Matricų teorija 2013-09-04

Matricų teorija Matricos ir vektoriaus sąvokos Veiksmai su matricomis Dauginės regresijos įverčių skaičiavimas pasitelkiant matricas

mxn matavimų stačiakampe matrica, vadiname aibę skaičių, sudėliotų stačiakampe forma, turinčia m eilučių ir n stulpelių a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23 ... a2n ... … … … … am1 am2 am3 ... amn 1xn matavimų matrica vadinama vektoriumi- eilute mx1matavimų matrica vadinama vektoriumi- stulpeliu Vektorius žymime mažąja raide pvz. a

Matricų rūšys Nulinė Kvadratinė Diagonalinė Skaliarinė Vienetinė Simetriška Sub-matrica

Vienetinė matrica Kvadratinę nxn matavimų matricą, kurios pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1, o visi likę elementai yra lygūs 0 vadiname vienetine matrica ir žymine raide I 1 0 0 ... 0 I = 0 1 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 1

Veiksmai su matricomis Sudėtis Atimtis Daugyba Dalyba Diferencijavimas

Matricų suma mxn matavimų dviejų matricų A ir B suma A+B yra lygi mxn matavimų matricai C, kurios elementai cij yra lygūs A ir B matricų atitinkamų elementų sumai aij + bij. a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn b11 b12 b13 ... b1n B= b21 b22 b23 … b2n ... bm1 bm2 bm3 ... bmn

mxn C=A+B, kur kiekvienam i,j cij = aij + bij. c11 c12 c13 c1n C= c21 c22 c23 c2n = cm1 cm2 cm3 cmn a11+b11 a12+b12 a13+b13 … a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a23+b23 … a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 am3+bm3 … amn+bmn

Matricų atimtis mxn matavimų dviejų matricų A ir B skirtumas A-B yra lygus mxn matavimų matricai C, kurios elementai cij yra lygūs A ir B matricų atitinkamų elementų skirtumui aij - bij. b11 b12 b13 ... b1n B= b21 b22 b23 … b2n ... bm1 bm2 bm3 ... bmn a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn

nxm C=A-B, kur kiekvienam i,j cij = aij - bij. a11--b11 a12-b12 a13-b13 … a1n-b1n a21-b21 a22-b22 a23-b23 … a2n-b2n … …. … … … am1-bm1 am2-bm2 am3-bm3 … amn-bmn c11 c12 c13 … c1n C= c21 c22 c23 … c2n = … … … … … cm1 cm2 cm3 cmn

Matricų daugyba Matricos daugyba iš konstantos Matricos daugyba iš vektoriaus Matricos daugyba iš matricos

Matricos daugyba iš konstantos A=kA mxn matavimų matricą padauginus iš bet kokio skaičiaus k, gauname naują mxn matavimų matricą kA, kurios elementai yra lygūs matricos A atitinkamiems elementams, padaugintiems iš skaičiaus k. a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn ka11 ka12 ka13 ... ka1n kA= ka21 ka22 ka23… ka2n ... kam1 kam2 kam3... kamn

Sąvokos: Suderinamos matricos Matricų transponavimas

? Suderinamos matricos Dauginti galima tik suderinamas matricas A ir B matricos yra suderinamos jeigu matricos A stulpelių skaičius yra lygus matricos B eilučių skaičiui a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b11 b12 b13 b14 B= b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 ? 3x4 3x4

Ar suderinamos matricos? b11 b12 b13 b14 B= b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44 a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 ? b11 b12 b13 b14 B= b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44 a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 ?

Matricų transponavimas Matricą A (mxn) transponuojame sukeisdami stulpelius ir eilutes vietomis. Transponuota matrica žymima A’ a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn a11 a21 a31 ... am1 A’= a12 a22 a32… am2 ... a1n a2n a3n ... amn mxn nxm

Matricų daugybos principas Tarkim turim matricą A (mxp) matavimų ir B (pxn) j- stulpelis i eilutė cij cij= ai1b1j+ ai2b2j + ai3b3j + ... aipbpj

Dviejų vektorių daugyba Tarkim a yra vektorius- eilutė (1xn) matavimų , o b vektorius - stulpelis (nx1) Vektorių a ir b sandauga bus lygi skaičiui c, t.y., a x b = c, kur skaičius c apskaičiuojamas pagal formulę: c= a11b11+ a12b21 + a13b31 + ... a1nbn1 b11 b21 b31 ... bn1 a = [a11 a12 a13 ... a1n] b= a x b= a11b11+ a12b21 + a13b31 + ... a1nbn1=c

Matricų daugyba C=AB Tarkim turime dvi matricas A (mxp) ir B(pxn) Matricos A ir B sandauga yra lygi matricai C (mxn), kurios elementai cij yra apskaičiuojami pagal formulę: cij= ai1b1j+ ai2b2j + ai3b3j + ... aipbpj Kai i=1,2…m ir j=1,2…n

Matricų sandaugos savybės Dauginti galima tik suderinamas matricas AB  BA A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC IA=AI=A

Determinanto sąvoka Tik kvadratinės matricos! Kvadratinės matricos determinantas - tai skaičius, kuris yra lygus visų galimų elementų, priklausančių skirtingoms eilutėms ir stulpeliams sandaugų, padaugintų iš (-1)f , sumai a11 a12 a13 ... a1n IAI= a21 a22 a23… a2n ... an1 an2 an3... ann f- inversijų skaičius

Determinanto sąvoka |A| Perstatiniu vadinama skaičių kombinacija J=[j1, j2 j3 ... jn], sudaryta iš dauginamų matricos elementų stulpelių numerių ir žymima J. Inversija vadinama perstatinio dviejų skaičių pora, kurioje pirmasis skaičius yra didesnis už antrąjį. f- inversijų skaičius

Matricos determinantas Tik kvadratinės matricos!!! Antros eilės matricos determinantu vadinsime tokį skaičių: a11 a12 [A]= a21 a22 = a11a22 – a12a21 Pvz.: 1 2 3 4 = 4 – 6 = -2

Trečios eilės matricos determinantu vadinsime tokį skaičių : a11 a12 a13 [A]= a21 a22 a23 a31 a32 a33 [A] = a11a22a33 + a12 a23 a31 + a13a21a32 – (a13a22a31 + a21a12a33 + a11a23a32) Pvz.: 2 3 4 0 5 6 = 2×5×1+3×6×7+4×0×8–(4×5×7 + 0×3×1 + 2×6×8) =-100 7 8 1

N – tos eilės matricos determinanto apskaičiavimas Determinanto skleidimas eilute a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... … ai1 ai2 ... ain ... ... ... … = ai1Ai1+ ai2Ai2+...+ ainA in an1 an2 ... ann Aij – matricos A elemento aij adjunktas. Aij= (-1)i+j Mij Mij - minoras –

N – tos eilės matricos determinanto apskaičiavimas Determinanto skleidimas stulpeliu a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... … ai1 ai2 ... ain ... ... ... … =a1jA1j+ a2jA2j+...+ anjAnj an1 an2 ... ann Aij – matricos A elemento aij adjunktas. Aij= (-1)i+j Mij Mij - minoras –

Adjunkto ir minoro sąvokos Minoro sąvoka Pasirenkame A matricoje aij elementą. Išbraukiame i- eilutę ir j- stulpelį. Lieka n-1 matavimų matrica, kurios determinantas yra vadinamas elemento aij minoru ir žymime raide Mij Adjunkto sąvoka aij elemento adjunktas žymimas Aij ir yra lygus Aij=(-1)i+j Mij

Pvz.:Det. skaičiavimas skleidžiant stulpeliu 2 3 4 0 6 2 4 2 4 0 5 6 = - 3A12 + 5A22 - 8A32 = -3 7 1 + 5 7 1 - 8 0 6 = 7 8 1 =-3(0×1-6×7) + 5 (2×1-7×4) – 8 (2×6 – 4×0)= 126 – 130 – 96 = -100

