ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 7 η : ΟΙ ΜΟΝΑΧΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ Διάλεξη: Ασκήσεις πάνω στην Α.Δ.Ε. και τους καταναγκασμούς – εισαγωγή στην ελαστική γραμμή. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Άσκηση 1 η Έστω η ισοστατική δοκός του σχήματος. Δεδομένα άσκησης: EJ=2.1*10 5 kNm 2 Ζητούμενα: δ i,P και Δφ i,P. Στην περίπτωση αυτή αγνοούνται τα έργα από αξονικές και τέμνουσες. Τα ζητούμενα της άσκησης είναι δύο γενικευμένες μετακινήσεις, που πρέπει να αντιστοιχιστούν σε κάποια από τις έξι περιπτώσεις γενικευμένων δυνάμεων. Για την εύρεση του δ i,P πρέπει να ασκηθεί το i μια μοναδιαία δύναμη. Η Α.Δ.Ε. γράφεται: 2

Άσκηση 1 η – υπολογισμός δ i,P Ο φορέας αρχικά επιλύεται για την εξωτερική φόρτιση, υπολογίζονται οι αντιδράσεις και το διάγραμμα των ροπών. Ακολούθως, υπολογίζεται και το διάγραμμα ροπών για το μοναδιαίο φορτίο. Υπολογίζεται το ολοκλήρωμα του γινομένου των διαγραμμάτων των ροπών για το τμήμα Α-i και υπολογίζεται: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το δ i,P προέκυψε θετικό, επομένως θα έχει τη φορά του μοναδιαίου φορτίου. 3

Άσκηση 1 η – υπολογισμός Δφ i,P Για την εύρεση του Δφ i,P πρέπει να εφαρμοστεί στο i διπλή ροπή ίση με τη μονάδα. Ο φορέας επιλύεται μία φορά ακόμη για τη διπλή ροπή, υπολογίζονται οι αντιδράσεις και το νέο διάγραμμα ροπών. Εφαρμόζεται η Α.Δ.Ε. και υπολογίζεται το ολοκλήρωμα του γινομένου των διαγραμμάτων των ροπών για τα τμήματα Α-i και i-Β: 4

Άσκηση 1 η – σκαρίφημα ελαστικής γραμμής Ελαστική γραμμή: η γραμμή του παραμορφωμένου άξονα του φορέα. Το σκαρίφημα της ελαστικής γραμμής του φορέα της άσκησης μπορεί να γίνει ως εξής: Η μετακίνηση δ i,P υπολογίστηκε περίπου 10cm προς τα κάτω. Το διάγραμμα των ροπών Μ, Ρ αντιστοιχεί στην καμπυλότητα του κάθε τμήματος. Ο κανόνας φαίνεται στο σχήμα: Δηλαδή, θετικό διάγραμμα ροπών σημαίνει θετική καμπυλότητα στο συγκεκριμένο τμήμα του φορέα, ενώ αρνητικό διάγραμμα ροπών σημαίνει αντίστοιχα, αρνητική καμπυλότητα (πάντα λαμβάνεται υπόψη η θέση της ίνας αναφοράς). 5

Άσκηση 1 η – σκαρίφημα ελαστικής γραμμής (συνέχεια) Με βάση τα παραπάνω, το τμήμα Α-i της δοκού εμφανίζει αρνητική καμπυλότητα, ενώ το τμήμα i-B εμφανίζει θετική καμπυλότητα. Αφού έχει σχεδιαστεί η μετακίνηση δ i,P, σχεδιάζονται και οι αντίστοιχες καμπυλότητες στο ίδιο σχήμα. Στο σκαρίφημα της ελαστικής γραμμής η Δφ προσδιορίζεται από τις εφαπτομένες των δύο επιμέρους καμπυλών, όπως φαίνεται και στο σχήμα. 6

Άσκηση 2 η Έστω η ισοστατική δοκός της προηγούμενης άσκησης, η οποία αυτή τη φορά υπόκειται σε ανομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας Δt. Δεδομένα άσκησης: EJ=2.1*10 5 kNm 2, α=1.2*10 -5 grad -1, h=0.4m. Ζητούμενα: δ i,Δt και Δφ i,Δt. Για το συγκεκριμένο καταναγκασμό αρχικά υπολογίζεται το κ, Δt : 7

Άσκηση 2 η – υπολογισμός δ i,Δt Για τον υπολογισμό του δ i,Δt πρέπει να ασκηθεί το i μια μοναδιαία δύναμη, όπως ακριβώς και στην 1 η Άσκηση. Άρα το διάγραμμα των ροπών λόγω μοναδιαίου είναι το ίδιο με προηγουμένως: Η Α.Δ.Ε. γράφεται: 8

Άσκηση 2 η – υπολογισμός Δφ i,Δt Για τον υπολογισμό του Δφ i,Δt πρέπει να εφαρμοστεί στο i ένα ζεύγος δυνάμεων ίσο με τη μονάδα, όπως ακριβώς και στην 1 η Άσκηση. Άρα το διάγραμμα των ροπών λόγω μοναδιαίου είναι το ίδιο με προηγουμένως: Η Α.Δ.Ε. γράφεται: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: στον τύπο της Α.Δ.Ε. υπολογίζεται μόνο το εμβαδό του διαγράμματος των ροπών λόγω μοναδιαίου, που αφορά το τμήμα Α-i του φορέα, καθώς σε αυτό το τμήμα μόνο εμφανίζεται το Δt. 9

Άσκηση 2 η – σκαρίφημα ελαστικής γραμμής Αρχικά, σχεδιάζεται η μετακίνηση δ i,Δt, η οποία έχει υπολογιστεί αρνητική, οπότε σχεδιάζεται προς τα επάνω (αντίθετα, δηλαδή από τη φορά του μοναδιαίου φορτίου). Ο καταναγκασμός Δt προκαλεί καμπύλωση στο τμήμα Α-i. Ο τρόπος με τον οποίο εφαρμόζεται (αύξηση θερμοκρασίας στην κάτω ίνα και μείωση της θερμοκρασίας στην άνω ίνα) υποδηλώνει ότι η κάτω ίνα αυξάνει το μήκος της ενώ στην άνω ίνα το μήκος μικραίνει, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη θετικής καμπυλότητας. Στο τμήμα i-Β του φορέα δεν υπάρχει κάποιο επιβεβλημένο αίτιο, οπότε το τμήμα αυτό θα παραμείνει ευθύγραμμο. 10

Άσκηση 2 η – σημείωση ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τα παρακάτω σκαριφήματα είναι ενδεικτικά της ομοιόμορφης και ανομοιόμορφης κατανομής της θερμοκρασίας σε μια δοκό. Περίπτωση ανομοιόμορφης κατανομής θερμοκρασίας: Περίπτωση ομοιόμορφης κατανομής θερμοκρασίας: Περίπτωση που περιλαμβάνει ομοιόμορφη και ανομοιόμορφη κατανομή θερμοκρασίας: t=(t 1 +t 2 )/2 11