Παναγιωτοπούλου Κωνσταντίνα Χροναίου Χρυσάνθη

Τάξη: Α Λυκείου Περιοχή μαθήματος: Άλγεβρα Θέμα: Ιδιότητες Ανισοτήτων

Στόχοι μαθήματος  Διαφορές και ομοιότητες των ιδιοτήτων της ισότητας και της ανισότητας  Γενίκευση  Έλεγχος ευθύ-αντίστροφου

Διαφορές και ομοιότητες των ιδιοτήτων της ισότητας και της ανισότητας Ιδιότητες ισοτήτωνΙδιότητες ανισοτήτων Αν α=β => α ν =β ν, όπου ν φυσικός αριθμός α.β=0  α=0 ή β=0

Γενίκευση Κ: α>β και γ>δ => … Τι έπεται; Μ: α+γ>β+δ Κ: Είχαμε πει ότι μπορούμε να γενικεύσουμε για ν. α 1 >β 1, α 2 >β 2,…,α ν >β ν => α 1 +α 2 +…+α ν > β 1 +β 2 +…+β ν

Έλεγχος ευθύ-αντίστροφου Κ: Πάμε στην προτελευταία. Βρείτε το αντίστοιχο στις ανισώσεις. Πότε θα μπορούσε να ισχύει; Μ: Για θετικούς Κ: Ωραία α>β => α ν >β ν, α,β θετικοί [Κάνουν την απόδειξη] Κ: Το αντίστροφο μπορεί να το αποδείξει κάποιος; Ποιό είναι το αντίστροφο; α ν >β ν => α>β Μπορείτε να μου το δείξετε αυτό με την εις άτοπο απαγωγή; [Κάνουν την απόδειξη του αντιστρόφου]

Κρίσιμο συμβάν Κ: Θέλω τώρα να μου αποδείξετε ότι α=β => α ν =β ν Είχαμε πει ότι δεν ισχύει το ανάποδο. Πότε θα μπορούσε να ισχύει; Μ: Αν α, β θετικοί Κ: Άρα α ν =β ν => α=β,α,β θετικοί Θέλω να μου το αποδείξετε με την εις άτοπο απαγωγή. Ποιος θα το προσπαθήσει; Τι θα υποθέσουμε; Ότι α ν =β ν και θα υποθέσουμε ότι δεν ισχύει ποιό; Μ: α≠β Κ: Υποθέτω ότι α ν =β ν και ότι α≠β. Τότε τι θα έχω; Μ: α>β ή α<β Κ: Ωραία α>β άρα τι έχω;

Μ: α ν >β ν Κ: Άρα άτοπο. Το ίδιο και για α<β. Άρα α=β α ν =β ν, α,β θετικοί Μ: Αν είναι όλοι αρνητικοί; Κ: Να μην είναι θετικοί; Μ: Θα βγαίνει το αντίστροφο; K: Εξαρτάται, όχι πάντα. α,β αρνητικοί. Για την ισότητα ή την ανίσωση; M: Για ισότητα Κ: Ερώτημα. Λέει, α,β αρνητικοί α ν =β ν => α=β Να το ελέγξετε.

Μ: Αν είναι όλοι αρνητικοί, το πρόσημο θα γίνεται + Κ: Αν υψώνουμε σε μία δύναμη, το πρόσημο είναι πάντα +; M: Όχι Κ: Από τι εξαρτάται; Από το ν. Ελέγξτε το. Μ: Αφού θα είναι ομόσημοι, δεν θα βγαίνει το ίδιο; Κ: -5>-8 Αν τα υψώσω στο τετράγωνο τι έχω; 25>64; Άρα αλλάζω φορά. Αν το υψώσω σε περιττό; (-5) 3 > (-8) 3 Άρα παραμένει. M: Γιατί; K: Εδώ -5 3 > -8 3 Άρα δεν μπορώ να γενικεύσω. Εξαρτάται από το ν. Θέλω την επόμενη φορά να μου πείτε για την ισότητα.

Ανάλυση κρίσιμου συμβάντος  Ο καθηγητής χρησιμοποιεί αντιπαραδείγματα για να πείσει για τους ισχυρισμούς του.  Οι μαθητές φαίνεται να γενικεύουν και να πιστεύουν ότι εφόσον ισχύει το ευθύ μιας πρότασης θα ισχύει και το αντίστροφο, χωρίς να λαμβάνουν υπόψιν τους πιθανούς περιορισμούς που μπορεί να προκύπτουν (εδώ συγκεκριμένα ο περιορισμός είναι οι αριθμοί να είναι θετικοί).  Οι μαθητές παρουσιάζουν σύγχυση στις ιδιότητες των ανισοτήτων και τείνουν να τις αντιμετωπίζουν όπως τις ισότητες.

Σχόλια στο κρίσιμο συμβάν  Μη αναμενόμενη αντίδραση-ερώτηση μαθητή.  Οι μαθητές φαίνεται να πιστεύουν ότι η ιδιότητα εξαρτάται μόνο από τη βάση και το πρόσημό της και όχι από τον εκθέτη της δύναμης.  Διαφαίνεται ότι οι μαθητές επιμένουν στις ομοιότητες μεταξύ των ιδιοτήτων της ισότητας και της ανισότητας και δυσκολεύονται να εντοπίσουν τις διαφορές.