Determinantų savybės 1. Jei matricos kurios nors eilutės arba stulpelio visi elementai yra lygūs 0, tai ir determinantas yra lygus 0 2. Jeigu dvi matricos eilutes sukeičiame vietomis, tai jų determinantų absoliučios reikšmės yra tos pačios, skiriasi tik ženklas

Determinantų savybės 3. Jeigu visi matricos A kurios nors eilutės elementai turi bendrą daugiklį, tai jį galima iškelti už determinanto ženklo, t.y D’=kD a11 a12 a13 ... a1n D= a21 a22 a23… a2n ... an1 an2 an3... ann a11 a12 a13 ... a1n D’= ka21 ka22 ka23… ka2n ... an1 an2 an3... ann

Determinantų savybės 4. Matricos, kurios dvi eilutės yra vienodos, determinantas yra lygus 0 5. Matricos determinantas nepasikeis, jeigu prie vienos eilutės pridėsime kitą eilutę, padaugintą iš bet kokio skaičiaus nelygaus 0

Atvirkštinė matrica Skaičiai Matricos

Atvirkštinė matrica Tik kvadratinės matricos! Kvadratinės n matavimų matricos A atvirkštine matrica vadiname tokią kvadratinę n matavimų matricą A-1, kurios sandauga su A matrica yra lygi vienetinei n matavimų matricai E AA-1=A-1A=I

Atvirkštinė matrica |A| - matricos A determinantas A11 A21 A31 ... An1 A-1 = 1/|A| A12 A22 A32… An2 ... A1n A2n A3n... Ann |A| - matricos A determinantas Aij- matricos elemento- aij- adjunktas

Lygčių sistemos sprendimas taikant matricų veiksmus a11x1 + a12x2 + a13x3 =b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 =b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 =b3 AX=B X=A-1B

Matricos rangas r(A) a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn A(mxn) matricos rangas r(A) – tai maksimalus tiesiškai nepriklausomų A matricos stulpelių ir eilučių skaičius Matricos A rangas r(A) yra nustatomas, randant didžiausios kvadratinės submatricos, kurios determinantas nelygus nuliui, matavimų eilę

Matricos rangas r(A) Jeigu A(mxn) matricos rangas r(A) =k , tai, visi k+1 eilės minorai yra lygūs nuliui bent vienas k eilės minoras nėra lygus nuliui Jeigu turime dvi matricas A(mxn) ir B(nxk), tai sandaugos AB matricos rangas neviršija mažesnį rangą turinčios matricos rango Lygčių sistema Ax=b turės sprendinį, tik tuo atveju, jeigu matricos A(nxn) rangas r(A) yra lygus n

Matricų diferencijavimas x1 x2 x= x3 ... xn a1 a2 a= a31 ... an a’x= a1x1+ a2x2 + a3x3 + ... anxn

Matricų diferencijavimas x1 x2 x3 ... xn a11 a21 a31 ... an1 a12 a22 a32… an2 ... a1n a2n a3n... ann x’A’x= [x1, x2,x3,...xn] x’A’x= a11 x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1 x3 + ... +2 a1n x1xn + a22x22 + 2a23x2 x3 + ... +2 a2n x2xn + a33 x32 + ... +2 a3n x2xn ... + ann xn2

Matricų diferencijavimas ...

Dauginės regresijos įverčių skaičiavimas pasitelkiant matricas

Įverčių skaičiavimas Y=Xβ+u Duomenis pateikiame vektorių ir matricų forma u1 u2 u3 ... un β1 β2 β3 ... βm Y1 Y2 Y3 ... Yn 1 X12 X13 ... X1m 1 X22 X23… X2m ... 1 Xn2 Xn3... Xnm β= u= X= Y= Y=Xβ+u

Įverčių skaičiavimas MKM

Įverčių skaičiavimas MKM

Įverčių skaičiavimas MKM x,y –duomenys pateikti nuokrypiais nuo vidurkio

Matricų x’x ir x’y struktūra Σx22 Σx2 x3 Σ x2 x4 ... Σx2 xm Σx3x2 Σx23 Σx3 x4 … Σx3xm ... Σxmx2 Σ xm x3 Σxm x4 … Σx2m x’x= Σx2y Σx3y ... Σxmy x’y=