Ενότητα 6: Υλικά κύματα Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.  Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.  Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.  Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)documentary Nobel Prize «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: WikipediaWikipedia

5 Υλικά κύματα Louis de Broglie (documentary) Nobel Prize lecturedocumentary Nobel Prize lecture Πηγή: WikipediaWikipedia

6 Περιεχόμενα της ενότητας 6  Κβαντικές ιδιότητες υλικών σωμάτων Δυϊσμός σωματίου-κύματος Υλικά κύματα Μήκος κύματος κατά de Broglie Κυματοομάδα Φασική και ομαδική ταχύτητα

7 Υλικά κύματα Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Την έννοια του υλικού κύματος του de Broglie.  Την αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης.  Την έννοια του κυματοδέματος.  Την έννοια της φασικής και ομαδικής ταχύτητας.  Την ερμηνεία της συνθήκης κβάντωσης του Bohr.

L.de Broglie Υλικά κύματα Πηγή σχήματος: wikipedia Στη διδακτορική του διατριβή ο de Broglie δέχτηκε αξιωματικά ότι αφού τα φωτόνια έχουν κυματικά και σωματιδιακά χαρακτηριστικά τότε ίσως όλες οι μορφές της ύλης να έχουν αντίστοιχα εκτός από τις σωματιδιακές και κυματικές ιδιότητες. Ο Einstein πρώτος προσέδωσε στο φωτόνιο, εκτός από την κυματική του και σωματιδιακή φύση. Το 1923 ο Louis de Broglie, βασιζόμενος σε ανάλογα επιχειρήματα, πρότεινε την κυματική φύση των υλικών σωμάτων. Συγκεκριμένα: Ο de Broglie θεώρησε ότι:  Σε κάθε σωμάτιο αντιστοιχεί ένα κύμα που το ονόμασε «κύμα πιλότο». Αργότερα ονομάστηκε «υλικό κύμα». Τα υλικά κύματα συνοδεύουν τα σωμάτια και τα καθοδηγούν στην κίνησή τους. Η φύση των υλικών κυμάτων δεν είναι ηλεκτρομαγνητική.

L.de Broglie  Η κίνηση του σωματίου περιγράφεται από τις εξισώσεις που διέπουν τη διάδοση του αντίστοιχου υλικού κύματος.  Δανείστηκε τις γνωστές σχέσεις για την ενέργεια Ε των φωτονίων (όπου η μάζα ηρεμίας τους είναι προφανώς μηδέν). Έτσι ο de Broglie πρότεινε ότι «Για κάθε σωμάτιο μάζας m και ταχύτητας u αντιστοιχεί ένα κύμα, ονομαζόμενο «υλικό κύμα», του οποίου το μήκος κύματος λ δίδεται από την σχέση: Η σχέση αυτή συνδέει ένα καθαρά κυματικό χαρακτηριστικό, το λ, με σωματιδιακά χαρακτηριστικά όπως η μάζα και η ορμή. Πηγή σχήματος: wikipedia Υλικά κύματα

L.de Broglie Πηγή σχήματος: wikipediawikipedia Travelling Particle Wavepacket  Τα σωμάτια που κινούνται ελεύθερα περιγράφονται από οδεύοντα υλικά κύματα ενώ τα δέσμια σωμάτια περιγράφονται από στάσιμα υλικά κύματα. Έτσι π.χ ένα ηλεκτρόνιο, στο άτομο του υδρογόνου, το περιγράφουμε με ένα στάσιμο υλικό κύμα. Η συνθήκη για να διατηρούνται στάσιμα κύματα, με μήκος κύματος λ, πάνω σε μια περιφέρεια κύκλου ακτίνας r. Είναι: τιμής ως συνέπεια των γενικότερων παραδοχών του de Broglie. Αυτή είναι η συνθήκη κβάντωσης που «ad hoc» είχε δεχθεί ο N. Bohr. Επομένως, προκύπτει η στροφορμή του ηλεκτρονίου να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας στοιχειώδους Υλικά κύματα

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας 100eV. Αυτό σημαίνει ότι κινείται με ταχύτητα περίπου 6x10 6 m/s, δηλαδή εκατό φορές μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός στο κενό. Προκύπτει ότι το μήκος λ του υλικού κύματος που αντιστοιχεί σε αυτό είναι: Το μήκος κύματος αυτό είναι αρκετά μικρό, συγκρίσιμο με τη διάμετρο των ατόμων ή την ενδοατομική απόσταση σε ένα κρυσταλλικό στερεό επομένως, εάν παρεμβάλουμε στο δρόμο των υλικών κυμάτων «εμπόδια» με συγκρίσιμες διαστάσεις θα μπορούσαμε να δούμε κυματικά φαινόμενα συμβολής ή περίθλασης. Θρίαμβος της θεωρίας de Broglie είναι η πειραματική παρατήρηση φαινομένων περίθλασης με ηλεκτρόνια, ανεξάρτητα, από τους Davinson-Germer και G.P.Thomson για πρώτη φορά (1927). Έχει πλέον επιβεβαιωθεί πειραματικά εκατοντάδες φορές. L.de Broglie Υλικά κύματα

