουν κυρτότητα από τις ομολογίες με τοκομερίδιο. μικρότερη

Εφαρμογή : Εξουδετέρωση Κινδύνου Επιτοκίου στον Ισολογισμό ενός Χρηματοπιστωτικού Ιδρύματος Με την ίδια λογική, για το ενεργητικό και τις υποχρεώσεις ενός ΧΙ, ισχύει: D(L)D(L)  w  D ( L)  w  D ( L)   w 1L12 L2NL D(A)D(A)  w  D ( A)  w  D ( A)   w 1A12 A2NA K  ώ  N  ό D D όπου w iA και w iL είναι η παρούσα αξία του στο i ιχείου προς τη συνολική αξία του χαρτοφυλακίου, δηλαδή w 1A  w 2 A .....  w NA  1 w 1L  w 2 L .....  w KL  1

Εξουδετέρωση Κινδύνου Επιτοκίου στον Ισολογισμό ενός Χρηματοπιστωτικού Ιδρύματος ΈστωΑηαξίατουενεργητικούενόςΧΙ,L υποχρεώσεων, και Ε η αξία της καθαρής θέσης. ηαξίατων Από την γνωστή ταυτότητα του ισολογισμού A=L+E προκύπτει ότι ΔΑ=ΔΕ+ΔL ΔΕ=ΔΑ-ΔL, όπου Δ είναι ο τελεστής διακριτής μεταβολής.

Εξουδετέρωση Κινδύνου Επιτοκίου στον Ισολογισμό ενός Χρηματοπιστωτικού Ιδρύματος Σύμφωνα με το υπόδειγμα της σταθμισμένης διάρκειας, οι ποσοστιαίες μεταβολές ενεργητικού και υποχρεώσεων είναι :   L . 1  r1  r 1  r1  r   L  L rL r  D D    D   A    A  A rA r LA LA

Εξουδετέρωση Κινδύνου Επιτοκίου στον Ισολογισμό ενός Χρηματοπιστωτικού Ιδρύματος Υποθέτοντας ότι το επίπεδο των επιτοκίων καθώς και οι μεταβολές τους είναι ίδια για τα στοιχεία του ενεργητικού και των υποχρεώσεων, δηλαδή ότι r a =r L =r και Δr a =Δr L =Δr, προκύπτει:   A  D L A  D L  DA  k  DL  A   DA  k  DL  A   ό k  1Aό k  1A 1  r 1  r  1  r 1  r  1  r 1  r    r  r   D   A              D  D  r  r   E   DE   D L LrLr A LALA

Παράδειγμα Έστω ότι το ενεργητικό μιας τράπεζας ανέρχεται σε € με μέση διάρκεια 6 έτη, ενώ το παθητικό είναι € με μέση διάρκεια 3 έτη. Η καθαρή θέση είναι € Κατά πόσο θα μεταβληθεί η καθαρή θέση της τράπεζας αν τα επιτόκια αυξηθούν από 12% σε 13%;

Παράδειγμα   k k ΔE = -  D- D 1 + r1 + r = -  6 -  0,8785  3     0,01 = ,12  A   Δr  LA 

Εφαρμογή Διαχείρισης Κινδύνου Επιτοκίου μια Τράπεζας με τη Μέθοδο του Δείκτη Μέσης Διάρκειας  Παράδειγμα υπολογισμού της μέσης διάρκειας: α) των επιμέρους στοιχείων ενεργητικού και παθητικού (Dj), και   β) του συνόλου των απαιτήσεων και των υποχρεώσεων (D Α, D L )  Υποθέτουμε ότι η τράπεζα ΑΑΑ έχει: Διαθέσιμα € 300 Δάνεια παρούσης αξίας €2.000 με διάρκεια λήξης 3 έτη και επιτόκιο 10% Ομόλογα του δημοσίου παρούσης αξίας €1.500 με διάρκεια λήξης 5 έτη και επιτόκιο 8% Προθεσμιακές καταθέσεις παρούσης αξίας € με διάρκεια 1 έτος και επιτόκιο 5% Πιστοποιητικά καταθέσεων παρούσης αξίας € με διάρκεια λήξης 4 έτη και επιτόκιο 6% Μετοχικό Κεφάλαιο € 100

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας Υπολογισμός των Dj, D A και D L :  3,67  0,73  0,99  1,72 έ   4,3  1,43  1,70  3,13 έ   .   έ  : D  (60 / 1,06)  1  (60 / 1,06 )  2  (60 / 1,06 )  3  (1.060 / 1,06 )  4   3.67 έ    ό : D  (120 / 1,08)  1  (120 / 1,08 )  2  (120 / 1,08 )  3  (120 / 1,08 )  4  (1.620 / 1,08 )  5   4,3 έ   ά : D  (200 / 1,1)  1  (200 / 1,1 )  2  (2.200 / 1,1 )  3   2,73 έ  DL DL  DA DA   1,0   2,73  (60 /1,06)  (60 /1,06 2 )  (60 /1,06 3 )  (1.060 /1,06 4 ) /1,08)  (120 /1,08 2 )  (120 /1,08 3 )  (120 /1,08 4 )  (1.620 /1,08 5 ) /1,1)  (200 /1,1 2 )  (2.200 /1,1 3 )

