ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 3 ΗΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ζώη ΠανωραίαΞενιάς Κωνσταντίνος

ΘΕΜΑΤΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΥΝΟΛΑ - ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ : Ανίσωση, ανισότητα, για κάθε, υπάρχει ένα τουλάχιστον, αντιπαράδειγμα, μικρότερο ή ίσο, υποδιάστημα.

ΤΟΠΟΣ - ΧΡΟΝΟΣ - ΘΕΜΑ Σχολείο : 4 ο ΓΕ. Λ. Χαλανδρίου Τάξη : Β ’ Λυκείου Τμήμα : Β 1 Διδακτική ώρα : 2 η Καθηγητής : Καρδαμίτσης Σπύρος Μάθημα : Άλγεβρα ( Γενικής Παιδείας ) 3 ο Κεφάλαιο – Τριγωνομετρία § 3.4 – Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Σχεδιασμός του καθηγητή για τη διδακτική ώρα. Ο καθηγητής έδωσε ένα τεστ διάρκειας 10’-15’ στους μαθητές με 3 ερωτήματα. Αργότερα, είχε σκοπό να εισάγει τους μαθητές στην τριγωνομετρική συνάτηση f(x)= εφ x με χρήση του λογισμικού GeoGebra και να κάνουν εφαρμογές στις f(x)= α + ρημω x και f(x)= α + ρσυνω x στα πλαίσια ενός Φύλλου Εργασίας.

Το « κρίσιμο » ερώτημα ! ( Η πηγή του κακού )  Το 1 ο ερώτημα του τεστ : Για την πρόταση « Για κάθε γωνία ω ισχύει η σχέση | ημ x|≤2» να απαντήσετε αν είναι σωστή ή λάθος δικαιολογώντας την απάντησή σας. Το τεστ είχε 4 ομάδες θεμάτων. Το συγκεκριμένο ερώτημα είναι από την ομάδα Γ. Το 1 ο ερώτημα των άλλων θεμάτων ( Α, Β και Δ ) ήταν παρόμοια με το παραπάνω. Το μόνο που άλλαζε ήταν η ανίσωση που δινόταν, π. χ. | ημ x|≤3, -3≤ ημ x≤3.

Οι απαντήσεις των μαθητών. Μόνο 2 σωστές ( δηλαδή ότι είναι σωστή η πρόταση ). X X Οι υπόλοιπες ήταν λάθος ( δηλαδή ότι είναι λάθος η πρόταση ). Η αιτιολόγηση των μαθητών που έκαναν λάθος. Αφού ισχύει ημ x≤1, τότε το ημ x δε μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες από 1, άρα είναι λάθος που η ανίσωση λέει ότι ημ x≤2. [ Η σωστή απάντηση : ημ x≤1≤2 αρα ημ x≤2 ]

Ανάλυση – σχολιασμός ( του κρίσιμου συμβάντος ) Το ερώτημα αυτό ελέγχει τη γνώση και βαθύτερη κατανόηση των μαθητών σε θέματα ανισοτήτων, συμβόλων και μαθηματικής λογικής και λιγότερο στην τριγωνομετρία. Αιφνιδίασε όλους τους μαθητές. Μόνο 2 από 25 μαθητές το είχαν σωστό. Με τη λήξη της ώρας του τεστ, ο καθηγητής παρουσίασε τη λύση του 1 ου ερωτήματος μόνο στους μαθητές. Υπήρξε μεγάλη ένταση, συζητήσεις, ερωτήσεις από μεριά των μαθητών για το 1 ο ερώτημα.

Ο καθηγητής λέει στους μαθητές ένα παραδειγμα : « Ο Νίκος κάνει βόλτες στο υπόστεγο. ( και δείχνει ο κος Καρδαμίτσης από το παράθυρο το υπόστεγο που βρίσκεται μέσα στην αυλή του σχολείου ) Έρχεται ο Κώστας και μου λέει : « Κύριε, ο Νίκος κάνει βόλτες στο σχολείο.» Αληθεύει αυτό που μου λέει ο Κώστας ή όχι ;» Οι μαθητές παρότι το κατανοούν όπως είναι από την καθημερινότητα, τους φαίνεται παράξενο όταν προσπαθούν να το συνδέσουν με τα μαθηματικά και τη συγκεκριμένη ανίσωση.

Ο καθηγητής λέει και ένα 2 ο παραδειγμα : « 5≤7, Σωστό ή Λάθος ;» « 7≤7, Σωστό ή Λάθος ;» Και εξηγεί ότι είναι σωστό διότι το σύμβολο ≤ σημαίνει « μικρότερο Ή ίσο » και εξηγεί στη συνέχεια τι σημαίνει αυτό το Ή στα Μαθηματικά. Γράφει στον πίνακα και τον πίνακα αληθοτιμών. Ακόμα και αφού έχει χτυπήσει το κουδούνι, περίπου 5 μαθητές μαζεύονται γύρω από τον καθηγητή για να του κάνουν ερωτήσεις και να συζητήσουν πάλι το θέμα. Ισχυρισμός ΑΙσχυρισμός ΒΑ ή Β ( αληθεύει ;) Αληθής ΨευδήςΑληθής ΨευδήςΑληθής Ψευδής

Μετά το μάθημα ο καθηγητής μας ανέφερε ότι έβαλε επίτηδες το συγκεκριμένο ερώτημα για να αναδειχθεί η σημασία του συμβόλου της διάταξης ≤ και της διάζευξης δύο προτάσεων. Επίσης ανέφερε ότι δεν θα λάβει υπόψη του στη βαθμολογία του τεστ τόσο το 1 ο ερώτημα όσο τα άλλα 2 που έλεγχαν θέματα τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Ο μαθητής βλέπει την ανίσωση σαν ένα τύπο, κάτι στατικό, οπότε αλλάζοντας ο καθηγητής το δεξί μέλος, αρκεί για τους μαθητές να πουν ότι είναι λάθος χωρίς να το ερευνήσουν περαιτέρω.