Από τις ανισότητες στις ανισώσεις Η μελέτη των ιδιοτήτων των ανισοτήτων έχει ως στόχο να προετοιμάσει τους μαθητές για την επίλυση ανισώσεων. Παρότι οι ανισώσεις είναι σημαντικές όχι μόνο στο χώρο των μαθηματικών αλλά και στην καθημερινή ζωή, η προσοχή που δίνεται σε αυτές και ο βαθμός κατανόησής τους από τους μαθητές είναι μικρός (Ανδρεαδάκης, Κατσαργύρης, Μέτης, Μπρουχούτας, Παπασταυρίδης& Πολύζος, 2008).

Λάθη μαθητών στις ανισώσεις Οι μαθητές συναντούν δυσκολίες στην επίλυση ανισώσεων και στο να περιγράψουν το σύνολο των λύσεων τους (Vaiyavutjamai & Clements, 2006· Arampatzis, Skiadaresis & Christou, 2007). Οι μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης χρησιμοποιούν διαισθητικά ως πρότυπο ένα αλγοριθμικό μοντέλο που στηρίζεται στις εξισώσεις για να επιλύουν ανισώσεις, θεωρώντας ότι τους επιτρέπει να κάνουν τις ίδιες ενέργειες στα δύο μέλη μιας εξίσωσης ή μιας ανίσωσης (Bazzini & Tsamir, 2004· Tsamir & Almog, 2001).

Οι µαθητές επιλύουν µε επιτυχία εξισώσεις πρώτου βαθµού µιας µεταβλητής, αλλά δυσκολεύονται να επιλύσουν αντίστοιχης µορφής ανισώσεις πρώτου βαθµού µιας µεταβλητής, καθώς χρησιµοποιούν τις ίδιες µεθόδους µε τις οποίες επιλύουν εξισώσεις. Σε τέτοιου είδους επίλυση οφείλονταν και λάθη όπως είναι η µη αλλαγή της φοράς µιας ανίσωσης όταν έχει προηγηθεί διαίρεση µε αρνητικό αριθµό ή ο χαρακτηρισµός µιας ανίσωσης της µορφής 0x<β ως αδύνατη ανεξάρτητα από την τιµή του πραγµατικού αριθµού β, που ισχύει µόνο για εξισώσεις της µορφής 0x=β. (Αραμπατζής, 2010).

Πρέπει να γίνει ξεκάθαρο σε όλους τους µαθητές ότι οι εξισώσεις έχουν µεν πολλά κοινά χαρακτηριστικά µε τις ανισώσεις, υπάρχουν όµως και σηµαντικές διαφορές µεταξύ τους. Καλό θα ήταν να επιλύονται παραδείγµατα φαινοµενικά ‘’ίδιων’’ εξισώσεων και ανισώσεων όπως για παράδειγµα οι -3x+9=0 και η -3x+9>0, αλλά και οι 2x+5=2x+5 και 2x+5>2x+5 (Αραμπατζής, 2010)

Προτάσεις  Είναι σημαντικό να τονίσουμε περισσότερο στους μαθητές τις διαφορές στις ιδιότητες μεταξύ των ανισοτήτων και των ισοτήτων, παρά τις ομοιότητες.  Στη συγκεκριμένη περίπτωση, θα μελετούσαμε χωριστά την περίπτωση της ισότητας στην οποία μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για τους αριθμούς και της ανισότητας, την οποία δεν μπορούμε να αντιμετωπίσουμε με τον ίδιο τρόπο.

Βιβλιογραφία Ανδρεαδάκης, Σ., Κατσαργύρης, Β., Μέτης, Σ., Μπρουχούτας, Κ., Παπασταυρίδης, Σ., & Πολύζος, Γ. (2008). Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου. Αθήνα: Οργανισµός Εκδόσεως ∆ιδακτικών Βιβλίων. Αραμπατζής Κ. (2010) ‘’Εννοιολογική αλλαγή στα μαθηματικά: Το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα’’, διπλωματική εργασία. Arampatzis, K., Skiadaresis, P., & Christou, K. P. (2007). “Conceptual change in the shift from equations to inequalities.” Εργασία που παρουσιάστηκε στοthe 2 nd National Conference of the Greek Association of Reserach in Mathematics Education, Alexandroupolis.

Bazzini, L., & Tsamir, P. (2004). “RF02: Algebraic equations and inequalities:Issues for research and teaching.” Εργασία που παρουσιάστηκε στο28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Bergen, Norway. Tsamir, P., & Almog, N. (2001). “Students' strategies and difficulties: The case of algebraic inequalities.” International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 32(4), Vaiyavutjamai, Pongchawee and Clements, M. A.(2006) 'Effects of Classroom Instruction on Student Performance on, and Understanding of, Linear Equations and Linear Inequalities', Mathematical Thinking and Learning, 8: 2, 113 — 147.