KVANTITATIVNE METODE U GRAĐEVINSKOM MENADŽMENTU predavanja 2015/16 METODE OPTIMIZACIJE I NJIHOVA PRIMJENA U GRAĐEVINARSTVU Operaciona istraživanja Linearno programiranje grafička metoda simpleks metoda transportni problemi- (u narednom predavanju) predavanja koncipirana uglavnom na osnovu knjige: Ž. Praščević, N. Praščević- Operaciona istraživanja u građevinarstvu, Beograd 2009 8

Operaciona istraživanja Operaciona istraživanja obuhvataju primjenu naučnih metoda za rješavanje kompleksnih problema koji nastaju u upravljanju velikim sistemima u privredi, poslovnim državnim, odbranbenim i drugim institucijama (Def. Britanskog udruđenja za operaciona istraživanja) cilj primjene = povećanje efikasnosti poslovanja sistema Karakteristike operacionih istraživanja: sistemski pristup (menadžmentu i poslovnom sistemu) primjena u organizacionim (operativnim) sistemima (istraživanje operacija cijele organizacije) primjena naučnih metoda i tehnika u izučavanju funkcionisanja sistema i priprema odluka formulisanje modela i iznalaženje optimalnog ili zadovoljavajućeg rješenja planiranje i upotreba eksperimentalnih operacija koje daju uvid u ponašanje stvarnih operacija kompleksni radni timovi (poznavaoci operacionih istraživanja i eksperti za tehničke, tehnološke, ekonomske, pravne i dr. probleme) Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Nastanak i razvoj operacionih istraživanja prvobitno rješavani problemi uspješnosti vojnih operacija na početku i tokom Prvog svjetskog rata u Velikoj Britaniji: oformljen tim za rješavanje problema najefikasnijeg rasporeda protivavionske artiljerije problem efikasnosti bombardovanja i zaštir+te brodskih konvoja na početku i tokom Drugog svjetskog rata razvoj novih metoda taktičkih operacija (za otkrivanje neprijateljskih aviona radarom) 1941. g. Bleket (fizičar- kasnije dobitnik Nobelove nagrade)- definisao cilj operacionih istraživanja: „da pomognu u nalaženju mogućnosti za poboljšanje ratnih operacija“ 1942. g. formiran u Američkoj mornarici Grupa za operaciona istraživanja, zatim u Kanadskom vazduhoplovstvu itd. 1939. Kantorovič (RU- kasnije 1975- dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju) prvi put formulisao neke značajne robleme proizvodnje kao zadatke linearnog programiranja i predložio metodu rješavajućih koeficijenata 1949 Dancing (SAD) formulisao Simpleks metodu za rješavanje problema linearnog programiranja. nakon rata primjena u industriji: Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Faze rešavanja problema u operacionim istraživanjima formulacija problema opisuju se ciljevi istraživanja, formulišu se hipoteze, identifikuju se alternativne odluke, sagledavaju se ograničenja, mogućnosti i zahtjeva sistema izrada matematičkog modela definisanje zadatka matematičkog programiranja=matematički program (nelinearni ili linearni) definisanje funkcije cilja (cilj koji se želi postići funkcionisanjem sistema): z=max(min)f(x1, x2, ....xn; μ1, μ2, ...μk) ili se ova funkcija može sastojati od više funkcija kriterijuma (višekriterijumska optimizacija) uslovi ograničenja=matematičke relacije između promjenljivih xj koje zavise od tehnoloških zahtjeva, raspoloživih resursa, radnog prostora i sl.: gi(x1, x2, ....xn; μ1, μ2, ...μk)≤0 , i=1,2...m ili jednačine hi(x1, x2, ....xn; μ1, μ2, ...μk)=0 , i=1,2...r gdje su: promjenljive odlučivanja (zavise od donijete odluke): x1, x2, ....xn parametri stanja sistema- izražavaju neka svojstva sistema i predstavljaju ulazne podatke: μ1, μ2, ...μk određivanje rješenja modela – određivanje optimalnog ili njemu bliskog rješenja= određivanje vrijednosti lpromjenljivih x1, x2, ....xn , koje zadovoljavaju uslove ograničenja, a za koje funkcija cilja ima max ili min (zavisno od njene prirode) analitičkim putem za jednostavnije probleme (primjena matematičkih operacija: algebra, diferencijalni i integralni račun) numeričkim postupcima (najćešće iterativnim postupkom od pretpostavljenog početnog rješenja, dok se ne dobije optimalno) analiza osjetljivosti rješenja (odredi se optimalno rješenje za izabrane vrijednosti parametara μi, a zatim se utvđuje kako se ono mijenja sa promjenom parametara) provjera modela i ocjena rješenja koristeći postojeće podatke koji se odnose na ranije ponašanje sistema provjerava se da li je model dobro koncipiran na osnovu posebnih probnih podataka predviđa se buduće ponašanje sistema primjena rješenja u praksi i kontrola njihovog izvršenja uključen tim koji je radio na rješavanju problema; praćenje razlika između predloženog rješenja i stvarnih podataka Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Metode operacionih istraživanja Grupe problema koje se rešavaju operacionim istraživanjima: dobro matematički strukturirani problemi rješavaju se matematičkim metodama, ispunjavaju sljedeće: može se formulisati matematički model, model ima više dopustivih rješenja i sadrži funkcije kriterijuma na osnovu kojih se vrednuju rješenja, postoji algoritam i matematička procedura za dobijanje rješenja mogu se prikupiti sve informacije koje su neophodne za formulaciju modela slabo matematički strukturirani problemi (ne ispunjavaju gornje uslove), rješavaju se heurističkim i ekspertnim metodama Matematičke metode-za formulaciju matematičkog modela i određivanje rješenja; karakteristike: strogost u formulaciji i egzaktnost u nalaženju rješenja za probleme čiji se uslovi ograničenja mogu precizno matematički definisati determinističke- vrijednosti svih parametara u modelu su determinističke veličine (odrežuju se sa potpunom vjerovatnoćom) linearno programiranje (smipleks metoda, grafička metoda, transportni problem) nelinearno programiranje dinamičko programiranje, cjelobrojno programiranje, mrežno programiranje stohastičke- vrijednost bar jednog parametra se procjenjuje sa određenom vjerovatnoćom ili se ostvarenje uslova ograničćenja procjenjuje sa vjerovatnoćom stohastičko programiranje, teorija slučajnih procesa, teorija masovnog opsluživanja (redova čekanja) teorija zaliha, metode simulacije (Monte Karlo metode) teorija pouzdanosti sistema i dr. (PERT) metode zasnovane na teoriji rasplinutih skupova Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Metode operacionih istraživanja- nastavak Heurističke metode se primjenjuju: ako imamo formulisan matematički model, koji je vrlo komplikovan pa se ne može riješiti analitičkim ili numeričkm postupcima ako ne možemo definisati matematički model, jer su promjenljive kvalitativne prirode postupak uz podržku računara: proučavanje problema formulisanje ciljeva na osnovu intuicije, kreativnosti, znanja i iskustva, odrežuju se osnovna pravila- heuristike na onosvu kojih se definiše matematički model i traže rješenja provjera rješenja, i ponavljanje prethodnog koraka i provjere rješenja Ekspertne metode se primjenjuju: za matematički slabo strukturirane probleme baziraju se na subjektivnim ocjenama mogućih rješenja od strane eksperata (Delfi metoda) Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Linearno programiranje najćešće primjenjivana metoda za tehničke, ekonomske, organizacione i dr. probleme u građevinarstvu se primjenjuje za organizaciju, ekonomiku i planiranje proizvodnje (izabrati proizvodni asortiman, kako bi se ostvario što veći profit) određivanje sastava mješavina za proizvodnju betona, stabilizaciju tla i sl. krojenje materijala (betonskog željeza, lima, građe) sa minimalnom količinom otpadaka određivanje mehanizma loma i opterećenja loma konstruktivnih sistema u stanju granične ravnoteže.... Karakteristike: funkcija cilja linearna uslovi ograničenja (nejednačine ili jednačine) linearne Uslovi potrebni za primjenu linearnog programiranja jasna formulacija cilja izabrati specifične uslove - ograničenja koja treba da su zasnovana na postojećim izvorima, planskim proporcijama i drugim faktorima koji određuju dozvoljena rešenja zadatak treba da dozvoli dobijanje niza rešenja i izbor optimalnog za date uslove model zadatka linearnog programiranja treba da sadrži isključivo linearne jednačine Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Opšta formulacija zadaka linearnog programiranja funkcija cilja (linearna funkcija): 𝒎𝒂𝒙 𝒊𝒍𝒊 𝒎𝒊𝒏 𝒛=𝒇( 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , ... 𝒙 𝒏 )= 𝒄 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒙 𝟐 +….+ 𝒄 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 gdje su: ci - troškovi resursa, realni brojevi, za i=1,2...,n xi - promjenljive koje treba odrediti, za i=1,2...,n sistem ograničenja (ukupno m ograničenja) k ograničenja sa znakom „≤“ 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 ≤ 𝑏 𝑖 (i=1,2...k) p ograničenja sa znakom „≥“ 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 ≥ 𝑏 𝑖 (i=k+1, k+2,...k+p) m-p-k ograničenja sa znakom „=“ 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 (i=k+p+1, k+p+2,...,m) , ɑir , ɑjr , ɑkr realni brojevi, za r=1,2...,n bi , bj, bk pozitivni realni brojevi uslov nenegativnosti 𝑥 𝑖 ≥0 Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Matrični oblik zadatka linearnog programiranja funkcija cilja: 𝑚𝑎𝑥 𝑧= 𝒄 𝑻 𝒙 sistem ograničenja 𝑨𝒙≤,=≥𝒃 uslov nenegativnosti 𝒙≥0 , 𝒃≥0, gdje su vektori i matrica: 𝒄= 𝑐 1 𝑐 2 ⋮ 𝑐 𝑛 vektor troškova resursa, 𝒃= 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 vektor zahtjeva 𝑨= 𝑎 11 𝑎 12 … 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 … 𝑎 2𝑛 ⋯ … … … 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛 , matrica koeficijenata 𝒙= 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 vektor rješenja problema, ako zadovoljava sistem ograničenja, a ako zadovoljava i uslov nenegativnosti onda ovaj vektor predstavlja i dopustivo rješenje Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Dopustivo i optimalno rješenje, interpretacija u n-dimenzionalnom prostoru Ako je: x -rješenje problema (zadovoljava uslove ograničenja) 𝒙 ∗ dopustivo rješenje koje zadovoljava uslove ograničenja i uslove nenegativnosti 𝒄 𝒙 ∗ ima konačnu vrijednost, tako da: 𝒄 𝒙 ∗ ≤ ≥ 𝒄𝒙, tada je x* - optimalno rješenje problema određivanja minimuma (maksimuma) funkcije cilja komponente vektora x predstavljaju koordinate neke tačke u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru, a vektor x je njen vektor položaja (odrežuje koordinate tačke u n-dimenzionalnom prostoru) ograničenja sa znakom ≤ ili ≥ određuju po jedan poluprostor ako je dvodimenzionalni prostor (u slučaju kad treba odrediti samo 2 promjenljive) onda ova ograničenja definišu poluravni u slučaju trodimenzionalnog prostora (u slučaju kad treba odrediti 3 promjenljive), ova ograničenja predstavljaju poluprostore ograničenja sa znakom = određuju po jednu hiperravan ako je dvodimenzionalni prostor onda ovakva ograničenja definišu prave u dvodimenzionalnom prostoru u slučaju trodimenzionalnog prostora, ovakva ograničenja predstavljaju ravni u trodimenzionalnom prostoru Može se pokazati da je: min z = - max(-z), pa se određivanje minimuma može tretirati, kao određivanje maksimuma funkcije -z Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Grafički prikaz i grafičko rješavanje linearnog programiranja primjenjiv za dvodimenzionalni (jednostavan za crtanje) i trodimenzionalni problem (komplikovanije za crtanje) Postupak rješavanja za dvodimenzionalni problem: formulisanje matematičkog modela: razmotriti i formulisati uslove proizvodnje, ograničenja i funkciju cilja rješavanje grafičkim putem – crtanjem u I kvadrantu pravouglog koordinatnog sistema nacrtaju se prave definisane jednačinama koje se dobijaju iz uslova ograničenja zamjenom znakova nejednakosti znakom jednakosti 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 ≤(≥) 𝑏 𝑖 , postaju 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑖 određujemo oblast dopustivih rješenja kao presjek poluravni definisanih uslovima ograničenja (u prvom kvadrantu) funkcija cilja je određena vektorom c=[c1, c2] (gradijentom funkcije cilja), odnosno vektorom koji je normalan na funkciju cilja Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa. oblast dopustivih rješenja uslovi ograničenja

Grafički prikaz i grafičko rješavanje linearnog programiranja nacrta se prava c1x1+c2x2=0 i pomjera se paralelno samoj sebi duž vektora normale na funkciju cilja do najudaljenije tačke na konturi skupa dopustivih tačaka) određuje se ona tačka u oblasti dopustivih rješenja za koju funkcija cilja ima maksimalnu (ili minimalnu) vrijednost. Koordinate te tačke (očitaju se sa crteža) predstavljaju optimalno rješenje. U toj tački se može povući prava normalna na gradijent funkcije cilja, tako da se sve tačke oblasti dopustivih rješenja nalaze sa jedne strane te prave: to je tačka maksimuma – ako je što dalja od koordinatnog početka tačka minimuma –najbliža koordinatnom početku Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa. max z gradijent funkcije cilja (vektor normale na funkciju cilja) C(c1, c2) min z

x2 x1 (3;7) (0;7) (0;2) (2;0) (5;0) p1 p2 gradijent funkcije cilja Primjer 1: U jednom pogonu se proizvode dvije vrste proizvoda (P1 i P2) na mašinama (M1 i M2). Vrijeme obrade proizvoda P1 na mašini M1 iznosi 2 minuta, a vrijeme obrade proizvoda P1 na mašini M2 iznosi 7 minuta u jdenom ciklusu. Proizvod P2 se obrađuje na mašini M1 5 minuta, a na mašini M2 2 minuta u jednom ciklusu. Tehnološki je uslovljeno trajanje ciklusa na mašini M1 do 10 minuta, a na mašini M2 do14 minuta. Odrediti plan proizvodnje koji će donijeti najveći profit, ako proizvod P1 donosi profit od 3 n.j /kom, a proizvod P2 7 n.j./kom. Rješenje: funkcija cilja: maxz=3x1+7x2 gdje je x1 i x2 broj komada proizvoda P1, odnosno P2 uslovi ograničenja: uslovi nenegativnosti: x1, x2 ≥0 postupak: uslovi ograničenja definišu prave koje treba nacrtati: p1: 2x1+5x2=10 (prolazi kroz tačke (5;0) i (0;2)) p2: 7x1+2x2=14 (prolazi kroz tačke (2;0) i (0;7)) šrafira se oblast dopustivih rješenja nacrta se gradijent funkcije cilja (pravac njenog najvećeg prirasta): povlači se prava od koordinatnog početka do tačke (3;7) tačke po obodu šrafirane oblasti su kandidati za optimalna rješenja tačka koja je najudaljenija od koordinatnog početka, a u kojoj funkcija cilja „tangira“ datu oblast je tačka maksimuma. Koordinate se mogu očitati sa crteža, ali se mogu i odrediti iz presjeka pravih: 2x1+5x2=10 i 7x1+2x2=14. Odavde je: x1=1,61 i x2=1,35, max z=3*1,61+7*1,35=4,83 gradijent funkcije cilja P1 (ai1) P2(ai2) bi M1 2 5 10 M2 7 14 x2 (3;7) (0;7) funkcija cilja koja odgovara planu proizvodnje sa maksimalnim profitom koordinate ove tačke predstavljaju optimalno rješenje (0;2) x1 (2;0) (5;0) p1 p2

