Περιεχόμενα 1. Κυματική Θεωρία Stokes 2 ης τάξης 2. Κυματική Θεωρία Stokes 5 ης τάξης 3. Κυματική Θεωρία Συνάρτησης ροής (Fourier 18 ης τάξης) 4. Cnoidal waves 5. Θεωρία μοναχικού κύματος (Solitary wave) 6. Επιλογή κυματικής θεωρίας Σειρά VII2

Θεωρία Airy – ή Stokes 1 ης τάξης Γραμμικοί & Κανονικοί Κυματισμοί Σειρά VII3  α d t w u H z x c S.W.L Ταχύτητα μετάδοσης phase velocity wave celerity Ελεύθερη επιφάνεια  (x,t) z=0 z=-d Wave Frequency, Wave Number αριθμός κύματος μήκος κύματος,

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Όσο πιο «μεγάλο» ένα κύμα τόσο πιο σημαντική γίνεται η μη γραμμικότητα GG Stokes, θεωρία έως 5 η τάξη μη γραμμικότητας 2 η τάξη θα έχει τη μορφή: Σειρά VII4 Εξίσωση διασποράς - Αμετάβλητη Ανοιχτές τροχιές σωματιδίων

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί GG Stokes, θεωρία έως 5 η τάξη μη γραμμικότητας 2 η τάξη θα έχει τη μορφή: Σειρά VII5 Πηγή: Θ. Καραμπάς, Καθηγητής Πανεπ. Αιγαίου + 1 st ή κύρια αρμονική. Περιγράφει ελευθερους κυματισμούς 2 nd αρμονική. Περιγράφει δεσμευμένους κυματισμούς στους ελεύθερους κυματισμούς Typical  (t) ΙΙ Εξηγεί: Ασυμμετρία κυματοκορυφής –κοιλίας Μεταβολή της μέσης στάθμης νερού

(a) Μία συχνότητα, μικρό εύρος α (b) Μία Συχνότητα, μεγάλο εύρος α H  max Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί  max  max = H/2  max > H/2  max H H Πηγή: Prof. C. Swan, Inaugural Lecture 6Σειρά VII

H  max Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί (a) Μία συχνότητα, μεγάλο εύρος α, γραμμική λύση (b) Μία συχνότητα, μεγάλο εύρος α, μη-γραμμική λύση  max H H  max = H/2  max > H/2 Πηγή: Prof. C. Swan, Inaugural Lecture 7Σειρά VII

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Δυστυχώς, όσο πιο «μεγάλοι» κυματισμοί τόσους περισσότερους όρους πρέπει να χρησιμοποιούμε: 1. Αναλυτικές λύσεις, μέχρι 5 ης τάξης. Fenton (1985) επέκταση της λύσης Stokes έως 5 η τάξη: Σειρά VII8

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί – Stokes 5 th Σειρά VII9 Εξίσωση διασποράς - μεταβλητή Ανοιχτές τροχιές σωματιδίων

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί – Stokes 5 th Σειρά VII10

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί – Stokes 5 th Σειρά VII11

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί – Stokes 5 th Phase velocity, uniform current. 0. order (є  ) 1 st. order (є 1 ) + mean 2 nd order (є 2 ) 3 rd.order (є 3 ) + mean 4 th.order (є 4 ) 5 th. order (є 5 ) + mean 6 th. order (є 6 ) Σειρά VII12 Τυπικό μοτίβο αρμονικών Note:  εκφράζει την καμπυλότητα. Όσο μεγαλύτερη η καμπυλότητα, τόσο περισσότερες αρμονικές πρέπει να συμπεριληφθούν.

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 2. Λύσεις συνάρτησης ροής. Dean (1965), Fourier 18 th Σειρά VII13 Μέση ταχύτητα ρεύματος αν υπάρχει Για y=η

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Σειρά VII14

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 3. Cnoidal Waves Για 1/50 < d/λ <1/8 μαθηματική επίλυση του προβλήματος κάνοντας χρήση των Ιακωβιανών ελλειπτικών συναρτήσεων συνημιτόνου Σειρά VII15

Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 3. Cnoidal Waves κατακόρυφη απόσταση του πυθμένα από την ελεύθερη επιφάνεια δίνεται Σειρά VII16

Μοναχικό κύμα Σειρά VII17

Μοναχικό κύμα Σειρά VII18 Προσέγγιση Πρώτης Τάξης

Μοναχικό κύμα Σειρά VII19

Επιλογή Κυματικής Θεωρίας Σειρά VII20

Παράδειγμα Υπολογισμού Σειρά VII21

Καραμπάς, Θ., «Στοιχεία Κυματομηχανικής», Διδακτικές σημειώσεις, Τμήμα Επιστημών της Θάλασσας, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Κατσαρδή, Β., «Ακτομηχανική και Παράκτια Έργα», Διδακτικές Σημειώσεις, ΤΕΙ Αθήνας. Κουτίτας, Χ., «Εισαγωγή στην παράκτια Τεχνική και τα Λιμενικά Έργα», ΑΠΘ, Εκδόσεις Ζήτα, Θεσσαλονίκη Ματσούκης, Π.Φ., «Παράκτιες Διεργασίες», Διδακτικές Σημειώσεις, ΔΠΘ. Fenton, J.D., 1985, «A Fifth-Order Stokes Theory for Steady Waves», J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, Vol.111, No. 2, Swan, C., «Coastal Engineering», Lecture Notes, Imperial College, London. Swan, C., «Fluid Mechanics», Lecture Notes, Imperial College, London. Swan, C., «Inaugural Lecture», Imperial College, London. Σειρά VΙΙ22