Υπολογιστική Ρευστομηχανική Ενότητα 3: Περιγραφή Αριθμητικών Μεθόδων Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Είδη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) Ελλειπτικές ΜΔΕ Παραβολικές ΜΔΕ Υπερβολικές ΜΔΕ Συσχέτιση ΜΔΕ με γενική εξίσωση μεταφοράς Βασικά στοιχεία επίλυσης με CFD Διαδικασία επίλυσης Τύποι πλεγμάτων Ορολογία πλεγμάτων Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών Μέθοδος πεπερασμένων όγκων Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Επίλυση γραμμικών συστημάτων Άμεσες μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Ακρίβεια Συνέπεια Σύγκλιση Ευστάθεια

Είδη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) Θεωρούμε την δεύτερης τάξης μερική διαφορική εξίσωση για την ποσότητα φ(x,y): Έστω ότι οι συντελεστές a, b, c, d, e και f είναι γραμμικοί, αλλά μπορούν να είναι συναρτήσεις του (x,y). Άρα όπου: 1. D < 0 Ελλειπτική ΜΔΕ 2. D = 0 Παραβολική ΜΔΕ 3. D > 0 Υπερβολική ΜΔΕ

Ελλεπτικές ΜΔΕ Έστω ότι αγωγή θερμότητας σε επίπεδη πλάκα σε μία διάσταση (1-D) με σταθερή θερμική αγωγιμότητα: Με οριακές συνθήκες: Συνεπάγεται ότι: ΤοΤο ΤLΤL L x

Παραβολικές ΜΔΕ L x ΤiΤi Έστω χρονικά μεταβαλλόμενη μονοδιάστατη ροή ρευστού με σταθερές ιδιότητες: με αρχικές και οριακές συνθήκες: Άρα Συνεπάγεται ΤLΤL ΤοΤο

Υπερβολικές ΜΔΕ Έστω ότι συναγωγή θερμοκρασίας όπου αλλάζει βαθμιδωτά με τις παρακάτω οριακές και αρχικές συνθήκες: Επομένως έχουμε: u x T T0T0 TiTi

Συσχέτιση ΜΔΕ με γενική εξίσωση μεταφοράς 1)Περιέχονται και οι τρεις κανονικές μορφές ΜΔΕ 2)Έχουμε μικτή συμπεριφορά σε μικτές περιοχές 3)Ελλειπτική εξίσωση έχουμε όταν η ροή είναι μόνιμη και με μικρό αριθμό Re 4)Υπερβολική εξίσωση όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι ίσος με μηδέν 5)Παραβολική εξίσωση όταν η ροή είναι χρονικά μεταβαλλόμενη και ο αριθμός Re είναι μικρός

Βασικά στοιχεία επίλυσης με CFD  Δημιουργία γεωμετρίας  Δημιουργία πλέγματος  Διακριτοποίηση των εξισώσεων επίλυσης  Λύση των διακριτών εξισώσεων  Παρουσίαση των αποτελεσμάτων με υπολογιστικά πακέτα γραφικών και επεξεργασίας δεδομένων

Διαδικασία επίλυσης I.«Διακριτοποίηση» ονομάζουμε την διαδικασία προσέγγισης των μερικών διαφορικών εξισώσεων σε διακριτές αλγεβρικές εξισώσεις II.Η αναλυτική λύση μας δίνει φ(x,y,z,t) III.Η αριθμητική λύση δίνει την τιμή της φ σε διακριτά σημεία του πλέγματος IV.Η διαδικασία της διακριτοποίησης περιλαμβάνει i. Διακριτοποίηση του χώρου δημιουργώντας κάποιο πλέγμα ii. Διακριτοποίηση των εξισώσεων σε συστήματα διακριτών αλγεβρικών εξισώσεων

Τύποι πλεγμάτων (1) Κανονικά πλέγματα και πλέγματα ‘body-fitted’ Βαθμιδωτή αναπαράσταση περίπλοκης γεωμετρίας

Τύποι πλεγμάτων (2) Δομημένα κατά block πλέγματα Αδόμητα (unstructured) πλέγματα

Τύποι πλεγμάτων (3) Υβριδικά πλέγματα Πλέγματα με κελιά που δεν συμπίπτουν οι ακμές τους

Ορολογία πλεγμάτων Υπάρχουν μέθοδοι πεπερασμένων όγκων που αποθηκεύουν το φ στο κέντρο αποθηκεύουν το φ στους κόμβους

Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών (1) Έστω η εξίσωση διάχυσης : Β. Αναπτύσσουμε τη φ σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο 2 C. Αφαιρούμε τις παραπάνω εξισώσεις : 1 23 ΔxΔxΔxΔx A. Χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα διακριτοποιούμε το χώρο. Οι άγνωστοι τοποθετούνται στις ακμές

Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών (2) D. Προσθέτουμε τις εξισώσεις : Λάθος αποκοπής δεύτερης τάξης E. Διώχνουμε τους όρους αποκοπής : F. Προσδιορίζουμε τους όρους πηγής στο σημείο 2 :

G. Συμπληρώνουμε την διακριτή εξίσωση: Συμπεράσματα : 1) Υπάρχει τέτοια εξίσωση για κάθε σημείο του πλέγματος 2)Οι οριακές τιμές για τη φ προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες 3) Έχουμε ακρίβεια δεύτερης τάξης 4) Χρειαζόμαστε μία μέθοδο επίλυσης συστήματος πεπλεγμένων γραμμικών εξισώσεων Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών (3)

Μέθοδος πεπερασμένων όγκων (1) Έστω η εξίσωση διάχυσης : 1: Ολοκληρώνουμε στον όγκο ελέγχου: ΕPW δxwδxw δxeδxe we

Μέθοδος πεπερασμένων όγκων (2) 2: Έστω γραμμικό προφίλ μεταξύ των κέντρων των κελιών για την φ και ότι η πηγή S μεταβάλλετε γραμμικά στον όγκο ελέγχου 3: Σχηματίζουμε την αλγεβρική εξίσωση : ΕPW δxwδxw δxeδxe we

Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (1) 1. Έστω η εξίσωση διάχυσης: 2. Έστω ότι φ είναι μία προσέγγιση της φ 4. Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων κατά Galerkin ελαχιστοποιεί το R σε σχέση με μια συνάρτηση βάρους 3. Εφόσον η φ είναι μία προσέγγιση, δεν ικανοποιεί ακριβώς την εξίσωση της διάχυσης και αφήνει ένα υπόλοιπο R

Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (2) Χρησιμοποιείται μια οικογένεια συναρτήσεων βάρους W i, i = 1,…N, (όπου N: είναι ο αριθμός των σημείων του πλέγματος). Αυτό δημιουργεί N διακριτές εξισώσεις για τους N αγνώστους.

Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (3) Ακόμα, τοπικές συναρτήσεις Ν σχήματος i χρησιμοποιούνται για την διακριτοποίηση του R. Ειδικά για την προσέγγιση με τη μέθοδο Galerkin, οι συναρτήσεις βάρους και σχήματος επιλέγονται ίδιες.

Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (4) Η διαδικασία διακριτοποίησης οδηγεί ξανά σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής: Συμπεράσματα: 1.Η χρήση τοπικών βάσεων περιορίζει την σχέση μεταξύ του σημείου i και μόνο των γειτονικών του. 2. Το τελικό αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων – άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους ίδιους επιλυτές όπως και στις μεθόδους των πεπερασμένων όγκων και πεπερασμένων διαφορών.

Επίλυση γραμμικών συστημάτων 1. Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει δύο βασικά χαρακτηριστικά: i. Το μητρώο είναι αραιό (sparse) και ίσως banded ii. Οι συντελεστές για μη γραμμικά προβλήματα είναι προσωρινοί 2. Η επίλυση γίνεται χρησιμοποιώντας δύο τρόπους: i. Άμεσες μεθόδους ii. Επαναληπτικές μεθόδους 3. Ο τρόπος της λύσης καθορίζει τη “διαδρομή της λύσης”: i. Η τελικά απάντηση καθορίζεται από τη διακριτοποίηση

Άμεσες μέθοδοι (1) 1. Όλες τα σχήματα διακριτοποίησης οδηγούν στη μορφή : 2. Μπορεί να αντιστραφεί : 3. Η αντιστροφή στοιχίζει O(N 3 ) πράξεις, αλλά μπορούν να βρεθούν άλλες πιο οικονομικές μέθοδοι όπου λαμβάνονται υπόψη: a.τυχών δομές ζωνών ‘band’ b.το πόσο αραιός είναι ο πίνακας

Άμεσες μέθοδοι (2) 1. Μεγάλη απαίτηση σε μνήμη και αριθμητικές πράξεις. 2.Σε μη-γραμμικά προβλήματα, το A είναι προσωρινό και πρέπει να ανανεώνεται συστηματικά με κάποια επαναληπτική διαδικασία. 3.Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, οι άμεσες μέθοδοι να μην χρησιμοποιούνται πολύ συχνά σε προβλήματα CFD σήμερα.

Επαναληπτικές μέθοδοι (1) 1. Τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται μια φιλοσοφία υπόθεσης και διόρθωσης. 2. Μία τυπική επαναληπτική μέθοδο είναι η Gauss-Seidel. 3. Ανανέωση μέσω της σχέσης: 4.Κάθε πέρασμα (sweep) επαναλαμβάνεται για όλα τα σημεία έως ότου το κριτήριο σύγκλισης ικανοποιηθεί. 5. Σε κάθε πέρασμα, τα σημεία που έχει εφαρμοστεί η σχέση έχουν νέες τιμές, ενώ τα σημεία στα όποια δεν έχει εφαρμοστεί έχουν παλιές τιμές.

