ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Αισθητήρες Διδάσκων Δρ Καββουσανός Μανόλης ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Αισθητήρες Διδάσκων Δρ Καββουσανός Μανόλης Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

…χωρίς τους οποίους δεν νοείται ρομποτικό σύστημα Αισθητήρες (Sensors) …χωρίς τους οποίους δεν νοείται ρομποτικό σύστημα Εσωτερικής κατάστασης : Που μας δίνουν πληροφορίες για το ίδιο το ρομπότ. Μέτρηση γωνιών στροφής των αρθρώσεων : Encoders, resolvers, ποτενσιόμετρα Mέτρηση ταχύτητας περιστροφής αρθρώσεων : Ταχογεννήτρια Μέτρηση δυνάμεων και ροπών στα μέλη του βραχίονα : Strain gauges, load cells Αφής για αίσθηση «πιασίματος» αντικειμένου Μέτρηση - παρακολούθηση στοιχείων από το περιβάλλον : Ανιχνευτές προσέγγισης Μέτρηση απόστασης : Σόναρ. Χρησιμοποιείται ελάχιστα σε βιομηχανικούς βραχίονες Laser Τεχνητή όραση : Μακράν το σοβαρότερο ….. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Ανιχνευτές προσέγγισης (proximity detectors) - γενικά Πρόκειται για ηλεκτρονικά όργανα που ανιχνεύουν ύπαρξη αντικειμένων. Η πληροφορία συνεπώς που δίδουν είναι 0/1 ή ON/OFF. Είναι ευρύτατα διαδεδομένα στην βιομηχανία λόγω του χαμηλού κόστους, της ευκολίας χρήσης και της αξιοπιστίας τους. Ο πλέον κοινός τύπος, χρησιμοποιεί απλώς μια φωτεινή δέσμη και έναν δέκτη φωτεινής ακτινοβολίας (που μπορεί να υλοποιείται με φωτοδίοδο, φωτοτρανζίστορ, φωτοαντίσταση κλπ). Η ύπαρξη αντικειμένου στην περιοχή ανίχνευσης, οδηγεί σε διακοπή της δέσμης και άρα ανίχνευση. Οι αποστάσεις που μπορούν να «καλυφθούν» μπορεί να φτάσουν δεκάδες μέτρα. Συνδυαζόμενες πολλές δέσμες μπορούν να δημιουργήσουν φωτεινή «κουρτίνα». Μια άλλη κατηγορία τέτοιων οργάνων χρησιμοποιεί κατάλληλα σχεδιασμένο κύκλωμα μέρος του οποίου είναι επαγωγικό πηνίο. Η ύπαρξη μετάλλου κοντά στο πηνίο, αλλάζει (ελάχιστα) την αυτεπαγωγή του, οδηγεί το κύκλωμα σε συντονισμό και άρα μέγιστο ρεύμα που είναι εύκολο να αναγνωρισθεί. Πρόκειται για τους επαγωγικούς ανιχνευτές , που όπως αναφέρθηκε ανιχνεύουν μέταλλα σε αποστάσεις μέχρι 1.. 2 cm. Αν στην θέση του πηνίου φαντασθεί κανείς κατάλληλο πυκνωτή και αντίστοιχα σχεδιασμένο κύκλωμα, τότε μπορούν να ανιχνευθούν από αντίστοιχες αποστάσεις σώματα με υψηλή διηλεκτρική σταθερά : χαρτί, υγρά, ξύλο, πλαστικό κλπ. Έχομε τότε τους χωρητικούς ανιχνευτές. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες θέσης Κωδικοποιητής γωνιακής θέσης αυξητικού τύπου (Incremental Shaft Encoder) Η ιδέα : Ακίνητος ανιχνευτής παρακολουθεί «ιδιαιτερότητες» που έχουν τοποθετηθεί σε στρεφόμενο άξονα με σκοπό την παρακολούθηση της γωνίας στροφής του. Οι εν λόγω «ιδιαιτερότητες» μπορεί να είναι εγκοπές ή τεχνητά μεταλλικά «εξογκώματα», οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί επαγωγικός ανιχνευτής ή ..εγκοπές σε αδιαφανή δίσκο που έχει προσαρμοσθεί στον άξονα και περιστρέφεται μαζί του. Για την ανίχνευση των εγκοπών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ζεύγος φωτεινής πηγής και φωτοανιχνευτή (φωτοδιόδου, φωτοτρανζίστορ) . Όταν περιστρέφεται ο άξονας, παράγεται με τον τρόπο αυτό μια σειρά παλμών. Ο αριθμός (το πλήθος) των παλμών μας δίδει πληροφορία γωνιακής θέσης (γωνίας στροφής) ενώ η συχνότητά τους πληροφορία γωνιακής ταχύτητας του άξονα. Για την μέτρηση της γωνιακής ταχύτητας μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κύκλωμα μετατροπής «συχνότητας σε τάση» ή να μετρηθεί με ακρίβεια η περίοδος της παλμοσειράς Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες θέσης Κωδικοποιητής γωνιακής θέσης αυξητικού τύπου (Incremental Shaft Encoder) Αν χρησιμοποιηθεί και ένας δεύτερος ανιχνευτής έτσι ώστε οι δύο παραγόμενες παλμοσειρές να έχουν διαφορά φάσης περίπου 90ο, τότε μπορεί κανείς από την προπορεία των παλμοσειρών να συνάγει την φορά περιστροφής. Η «αποκωδικοποίηση» των παλμοσειρών αναδεικνύει 4 διακριτές καταστάσεις για κάθε εγκοπή – quadrature encoder Στο εμπόριο