Opšta formulacija zadaka linearnog programiranja funkcija cilja (linearna funkcija): 𝒎𝒂𝒙 𝒊𝒍𝒊 𝒎𝒊𝒏 𝒛=𝒇( 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , ... 𝒙 𝒏 )= 𝒄 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒙 𝟐 +….+ 𝒄 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 gdje su: ci - troškovi resursa, realni brojevi, za i=1,2...,n xi - promjenljive koje treba odrediti, za i=1,2...,n sistem ograničenja (ukupno m ograničenja) k ograničenja sa znakom „≤“ 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 ≤ 𝑏 𝑖 (i=1,2...k) p ograničenja sa znakom „≥“ 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 ≥ 𝑏 𝑖 (i=k+1, k+2,...k+p) m-p-k ograničenja sa znakom „=“ 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 (i=k+p+1, k+p+2,...,m) , ɑir , ɑjr , ɑkr realni brojevi, za r=1,2...,n bi , bj, bk pozitivni realni brojevi (iz vektora zahtjeva) uslov nenegativnosti 𝑥 𝑖 ≥0 Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Svođenje uslova ograničenja na kanonski oblik sistem ograničenja (ukupno m ograničenja) se dodavanjem k+p dopunskih promjenljivih pretvara u sistem jednačina, tako da se mogu pisati u tzv. kanonskom obliku: k ograničenja sa znakom „≤“ se transformiše: 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛+𝑖 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 + 𝑥 𝑛+𝑖 = 𝑏 𝑖 (i=1,2...k) p ograničenja sa znakom „≥“ se transformiše: 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛+𝑖 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑛+1 = 𝑏 𝑖 (i=k+1, k+2,...k+p) m-p-k ograničenja sa znakom „=“, ostaju ista: 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 (i=k+p+1, k+p+2,...,m) , gdje su: ɑir , ɑjr , ɑkr realni brojevi, za r=1,2...,n bi , bj, bk pozitivni realni brojevi uslov nenegativnosti glavnih promjenljivih se proširuje sa uslovima nenegativnosti dopunskh promjenljivih 𝑥 𝑖 ≥0 , (za i=1,2, ....n) i 𝑥 𝑛+𝑖 ≥0 , (za i=1,2, ....k+p) funkcija cilja ostaje nepromjenjena (troškovi resursa za dopunske promjenljive se pretpostavljaju jednaki nuli, odnosno cn+i=0) max z= 𝒄 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒙 𝟐 +….+ 𝒄 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑗 ∙ 𝑥 𝑗 Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Uslovi za postojanje rješenja problema rješavanje se svodi na rješavanje sistema od m jednačina (u kanonskom obliku) sa N=n+(k+p) nepoznatih. prema Kroneker – Kapelijevoj teoremi, potreban i dovoljan uslov da sistem linearnih jednačina bude konzistentan, odnosno saglasan je da rang matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice (rang matrice je maksimalan broj njenih linearno nezavisnih vektora vrsta ili vektora kolona): matricu sistema čine svi koeficijenti uz glavne i dopunske promjenljive iz svih uslova ograničenja proširenu matricu sistema čini matrica sistema uvećana za koonu u kojoj se pišu slobodni članovi (vektor zahtjeva) od međusobnih odnosa broja uslova ograničenja, broja promjenljivih i ranga matrice zavisi postojanje rješenja i njihov broj: ako je m=N (N- ukupan broj glavnih i dopunskih promjenljivh) i rang matrice m, onda sistem ima samo jedno rješenje, odnosno skup dopustivih rješenja čini samo jedna tačka, pa se ne može razmatrati problem optimizacije ako je m>N i ranf+g matrice je m, onda je m-N ograničenja suvišno i može se odbaciti, pa se dobija prethodni slučaj- samo jedno rješenje ako je m<N, a rang matrice je m, onda sistem ima više rješenja, pa se može tražiti od svih dopustivih rješenja optimalno- za ove potrebe je razvijena simpleks metoda Preuzeto iz Pivac Snježana; Statističke metode „Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Istraživanja koja se sprovode na cijelom osnovnom skupu često su skupa (ili nemoguća=kontrola kvaliteta proizvoda destruktivnim metodama) i zahtijevaju mnogo vremena, pa se u praksi često, koristeći metode i tehnike inferencijalne statistike, na osnovu podataka iz uzorka donose zaključci vezani za osnovni skup. Pri takvom zaključivanju postavljaju se različite pretpostavke ili hipoteze. Potrebno je razlikovati naučne hipoteze i statističke hipoteze. Naučne hipoteze predstavljaju nagađanje, naslućivanje i pretpostavke koje motivišu istraživača. Iz naučne hipoteze, tj. hipoteze istraživača (koja je najčešće afirmativna) izvodi se statistička hipoteza. Statističke hipoteze=svaka pretpostavka o konkretnoj raspodjeli obilježja X; postavljaju se na način da mogu biti vrednovane statističko-analitičkim postupcima. One su u stvari matematički izraz koji predstavlja polaznu osnovu na kojoj se temelji kalkulacija statističkog testa.

Simplex metoda rešavanja zadataka LP Simpleks metoda – iterativna procedura za određivanje optimalnih rješenja problema linearnog programiranja sa proizvoljnim brojem promenljivih (iterativni proračun se obavlja po različitim pravilima u tabelama) Predložio je američki matematičar G.B.Danzig 1947. godine. postoji više varijanti simplex metode, ali se sve uglavnom zasnivaju na sljedećim koracima: prevođenju sistema uslova ograničenja u kanonski sistem, dodavanjem dopunskih (ako je potrebno i vještačkih) promjenljivih izboru najjednostavnije početnog, odnosno najjednostavnijeg bazičnog rješenja, provjeri optimalnosti, iznalaženju boljeg rješenja od onog nađenog u prethodnom koraku (ide se do sljedeće ekstremne tačke na konturi oblasti dopustivih rješenja), provjeri optimalnosti i ponavljanju koraka 3-5 dok se ne nađe optimalno rješenje

Simplex metod sa Jordanovim eliminacijama najjednostavnija varijanta simpleks metode koja zahtijeva najmanje računanja. Neka je dat linearni program koji sadrži funkciju cilja i uslove ograničenja

