ΠΩΣ ΑΝΤΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ

Πώς συνδεεται η ερευνα με την σχολικη ταξη; Ο Kuchemann, σύμφωνα με την έρευνα που διεξήγαγε (1978,1981), κατηγοριοποίησε σε έξι επίπεδα τις πιθανές ερμηνείες που δίνουν οι μαθητές στα γράμματα, στο μάθημα της Άλγεβρας.

Τα 6 επίπεδα του Kuchemann α. Αξιολόγηση του γράμματος: Στο γράμμα προσδίδεται μια αριθμητική τιμή από την αρχή. β. Δεν λαμβάνεται υπόψιν το γράμμα: Το γράμμα αγνοείται ή η ύπαρξη του είναι άγνωστη χωρίς να έχει κάποιο νόημα.

γ. Το γράμμα θεωρείται ως ένα συγκεκριμένο αντικείμενο: Το γράμμα αναφέρεται ως συνοπτική απεικόνιση ενός συγκεκριμένου αντικειμένου ή ως ένα συγκεκριμένο αντικείμενο από μόνο του. δ. Το γράμμα θεωρείται ως ένας συγκεκριμένος άγνωστος: Το γράμμα αναφέρεται ως ένας συγκεκριμένος αλλά άγνωστος αριθμός.

ε. Το γράμμα θεωρείται ένας γενικευμένος αριθμός: Το γράμμα φαίνεται να αντιπροσωπεύει, ή τουλάχιστον είναι ικανό να πάρει, αρκετές τιμές και όχι μόνο μια. στ. Το γράμμα θεωρείται μεταβλητή: Το γράμμα αντιπροσωπεύει μια σειρά ακαθόριστων τιμών και μια σχέση αλληλεξάρτησης φαίνεται να υπάρχει ανάμεσα σε δύο τέτοια σύνολα τιμών.

Συμπεράσματα της έρευνας Ένα μικρό ποσοστό των μαθητών αντιλαμβάνεται το γράμμα ως γενικευμένο αριθμό. Ένα ακόμη μικρότερο ποσοστό ήταν σε θέση να ερμηνεύσει τα γράμματα ως μεταβλητές. Ένα μεγαλύτερο, συγκριτικά, αντιλαμβάνεται τα γράμματα ως συγκεκριμένους αγνώστους παρά ως γενικευμένους αριθμούς.

Παρατηρήσεις Η ερμηνεία που έδιναν οι μαθητές στο γράμμα της κάθε ερώτησης της έρευνας, ήταν άμεσα εξαρτημένη από το πόσο εύκολη η δύσκολη ήταν η φύση της. Η πλειονότητα των μαθητών ή αντιλαμβάνεται τα γράμματα ως συγκεκριμένα αντικείμενα ή τα αγνοεί. Αρκετοί μαθητές είχαν πρόβλημα με το χειρισμό αριθμητικών παραστάσεων με είσοδο και έξοδο δεδομένων (δίνω τιμή στις μεταβλητές-παίρνω τελικό αποτέλεσμα στην παράσταση).

Σχολική τάξη Α Κ: Τι θα συμβεί εάν α=10 και β=10; Μ: Μπορούν να πάρουν τις ίδιες τιμές; Κ: Μπορούν; Μ: Όχι!

Ο καθηγητής έγραψε στον πίνακα ένα σύστημα και ζήτησε να το λύσουν, δίνοντας τους τιμές για τα x, y να βρουν το z. (Σ): y=x-1 z=2x-4 εάν x=3, y=2 Το z βγήκε 2 Τότε όλοι δέχτηκαν ότι δύο μεταβλητές μπορούν να πάρουν την ίδια τιμή.

Φάνηκε ότι στο συμβολισμό x,y,z ο οποίος παραπέμπει σε εξίσωση δεν υπήρχε η ίδια αντιμετώπιση, δηλαδή τα x,y,z είναι άγνωστα και ψάχνουνε να τα βρούνε, οπότε θα δεχθούνε το αποτέλεσμα που θα προκύψει χωρίς να εστιάσουν στο ότι μπορεί η τιμή που πήρε το y και το z να είναι η ίδια. Αντιθέτως τα α,β στο μυαλό τους ήταν γνωστά, δηλαδή ένας συγκεκριμένος θετικός αριθμός και όχι μια ευρεία γκάμα αριθμών, όπως για παράδειγμα οι θετικοί αριθμοί.

Σχολικη Ταξη Β Κ: Τι σημαίνει για σένα ο α; Μ: Ότι αφού είναι +α είναι θετικός. Κ: Αν ήταν x, θα είχαμε πρόβλημα να ήταν κι αρνητικός; Μ: Όχι, το x θα μπορούσε να είναι αρνητικός. Κ: Δηλαδή έχει διαφορά η αναπαράσταση με x από ότι με α; Δηλαδή θα μπορούσα να συμβολίσω το α με x; Μ: Ναι! Κ: Το x με α; Μ: Ναι!

Ο καθηγητής ανακεφαλαίωσε: «Άρα η μεταβλητή, η οποία ‘με-τα-βα-λλε-ται’, μπορεί να πάρει και θετικές και αρνητικές τιμές. Όταν έχουμε «-» στους αριθμούς είναι πρόσημο ενώ στις μεταβλητές είναι ο αντίθετος.»