υπάρχουν διαθέσιμοι encoders με 360, 1000 η και πολύ μεγαλύτερο αριθμό εγκοπών. Οπότε η ανάλυση γωνιακής θέσης που προκύπτει είναι 360ο / (360*4) = 1/4ο και 360ο / (1000*4) = 0.09ο αντίστοιχα Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες θέσης Κωδικοποιητής γωνιακής θέσης αυξητικού τύπου (Incremental Shaft Encoder) Για την αξιόπιστη απαρίθμηση των παλμών για την μέτρηση της γωνίας στροφής μπορούν να χρησιμοποιηθούν : Μικροελεγκτής : Θα πρέπει να χρησιμοποιήσει δύο ψηφιακές εισόδους και αντίστοιχα interrupts. Ειδικευμένο ολοκληρωμένο κύκλωμα : Στο κύκλωμα οδηγούνται οι παλμοσειρές και αυτό αναλαμβάνει να «αποκωδικοποιήσει» και να καταγράφει την πραγματική γωνία στροφής σε καταχωρητή του. Το κύκλωμα είναι συνήθως μέρος του ελεγκτή ο δε κεντρικός επεξεργαστής έχει πρόσβαση στον εν λόγω καταχωρητή. Η μέτρηση της γωνίας στροφής είναι «σχετική», «αυξητική», μετριέται δηλαδή από κάποιο σημείο «εκκίνησης» ή σημείο αναφοράς και μετά. Συνεπώς αν χαθεί από τον μικροελεγκτή ή το ειδικευμένο κύκλωμα η πληροφορία του συνολικού αριθμού παλμών, το σύστημα δεν γνωρίζει την πραγματική θέση του άξονα. Για να αποφευχθεί ο παραπάνω κίνδυνος συνήθως υλοποιείται η δεύτερη μέθοδος και το ειδικευμένο κύκλωμα τροφοδοτείται από μπαταρίες. Αν παρ’ όλα αυτά η πραγματική γωνιακή θέση χαθεί, τότε το σύστημα πρέπει να κινηθεί προς την θέση αναφοράς – που την βρίσκει με την βοήθεια τερματικού διακόπτη ή ανιχνευτή. Αν χρησιμοποιηθεί και ένας τρίτος παλμός, index pulse, που παράγεται από μια μοναδική εγκοπή στον δίσκο, έτσι που η θέση αναφοράς να είναι αυτή για την οποία ισχύει ότι : πρέπει να έχει «κτυπηθεί» ο τερματικός και να υπάρχει ο index pulse, τότε η θέση αναφοράς εντοπίζεται κάθε φορά με την ανάλυση μέτρησης θέσης του συστήματος. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Κωδικοποιητής γωνιακής θέσης απολύτου τύπου (Ablosute Shaft Encoder) Αισθητήρες θέσης Κωδικοποιητής γωνιακής θέσης απολύτου τύπου (Ablosute Shaft Encoder) Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει περισσότερους από ένα ανιχνευτές και αντίστοιχες σειρές «εγκοπών» κατάλληλα μελετημένων, ούτως ώστε για κάθε γωνία στροφής του δίσκου να αντιστοιχεί ένας μοναδικός συνδυασμός καταστάσεων των ανιχνευτών. Για κάθε γωνία δηλαδή να παράγεται κάποιος «κώδικας», μια λέξη n bits, όπου n το πλήθος των σειρών «εγκοπών». . Ο απλούστερος τέτοιος κώδικας είναι ο δυαδικός. Η ανάλυση (resolution) μέτρησης θέσης είναι προφανώς 360ο /2n Μειονέκτημα της δυαδικής κωδικοποίησης αποτελεί το γεγονός ότι σε αρκετές θέσεις, η μετάβαση από την μια τιμή γωνίας στην άλλη γίνεται με ταυτόχρονη αλλαγή κατάστασης σε πολλούς ανιχνευτές (μετάβαση από το 000 στο 111). Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε απρόβλεπτες αναγνώσεις γωνίας, αφού η όλη κατασκευή δεν μπορεί να είναι γεωμετρικά τέλεια… Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Κωδικοποιητής γωνιακής θέσης απολύτου τύπου –Κώδικας Gray Αισθητήρες θέσης Κωδικοποιητής γωνιακής θέσης απολύτου τύπου –Κώδικας Gray Προκειμένου να παρακαμφθεί το προηγούμενο πρόβλημα, χρησιμοποιείται επίσης η λεγόμενη κωδικοποίηση Gray – Gray code. Μπορεί κανείς να παρατηρήσει εδώ ότι η μετάβαση από την μια γωνία (τομέα) στην επόμενη γίνεται με αλλαγή ενός μόνον bit, της λέξης του κώδικα. Υπάρχουν διαθέσιμα ολοκληρωμένα κυκλώματα για την ταχύτατη μετατροπή του κώδικα Gray σε δυαδικό για την ανάγνωση της γωνίας από τον υπολογιστή ελέγχου. Προφανώς την μετατροπή μπορεί να αναλάβει και μικροελεγκτής αν η αναπόφευκτη καθυστέρηση της μετατροπής δεν δημιουργού πρόβλημα. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Κωδικοποιητής γραμμικής θέσης – linear encoders Αισθητήρες θέσης Κωδικοποιητής γραμμικής θέσης – linear encoders Η ίδια ιδέα που χρησιμοποιήθηκε για την ψηφιακή μέτρηση της γωνίας στροφής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την μέτρηση γραμμικής μετατόπισης. Να χρησιμοποιηθεί δηλαδή για την μέτρηση της θέσης μιας πρισματικής «άρθρωσης». Και πάλι η κωδικοποίηση μπορεί να είναι αυξητικού τύπου ή απόλυτη. Μέτρηση γραμμικής μετατόπισης με μεγάλη «ανάλυση» χρειάζονται πολλές μηχανές και συσκευές. Για τον λόγο αυτό έχουν έχει αναπτυχθεί μια μεγάλη ποικιλία σχετικών οργάνων. Μια καλή επισκόπηση μπορεί κανείς να βρει εδώ : http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_encoder Υπάρχει βεβαίως και η δυνατότητα να μετρηθεί η γραμμική μετατόπιση με χρήση αισθητήρα μέτρησης γωνιακής θέσης, αρκεί η γραμμική θέση να «μετατραπεί» σε γωνιακή με κατάλληλη διάταξη : http://www.youtube.com/watch?v=YYzSTDR35OU Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Ποτενσιόμετρο (potentiometer) Αισθητήρες θέσης Ποτενσιόμετρο (potentiometer) Πρόκειται στην ουσία για μια μεταβλητή αντίσταση, που τροφοδοτείται με σταθερή τάση (Vin στο σχήμα). Η τάση της μεσαίας λήψης Vout είναι ένα αναλογικό σήμα από το οποίο μπορεί να προκύψει η μετατόπισή της. Η όλη διάταξη μπορεί να είναι γραμμική οπότε προκύπτει γραμμικό ποτενσιόμετρο για μέτρηση μετατόπισης ή γωνιακή οπότε προκύπτει γωνιακό ποτενσιόμετρο για μέτρηση γωνίας στροφής. Ως όργανο μέτρησης έχει το βασικό μειονεκτήματα των αναλογικών οργάνων : η μέτρηση μπορεί να αλλοιωθεί από θόρυβο. Η κινητή επαφή (μεσαία λήψη) ολισθαίνει συνεχώς πάνω στην σταθερή αντίσταση οπότε δημιουργούνται φθορές που μειώνουν την ακρίβεια και αξιοπιστία του οργάνου. Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι κινήσεις δεν είναι συνεχείς. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες γωνιακής ταχύτητας Ταχογεννήτρια (tachogenarator) Πρόκειται για μικρή γεννήτρια, συνεχούς ρεύματος συνήθως, που περιστρεφόμενη παράγει τάση. Αν σχεδιασθεί κατάλληλα η εν λόγω τάση είναι ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας. Μπορεί συνεπώς να χρησιμοποιηθεί ως αναλογικό όργανο μέτρησής της. Ως όργανο μέτρησης έχει το βασικό μειονεκτήματα των αναλογικών οργάνων : η μέτρηση μπορεί να αλλοιωθεί από θόρυβο. Χρησιμοποιείται ευρύτατα σε συστήματα ελέγχου γωνιακής ταχύτητας. Σε συστήματα ελέγχου θέσης η πληροφορία ταχύτητας, όταν αυτή απαιτείται για τον έλεγχο, μπορεί να προκύψει από τον κωδικοποιητή θέσης –όπως έχομε ήδη αναφέρει. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες «αφής» – αίσθηση «πιασίματος» Siciliano, Khatib (Eds) : Springer Handbook of robotics, Ch. 19 : Force and tactile sensors O απλούστερος τρόπος για να έχει το ρομπότ πληροφορία ότι έπιασε και κρατά κάτι στην αρπάγη του, είναι η τοποθέτηση ανιχνευτών προσέγγισης με κατάλληλο τρόπο πάνω στην ίδια την αρπάγη. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλων των τύπων οι ανιχνευτές προσέγγισης. Οι αρπάγες (grippers) μπορούν να είναι πολλών ειδών. Οι μηχανικές είναι οι πλέον διαδεδομένες Αλλά και οι βεντούζες κενού χρησιμοποιούνται ευρύτατα. ενώ σοβαρή ερευνητική προσπάθεια γίνεται στην περιοχή των «επιδέξιων χεριών» - dexterous hands. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες «αφής» – αίσθηση «πιασίματος» Siciliano, Khatib (Eds) : Springer Handbook of robotics, Ch. 19 : Force and tactile sensors Κάποιες φορές οι προδιαγραφές πιασίματος είναι εξαιρετικά απαιτητικές : Η γεωμετρία του αντικειμένου δεν είναι ακριβώς γνωστή και δεν πρέπει να εξασκηθούν μεγάλες δυνάμεις από την αρπάγη. Οι προσεγγίσεις για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού είναι δύο : Τοποθέτηση με σωστό τρόπο πάνω στην αρπάγη μετρητών παραμόρφωσης οι οποίοι μπορούν να δώσουν πληροφορία για την δύναμη επενέργειας Τοποθέτηση πάνω στις επιφάνειες επαφής πιεζονατιστάσεων που μπορεί κανείς να προμηθευθεί σε μεγάλη ποικιλία μορφών. Μπορεί επίσης εδώ να εφαρμοσθεί η μέθοδος της μέτρησης του ρεύματος αν ο επενεργητής της αρπάγης είναι ηλεκτρικός. Φυσικά μπορούν να εφαρμοσθούν και άλλες τεχνικές. Το πεδίο είναι ανοικτό για έρευνα και δημοσιεύονται κάθε χρόνο αρκετές σχετικές εργασίες. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αντίληψη –Αισθητήρες (Perception) Παν – κατευθυντική (omnidirectional) κάμερα Αδρανειακή μονάδα πλοήγησης (Inertial Measurement Unit) Επιταχυνσιόμετρο Γυροσκόπιο Περιστρεφόμενη κάμερα (Pan – tilt) Αισθητήρες υπερήχων (sonars) Laser scanner Κωδικοποιητές θέσης (encoders) στους τροχούς Προφυλακτήρες GPS Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες «κατεύθυνσης κίνησης» (Heading sensors) Πυξίδες Από το … 2000 π.Χ. …. όταν οι Κινέζοι κρέμαγαν από ένα μεταξωτό νήμα ένα κομμάτι μαγνητίτη και το χρησιμοποιούσαν για πλοήγηση αμαξών στις αχανείς εκτάσεις. Μαγνητικό πεδίο της γης Απόλυτη αναφορά για προσανατολισμό. Το χρησιμοποιούν και τα αποδημητικά πουλιά (ανακάλυψη 2001) Ποικιλία επιλογών για μέτρηση –παρακολούθηση του μαγνητικού πεδίου : Μηχανικές μαγνητικές πυξίδες Απ’ ευθείας μέτρηση του μαγνητικού πεδίου (Hall-effect, magneto-resistive sensors) Κυριότερα προβλήματα Ασθενές μαγνητικό πεδίο γης (30 μTesla) …εύκολα διαταράσσεται από τα διάσπαρτα μαγνητικά πεδία Περιορισμένο εύρος ζώνης bandwidth (0.5 Hz) Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες «κατεύθυνσης κίνησης» (Heading sensors) Μηχανικό Γυροσκόπιο (Gyro) Βασίζεται στις αδρανειακές ιδιότητες ενός ταχέως περιστρεφόμενου άξονα : Ο άξονας διατηρεί τον προσανατολισμό του, εφ όσον δεν ασκείται σ’ αυτόν εξωτερική ροπή . Με κατάλληλο μηχανολογικό σχεδιασμό εξασφαλίζομε ότι δεν μεταφέρεται ή μεταφέρεται ελάχιστη ροπή σε ταχέως περιστρεφόμενο άξονα. Πάντως και η ελάχιστη τριβή στις εδράσεις αναπόφευκτα επιβάλλει ροπή και άρα οδηγεί σε σφάλμα (drift) Ένα γυροσκόπιο υψηλής ποιότητας (0.1° σε 6 ώρες λειτουργίας) κοστίζει περίπου 100,000 $ Ο άξονας περιστροφής πρέπει να είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής της γης, αλλιώς το γυροσκόπιο «διαβάζει» την περιστροφή της … Με κατάλληλες τροποποιήσεις μπορεί να μετρά γωνιακές ταχύτητες : Rate gyro Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες «κατεύθυνσης κίνησης» (Heading sensors) Οπτικό Γυροσκόπιο Μετρά γωνιακή ταχύτητα –όχι γωνία. (rate gyro) Χρησιμοποιεί δύο δέσμες μονοχρωματικού φωτός (ή laser) από την ίδια πηγή : Οι δέσμες κινούνται, σε αντίθετη κατεύθυνση, μέσα σε οπτική ίνα διατεθειμένη στην περιφέρεια κυλίνδρου –σαν πηνίο. Η δέσμη διατρέχει ελαφρώς μικρότερη διαδρομή στην αντίθετη της περιτροφής κατεύθυνση. Η διαφορά φάσης των δύο δεσμών είναι ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου. Για να υπάρξει μετρήσιμη διαφορά φάσης, το «πηνίο» έχει μήκος της τάξης των 5 Km. Τα πιο σύγχρονα οπτικά γυροσκόπια κατασκευάζονται με τεχνολογίες Micro fabrication. Single axis optical gyro 3-axis optical gyro Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες «κατεύθυνσης κίνησης» (Heading sensors) Γυροσκόπιο ταλάντωσης (vibrating gyro) Μετρά και αυτό γωνιακή ταχύτητα –όχι γωνία. (rate gyro). Βασική ιδέα αποτελεί το γεγονός ότι ταλαντούμενες μάζες, τείνουν να διατηρήσουν το επίπεδο ταλάντωσής τους, ακόμη κι όταν οι στηρίξεις του περιστρέφονται. (Φαινόμενα επιταχύνσεων Corriolis) Αυτό έχει ως αποτέλεσμα παραμόρφωση που υπό συνθήκες είναι μετρήσιμη και σχετίζεται άμεσα με την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. http://www.youtube.com/watch?v=zwe6LEYF0j8 Γυροσκόπια ταλάντωσης κατασκευάζονται σήμερα με τεχνολογίες MEMS και διατίθενται σε αδιανόητες για πριν μερικά χρόνια τιμές – μερικά €! Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Επιταχυνσιόμετρα (Accelerometers) Αρχή λειτουργίας Τα κύρια τμήματα ενός επιταχυνσιομέτρου είναι : η κινούμενη μάζα το σύστημα ανάρτησης η διάταξη μέτρησης της μετατόπισης Ισχύει γενικά : : Δύναμη που επενεργεί στην μάζα : Δύναμη που εξασκεί το ελατήριο : Δύναμη που εξασκεί ο αποσβεστήρας Άρα : Η μάζα λοιπόν γενικά θα ταλαντώνεται (seismic mass), Όταν όμως (και αν) ηρεμήσει : Μετρώντας κανείς δηλαδή την μετατόπιση του ελατηρίου, μπορεί να υπολογίσει την επιτάχυσνη. 2 1 3 Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Επιταχυνσιόμετρα (Accelerometers) MEMS Σήμερα κατασκευάζονται επιταχυνσιόμετρα σε πολύ μικρό μέγεθος, με την τεχνολογία MEMS. Η ίδια η στήριξη της σεισμικής μάζας υλοποιεί την δράση ελατηρίου, ενώ αδρανές αέριο εγκλωβισμένο Στην κατασκευή παίζει τον ρόλο του αποσβεστήρα. http://www.youtube.com/watch?v=KZVgKu6v808 <http://www.mems.sandia.gov/> Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Επιταχυνσιόμετρα (Accelerometers) Πιεζοηλεκτρικά επιταχυνσιόμετρα Η μάζα στηρίζεται εδώ σε πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο. Για να επιταχύνει πρέπει να δεχθεί δυνάμεις απ’ αυτόν, οπότε και ο τελευταίος δέχεται αντίστοιχα δύναμη (πίεση) και «παράγει» τάση. Μειονέκτημα εδώ αποτελεί το γεγονός ότι μπορούν να μετρηθούν μόνο μεταβαλλόμενες επιταχύνσεις αφού ο κρύσταλλος παράγει τάση όσο μεταβάλλεται η πίεση που δέχεται. Κατάλληλο για μέτρηση δονήσεων. Πλεονέκτημά του το υψηλό εύρος ζώνης. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Σύστημα αδρανειακής πλοήγησης (Inertial Navigation System - INS) Αναφέρεται πολλές φορές και ως Inertial Measurement Unit - IMU. Aποτελουν ολοκληρωμένες διατάξεις αισθητήων οι οποίες καταγράφουν την επιτάχυνση και το ρυθμό περιστροφής του συστήματος στους 3 άξονες. Τα συστηματα INS ενσωματωνουν επομενως 3 επταχυνσιομετρα και 3 γυροσκοπια. H ταχυτητα και η θεση προκυπτουν απο την ολοκληρωση των μετρουμενων επιταχυνσεων. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης με την βοήθεια «φάρων» Το σύστημα GPS Το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης με την βοήθεια «φάρων» Αναπτύχθηκε για στρατιωτικούς σκοπούς … Το 1995 διατέθηκε και για πολιτικές χρήσεις. Έκτοτε απογειώθηκε η χρήση του. 24 δορυφόροι, περιστρεφόμενοι σε 6 τροχιές και σε υψόμετρο 20.190 km. Οι τροχιές είναι έτσι σχεδιασμένες, ώστε ανά πάσα χρονική στιγμή να είναι «ορατοί» 6 δορυφόροι από κάθε σημείο της γης. Για τον προσδιορισμό της θέσης του, ο δέκτης μετρά με έμμεσο τρόπο αποστάσεις από τουλάχιστον τρεις δορυφόρους (τριγωνισμός). Η μέτρηση της απόστασης επιτυγχάνεται με την μέτρηση του χρόνου που απαιτείται για να φτάσει ηλεκτομαγνητικό σήμα από το δορυφόρο στον δέκτη : d = c*t Τεχνικές προκλήσεις Η απαίτηση για εξαιρετικά ακριβή μέτρηση χρόνου : Το σήμα κινείται με την ταχύτητα του φωτός, συνεπώς σφάλμα 1 nsec ισοδυναμεί με σφάλμα θέσης 0.3 m. Η απαίτηση γι απόλυτο συγχρονισμό των ρολογιών των δορυφόρων H παρακολούθηση της πραγματικής θέσης των δορυφόρων. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης με την βοήθεια «φάρων» Το σύστημα GPS Το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης με την βοήθεια «φάρων» Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης με την βοήθεια «φάρων» Το σύστημα GPS Το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης με την βοήθεια «φάρων» Ατομικό ρολόι σε κάθε δορυφόρο Επίγειοι διεσπαρμένοι σταθμοί για ακριβή παρακολούθηση της θέσης των δορυφόρων και για συγχρονισμό των ρολογιών τους. Πως λειτουργεί ο δέκτης : Ο δέκτης συσχετίζει ψευδο- τυχαίο κώδικα με τον ίδιο κώδικα που λαμβάνει από τον δορυφόρο. O χρόνος «καθυστέρησης» στην καλύτερη συσχέτιση αντιστοιχεί στον χρόνο πτήσης του σήματος. Όταν εκκινεί ο δέκτης δεν έχει τον ίδιο χρόνο με τον δορυφόρο. Την διαφορά ΔΤ την χειρίζεται ως άγνωστο, οπότε μαζί με τις άγνωστες συντεταγμένες του (Χ,Υ,Ζ) χρειάζεται τέσσερις εξισώσεις για να τα προσδιορίσει. Χρειάζεται δηλαδή να λάβει σήμα από 4 δορυφόρους. Η ακρίβεια φτηνών (50€) εμπορικών δεκτών είναι σήμερα της τάξης των μερικών μέτρων. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Το «διαφορικό» GPS (Differential GPS, DGPS) Ο σταθμός βάσης υπολογίζει συνεχώς την θέση του με την βοήθεια των δορυφόρων κα την συγκρίνει με την γνωστή του θέση. Οι προκύπτουσες διαφορές –σφάλματα επηρεάζουν με τον ίδιο περίπου τρόπο και όλους τους υπόλοιπους δέκτες στην περιοχή που μας ενδιαφέρει. Αν συνεπώς αποστέλλονται σ’ αυτούς σε πραγματικό χρόνο, τότε η ακρίβεια μέτρησης μπορεί να βελτιωθεί δραματικά. Μπορεί σήμερα να μετρηθεί θέση με ακρίβεια cm! Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες μέτρησης απόστασης (Range sensors) A. Time Of Flight - TOF Η πληροφορία απόστασης από αντικείμενα αποτελεί πολύτιμο δεδομένο στην προσπάθεια του ρομπότ να πλοηγηθεί : προσδιορισμός θέσης, αποφυγή εμποδίων. Μια από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται βασίζεται στην μέτρηση του χρόνου που χρειάζεται να μεταβεί «σήμα» που εκπέμπεται από τον δέκτη μέχρι τον στόχο και να επιστρέψει –Time Of Flight : emitter receiver Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες μέτρησης απόστασης (Range sensors) A. Time Of Flight - TOF Τα «σήματα» που έχουν χρησιμοποιηθεί είναι : υπέρηχος και δέσμη laser Σημαντικά θέματα να παρατηρήσει κανείς : Ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα : 0.3 m/ms Ταχύτητα διάδοσης δέσμης laser Q 0.3 m/ns, Ένα εκατομμύριο φορές γρηγορότερα . 3 μέτρα Αφορούν μέτρηση 10 ms για ένα αισθητήρα υπερήχων … Αλλά μόλις 10 ns για ένα αισθητήρα laser - > αρκετά δυσκολότερα να μετρηθεί με ακρίβεια… … για αυτό οι αντίστοιχοι αισθητήρες είναι ακριβοί (ακόμη ..) Σφάλματα μέτρησης οφείλονται σε : Μη ακριβή μέτρηση του χρόνου πτήσης Μεταβολές της ταχύτητας διάδοσης (θερμοκρασία, υγρασία) του ήχου Ανακλάσεις από άλλα εμπόδια (ήχος) : βασικό πρόβλημα Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Αισθητήρες μέτρησης απόστασης Αισθητήρες υπερήχων Τυπικές συχνότητες: 40kHz - 180 kHz Δημιουργία του υπερήχου : piezo transducer Εύρος μέτρησης : Τυπικά 12 cm μέχρι 5 m Διακριτική ικανότητα ~ 2 cm Accuracy 98% => relative error 2% Ο υπέρηχος εκπέμπεται σε κωνική επιφάνεια με γωνία : Τυπικά 20ο έως 40ο . Typical intensity distribution of a ultrasonic sensor <http://www.robot-electronics.co.uk/ shop/Ultrasonic_Rangers1999.htm> Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Cyclone 2D laser scanner H βασικη διαταξη μετρησης αποστασης μπορει να επιτυχει σαρωση για την παραγωγη 2D δεδομενων, συνδυαζομενη με καποιο μηχανικο συστημα περιστροφης Υλοποιειται με τη χρηση περιστρεφομενων καθρεπτων οι οποιοι στελνουν την παραγομενη δεσμη του laser σε διαφορετικες γωνιες Cyclone 2D laser scanner Eμβελεια Διακριτικη Iκανοτητα Aκριβεια Tαχυτητα Συχνοτητα Παλμων Eυρος Δεσμης μεχρι 50m 10cm 15cm 15 scans/sec 7200 Hz 2.5mrad

SICK Laser Range Finder H Γερμανικη εταιρια SICK παρεχει διαφορα μοντελα μετρητικων συστηματων Laser, για χρηση σε διαφορες εφαρμογες Eμβελεια Διακριτικη Iκανοτητα Eυρος Σαρωσης Xρονος Σαρωσης Βαρος 2 - 150m 10 mm 100° - 180° (ανα 0.25°) 13 - 40msec 4.5 Kg LMS 200

Tρισδιαστατοι Σαρωτες Laser Προσφατες ερευνητικες δραστηριοτητες επιτυγχανουν τρισδιαστατη σαρωση χρησιμοποιωντας εναν 2D σαρωτη laser ο οποιος τοποθετειται σε βαση, η οποια επιτρεπει μεταβολη της κλισης του, μεσω σερβομηχανισμου H διαταξη της εικονας επιτρεπει τη ληψη μεχρι 30.280 μετρησεων (αποστασης και ανακλαστικοτητας), καλυπτοντας γωνιακο ευρος μεχρι 180° x 120° (οριζοντια x καθετα), και με ακριβεια εκατοστου Kοστος ~8500 Euros

Tρισδιαστατοι Σαρωτες Laser O τρισδιαστατος σαρωτης βρισκει εφαρμογη και σε αυτοκινουμενα ρομποτ, για την ακριβη χαρτογραφηση των χωρων στους οποιους κινειται Eπιτρεπει ετσι την υλοποιηση πολυπλοκων αλγοριθμων πλοηγησης σε μη-γνωστα περιβαλλοντα H επεξεργασια της πληθωρας των δεδομενων που παρεχει ο σαρωτης ανεβαζει σημαντικα τις απαιτησεις σε υπολογιστικη ισχυ, ταχυτητα και μνημη για τον ελεγκτη κινησης

