Λογισμός πιθανοτήτων Η μαθηματική τυποποίηση για τη διαχείριση του μέτρου πιθανότητας

Τυχαία Μεταβλητή Μια συνάρτηση Χ:Ω  R λέγεται στοχαστική ή τυχαία μεταβλητή (Τ.Μ.), αν για κάθε γεγονός που ανήκει στη σ-άλγεβρα Βοοle, έχουμε Χ -1 (Α)  Ω Κατά συνέπεια ορίζουμε Ρ(Α)=Ρ(Χ -1 (Α)) Μονοδιάστατες και πολυδιάστατες Τ.Μ. Διακριτές και Συνεχείς Τ.Μ. Έστω ότι Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή. Αν ο αριθμός των δυνατών τιμών του Χ είναι πεπερασμένος ή απείρως αριθμήσιμος, ονομάζουμε την διακριτή τυχαία μεταβλητή. Δηλ. οι δυνατές τιμές της μπορούν να αριθμηθούν σαν x 1, x 2, …,x n. Έστω X μία διακριτή Τ.Μ. Ο δειγματοχώρος του πεδίου τιμών, στην περίπτωση αυτή, αποτελείται το πολύ από ένα απείρως αριθμήσιμο πλήθος τιμών x 1, x 2, …,x n. Σε κάθε δυνατό συμβάν x i αντιστοιχούμε έναν αριθμό p(x i )=P(X=x 1 ), ο οποίος καλείται πιθανότητα του. Οι αριθμοί αυτοί ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις α) p(x i )  o για όλα τα I β)

Η κατανομή Κατανομές ή Γενικευμένες Συναρτήσεις είναι οι συναρτήσεις εκείνες που καθιστούν διαφορίσιμες κάποιες συναρτήσεις που παρουσιάζουν μη διαφορισιμότητα σε ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος σημείων του πεδίου ορισμού των. Έχει αποδειχθεί ότι κάθε τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση έχει μια κατανεμημένη παράγωγο. Ένα γνωστό παράδειγμα τέτοιων συναρτήσεων είναι η δέλτα του Dirac.

Στη συνέχεια θα περιγραφούν με σύντομο τρόπο κατανομές Τ.Μ., οι οποίες είναι συναρτήσεις που παρουσιάζουν σημεία μη διαφορισιμότητας, αλλά είναι τοπικά ολοκληρώσιμες.

Κατανομή πιθανοτήτων Τ.Μ. Καλούμε κατανομή πιθανοτήτων της διακριτής Τ.Μ. Χ, το σύνολο των πιθανοτήτων Ρ[Χ=x i ], που δεν είναι άλλο από το σύνολο των αριθμών {p 1, p 2, p 3, …}. Την απεικόνιση των [x i ] στα p i, καλούμε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (Σ.Π.Π.) και τη συμβολίζουμε με f x Τέλος, με F x συμβολίζουμε την κατανομή που αντιστοιχεί στα [x i ] τις πιθανότητες Ρ[Χ  x i ] και συχνά στη βιβλιογραφία την απαντούμε και ως Αθροιστική Κατανομή Πιθανοτήτων (Α.Σ.Κ.).

Παράδειγμα ΑΣΚ Για δυο διαδοχικές ρίψεις ενός νομίσματος, ο δειγματοχώρος διαμορφώνεται ως εξής Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Έστω για κάθε ω  Ω, Χ(ω) δίνεται με το πλήθος των όψεων «κεφάλι» που έχουν εμφανιστεί, σύμφωνα με τον πίνακα ΩΚΚΚΓΓΚΓΓ Χ(ω)2110 Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P i, i=0,1,2 Η συνάρτηση κατανομής είναι και παριστάνεται P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4 H Α.Σ.Κ. είναι

συνέχεια H Α.Σ.Κ. είναι ∞

Παραδείγματα Α.Σ.Κ. 1 ο Παράδειγμα 2 ο Παράδειγμα

Συνεχείς Σ.Π.Π. & Α.Σ.Κ.

ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Χ μια μονοδιάστατη Τ.Μ. Η Μέση Τιμή της και η μεταβλητότητα της είναι αριθμοί πραγματικοί που συμβολίζονται με Ε[Χ] ή μ χ ή μ και Var[X] ή σ 2 χ ή σ 2 αντίστοιχα και ορίζονται ως εξής: α)Για διακριτή Τ.Μ. με Σ.Π.Π. στα σημεία x 1, x 2,… με Ρ k =P(X=x k ), ορίζουμε Συνεχείς Σ.Π.Π. & Α.Σ.Κ.

β)Για μια συνεχή Τ.Μ. με Σ.Π.Π. f X, Συνεχείς Σ.Π.Π. & Α.Σ.Κ.

Παράδειγμα: Να κατασκευαστεί πίνακας κερδών και πιθανοτήτων κέρδους για το εξής τυχερό παιγνίδι: Σε 12 ρίψεις ενός ζαριού, επιτυχία θεωρείται η εμφάνιση των αριθμών 1 και 6. Η συμμετοχή του παίκτη κοστίζει 12 €. Σε κάθε επιτυχία ο παίκτης κερδίζει 3 €. Να συμπεράνετε αν το παιχνίδι είναι δίκαιο. Στην περίπτωση όπου συμπεράνετε ότι το παιχνίδι δεν είναι «δίκαιο», να αποφανθείτε αν ευνοεί τον παίκτη ή το καζίνο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

Πίνακας κερδών ΕπιτυχίεςΚέρδη x k Κατανομή πιθανότητας xkxk Ρ(Χ= x k ) 00, , , , , , , , , , , , ,000002

Διαχείριση της κατανομής

Η Μαθηματική Προσδοκία (το προσδοκώμενο κέρδος του παίκτη) είναι : Ε[Χ] = -0, Δηλαδή είναι ουσιαστικά μηδενικό και μπορούμε να πούμε ότι το παίγνια είναι δίκαιο

Μια συσκευή αποτελείται από 1000 εξαρτήματα, που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα να χαλάσει κάποιο από τα εξαρτήματα αυτά σε χρόνο Τ είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου σε χρόνο Τ α να χαλάσουν ακριβώς 3 εξαρτήματα. Η πιθανότητα Ρ(Α) να χαλάσει ένα εξάρτημα σε χρόνο Τ είναι Ρ(Α) = 2/1000 Άρα η πιθανότητα Ρ(Β) να χαλάσουν τρία εξαρτήματα σε χρόνο Τ είναι : Ρ(Β) = (1000!/(3!997!))(Ρ(Α)) 3 (1-P(A)) 997 Ρ(Β) = 0,

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: Ένα εργοστάσιο φτιάχνει τηλεοράσεις. Η πιθανότητα του ενδεχομένου η παραγόμενη τηλεόραση να είναι ελαττωματική είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ανάμεσα σε 200 τηλεοράσεις να υπάρχουν ακριβώς 4 ελαττωματικές. Απάντηση: Για την λύση της άσκησης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της σχέσης Bernoulli που βρίσκεται στο βιβλίο στην σελίδα 64. (1) Όπου για την επίλυση του παίρνουμε τον τύπο: (2) Για την άσκηση θέτουμε: p = Πιθανότητα να υπάρχει ελαττωματική τηλεόραση  1% q = Υπόλοιπο της πιθανότητας, δηλαδή οι μη ελαττωματικές τηλεοράσεις  99% n = Το σύνολο των παραγόμενων τηλεοράσεων  200 κ = Οι ελαττωματικές τηλεοράσεις  4 Χρησιμοποιούμε τον τύπο (2) και παίρνουμε:  200! / [4!/196!] = (197*198*199*200)/(1*2*3*4) (Μετά από απλοποίηση) Το αποτέλεσμα των πράξεων είναι = Το αποτέλεσμα αυτό το χρησιμοποιούμε στον αρχικό τύπο (1) και παίρνουμε:  f(k) = x (1/100)4 x (99/100)196 = x 10-8 x = Άρα η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς 4 ελαττωματικές τηλεοράσεις σε 200 παραγόμενες είναι περίπου 9%