Αντίθετα, το μήκος κύματος de Broglie λ ενός σώματος μάζας 1000Kg που κινείται με ταχύτητα u=100m/s προκύπτει ίσο με 6.6x m. Η τιμή αυτή είναι πάρα πολύ μικρή και δεν υπάρχει κανένας τρόπος ή δυνατότητα να τη μετρήσουμε ή να παρατηρήσουμε φαινόμενα συμβολής ή περίθλασης. Μόνο σε μικροσκοπικά σωμάτια (κβαντικά σωμάτια), όπου η μάζα τους είναι εξαιρετικά μικρή, υπάρχει πιθανότητα να παρατηρηθούν τέτοια φαινόμενα. Ποια είναι όμως η μορφή των υλικών κυμάτων που συνοδεύουν τα κβαντικά σωμάτια; Τα υλικά κύματα που συνοδεύουν το κβαντικό σωμάτιο θα πρέπει να είναι εντοπισμένα στον χώρο. Προς τούτο απαιτείται η υπέρθεση ή το άθροισμα πολλών ημιτονοειδών κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος, πλάτη και φάσεις. Τα κύματα αυτά συμβάλλουν στο χώρο και δημιουργούν ένα κυματοπακέτο. L.de Broglie Υλικά κύματα

‘Ένα κυματοπακέτο (κυματόδεμα) αποτελείται από ένα σύνολο κυμάτων διαφορετικών μηκών κύματος (και κυματάριθμου k=2π/λ), πλατών και φάσεων που συμβάλουν εποικοδομητικά σε μια μικρή περιοχή του χώρου. Έξω από την περιοχή αυτή, τα κύματα συμβάλουν αποσβεστικά και ο συνδυασμός τους παράγει ένα συνολικό πλάτος που τείνει πολύ γρήγορα στο μηδέν. Η φασική ταχύτητα u p, δηλαδή η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα από τα επιμέρους κύματα που αποτελούν την κυματοομάδα δίδεται από την σχέση: Ενώ η ομαδική ταχύτητα u g του κυματοδέματος ορίζεται από την σχέση: L.de Broglie Υλικά κύματα

Επειδή όμως: Υλικά κύματα Υλικά στα οποία η φασική ταχύτητα εξαρτάται από το μήκος κύματος λ ονομάζονται διασπείροντα μέσα. Τα υλικά στα οποία η φασική ταχύτητα δεν μεταβάλλεται με το μήκος κύματος ονομάζονται μη διασπείροντα. Διασπορά σημαίνει ότι τα επιμέρους αρμονικά κύματα, που δημιουργούν μια κυματοομάδα, κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες και αναγκάζουν την κυματοομάδα να διασπείρεται. Σε μη διασπείροντα μέσα η ομαδική και η φασική ταχύτητα είναι ίσες. Προκύπτει ότι: L.de Broglie

Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε την θεωρία των κυματοομάδων για ένα κβαντικό σωμάτιο (π.χ. ηλεκτρόνιο) μάζας ηρεμίας m ο. Σύμφωνα με τον de Broglie το υλικό κύμα που το συνοδεύει έχει συχνότητα f και μήκος κύματος λ. Ισχύει: καιοπότε Επίσης: οπότε: αλλά L.de Broglie Υλικά κύματα

Η εξίσωση αυτή μας δείχνει ότι τα επιμέρους κύματα de Broglie που αντιπροσωπεύουν ένα κβαντικό σωμάτιο με μάζα ηρεμίας m o παρουσιάζουν διασπορά ακόμα και στο κενό και κινούνται πάντοτε με διαφορετικές ταχύτητες. Είναι σημαντικό όμως να γίνει κατανοητό ότι η ομαδική ταχύτητα u g θα πρέπει να προκύπτει πάντοτε ίση με την ταχύτητα u του κβαντικού σωματίου διαφορετικά δεν μπορεί το υλικό κύμα να συνοδεύει το κβαντικό σωμάτιο. οπότε Στα πλαίσια της θεωρίας de Broglie αυτό μπορεί να αποδειχθεί σχετικά εύκολα. L.de Broglie

Ας θυμηθούμε ότι η ομαδική ταχύτητα u g δίνεται από την σχέση: Επίσης γνωρίζουμε ότι: Επομένως: Άρα: Αλλά Τελικά L.de Broglie Υλικά κύματα

Ε ΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ Π ΡΟΣΟΧΗ Σ ΑΣ

Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 6». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY1961/ /PHY1961/

21 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας