ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ II Καθ. Πέτρος Π. Γρουμπός Διάλεξη 3η Μετασχηματισμός Fourier

Εισαγωγή Περιοδικό σήμα αποτέλεσμα υπέρθεσης άπειρων (αριθμήσιμων) περιοδικών εκθετικών σημάτων (αρμονικών) με περιόδους ακέραια πολλαπλάσια περιόδου αρχικού σήματος H «βαρύτητα» συμβολής κάθε αρμονικής συνιστώσας στην δημιουργία σήματος εκφράζεται από αντίστοιχο συντελεστή σειράς Fourier. Σειρές Fourier επιτρέπουν μία άλλη περιγραφή περιοδικών σημάτων (πεδίο χρόνου αλλά και πεδίο συχνότητας). Τι συμβαίνει στην περίπτωση απεριοδικών σημάτων ? Η περιγραφή ενός απεριοδικού σήματος σαν συνάρτηση μίας άλλης μεταβλητής, της συχνότητας ω, είναι δυνατόν να επιτευχθεί μέσω του μετασχηματισμού Fourier.

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να ορισθεί αξιωματικά σαν απεικόνιση από ένα σύνολο συναρτήσεων σε ένα άλλο (όπως και ο μετασχηματισμός Laplace) Θεωρούμε ένα απεριοδικό σήμα x(t) που ορίζεται σε όλη την ευθεία των πραγματικών αριθμών, δηλαδή tΕR Εστω περιοδικό σήμα x*(t) με περίοδο ΔΤ Θέτοντας αναπτύσσουμε το περιοδικό σήμα x*(t) σε σειρά Fourier,

Ο μετασχηματισμός Fourier Θέτοντας, Υποθέτοντας ότι περίοδος Τ τείνει στο άπειρο Περιοδικό σήμα x*(t) εκφυλίζεται στο απεριοδικό σήμα x(t), Δω τείνει στο μηδέν  Όπου είναι ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t)

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier Χ(ω) του απεριοδικού σήματος παίζει αντίστοιχο ρόλο με εκείνο των συντελεστών Fourier Χ(ωn) της σειράς Fourier ενός περιοδικού σήματος. Η διαφορά είναι ότι ενώ η μεταβλητή ω n συντελεστών Fourier παίρνει τιμές στο αριθμήσιμο σύνολο {…,-2ω0, -ω0, 0, ω0, 2ω0,…}, η μεταβλητή ω του μετασχηματισμού Fourier Χ(ω) παίρνει τιμές στο υπεραριθμήσιμο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Συνεπώς, το περιοδικό σήμα μπορεί να θεωρηθεί σαν αποτέλεσμα υπερθέσεως άπειρων αλλά αριθμήσιμων ημιτονοειδών σημάτων με συχνότητες όλα τα ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας nω 0, δηλαδή ω n =nω 0, το απεριοδικό σήμα μπορεί να θεωρηθεί σαν αποτέλεσμα υπερθέσεως (άπειρων και μη αριθμήσιμων) ημιτονοειδών σημάτων όλων των συχνοτήτων ω.

Παράδειγμα 1 Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματοςείναι Το κρουστικό σήμαΟ μετασχηματισμός Fourier Από την μορφή του μετασχηματισμού Fourier, προκύπτει ότι το κρουστικό σήμα μπορεί να θεωρηθεί σαν το αποτέλεσμα της υπέρθεσης ίδιου πλάτους ημιτονοειδών σημάτων όλων των δυνατών συχνοτήτων

Παράδειγμα 2 Ο μετασχηματισμός Fourier του παλμικού σήματος είναι Το παλμικό σήμαΟ μετασχηματισμός Fourier

Παράδειγμα 3 Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος είναι και γράφετε ισοδύναμα υπό την μορφή όπου

H ύπαρξη μετασχηματισμού Fourier εξαρτάται από την σύγκλιση του γενικευμένου ολοκληρώματος Για παράδειγμα δεν είναι δυνατόν να υπολογισθεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος με a πραγματικό αριθμό γιατί το γενικευμένο ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει για καμία τιμή της παραμέτρου a Έχουν αναπτυχθεί ικανές συνθήκες που εξασφαλίζουν ύπαρξη μετασχηματισμού Fourier για μία ευρύτατη κλάση σημάτων, γνωστές σαν συνθήκες Dirichlet

To σήμα x(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμο Το σήμα x(t) έχει πεπερασμένο αριθμό ακροτάτων σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα Το σήμα x(t) έχει πεπερασμένο αριθμό πεπερασμένων ασυνεχειών σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Οι συνθήκες Dirichlet δεν είναι αναγκαίες. Υπάρχουν σήματα που δεν ικανοποιούν τις συνθήκες αλλά ο μετασχηματισμός Fourier υπάρχει. Συνθήκες Dirichlet