Dopunske promenljive Uvođenjem dopunskih promenljivih uslovi ograničenja i funkcija cilja se mogu pisati u obliku sistema linearnih jednačina ove se jednačine mogu napisati i u drugom obliku, kako bi se preko njih izrazile dopunske promenljive

Jordanova eliminacija Ako se u r-toj jednačini ovog sistema izvrši Jordanova eliminacija promenljive xs dobija se Kada se ovaj izraz uvrsti u prethodni sistem jednačina on postaje sistem:

Transformisani koeficijenti gdje su transformisani koeficijenti u jednačinama izraženi preko ranijih koeficijenata

Početno rešenje, bazične i nebazične promjenljive Ako se u sistemu jednačina u početnom rešenju promenljive ui i z smatraju bazičnim (početnim), a promenljive xj nebazičnim, onda je Primenjujući Jordanovu eliminaciju iz baze prostora Em se isključuje dopunska promenljiva ur , a na njeno mjesto uključuje promenljiva xs i transformišu elementi aij matrice A prema izrazima sa prethodnog slajda U opštem slučaju u nekoj eliminaciji (iteraciji) p se dobijaju transformisane vrijednosti koeficijenata iz prethodne eliminacije p-1 prema izrazima sa prethodnog slajda Red r matrice A iz kojeg se isključuje bazična promenljiva i stubac (kolona) s kojem odgovara promenljiva koja se uključuje u bazično rješenje nazivaju se, ključni red i ključni stubac, a element koji im pripada naziva ključni ili vodeći element. Sistem linearnih jednačina ima n+m+1 promenljivih (n glavnih, m dopunskih i 1 je z). Ako je rang matrice ovog sistema jednačina m+1 (koliko ima i jednačina), što znači da su ove jednačine linearno nezavisne, onda se može pretpostaviti da m+1 promenljivih imaju nenegativne vrednosti i predstavljaju bazične promenljive. Preostale promenljive, kojih ima n, su nebazične i njihova vrijednost je jednaka nuli.

𝜃 𝑖 (𝑝−1) ≥ 𝜃 𝑟 (𝑝−1) odnosno 𝜃 𝑟 (𝑝−1) =𝑚𝑖𝑛 𝜃 𝑖 (𝑝−1) ≥0 Izbor ključnog reda r U ovoj simpleks proceduri se, kako je već rečeno, za polazno rešenje uzimaju ui = bi (i=1,2,...,m) i z = 0, za bazične promenljive. Ako je izabran ključni stubac s, onda se ključni red r određuje tako da se prilikom Žordanove eliminacije p za sve bazične promjenljive, čije su vrijednosti jednake slobodnom članu 𝑏 𝑖 (𝑝) , dobiju nenegativne vrijednosti, tj. da bude: odnosno biranjem ključnog reda određuje se koja se bazićna promjenljiva izbacuje iz baze u sljeećoj iteraciji Ako se uvedu oznake onda mora biti 𝜃 𝑖 (𝑝−1) ≥ 𝜃 𝑟 (𝑝−1) odnosno 𝜃 𝑟 (𝑝−1) =𝑚𝑖𝑛 𝜃 𝑖 (𝑝−1) ≥0 Za ključni red r izabrati onaj red za koji je nenegativna vrijednost 𝜽 𝒊 (𝒑−𝟏) minimalna.

Izbor ključnog stubca (kolone) s Biranjem ključne kolone bira se promenljiva koja se u sljedećoj iteraciji ubacuje u bazu, kako bi se povećala funkcija cilja u sljedećoj iteraciji Vrijednost funkcije cilja posle eliminacije (iteracije) p je: odnosno (uz ranije uvedene smjene Da bi se posle Jordanove eliminacije (p) dobila veća ili ista vrijednost funkcije cilja z(p) od vrijednosti iz prethodne eliminacije z(p-1) , tj. mora biti Kako je ključni red izabran red r tako da je mora biti ispunjen i uslov Za ključnu kolonu treba birati kolonu s za koju je ispunjen uslov: 𝑐 𝑠 (𝑝−1) ≥0

Optimalno rješenje – kraj postupka Optimalno rješenje je dobijeno onda kada su svi elementi u poslednjem redu simpleks tabele negativni ili jednaki nuli, a elementi transformisanog slobodnog člana nenegativni, tj. 𝒄 𝒋 ≤𝟎 , 𝒃 𝒊 ≥𝟎 (i=1,2....m; j=1,2,....n) U slučaju kada je u uslovima ograničenja i u početnoj tabeli jedan ili više članova 𝑏 𝑖 <0, može se dogoditi da posle nekoliko Jordanovih eliminacija budu svi članovi 𝑐 𝑗 ≤0, a neki od članova 𝑏 𝑖 <0: ovo rešenje nije optimalno i treba nastaviti simpleks proceduru. Red u kojem je 𝑏 𝑖 <0 postaje ključni (r=i), a za ključni stubac (s=j) se bira onaj u kojem je 𝑎 𝑖𝑗 <0 Ako postoji više takvih elemenata, treba za vodeći izabrati onaj koji ima veću apsolutnu vrijednost. Postupak se nastavlja sve dok se ne ispune uslovi