Η αναζήτηση της αλήθειας συνεχίζεται … Τάξη : Β ’ Λυκείου Τμήμα : Β 3 Διδακτική ώρα : 3 η Καθηγήτρια : Μπαμπίλη Αμαλία Μάθημα : Άλγεβρα ( Γενικής Παιδείας ) 3 ο Κεφάλαιο – Τριγωνομετρία § 3.5 – Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

Ένας μαθητής στη μέση της ώρας ρωτάει την κα Μπαμπίλη ποια είναι η απάντηση στο ερώτημα του κου Καρδαμίτση. Η κα Μπαμπίλη του είπε ότι είναι λάθος. Ο μαθητής ηρέμησε. Προφανώς η καθηγήτρια δεν είχε πλήρη γνώση του ερωτήματος που ο μαθητής ήθελε να της μεταφέρει και παραπλανημένη έδωσε αυτή την απάντηση. Αμέσως την ενημερώσαμε για την ακριβή διατύπωση του ερωτήματος οπότε είπε στους μαθητές ότι θα ασχοληθούν στο τέλος της ώρας. Αφού χτύπησε το κουδούνι, η κα Μπαμπίλη ασχολήθηκε με το ερώτημα του μαθητή και σιγά - σιγά μαζευόνταν και άλλοι μαθητές για να ακούσουν.

Αναλυση και Σχολιασμός Η καθηγήτρια εξήγησε ότι : « Ας υποθέσουμε ότι ο ισχυρισμός είναι λάθος. Μπορείς να βρεις γωνία που να έχει ημίτονο μεγαλύτερο του 2; ( Ρητορικό ερώτημα της καθηγήτριας ) Όχι, άρα τελικά ο ισχυρισμός είναι σωστός » Εστίασε στον ποσοδείκτη « για κάθε - ∀ ». Δηλαδή αρκεί να υπάρχει μια τουλάχιστον γωνία ω με ημω >2 για να αποδείξουμε ότι ο ισχυρισμός είναι λάθος. Τέτοια γωνία δεν υπάρχει διότι για κάθε γωνία ω ισχύει | ημω |≤1. Στην ουσία τους λέει : βρες μου ένα αντιπαράδειγμα και έτσι δε θα ισχύει η πρόταση για κάθε γωνία ω. Οι μαθητές όμως φαινόταν να μην πείθονται ιδιαίτερα ότι η χρήση ενός και μόνο αντιπαραδείγματος ( να βρουν μια γωνία που έχει ημίτονο μεγαλύτερο του 2) μπορεί να μας οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι ένας ισχυρισμός μας δεν ισχύει. ( [1] Ζαχαριάδης, Πόταρη, Σακονίδης )

Ένα 2 ο παράδειγμα της καθηγήτριας ήταν το εξής : « Είμαι στην Αθήνα. Αν πω ότι είμαι στην Ελλάδα, είναι λάθος ;» Όμοιο παράδειγμα με αυτό που χρησιμοποιήσε ο κος Καρδαμίτσης. Οι μαθητές φάνηκαν να πείθονται από την αιτιολόγηση αυτή αλλά εξακολουθούν να δυσκολεύονται να μεταφέρουν το παράδειγμα της καθημερινότητας στα Μαθηματικά.

Παρατηρήσεις - Σχολια - Διαπιστώσεις  Παρατηρούμε τη διαφορετική σκοπιά από την οποία αντιμετώπισαν οι δύο καθηγητές το ίδιο θέμα.  Διαπιστώνουμε την έλλειψη κατανόησης από τους μαθητές της έννοιας της ανισότητας, του συμβόλου « μικρότερο ή ίσο », το διαζευκτικό « ή » από την λογική και την έννοια του υποσυνόλου / υποδιαστήματος.  Οι μαθητές δυσκολεύονται από μόνοι τους να συνδέσουν τη συμβολική μορφή / αναπαράσταση της ανισότητας με την γραφική της αναπαράσταση με την ευθεία των πραγματικών αριθμών και τα διαστήματα που αληθεύει.

 Η γραφική επίλυση και η αλγεβρική δεν είναι εμφανώς ισοδύναμες στους μαθητές.  Στο σχολικό βιβλίο υπάρχει στην Α ’ Λυκείου ένα εισαγωγικό κεφάλαιο στη Λογική και τα Σύνολα το οποίο δεν περιλαμβάνει τον πινακα αληθοτιμών που κατασκέυασε ο κος Καρδαμίτσης στον πίνακα ενώ οι μαθητές έχουν ασχοληθεί με τα σύμβολα της διάταξης από το Δημοτικό και το Γυμνάσιο όπως και με τις ανισότητες και ανισώσεις.  Μετά από συζήτηση με τον κο Καρδαμίτση, μας είπε ότι το εισαγωγικό κεφάλαιο της Λογικής στην Α ’ Λυκείου δε διδασκεται συστηματικά και δεν αρκεί για να εμπεδώσουν οι μαθητές τα βασικά εργαλεία της Λογικής.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ζαχαριάδης, Πόταρη, Σακονίδης, Προσεγγίσεις μαθητών και εκπαιδευτικών στην απόρριψη ισχυρισμών : ο ρόλος των αντιπαραδειγμάτων ( Εργασία – άρθρο από την η - Τάξη )

Ευχαριστούμε Καλές Γιορτές !! χοχοχο