Περιγραφή σήματος στο πεδίο συχνότητας Αν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός Fourier, τότε είναι δυνατή η ανακατασκευή του σήματος σαν συνάρτηση της χρονικής μεταβλητής t. Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Fourier επιτρέπει περιγραφή απεριοδικών σημάτων στο πεδίο της συχνότητας (frequency domain) όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν είναι ο χρόνος t, αλλά η (γωνιακή) συχνότητα ω. Μετασχηματισμός Fourier ενός σήματος είναι ένας μιγαδικός αριθμός:, όπου, φάσμα πλάτους (amplitude spectrum) φάσμα φάσεως (phase spectrum)

Παράδειγμα 4 Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος (παράδειγμα 3) είναι Φάσμα πλάτους του σήματος: επειδή, φάσμα γωνίας: Φάσμα πλάτουςΦάσμα γωνίας

Στην περίπτωση φασμάτων περιοδικών σημάτων, με σειρά Fourier προκύπτει ότι: Συνεπώς, το φάσμα πλάτους περιοδικού σήματος x(t) με περίοδο T=2π/ω 0 είναι μία σειρά κρουστικών συναρτήσεων πλάτους 2π|Χn|, όπου Xn είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές σειράς Fourier του σήματος

Παράδειγμα 5 Η σειρά Fourier του σήματοςείναι Από προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός Fourier είναι: Φάσμα πλάτους σήματος: Φάσμα φάσεως σήματος:

Παράδειγμα 6 Η σειρά Fourier του συρμού κρουστικών σημάτων είναι, Επειδή το σήμα είναι περιοδικό, χρησιμοποιώντας την σχέση, o μετασχηματισμός Fourier προκύπτει:

Παράδειγμα 7 Στην περίπτωση ημιανορθωμένου ημιτονοειδούς σήματος:, με εκθετική σειρά Fourierόπου

το γραμμωτό φάσμα πλάτους είναι: το γραμμωτό φάσμα γωνίας είναι:

Υπολογισμός του φάσματος πλάτους και γωνίας του ημιανορθωμένου ημιτονοειδούς σήματος, μέσω του μετασχηματισμού Fourier O μετασχηματισμός Fourier του σήματος:, όπου οι παράμετροι X n υπολογίζονται από τις σχέσεις Συνεπώς το φάσμα πλάτους του ημιανορθωμένου ημιτονοειδούς σήματος προσδιορίζεται από την σχέση, όπου οι παράμετροι X n υπολογίζονται από τις σχέσεις

Φάσμα πλάτους του ημιανορθωμένου ημιτονοειδούς σήματος Γραμμωτό φάσμα πλάτους Σε αντίθεση προς το γραμμωτό φάσμα που μπορεί να θεωρηθεί σαν συνάρτηση της διακριτής μεταβλητής nω 0, το φάσμα πλάτους του ημιανορθωμένου σήματος θεωρείται σαν συνάρτηση της συνεχούς μεταβλητής ω.

Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier Α) Γραμμικότητα Αν: Τότε:, για κάθε ζέυγος μιγαδικών αριθμών α 1 και α 2 Απόδειξη Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier

Β) Μετατόπιση στον Χρόνο Αν: Τότε: Απόδειξη Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier και με αλλαγή της μεταβλητής r=t-τ προκύπτει ότι: Δηλαδή Αν τεθείΤότε Αμεση συνέπεια της σχέσεως αυτής είναι ότι η χρονική μετατόπιση ενός σήματος συνεπάγεται την μετατόπιση του φάσματος φάσεως κατά –ωτ χωρίς να επηρεάζει το φάσμα πλάτους του σήματος

Παράδειγμα 8 To σήμα που απεικονίζεται, περιγράφεται από την σχέση Aπό τις ιδιότητες της γραμμικότητας και της μετατοπίσεως στον χρόνο προκύπτει ότι Λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι: ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t) είναι

Γ) Μετατόπιση στην Συχνότητα Αν: Τότε: Απόδειξη Δηλαδή

Δ) Συμμετρική Ιδιότητα Αν: Τότε: Απόδειξη

Παράδειγμα 9 Η εφαρμογή της συμμετρικής ιδιότητας μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος x(t)=1 το οποίο δεν ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet. Επειδή, λόγω της συμμετρικής ιδιότητας προκύπτει ότι Το σήμα x(t)=1 Ο μετασχηματισμός Fourier

Ε) Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου Αν: Τότε: Απόδειξη Αμεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η ιδιότητα της αντιστροφής της φοράς της κλίμακας του χρόνου που προκύπτει από την παραπάνω σχέση, θέτοντας a=-1:

Παράδειγμα 10 To σήμα που απεικονίζεται, περιγράφεται από την σχέση από τις ιδιότητες της γραμμικότητας και της αντιστροφής της κλίμακας του χρόνου προκύπτει ότι:, που μπορεί να γραφεί ισοδύναμα, όπου Επειδή (παράδειγμα 4)

ΣΤ) Συνέλιξη στον Χρόνο Αν: Τότε: Απόδειξη Αν συνδυασθεί ο μετασχηματισμός Fourier σημάτων με την ιδιότητα της συνελίξεως είναι δυνατή η μελέτη των γραμμικών χρονικώς αμετάβλητων συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας.

Η σχέση εισόδου-εξόδου ενός γραμμικού χρονικώς αμετάβλητου συστήματος περιγράφεται από το συνελικτικό ολοκλήρωμα: Kάνοντας χρήση της ιδιότητας της συνελίξεως, προκύπτει ότι: ή, όπου Η(ω) υποδηλώνει το μετασχηματισμό Fourier της κρουστικής αποκρίσεως h(t). Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) ή απόκριση συχνότητας (frequency response) του συστήματος και περιγράφει πλήρως την συμπεριφορά του συστήματος. Η ιδιότητα της συνελίξεως ισχύει αν οι μετασχηματισμοί Fourier των δύο συνελισσομένων σημάτων υπάρχουν. Ένα γραμμικό χρονικώς αμετάβλητο σύστημα μπορεί να περιγραφεί από μία σχέση της μορφής αν υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής αποκρίσεώς του.

Ζ) Συνέλιξη στο Πεδίο της Συχνότητας Αν: Τότε: Απόδειξη

Η) Παραγώγιση στον Χρόνο Αν: Τότε: Απόδειξη H ιδιότητα αυτή προκύπτει άμεσα από την παραγώγιση και των δύο μελών της σχέσης ορισμού του αντιστρόφου μετασχηματισμού Fourier: Συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η σχέση που δίνει τον μετασχηματισμό Fourier των παραγώγων ανωτέρας τάξεως:

Παράδειγμα 11 Ένα γραμμικό χρονικώς αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση Παίρνοντας τους μετασχηματισμούς Fourier των δύο μελών και κάνοντας χρήση της ιδιότητας της γραμμικότητας έχουμε: κάνοντας χρήση της ιδιότητας της παραγωγίσεως καταλήγουμε στην εξίσωση Άρα η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι

Θ) Συζυγής Συμμετρία Οι μετασχηματισμοί Fourier πραγματικών σημάτων έχουν σημαντικές ιδιότητες. Ο μετασχηματισμός Fourier ενός σήματος μπορεί να γραφεί στην μορφή Αν το σήμα είναι πραγματικό, τότε απ’όπου προκύπτει ότι

Συνεπώς το πραγματικό μέρος του μετασχηματισμού Fourier ενός πραγματικού σήματος είναι άρτια συνάρτηση της μεταβλητής ω ενώ το φανταστικό μέρος είναι συνάρτηση περιττή. Επί πλέον, επειδή και από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει που σημαίνει ότι το φάσμα πλάτους πραγματικού σήματος είναι άρτια συνάρτηση της μεταβλητής ω ενώ το φάσμα γωνίας είναι περιττή συνάρτηση. Συνδυάζοντας την ιδιότητα αυτή με την συμμετρική ιδιότητα προκύπτει ότι αντιστροφή της κλίμακας χρόνου ενός πραγματικού σήματος δεν μεταβάλλει το φάσμα πλάτους γιατί από την σχέση προκύπτει ότι

Ι) Θεώρημα Parseval H μέση ανά περίοδο ισχύς ενός περιοδικού σήματος είναι άθροισμα των μέσων ισχύων των αρμονικών του. Μια αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει και για την ενέργεια απεριοδικών σημάτων για τα οποία υπάρχει μετασχηματισμός Fourier. Αν Ε υποδηλώνει την ολική ενέργεια ενός πραγματικού σήματος x(t) τότε:

Επειδή όμως για ένα πραγματικό σήμα ισχύει η προηγούμενη σχέση γίνεται Η σχέση αυτή ονομάζεται σχέση Parseval και προσφέρει ένα άλλο τρόπο υπολογισμού της ενέργειας ενός σήματος