Επαναληπτικές μέθοδοι (2) a. Η μέθοδος Jacobi επίσης χρησιμοποιείται στην υπολογιστική ρευστομηχανική και είναι παρόμοια με τη μέθοδο Gauss-Seidel αλλά δεν χρησιμοποιεί τις πιο πρόσφατες τιμές. b. Οι επαναληπτικές μέθοδοι δεν εγγυούνται σύγκλιση σε κάποια σταθερή λύση εκτός και αν το κριτήριο Scarborough ικανοποιείται.

Ακρίβεια (1) 1.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, γράφουμε: 2. Κάνοντας μισό το μήκος του πλέγματος μειώνουμε το λάθος τέσσερις φορές για ένα σχήμα διαφορών δεύτερης τάξης. 3. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς ποιο το απόλυτο λάθος – το λάθος αποκοπής μας δίνει μόνο το ρυθμό της μείωσης του λάθους.

Ακρίβεια (2) 4. Η τάξη του σχήματος διακριτοποίησης είναι n όταν το λάθος αποκοπής είναι τάξης O(Δx n ). 5. Όταν περιλαμβάνεται παραπάνω από ένας όρος, η ολική τάξη της μεθόδου διακριτοποίησης είναι αυτή του όρου της μικρότερης τάξης. 6. Η ακρίβεια είναι μια ιδιότητα του αριθμητικού σχήματος, δεν έχει σχέση με το τρόπο που θα οδηγηθούμε στη λύση.

Συνέπεια 1. Μία μέθοδος διακριτοποίησης είναι συνεπής όταν το λάθος αποκοπής μειώνεται καθώς Δx ->0. 2. Αυτό δεν συμβαίνει πάντα: Μερικές φορές το λάθος αποκοπής είναι τάξης O(Δx/Δt). 3. Η συνέπεια είναι μια ιδιότητα του αριθμητικού σχήματος, δεν έχει σχέση με το τρόπο που θα οδηγηθούμε στη λύση.

Σύγκλιση Χρησιμοποιούμε τον όρο σύγκλιση σε δύο περιπτώσεις:  Σύγκλιση σε μια λύση ανεξάρτητη από το πλέγμα (mesh- independent). Δηλαδή με σταδιακή μείωση του μεγέθους των κελιών (mesh refinement).  Σύγκλιση για επαναληπτικής μεθόδου έως ώστε η τελική λύση να μην αλλάζει (ή να είναι ίδια με το κριτήριο σύγκλισης).

Ευστάθεια (1) A. Είναι ιδιότητα που επηρεάζει το τρόπο που θα οδηγηθούμε στη λύση. B. Συνήθως χρησιμοποιείται για να χαρακτηρίσουμε μια επαναληπτική μέθοδο. C. Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του πίνακα συντελεστών Α, διάφορα λάθη μπορούν να αποσβεσθούν ή να ενισχυθούν κατά τη διάρκεια μιας επανάληψης. D. Μια επαναληπτική μέθοδο είναι ασταθείς αν αποτύχει να δώσει μια λύση του συστήματος των διακριτών εξισώσεων.

Ευστάθεια (2) I.Είναι επίσης συνηθισμένο να αναφερόμαστε και σε ευστάθεια χρονικά μεταβαλλόμενων μεθόδων II. Η ανάλυση ευστάθειας κατά Von-Neumann (υπάρχουν και μερικές άλλες) μπορεί να καθορίσει εάν το γραμμικό σύστημα είναι σταθερό για διάφορες μεθόδους επαναληπτικές ή με χρονική επανάληψη III. Η ανάλυση ευστάθειας για προβλήματα μη-γραμμικά είναι δύσκολη και σε μεγάλο βαθμό δεν χρησιμοποιείται

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων 1. Υπολογιστική Ρευστοδυναμική, Ν. Μαρκάτου και Δ. Ασημακόπουλου, Εκδ. Παπασωτηρίου 2. Υπολογιστική Ρευστομηχανική, Μπεργελές Γ., Τόμος 182, Εκδ. Συμεών 3. Υπολογιστική Ρευστοδυναμική, Παύλου Χατζηκωνσταντίνου, Πανεπιστημιακές Παραδόσεις 4. Computational Techniques for Fluid Dynamics, C.A.J. Fletcher, Springer Computational Methods for Fluid Dynamics, J.H. Ferziger, M. Peric, Springer Basics of Fluid Mechanics and Introduction to Computational Fluid Dynamics, T. Petrila, D. Trif, Springer, 2005

Σημείωμα Αναφοράς “Computational Fluid Dynamics”, Chung, 2006 Διαθέσιμο στο Νηρέα της Κεντρικής Βιβλιοθήκης του Πανεπιστημίου Πατρών: EL/egwcgi/326948/showfull.egw/2+0+1+full

Τέλος Ενότητας