Posebni slučajevi U slučaju kada je u uslovima ograničenja i u početnoj tabeli jedan ili više članova 𝑏 𝑖 <0, može se dogoditi da posle nekoliko Jordanovih eliminacija budu svi članovi 𝑐 𝑗 ≤0, a neki od članova 𝑏 𝑖 <0: ovo rešenje nije optimalno i treba nastaviti simpleks proceduru. Red u kojem je 𝑏 𝑖 <0 postaje ključni (r=i), a za ključni stubac (s=j) se bira onaj u kojem je 𝑎 𝑖𝑗 <0 Ako u p iteraciji (eliminaciji) svi elementi u poslednjem redu simpleks tabele budu: 𝒄 𝒋 (𝒑) ≥0 (j=1,2,....n) i postoji red u kojem je 𝒃 𝒊 (𝒑) <𝟎, a u kojem nema članova 𝒂 𝒊𝒋 (𝒑) <𝟎, onda su uslovi ograničenja nesaglasni i problem nema rješenja Ako u p iteraciji (eliminaciji) ispunjeni uslovi optimalnosti, ali je makar jedan 𝒄 𝒋 (𝒑) =0 ili je jedna od bazičnih promjenljivih jednaka 0 (degenerativno rješenje), postoji još optimalnih rješenja (sa istom vrijednošću funkcije cilja) Ako u p iteraciji (eliminaciji) dobijemo degenerativno rješenje (bar jedna vrijednost slobodnog člana 𝒃 𝒋 (𝒑) =0, onda je moguće da u daljoj proceduri dođe do cikličnog ponavljanja rješenja, odnosno da se ponovo dobije polazno rješenje. Da bi se ovo izbjeglo umjesto 𝒃 𝒋 (𝒑) =0, usvaja se 𝒃 𝒋 (𝒑) =𝜀 (proizvoljno mali broj koji neće uticati na z. Ako u p iteraciji (eliminaciji) dobijemo za neku nebazičnu promjenljivu vrijednost u koloni k simpleks tabele 𝒄 𝒌 (𝒑) >0 ,: a da su sve vrijednosti članova 𝒂 𝒊𝒋 (𝒑) <𝟎, onda je rješenje problema neograničeno i funkcija cilja može imati proizvoljno veliku vrijednost

Posebni slučajevi U slučaju kada je u uslovima ograničenja i u početnoj tabeli jedan ili više članova 𝑏 𝑖 <0, može se dogoditi da posle nekoliko Jordanovih eliminacija budu svi članovi 𝑐 𝑗 ≤0, a neki od članova 𝑏 𝑖 <0: ovo rešenje nije optimalno i treba nastaviti simpleks proceduru. Red u kojem je 𝑏 𝑖 <0 postaje ključni (r=i), a za ključni stubac (s=j) se bira onaj u kojem je 𝑎 𝑖𝑗 <0 Ako u p iteraciji (eliminaciji) svi elementi u poslednjem redu simpleks tabele budu: 𝒄 𝒋 (𝒑) ≥0 (j=1,2,....n) i postoji red u kojem je 𝒃 𝒊 (𝒑) <𝟎, a u kojem nema članova 𝒂 𝒊𝒋 (𝒑) <𝟎, onda su uslovi ograničenja nesaglasni i problem nema rješenja Ako u p iteraciji (eliminaciji) ispunjeni uslovi optimalnosti, ali je makar jedan 𝒄 𝒋 (𝒑) =0 ili je jedna od bazičnih promjenljivih jednaka 0 (degenerativno rješenje), postoji još optimalnih rješenja (sa istom vrijednošću funkcije cilja) Ako u p iteraciji (eliminaciji) dobijemo degenerativno rješenje (bar jedna vrijednost slobodnog člana 𝒃 𝒋 (𝒑) =0, onda je moguće da u daljoj proceduri dođe do cikličnog ponavljanja rješenja, odnosno da se ponovo dobije polazno rješenje. Da bi se ovo izbjeglo umjesto 𝒃 𝒋 (𝒑) =0, usvaja se 𝒃 𝒋 (𝒑) =𝜀 (proizvoljno mali broj koji neće uticati na z. Ako u p iteraciji (eliminaciji) dobijemo za neku nebazičnu promjenljivu vrijednost u koloni k simpleks tabele 𝒄 𝒌 (𝒑) >0 ,: a da su sve vrijednosti članova 𝒂 𝒊𝒋 (𝒑) <𝟎, onda je rješenje problema neograničeno i funkcija cilja može imati proizvoljno veliku vrijednost

Algoritam za simpleks metodu sa Jordanovim koeficijentima sve uslove ograničenja svesti na oblik nejednačina sa znakom ≤ (one koji imaju oblik nejednakosti ≥, pomnožiti sa -1) ( −𝑎 𝑖1 ) 𝑥 1 + (−𝑎 𝑖2 ) 𝑥 2 +….+(− 𝑎 𝑖𝑛 )≤− 𝑏 𝑖 uslove ograničenja svesti na oblik jednačina uvođenjem dopunskih promjenljivih ui 𝑎 𝑖1 𝑥 1 + 𝑎 𝑖2 𝑥 2 +….+ 𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑢 𝑖 = 𝑏 𝑖 dopunske promjenljive izabrati za bazične i preko njih izraziti sve jednačine 𝑎 𝑖1 (−𝑥 1 )+ 𝑎 𝑖2 (− 𝑥 2 )+….+ 𝑎 𝑖𝑛 (− 𝑥 𝑛 )+ 𝑏 𝑖 = 𝑢 𝑖 funkciju cilja napisati u obliku 𝑐 1 (−𝑥 1 )+ 𝑐 2 − 𝑥 2 +….+ 𝑐 𝑛 − 𝑥 𝑛 +𝑞=−𝑧 formirati početnu simpleks tabelu izabrati ključni red, odnosno kolonu: ako u tabeli postoji član bi<0, onda je i-ti red ključni red ključnu kolonu izabrati na osnovu vrijednosti aij u ključnom redu i to tako da treba izabrati najmanju negativnu vrijednost aij<0. ako su svi aij≥0, onda su uslovi nesaglasni i problem nema rješenja ako su u tabeli svi bi≥0, birati najprije ključnu kolonu: ključna kolona odgovara najvećoj pozitivnoj vrijednosti cj ključni red biramo na osnovu θi gdje je 𝜃 𝑖 (𝑝−1) ≥ 𝑏 𝑖 𝑝−1 / 𝑎 𝑠 (𝑝−1) tako da biramo red koji ima najmanju nenegativnu vrijednost θi i -x1 -x2 ........ -xn bi θi u1 a11 a12 a1n b1 u2 a21 a22 a2n b2 ........... um am1 am2 amn bm -z c1 c2 cn q

Algoritam za simpleks metodu sa Jordanovim koeficijentima - nastavak izvršiti transformaciju koeficijenata u simpleks tabeli , prema formulama: Provjeriti da li su zadovoljeni uslovi optimalnosti: 𝒄 𝒋 ≤𝟎 , 𝒃 𝒊 ≥𝟎 (i=1,2....m; j=1,2,....n) ako su zadovoljeni prekinuti postupak, rješenje je optimalno ako nijesu zadovoljeni ponoviti postupak od tačke 6 i dalje

uslovi nenegativnosti: x1, x2 ≥0 postupak: Primjer 2: U jednom pogonu se proizvode dvije vrste proizvoda (P1 i P2) na mašinama (M1 i M2). Vrijeme obrade proizvoda P1 na mašini M1 iznosi 2 minuta, a vrijeme obrade proizvoda P1 na mašini M2 iznosi 7 minuta u jdenom ciklusu. Proizvod P2 se obrađuje na mašini M1 5 minuta, a na mašini M2 2 minuta u jednom ciklusu. Tehnološki je uslovljeno trajanje ciklusa na mašini M1 do 10 minuta, a na mašini M2 do14 minuta. Odrediti plan proizvodnje koji će donijeti najveći profit, ako proizvod P1 donosi profit od 3 n.j /kom, a proizvod P2 7 n.j./kom. Primijeniti simpleks metodu sa Jordannovim eliminacijama Rješenje: funkcija cilja: max z=3x1+7x2 gdje je x1 i x2 broj komada proizvoda P1, odnosno P2 uslovi ograničenja: 2x1+5x2≤10 i 7x1+2x2≤14 uslovi nenegativnosti: x1, x2 ≥0 postupak: uvođenje dopunskih promjenljivih i prevođenje u sistem jednačina po dopunskim promjenljivim ui: 2 (−𝑥 1 )+5(− 𝑥 2 )+10= 𝑢 1 7 (−𝑥 1 )+2 − 𝑥 2 +14= 𝑢 2 3 (−𝑥 1 )+7 − 𝑥 2 +0=−𝑧 početna iteracija prikazana u tabeli: bazične promjenljive su u1=10 i u2=14, početno rješenje je x1=0, x2=0, z=0 određuje se ključna kolona s (ona koja bi trebalo da dovede do porasta funkcije cilja u sljedećoj iteraciji tako što promjenljiva iz ključne kolone ulazi u bazično rješenje)- bira se kolona gdje je ci maksimalno; u ovom slučaju je to kolona s=2 određuje se ključni red r na osnovu sračunatog θi=bi/ais; kako bi prirast funkcije cilja bio maksimalan (i pozitivan) bira se najmanje pozitivno θi. U ovom primjeru to je prvi red. U sljedecoj iteraciji neće u1 biti bazična promjenljiva nego x2 i -x1 -x2 bi Θi= bi/ais u1 2 5 10 =10/5=2 r=1 u2 7 14 =14/2=7 -z 3 S=2

Primjer 2: nastavak Rješenje - nastavak početna iteracija (p=1) prikazana u tabeli sa izabranom ključnom kolonom i ključnim redom za sljedeću iteraciju: transformišu se koeficijenti u tabeli za sljedeću iteraciju (p=2) po formulama ključni element se transformiše po formuli 𝑎 𝑟𝑠 =1/ 𝑎 𝑟𝑠 (postaje recipročna vrijednost ključnog elementa iz prethodne iteracije) koeficijenti ključne kolone transformišu se tako što se podijele sa negativnom vrijednošću ključnog elementa: 𝑎 𝑖𝑠 =− 𝑎 𝑖𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 i 𝑐 𝑠 =− 𝑐 𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 koeficijenti ključnog reda transformišu se tako što se podijele sa ključnim elementom: 𝑎 𝑟𝑗 = 𝑎 𝑟𝑗 / 𝑎 𝑟𝑠 i 𝑏 𝑟 = 𝑏 𝑟 / 𝑎 𝑟𝑠 ostali elementi se transformišu tako to se njihova vrijenost iz početne iteracije umanji za količnik proizvoda odgovarajućih elementa iz ključne kolone i reda, i ključnog elementa; U ovoj transformaciji učestvuju koeficijenti koji se nalaze kao tjemena četvorougla: ključni element, element koji se transformiše, element u ključnoj koloni i redu koji odgovara elementu koji se transformiše, element iz ključnog reda i kolone koja odgovara koloni elementa koji se transformiše 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑎 𝑟𝑗 𝑎 𝑖𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 , 𝑐 𝑗 = 𝑐 𝑗 − 𝑎 𝑟𝑗 𝑐 𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 𝑏 𝑖 = 𝑏 𝑖 − 𝑎 𝑖𝑠 𝑏 𝑟 / 𝑎 𝑟𝑠 i -x1 -x2 bi Θi= bi/ais u1 2 5 10 =10/5=2 r=1 u2 7 14 =14/2=7 -z 3 S=2 i -x1 -u2 bi Θi= bi/ais x2 2/5=0,4 -1/5= - 0,2 10/5=2 =2/0,4=5 u2 7-2*2/5=6,2 -2/5= -0,4 14-2*10/5=10 =10/6,2=1,61 -z 3-7*2/5=0,2 -7/5= -1,4 0-7*10/5= - 14

Primjer 2: nastavak Rješenje - nastavak druga iteracija (p=2): bazične promjenljive u ovoj iteraciji su x2 i u2, a početno rješenje je: rješenje je x1=0, x2=2, z=14, u1=0 i u2=10 provjerava se da li su ispunjeni uslovi optimalnosti: 𝒄 𝒋 ≤𝟎 , 𝒃 𝒊 ≥𝟎 (i=1,2....m; j=1,2,....n) kako postoji cj>0, rješenje nije optimalno i postupak se ponavlja: određuje se ključna kolona s (ona koja bi trebalo da dovede do porasta funkcije cilja u sljedećoj iteraciji tako što promjenljiva iz ključne kolone ulazi u bazično rješenje)- bira se kolona gdje je ci maksimalno; u ovoj iteraciji to je kolona s=1 određuje se ključni red r na osnovu sračunatog θi=bi/ais; kako bi prirast funkcije cilja bio maksimalan (i pozitivan) bira se najmanje pozitivno θi. U ovoj iteraciji je to drugi red. U sljedecoj iteraciji neće u2 biti bazična promjenljiva nego x1 transformišu se koeficijenti u tabeli za sljedeću iteraciju (p=3) po prethodnim formulama i -x1 -u2 bi Θi= bi/ais x2 0,4 - 0,2 2 =2/0,4=5 u2 6,2 -0,4 10 =10/6,2=1,61 r=2 -z 0,2 -1,4 - 14 S=1

Primjer 2: nastavak Rješenje - nastavak ključni element se transformiše po formuli 𝑎 𝑟𝑠 =1/ 𝑎 𝑟𝑠 (postaje recipročna vrijednost ključnog elementa iz prethodne iteracije) koeficijenti ključne kolone transformišu se tako što se podijele sa negativnom vrijednošću ključnog elementa: 𝑎 𝑖𝑠 =− 𝑎 𝑖𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 i 𝑐 𝑠 =− 𝑐 𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 koeficijenti ključnog reda transformišu se tako što se podijele sa ključnim elementom: 𝑎 𝑟𝑗 = 𝑎 𝑟𝑗 / 𝑎 𝑟𝑠 i 𝑏 𝑟 = 𝑏 𝑟 / 𝑎 𝑟𝑠 ostali elementi se transformišu tako to se njihova vrijenost iz početne iteracije umanji za količnik proizvoda odgovarajućih elementa iz ključne kolone i reda, i ključnog elementa; U ovoj transformaciji učestvuju koeficijenti koji se nalaze kao tjemena četvorougla: ključni element, element koji se transformiše, element u ključnoj koloni i redu koji odgovara elementu koji se transformiše, element iz ključnog reda i kolone koja odgovara koloni elementa koji se transformiše 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑎 𝑟𝑗 𝑎 𝑖𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 , 𝑐 𝑗 = 𝑐 𝑗 − 𝑎 𝑟𝑗 𝑐 𝑠 / 𝑎 𝑟𝑠 𝑏 𝑖 = 𝑏 𝑖 − 𝑎 𝑖𝑠 𝑏 𝑟 / 𝑎 𝑟𝑠 i -x1 -u2 bi Θi= bi/ais x2 0,4 - 0,2 2 =2/0,4=5 u2 6,2 -0,4 10 =10/6,2=1,61 r=2 -z 0,2 -1,4 - 14 S=1 i -u1 -u2 bi Θi= bi/ais x2 -0,4/6,2= -1,55 - 0,2-0,4*(-0,4)/6,2= 0,23 2-10*0,4/6,2=1,36 =2/0,4=5 x1 1/6,2= 0,16 -0,4/6,2= 0,06 10/6,2= 1,61 =10/6,2=1,61 r=2 -z -0,2/6,2= -0,03 -1,4-0,2*(-0,4)/6,2= -1,39 - 14-10*0,2/6,2= - 14,32 S=1

Primjer 2: nastavak Rješenje - nastavak treća iteracija (p=3): bazične promjenljive u ovoj iteraciji su x1i x2 a rješenje je: x1=1,36, x2=1,61, z=14,32 u1=0 i u2=0 provjerava se da li su ispunjeni uslovi optimalnosti: 𝒄 𝒋 ≤𝟎 , 𝒃 𝒊 ≥𝟎 (i=1,2....m; j=1,2,....n) kako su sve vrijednosti cj<0, rješenje je optimalno i postupak se prekida Ovo rješenje je saglasno sa grafičkim rješenjem. proizvodni oprogram podrazumijeva da se proizvodi 1,36 komada proizvoda P1 i 1,61 komada proizvoda P2, a da će se pri tome ostvariti maksimalni profit 1,32 novčanih jedinica po jednom radnom ciklusu. i -u1 -u2 bi Θi= bi/ais x2 -1,55 0,23 1,36 x1 0,16 0,06 1,61 -z -0,03 -1,39 - 14,32

Literatura Ž. Praščević, N. Praščević: Operaciona istraživanja u građevinarstvu, Čugura print, Beograd, 2009,