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας (Duration Analysis-D) Υποθετικός Ισολογισμός Τράπεζας ΑΑΑ ΕνεργητικόΠαρ. Αξία ΕπιτόκιοΔιάρκειαΠαθητικόΠαρ. Αξία ΕπιτόκιοΔιάρκεια Διαθέσιμα300--Προθεσμιακές καταθέσεις %1,00 έτος Δάνεια %2,73 έτηΠιστοποιητικά καταθέσεων %3,67 έτη Ομόλογα δημοσίου %4,3 έτηΣύνολο υποχρεώσεων ,72 έτη Σύνολο απαιτήσεων ,13 έτηΚαθαρή Θέση100 Σύνολο Ενεργητικού 3.800Σύνολο Παθητικού 3.800

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας (Duration Analysis-D)  D A = 3,13 έτη > D L = 1,72 έτη, Δεδομένης της σχέσης μεταξύ D A και D L, πως επηρεάζει την παρούσα (αγοραία) αξία των στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού μια μεταβολή όλων των επιτοκίων τους; Πως επηρεάζεται η αξία του μετοχικού κεφαλαίου της τράπεζας όταν μεταβάλλονται τα επιτόκια; Ας υποθέσουμε ότι όλα τα επιτόκια των στοιχείων του παθητικού-ενεργητικού της ΑAΑ αυξάνονται κατά Δi=+1% Στην επόμενη διαφάνεια επαναϋπολογίζονται οι δείκτες D j, D A και D L και η παρούσα αξία του μετοχικού κεφαλαίου Σημείωση 1:η παρούσα αξία των προθεσμιακών καταθέσεων όταν το επιτόκιο ήταν 5% ήταν €2.700 → η μελλοντική αξία στο τέλος του έτους = 2.700x(1+0,05)= €2.835, συνεπώς η παρούσα αξία τώρα που το επιτόκιο είναι 6% = 2.835/(1+0,06) = 2.674,5 Σημείωση 2: παρούσα αξία μετοχικού κεφαλαίου = παρούσα αξία του συνόλου των ενεργητικών στοιχείων - παρούσα αξία συνόλου υποχρεώσεων     

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας (Duration Analysis) Αύξηση όλ ων των επι τοκ ί ων κα τά 1%;  3,67  0,735  0,974  1,71 έ   4,3  1,47  1,68  3,15 έ  .  έ  : D  (60 / 1,07)  1  (60 / 1,07 )  2  (60 / 1,07 )  3  (1.060 / 1,07 )  4   3.67 έ   ό : D  (120 / 1,09)  1  (120 / 1,09 )  2  (120 / 1,09 )  3  (120 / 1,09 )  4  (1.620 / 1,09 )  5   4,3 έ   ά : D  (200 / 1,11)  1  (200 / 1,11 )  2  (2.200 / 1,11 )  3   2,78 έ  DL DL  DA DA  1,0 1,0   2,78  (60 /1,07)  (60 /1,07 2 )  (60 /1,07 3 )  (1.060 /1,07 4 ) /1,09)  (120 /1,09 2 )  (120 /1,09 3 )  (120 /1,09 4 )  (1.620 /1,09 5 ) /1,11)  (200 /1,11 2 )  (2.200 /1,11 3 )

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας (Duration Analysis) Υποθετικός Ισολογισμός Τράπεζας ΑAΑ ΕνεργητικόΠαρ. Αξία ΕπιτόκιοΔιάρκειαΠαθητικόΠαρ. Αξία ΕπιτόκιοΔιάρκεια Διαθέσιμα300--Προθεσμιακές καταθέσεις %6%1,00 έτος Δάνεια %11%2,78 έτηΠιστοποιητικά καταθέσεων 9667%7%3,67 έτη Ομόλογα δημοσίου %9%4,3 έτηΣύνολο υποχρεώσεων ,71 έτη Σύνολο απαιτήσεων ,15 έτηΚαθαρή Θέση53 Σύνολο Ενεργητικού 3.693Σύνολο Παθητικού 3.693

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας (Duration Analysis-D) 1) Η αύξηση όλων των επιτοκίων κατά μια μονάδα δεν επηρέασε σημαντικά τους δείκτες: D j, D A και D L 2) Παρατηρούμε ότι στο παράδειγμα μας D A > D L → μιας +Δi→ η αξία του συνόλου των στοιχείων ενεργητικού μειώθηκε περισσότερο από την αξία του συνόλου των υποχρεώσεων → η αξία του μετοχικού κεφαλαίου (η καθαρή θέση) να μειωθεί (και αντίστροφα για -Δi ) 3) Μπορεί να δειχθεί ότι, αν D A < D L και +Δi → η αξία του συνόλου των στοιχείων ενεργητικού θα μειωθεί λιγότερο από την αξία του συνόλου των υποχρεώσεων → η αξία του μετοχικού κεφαλαίου (καθαρή θέση) να αυξηθεί και αντίστροφα για –Δi

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας (Duration Analysis-D)  Δεδομένης της Δi=+1% οι παρούσες αξίες των στοιχείων του ενεργητικού και παθητικού μεταβλήθηκαν ως εξής: Δάνεια: ( )/2000 = 2,45% Ομόλογα: ( )/1500 = 3,87 % Προθεσμιακές καταθέσεις: ( )/2700 = 0,96 % Πιστοποιητικά Καταθέσεων: ( )/1000 = 3,4% Μετοχικό κεφάλαιο (καθαρή θέση): (100-53) / 100 = 47%   Δεδομένης μιας μικρής μεταβολής του επιτοκίου, η ποσοστιαία μεταβολή της παρούσης (αγοραίας) αξίας (Pj) ενός στοιχείου j του ενεργητικού ή του παθητικού, δίνεται επίσης (προσεγγιστικά) από τον ακόλουθο τύπο: ΔPj/Pj = - Dj x[ di / (1+i) ](1) Δάνεια: ΔP/P = -2,73 x [ 0,01 / (1+0,10) ] = -2,48 % Ομόλογα: ΔP/P = -4,3 x [ 0,01 / (1+0,08) ] = -3,98 %, κ.λ.π Όσο μεγαλύτερο είναι το Dj τόσο μεγαλύτερη είναι η ΔPj/Pj Επίσης, Dj = (ΔPj/Pj ) / [ di / (1+i) ] → η μέση διάρκεια (Dj) είναι μέτρο ελαστικότητας και μετράει την ευαισθησία της αξίας ενός στοιχείου στις μεταβολές του επιτοκίου του   

Διαχείριση Κινδύνου Επιτοκίου: Η Μέθοδος του Δείκτη Μέσης Διάρκειας (Duration Analysis-D) Τόσο το Άνοιγμα όσο και η Μέση διάρκεια είναι χρήσιμα εργαλεία και πληροφορούν τη διοίκηση για το βαθμό του κινδύνου επιτοκίων που αντιμετωπίζει η τράπεζα αν αυξηθούν ή μειωθούν τα επιτόκια

Αντιμετώπιση του κινδύνου μεταβολής των επιτοκίων Ο κίνδυνος επιτοκίου μπορεί να μηδενιστεί θέτοντας το άνοιγμα της σταθμισμένης διάρκειας (duration gap) ίσο με το μηδέν:  D A -  D L  k    0; ήD A   D L  k  Δηλαδή, οι ενέργειες που θα πρέπει να κάνει η τράπεζα για την μείωση (ή τον μηδενισμό) του κινδύνου επιτοκίων είναι ένας συνδυασμός των παρακάτω επιλογών:  μείωση της διάρκειας του ενεργητικού (D A ),  αύξηση της διάρκειας του παθητικού (D L ),  αύξηση της μόχλευσης (k). Ο

Διαχείριση του ανοίγματος της διάρκειας  Αμυντική στρατηγική: η διοίκηση της τράπεζας προσπαθεί να απομονώσει την καθαρή θέση από τις μεταβολές των επιτοκίων.  Επιθετική στρατηγική: η διοίκηση προσπαθεί να επωφεληθεί από τις μεταβολές των επιτοκίων και να αυξήσει την καθαρή θέση. Επιτυχής επιθετική στρατηγική προϋποθέτει ικανότητα πρόβλεψης των επιτοκίων.

Διαχείριση του χάσματος της διάρκειας  Εάν αναμένεται αύξηση των επιτοκίων, η κατάλληλη επιθετική στρατηγική είναι η επίτευξη αρνητικού χάσματος διάρκειας.  Η τράπεζα θα προσπαθήσει για παράδειγμα να προωθήσει: –βραχυπρόθεσμα δάνεια, –να επενδύσει σε βραχυπρόθεσμα ομόλογα και –να προσελκύσει μακροπρόθεσμες καταθέσεις.  Εάν αναμένεται μείωση των επιτοκίων η στρατηγική της τράπεζας θα είναι ακριβώς η αντίθετη.

Δυσκολίες Εφαρμογής του Μοντέλου Διάρκειας  Δυσκολία αλλαγής των χαρακτηριστικών στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού.  Η εκμηδένιση του κινδύνου είναι ένα δυναμικό και όχι στατικό πρόβλημα.  Ανάγκη λεπτομερών πληροφοριών.  Μεγάλες αλλαγές των επιτοκίων και κυρτότητα.