Μέτρηση απόστασης με τριγωνισμό Μέτρηση απόστασης με τριγωνισμό Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί αισθητήρες που χρησιμοποιούν την μέθοδο τριγωνισμού για να υπολογίσουν αποστάσεις. Χρησιμοποιούν είτε δέσμη laser είτε δέσμη υπερήθρων. H δέσμη που παράγεται στην συσκευή (1) κτυπά το ανιχνευόμενο σώμα και διαχέεται. Μέρος της διαχεόμενης δέσμης συλλέγεται από τον φακό (4) και εστιάζεται σε ευαίσθητο αισθητήρα (5) – Position Sensitive Detector. Η θέση του στίγματος της δέσμης επί του αισθητήρα σχετίζεται άμεσα με την απόσταση του αντικειμένου. Οι αισθητήρες laser που έχουν αναπτυχθεί με χρήση της μεθόδου αυτής μπορούν να μετρήσουν μικρές σχετικά αποστάσεις, με ακρίβεια της τάξης του 1μm! Μια εφαρμογή μέτρησης απόστασης με τέτοιες ακρίβειες, αφορά την συνεχή μέτρηση πάχους παραγομένων προϊόντων (χαρτί, πλαστικό, φύλλο λαμαρίνας κλπ) με μεγάλη ακρίβεια για λόγους ελέγχου της γραμμής παραγωγής ή για λόγους ποιότητας. 4 Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Μέτρηση απόστασης με τριγωνισμό Μέτρηση απόστασης με τριγωνισμό Οι αισθητήρας της σειράς GP2Dxx της Sharp ανήκουν επίσης στην κατηγορία αυτή. Πρόκειται για πολύ οικονομικούς αισθητήρες ( της τάξης των 10 € ) που μπορούν να μετρήσουν αποστάσεις από 10 cm έως ένα περίπου μέτρο με ακρίβεια εκατοστού. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Ρομποτική όραση B. Κινούμενα ρομπότ Χρησιμοποιούν τυπικά : Χρησιμοποιούν τυπικά : Είτε μια κάμερα σταθερά τοποθετημένη στο σασί του ρομπότ που κοιτάζει μπροστά. Είτε δύο κάμερες προκειμένου να υλοποιηθεί στερεοσκοπική όραση για πρόσληψη πληροφορίας βάθους. Με τις σύγχρονες κάμερες που παρέχουν πληροφορία βάθους, η στερεοσκοπική όραση τείνει να εγκαταλειφθεί. Η οπτική πληροφορία χρησιμοποιείται για : Αποφυγή εμποδίων Εντοπισμό μονοπατιού που πρέπει να ακολουθηθεί Localization ……. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Ρομποτική όραση B. Κινούμενα ρομπότ Τα τελευταία χρόνια, η χρήση omni-directional καμερών δίδει στο ρομπότ δυνατότητα να διαθέτει πλούσια πληροφορία του περιβάλλοντος του, πράγμα που το βοηθά να προσδιορίζει την θέση του αξιόπιστα, χωρίς την χρήση τεχνητών οροσήμων. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Προσδιορισμός της θέσης του ρομπότ (Localization) Ένας «κομψός» τρόπος να λύσει κανείς το πρόβλημα προσδιορισμού θέσης ενός ρομπότ είναι να χρησιμοποιήσει «φάρους» (beacons). «Φάροι» είναι (παθητικές ή ενεργητικές) συσκευές που εκπέμπουν ένα σήμα και βρίσκονται σε πολύ καλά γνωστή θέση στο χώρο. Η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε από τότε που οι άνθρωποι άρχισαν να ταξιδεύουν. Φυσικοί «φάροι» – ορόσημα : αστέρια, ο ήλιος, βουνά Τεχνητοί φάροι –οι γνωστοί μας Η θέση προσδιορίζεται με επίλυση τριγώνων, αν μπορεί να μετρήσει κανείς κάποιες γωνίες ή κάποιες αποστάσεις. Τα κυριότερα μειονεκτήματα : Απαιτούν επεμβάσεις στο περιβάλλον. Τα σήματα μπορεί να παρεμποδίζονται από εμπόδια. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Παθητικοί φάρων (Passive beacons) Τοποθετούνται σε θέσεις των οποίων η γεωμετρία είναι γνωστή. Συνήθως είναι ισχυρά ανακλαστικές επιφάνειες τις οποίες μπορεί να εντοπίσει το ρομπότ από την ανάκλαση φωτεινής δέσμης που το ίδιο εκπέμπει. Το σύστημα δέσμης – αισθητήρας περιστρέφεται και μπορούν να μετρηθούν επίσης οι γωνίες θ1 και θ2 (π.χ με την βοήθεια encoder) (Σχήμα). Αν είναι επίσης γνωστές οι αποστάσεις L1, L2 και L3, τότε με απλή τριγωνομετρία μπορεί να προσδιοριστεί η θέση του ρομπότ στο επίπεδο. L2 L3 L1 θ1 θ2 Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Μια λύση για το πρόβλημα του τριγωνισμού Έστω οι φάροι 1,2,3 και έστω ότι είναι γνωστές οι αποστάσεις L12, L23 και η γωνία Θ. Έστω ακόμη ότι το ρομπότ στην θέση Ο μετρά τις γωνίες φ1 και φ2. Το θεώρημα ημιτόνων στα τρίγωνα Ο12 και Ο23 δίδει : d2/ημω = L12/ημ(φ1) => d2 =ημω(L12/ημ(φ1)) (1) d2/ημλ = L23/ημ(φ2) => d2 = ημλ(L23/ημ(φ2)) (2) Για την γωνία λ όμως ισχύει : λ= 180ο - φ2 - [Θ – (180ο – ω – φ1)] = 360ο – (φ2 + φ2 + Θ) – ω => ημλ = - ημ[(φ2 + φ2 + Θ) + ω] (3) Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει : ημω(L12/ημ(φ1)) = - ημ[(φ2 + φ2 + Θ) + ω] (L23/ημ(φ2)) .. μια τριγωνομετρική εξίσωση δηλαδή της μορφής : Κ1 ημω = - Κ2 ημ (Κ3 + ω) .. η οποία μπορεί να λυθεί και να προκύψει η γωνία ω και στην συνέχεια όλα τα υπόλοιπα άγνωστα μεγέθη. Υ 3 λ d3 L23 O φ2 d1 d2 Θ φ1 2 ω 1 L12 Χ Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Ενεργοί φάροι (Active beacons) Συνήθως πηγές υπερήχων. Αν οι φάροι εκπέμπουν την ίδια ακριβώς χρονική στιγμή παλμό, τότε ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει στο ρομπότ κάθε (διακριτός) παλμός μας δίδει την απόσταση από τον αντίστοιχο φάρο. Και πάλι με απλούς γεωμετρικούς υπολογισμούς μπορεί να προσδιορισθεί η θέση. Για το επίπεδο είναι αρκετοί δύο φάροι… Η χρήση φάρων είναι μια εξαιρετικά ακριβής και κυρίως αξιόπιστη μέθοδος προσδιορισμού θέσης και για τον λόγο αυτό συναντάται σε πολλά συστήματα στην βιομηχανία. Μοναδικό της μειονέκτημα αποτελεί το γεγονός ότι απαιτεί καλό σχεδιασμό, ξεχωριστό για κάθε περίπτωση. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Προσδιορισμός θέσης με την βοήθεια «τροχιάς» (Route based localization) Σε πολλές εφαρμογές, μας αρκεί το ρομπότ να κινείται επί προκαθορισμένων μονοπατιών. Π.χ. Οχήματα μεταφοράς αντικειμένων σε βιομηχανικό περιβάλλον (AGVs), αυτοκίνητα που παρακολουθούν την λευκή λωρίδα κλπ. Στις περιπτώσεις αυτές μπορεί κανείς να «σημαδέψει» τα εν λόγω μονοπάτια και να εγκαταστήσει στο ρομπότ σύστημα ανίχνευσής τους. Συνηθισμένα συστήματα «σημαδέματος» και ανίχνευσης Καλώδιο θαμμένο μερικά εκατοστά στο πάτωμα κατά μήκος της διαδρομής και επαγωγικό πηνίο στο ρομπότ που ανιχνεύει το ελάχιστο ρεύμα που το διατρέχει : Εξαιρετικά απλή και δοκιμασμένη μέθοδος. Απλή κατάλληλη βαφή και χρήση είτε ειδικού αισθητήρα είτε απλής κάμερας για τον εντοπισμό. Το σύστημα αυτό στην ουσία είναι μια «ελαστική» τροχιά. Ελαστική κατά το γεγονός ότι μπορεί να αλλάξει εύκολα αλλά κυρίως κατά το ότι το ρομπότ μπορεί να την παρακάμψει για λίγο αν συναντήσει εμπόδιο. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Προσδιορισμός θέσης με την βοήθεια «οροσήμων» (Landmark based localization) Ο έξυπνος σχεδιασμός και η τοποθέτηση «οροσήμων» (landmarks) μπορεί σε πολλές περιπτώσεις να δώσει αποτελεσματικές λύσεις στο πρόβλημα του προσδιορισμού θέσης και προσανατολισμού. Ο εντοπισμός των οροσήμων μπορεί να γίνει με εξαιρετικά απλούς τρόπους, όπως απλός ανιχνευτής φωτεινής ακτινοβολίας (σύστημα Komatsu, σχήμα). Σήμερα πάντως η περιοχή είναι πολλά υποσχόμενη λόγω της μηχανικής όρασης. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Landmark based localization KIVA Systems, Boston (MA) http://www.youtube.com/watch?v=lWsMdN7HMuA Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"

Οδομετρία Έστω ότι η θέση και ο προσανατολισμός (heading) του ρομπότ ως προς σύστημα συντεταγμένων Χ,Υ τις χρονικές στιγμές ti, και ti+1 είναι (xi, yi, θi) και (xi+1, yi+1, θi+1) αντίστοιχα.   Στον χρόνο Δt = ti+1 - ti o δεξιός και αριστερός τροχός του ρομπότ έχουν περιστραφεί κατά γωνίες ΔφR και ΔφL αντίστοιχα – μετρούμενες σε ακτίνια – και έχουν διανύσει διαστήματα ΔUR και ΔUL. Έστω r, η ακτίνα των τροχών του ρομπότ. Ισχύει :   ΔUR = r ΔφR και ΔUL = r ΔφL (1) Αν ο χρόνος Δt είναι μικρός, τότε μπορεί να θεωρήσει κανείς ότι το σασί του ρομπότ περιστρέφεται στιγμιαία γύρω από το σημείο περιστροφής Ο, ότι δηλαδή οι τροχοί του ρομπότ αλλά και το γεωμετρικό του κέντρο κινούνται επί τόξων του ίδιου κύκλου, κέντρου Ο.  Δθ =θi+1 – θi =ΔUL/R = ΔUR/(R+b) = (ΔUR –ΔUL )/b (2)  ΔU = (ΔUL + ΔUR )/2 (3) AB ΔU (4)  Οπότε, από τις (1), (2), (3) και (4) :   Χi+1 = Χi + AB συν(θi + Δθ/2) => Χi+1 = Χi + [(ΔφR + ΔφL )r/2] συν[θi +(ΔφR –ΔφL )r/2b] Υi+1 = Υi + AB ημ(θi + Δθ/2) => Υi+1 = Υi + [(ΔφR + ΔφL )r/2] ημ[θi +(ΔφR –ΔφL )r/2b] Αν δηλαδή το ρομπότ ξεκινά από γνωστή πόζα (xi, yi, θi), τότε με «στενή» παρακολούθηση της γωνίας στροφής των τροχών, μπορεί κανείς να υπολογίζει την πόζα του ρομπότ κάθε χρονική στιγμή. X R b θι Δθ ΔUR ΔUL ΔU (xi,yi) (xi+1,yi+1) θι+1 Y A B Δθ/ 2 Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής"