Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

1 1 Slide Ουρές Αναμονής. 2 2 Slide Μοντέλα Ουρών Αναμονής n Η Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Σύστημα Ουράς n Σύστημα Ουράς Χαρακτηριστικά Συντελεστών n.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "1 1 Slide Ουρές Αναμονής. 2 2 Slide Μοντέλα Ουρών Αναμονής n Η Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Σύστημα Ουράς n Σύστημα Ουράς Χαρακτηριστικά Συντελεστών n."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 1 Slide Ουρές Αναμονής

2 2 2 Slide Μοντέλα Ουρών Αναμονής n Η Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Σύστημα Ουράς n Σύστημα Ουράς Χαρακτηριστικά Συντελεστών n Σύστημα Ουράς Λειτουργικά Χαρακτηριστικά n Αναλυτικό Τυπολόγιο n Σύστημα ουράς με μία Θέση Εξυπηρέτησης, Poisson Αφίξεις και Εκθετικές Εξυπηρετήσεις n Σύστημα ουράς με πολλές Θέσεις Εξυπηρέτησης, Poisson Αφίξεις και Εκθετικές Εξυπηρετήσεις n Οικονομική Ανάλυση των Ουρών Αναμονής

3 3 3 Slide Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Θεωρία Ουρών είναι η μελέτη των ουρών αναμονής. n Τα τέσσερα χαρακτηριστικά ενός συστήματος ουράς είναι: ο τρόπος που γίνονται οι αφίξεις πελατών ο τρόπος που γίνονται οι αφίξεις πελατών ο χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών ο χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών η πειθαρχεία (προτεραιότητα) η οποία καθορίζει την σειρά εξυπηρέτησης η πειθαρχεία (προτεραιότητα) η οποία καθορίζει την σειρά εξυπηρέτησης ο αριθμός και η διάταξη των εξυπηρετητών ο αριθμός και η διάταξη των εξυπηρετητών

4 4 4 Slide Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Κατανομή των Αφίξεων Εν γένει, οι αφίξεις των πελατών αποτελούν ένα τυχαίο γεγονός. Εν γένει, οι αφίξεις των πελατών αποτελούν ένα τυχαίο γεγονός. Συνηθέστερα οι αφίξεις μοντελοποιούνται μαθηματικά ως Poisson διαδικασίες. Συνηθέστερα οι αφίξεις μοντελοποιούνται μαθηματικά ως Poisson διαδικασίες. n Κατανομή της Εξυπηρέτησης Η εξυπηρέτηση είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή. Η εξυπηρέτηση είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή. Μία κατανομή που συνήθως χρησιμοποιείται είναι η εκθετική κατανομή. Μία κατανομή που συνήθως χρησιμοποιείται είναι η εκθετική κατανομή.

5 5 5 Slide Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Πειθαρχεία Η πιο συνηθισμένη πειθαρχεία ουράς είναι ο πρώτος που έρχεται πρώτος εξυπηρετείται first in first out FIFO). Η πιο συνηθισμένη πειθαρχεία ουράς είναι ο πρώτος που έρχεται πρώτος εξυπηρετείται first in first out FIFO). To ferry-boat είναι ένα παράδειγμα της πειθαρχίας last in first out LIFO). To ferry-boat είναι ένα παράδειγμα της πειθαρχίας last in first out LIFO). Άλλες πειθαρχίες, βάζουν προτεραιότητες σε αυτούς που περιμένουν και εξυπηρετούν πρώτους αυτούς με την μεγαλύτερη προτεραιότητα. Άλλες πειθαρχίες, βάζουν προτεραιότητες σε αυτούς που περιμένουν και εξυπηρετούν πρώτους αυτούς με την μεγαλύτερη προτεραιότητα.

6 6 6 Slide Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Μια θέση εξυπηρέτησης n Πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης S1S1S1S1 S1S1S1S1 S1S1S1S1 S1S1S1S1 S2S2S2S2 S2S2S2S2 S3S3S3S3 S3S3S3S3 Έξοδος πελατών πελατών Έξοδος Αφίξειςπελατών Αφίξειςπελατών Ουρά αναμονής Ουράαναμονής Σύστημα Σύστημα

7 7 7 Slide Συστήματα Ουρών n Μία τριπλή κωδικοποίηση της μορφής A / B / s χρησιμοποιείται για να περιγράψει τα διάφορα συστήματα ουρών. n Το A προσδιορίζει την κατανομή αφίξεων, το B την κατανομή εξυπηρέτησης και το s τον αριθμό των θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα. n Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τις κατανομές αφίξεων και εξυπηρέτησης είναι: M - Markov κατανομές (Poisson/Exponential), D - Deterministic (καθορισμένο-σταθερό) and G - General (“γενική” κατανομή με γνωστό μέσο και τυπική απόκλιση, συνήθως είναι η κανονική κατανομή). n Για παράδειγμα, M / M / s αναφέρεται σε ένα σύστημα με αφίξεις Poisson, χρόνους εξυπηρέτησης με εκθετική κατανομή και υπάρχουν s εξυπηρετητές με όμοιους ρυθμούς εξυπηρέτησης.

8 8 8 Slide Συστήματα Ουρών Χαρακτηριστικά Συντελεστών  = ο ρυθμός αφίξεων 1/ = ο μέσος χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων 1/ = ο μέσος χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων µ = ο ρυθμός εξυπηρέτησης µ = ο ρυθμός εξυπηρέτησης 1/ µ = ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης 1/ µ = ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης  = τυπική απόκλιση του χρόνου εξυπηρέτησης  = τυπική απόκλιση του χρόνου εξυπηρέτησης

9 9 9 Slide Queuing System Operating Characteristics P 0 = πιθανότητα η θέση εξυπηρέτησης να είναι άδεια P 0 = πιθανότητα η θέση εξυπηρέτησης να είναι άδεια P w = πιθανότητα ένας πελάτης να περιμένει στην ουρά L q = μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν στην ουρά L q = μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν στην ουρά L = μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα L = μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα W q = μέσος χρόνος παραμονής στην ουρά W = μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα W = μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα

10 10 Slide Αναλυτικοί Τύποι n Για σχεδόν όλα τα συστήματα ουρών, υπάρχει μία σχέση ανάμεσα στο μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα ή στην ουρά και στον μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα ή στην ουρά. n Αυτές οι σχέσεις αναφέρονται ως εξισώσεις Little's flow : L = W και L q = W q L = W και L q = W q

11 11 Slide Αναλυτικοί Τύποι n Όταν η πειθαρχεία της ουράς είναι FΙFΟ, οι αναλυτικοί τύποι έχουν καθορισθεί για διαφορετικά συστήματα ουρών στα οποία περιλαμβάνονται τα ακόλουθα: M / M /1 M / M /1 M / M / s M / M / s M / G /1 M / G /1 M / G / s με περιορισμένο μήκος ουράς M / G / s με περιορισμένο μήκος ουράς M / M /1 με πεπερασμένο πληθυσμό M / M /1 με πεπερασμένο πληθυσμό n Οι αναλυτικοί τύποι δεν είναι διαθέσιμοι για κάθε σύστημα ουράς. Σε αυτήν την περίπτωση την λύση μπορεί να βρεθεί μέσω της προσομοίωσης του συστήματος (βλέπε, επόμενο κεφάλαιο)

12 12 Slide M/M/1 Σύστημα Ουράς n Μία θέση εξυπηρέτησης n Poisson αφίξεις n Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης n Απεριόριστο μήκος ουράς n Απεριόριστος πληθυσμός n Τυπολόγιο: W = 1/( μ-λ ) L = λ/( μ-λ ) L = λ/( μ-λ ) L q = λ 2 / μ ( μ-λ ) L q = λ 2 / μ ( μ-λ ) W q = λ / μ ( μ-λ ) W q = λ / μ ( μ-λ ) p = λ / μ p = λ / μ

13 13 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) n M / M /1 Σύστημα Ουράς Σε ένα τουριστικό γραφείο οι πελάτες έρχονται με ρυθμό 20 ανά ώρα. Κάθε παραγγελία εξυπηρετείται σε μέσο χρόνο δύο λεπτών. Οι πελάτες φτάνουν με ρυθμό 20 ανά ώρα ή ένας ανά τρία λεπτά. Ως εκ τούτου, σε διάστημα 15 λεπτών ο ρυθμός αφίξεων των πελάτες είναι = 15/3 = 5.

14 14 Slide n Κατανομή Αφίξεων Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να μην έρθει κανένας πελάτης σε χρονικό διάστημα 15 λεπτών; Απάντηση τύπος Poisson: P(x)=( λ x e -λ )/ x ! τύπος Poisson: P(x)=( λ x e -λ )/ x !Άρα P ( x = 0) = (5 0 e -5 )/0! = e -5 =.0067 Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A)

15 15 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) n Κατανομή Αφίξεων Ερώτηση Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να έρθουν ακριβώς τρείς πελάτες σε χρονικό διάστημα 15 λεπτών; Απάντηση Απάντηση P ( x = 3) = (5 3 e -5 )/3! = 125(.0067)/6 =.1396

16 16 Slide n Κατανομή Αφίξεων Ερώτηση Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να έρθουν περισσότεροι από 6 πελάτες σε χρονικό διάστημα 15 λεπτών; Απάντηση Απάντηση καθώς ισχύει: P ( x > 6) + P ( x ≤ 6) = 1 τότε, καθώς ισχύει: P ( x > 6) + P ( x ≤ 6) = 1 τότε, P ( x > 6) = 1 - P ( x = 0) - P ( x = 1) - P ( x = 2) P ( x > 6) = 1 - P ( x = 0) - P ( x = 1) - P ( x = 2) - P ( x = 3) - P ( x = 4) - P ( x = 5) - P ( x = 3) - P ( x = 4) - P ( x = 5) - P ( x = 6) - P ( x = 6) = =.238 = =.238 Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A)

17 17 Slide n Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ερώτηση Ποιος είναι ο ρυθμός εξυπηρέτησης ανά ώρα; Απάντηση Απάντηση Καθώς κάθε παραγγελία διαρκεί 2 λεπτά (= 2/60 ώρες), τότε ο ρυθμός εξυπηρέτησης, µ, είναι µ = 1/(μέσο χρόνο εξυπηρέτησης), ή 60/2.  = 30 πελάτες/ώρα  = 30 πελάτες/ώρα Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A)

18 18 Slide n Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ερώτηση Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο λιγότερο από ένα λεπτό; Απάντηση Απάντηση Καθώς οι μονάδες διατυπώνονται σε ώρες, P ( T < 1 λεπτό) = P ( T < 1/60 ώρες). Χρησιμοποιώντας την εκθετική κατανομή, P ( T < t ) = 1 - e -µt. Άρα, P ( T < 1/60) = 1 - e -30(1/60) Άρα, P ( T < 1/60) = 1 - e -30(1/60) = =.3935 = 39.35% = =.3935 = 39.35% Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A)

19 19 Slide n Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ερώτηση Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο ακριβώς τρία λεπτά; Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο ακριβώς τρία λεπτά; Απάντηση Απάντηση Καθώς η εκθετική κατανομή είναι μία συνεχής κατανομή η πιθανότητα εξυπηρέτησης σε μία οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή (χρονική στιγμή) είναι 0. Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A)

20 20 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) n Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ερώτηση Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο περισσότερο από τρία λεπτά; Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο περισσότερο από τρία λεπτά; Απάντηση Απάντηση Το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο περισσότερο από 3 λεπτά είναι: Το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο περισσότερο από 3 λεπτά είναι: P ( T > 3/60) = e -30(3/60) = e -1.5 =.2231 = 22.31% P ( T > 3/60) = e -30(3/60) = e -1.5 =.2231 = 22.31%

21 21 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) n Μέσος Χρόνος Παραμονής στο Σύστημα Ερώτηση Ερώτηση Ποιος είναι ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα; Απάντηση Απάντηση Είναι μία M / M /1 ουρά με = 20 πελάτες ανά ώρα και  = 30 πελάτες ανά ώρα. Ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα είναι: W = 1/(µ - ) = 1/( ) = 1/( ) = 1/10 ώρες ή 6 λεπτά = 1/10 ώρες ή 6 λεπτά

22 22 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) n Μέσο Μήκος Ουράς Ερώτηση Ερώτηση Ποιος είναι ο μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν για εξυπηρέτηση; Απάντηση Απάντηση Μέσος αριθμός πελατών στη ουρά είναι: L q = 2 /[µ(µ - )] L q = 2 /[µ(µ - )] = (20) 2 /[(30)(30-20)] = (20) 2 /[(30)(30-20)] = 400/300 = 400/300 = 4/3 = 4/3

23 23 Slide n Συντελεστής Χρησιμοποίησης Ερώτηση Ερώτηση Ποιο είναι το ποσοστό του χρόνου που ο εξυπηρετητής εργάζεται; Απάντηση Απάντηση Το ποσοστό του χρόνου που εργάζεται ο εξυπηρετητής (συντελεστής χρησιμοποίησης, utilization factor) είναι: p w = /  = 20/30 p w = /  = 20/30 = 2/3 ή 66.67% = 2/3 ή 66.67% Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A)

24 24 Slide M / M / s Σύστημα Ουράς n Πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης (με μία κεντρική ουρά) n Poisson αφίξεις n Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης n Απεριόριστο μήκος ουράς n Απεριόριστος πληθυσμός n Παράδειγμα: τα ταμεία μίας τράπεζας n Τυπολόγιο: W = W q +1/ μ W = W q +1/ μ L = L q +λ/ μ L = L q +λ/ μ p ( / µ ) k p ( / µ ) k L q = P 0 L q = P 0 s !(1 - p ) 2 p = λ/sμ s !(1 - p ) 2 p = λ/sμ W q = L q / λ W q = L q / λ

25 25 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B) n M / M /2 Σύστημα Ουράς Το τουριστικό γραφείο έχει αρχίσει μια διαφημιστική εκστρατεία και πιστεύει ότι θα αυξήσει την πελατεία του κατά 50%. Προκειμένου να αντιμετωπίσει την αυξημένη ζήτηση των πελατών το γραφείο προσέλαβε ένα επιπλέον υπάλληλο οποίος δουλεύει με ίδια ταχύτητα με τον πρώτο υπάλληλο. Ο νέος ρυθμός αφίξεων,, είναι κατά 50% μεγαλύτερος σε σχέση με προηγουμένως (πρόβλημα A). Άρα, = 1.5(20) = 30 πελάτες ανά ώρα. Το τουριστικό γραφείο έχει αρχίσει μια διαφημιστική εκστρατεία και πιστεύει ότι θα αυξήσει την πελατεία του κατά 50%. Προκειμένου να αντιμετωπίσει την αυξημένη ζήτηση των πελατών το γραφείο προσέλαβε ένα επιπλέον υπάλληλο οποίος δουλεύει με ίδια ταχύτητα με τον πρώτο υπάλληλο. Ο νέος ρυθμός αφίξεων,, είναι κατά 50% μεγαλύτερος σε σχέση με προηγουμένως (πρόβλημα A). Άρα, = 1.5(20) = 30 πελάτες ανά ώρα.

26 26 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B) n Ικανοποιητικός Ρυθμός Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ερώτηση Είναι δυνατόν ο πρώτος υπάλληλος να εξυπηρέτηση μόνος του την αυξημένη πελατεία? Απάντηση Απάντηση Καθώς ο υπάλληλος εξυπηρετεί με ρυθμό µ = 30 πελάτες ανά ώρα, τότε = µ = 30 και ο συντελεστής χρησιμοποίησης είναι 1. Αυτό σημαίνει ότι οι ουρά θα μεγαλώνει συνεχώς χωρίς να μπορεί να εξυπηρετηθεί από τον υπάλληλο. Στο Μ/Μ/1 είναι αναγκαίο να ισχύει λ<μ, Αυτό σημαίνει ότι οι ουρά θα μεγαλώνει συνεχώς χωρίς να μπορεί να εξυπηρετηθεί από τον υπάλληλο. Στο Μ/Μ/1 είναι αναγκαίο να ισχύει λ<μ,

27 27 Slide Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να μην εργάζονται και οι δύο υπάλληλοι ταυτόχρονα; Απάντηση Απάντηση Με δεμένα ότι = 30, µ = 30, s = 2 και ( /µ) = 1, η πιθανότητα είναι: = 1/[(1 + (1/1!)(30/30)1] + [(1/2!)(1)2][2(30)/(2(30)-30)] = 1/[(1 + (1/1!)(30/30)1] + [(1/2!)(1)2][2(30)/(2(30)-30)] = 1/( ) = 1/3 =.333 = 1/( ) = 1/3 =.333 Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B)

28 28 Slide Ερώτηση Ποιος είναι ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα ενός πελάτη; Ποιος είναι ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα ενός πελάτη;Απάντηση p = λ/sμ = 30/(2 *30) = 0.5 p = λ/sμ = 30/(2 *30) = 0.5 p ( / µ ) k 0,5 (30/30) 2 p ( / µ ) k 0,5 (30/30) 2 L q = P 0 = (1/3) = 1/3 L q = P 0 = (1/3) = 1/3 s!(1 - p ) 2 2!(1-0.5) 2 s!(1 - p ) 2 2!(1-0.5) 2 L = L q + ( / µ ) = 1/3 + (30/30) = 4/3 L = L q + ( / µ ) = 1/3 + (30/30) = 4/3 W = L /  (4/3)/30 = 4/90 ώρες = 2.67 λεπτά W = L /  (4/3)/30 = 4/90 ώρες = 2.67 λεπτά Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B)

29 29 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) n Οικονομική Ανάλυση των Ουρών Αναμονής Η διαφημιστική εκστρατεία του τουριστικού γραφείου (βλέπε προβλήματα (A) και (B)) ήταν τόσο πετυχημένη που η πελατεία τελικά διπλασιάστηκε. Ο ρυθμός αφίξεων των πελατών είναι τώρα 40 ανά ώρα και η εταιρεία πρέπει να αποφασίσει πόσους υπαλλήλους να προσλάβει κάθε υπάλληλος εξυπηρετεί τους πελάτες σε μέσο χρόνο 2 λεπτά. Βασιζόμενη σε διάφορους παράγοντες το γραφείο υπολόγισε ότι το κόστος ενός πλάτη για κάθε λεπτό παραμονής στο γραφείο είναι €0.50. Ο κάθε υπάλληλος κοστίζει €20 την ώρα. Υπολογίστε το κόστος του γραφείου όταν λειτουργεί με δύο ή τρείς υπαλλήλους.

30 30 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) n Οικονομική Ανάλυση των Ουρών Αναμονής Συνολικό ωριαίο κόστος = (κόστος υπαλλήλων) + (κόστος αναμονής) = (κόστος υπαλλήλων) + (κόστος αναμονής) = (€20 ανά υπάλληλο) x (αριθμό των υπαλλήλων) = (€20 ανά υπάλληλο) x (αριθμό των υπαλλήλων) + (€30 κόστος αναμονής) x (μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα) + (€30 κόστος αναμονής) x (μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα) = 20 k + 30 L. = 20 k + 30 L. Άρα,το L πρέπει να υπολογιστεί για s = 2 υπαλλήλους και για s = 3 υπαλλήλους με = 40 πελάτες/ώρα και  = 30 πελάτες /ώρα (καθώς ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 2 λεπτά (1/30 ώρες). Άρα,το L πρέπει να υπολογιστεί για s = 2 υπαλλήλους και για s = 3 υπαλλήλους με = 40 πελάτες/ώρα και  = 30 πελάτες /ώρα (καθώς ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 2 λεπτά (1/30 ώρες).

31 31 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) n Κόστος με Δύο Εξυπηρετητές P 0 = 1 / [1+(1/1!)(40/30)]+[(1/2!)(40/30) 2 (60/(60-40))] P 0 = 1 / [1+(1/1!)(40/30)]+[(1/2!)(40/30) 2 (60/(60-40))] = 1 / [1 + (4/3) + (8/3)] = 1/5 = 1 / [1 + (4/3) + (8/3)] = 1/5 Άρα, p = λ/sμ = 40/2 * 30 = Άρα, p = λ/sμ = 40/2 * 30 = p ( / µ ) s 0.667(40/30) 2 p ( / µ ) s 0.667(40/30) 2 L q = P 0 = (1/5) = 16/15 L q = P 0 = (1/5) = 16/15 s !(1 - p ) 2 2!( ) 2 s !(1 - p ) 2 2!( ) 2 L = L q + ( / µ ) = 16/15 + 4/3 = 12/5 L = L q + ( / µ ) = 16/15 + 4/3 = 12/5 Συνολικό κόστος = (20)(2) + 30(12/5) = € ανά ώρα

32 32 Slide Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) n Κόστος με Τρεις Εξυπηρετητές P 0 = 1/[[1+(1/1!)(40/30)+(1/2!)(40/30) 2 ]+ [(1/3!)(40/30) 3 (90/(90-40))] ] [(1/3!)(40/30) 3 (90/(90-40))] ] = 1 / [1 + 4/3 + 8/9 + 32/45] = 15/59 = 1 / [1 + 4/3 + 8/9 + 32/45] = 15/59 Άρα, p = λ/sμ = 40/3 * 30 = Άρα, p = λ/sμ = 40/3 * 30 = p ( / µ ) s (40/30) 3 p ( / µ ) s (40/30) 3 L q = P 0 = (15/59) = L q = P 0 = (15/59) = s !(1 - p ) 2 3!( ) 2 s !(1 - p ) 2 3!( ) 2 L = L q + ( / µ ) = /3 = L = L q + ( / µ ) = /3 = Συνολικό κόστος = (20)(2) + 30(1.478) = € ανά ώρα

33 33 Slide n Σύγκριση Κόστους για το Σύστημα Μισθοί Αναμονή Σύνολο Μισθοί Αναμονή Σύνολο κόστος/ώρα κόστος/ώρα κόστος/ώρα κόστος/ώρα κόστος/ώρα κόστος/ώρα 2 υπάλληλοι €40.00 €82.00 € υπάλληλοι Άρα, το κόστος με τρείς εξυπηρετητές είναι λιγότερο από αυτό με τους δύο εξυπηρετητές. Άρα, το κόστος με τρείς εξυπηρετητές είναι λιγότερο από αυτό με τους δύο εξυπηρετητές. Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C)

34 34 Slide M / G /1 Σύστημα Ουράς n Μία θέση εξυπηρέτησης n Poisson αφίξεις n Κανονική κατανομή στο χρόνο εξυπηρέτησης Σταθεροί χρόνοι εξυπηρέτησης αναφέρεται τότε ως M/D/1 Σταθεροί χρόνοι εξυπηρέτησης αναφέρεται τότε ως M/D/1 n Απεριόριστο μήκος ουράς n Απεριόριστος πληθυσμός n Τυπολόγιο: W = W q +1/μ L = λW L = λW 2 σ 2 +p 2 2 σ 2 +p 2 L q = 2(1 -p ) L q = 2(1 -p ) W q = L q /λ W q = L q /λ p = λ/μ p = λ/μ

35 35 Slide Παράδειγμα: Μηχανικό Αλογάκι! n M / D /1 Σύστημα Ουράς Το μηχανικό αλογάκι στο περίπτερο της πλατιάς είναι πολύ δημοφιλές στα παιδάκια και παρέχει 2 λεπτά ιππασίας για €.50. Τα παιδιά που θέλουν να ανέβουν στο αλογάκι προσέρχονται (συνοδευόμενα βεβαίως από τους γονείς τους!) σύμφωνα με μία κατανομή Poisson με ρυθμό 15 ανά ώρα. a) Ποιο είναι το ποσοστό του χρόνου που το αλογάκι δεν χρησιμοποιείται; b) Ποιος είναι ο μέσος αριθμός παιδιών που περιμένει να ανέβει στο αλογάκι; c) Ποιος ο μέσος χρόνος αναμονής μέχρι να ανέβει ένα παιδί στο αλογάκι;

36 36 Slide n Τα συστήματα με σταθερό χρόνο εξυπηρέτησης (M/D/1) είναι υποπερίπτωση των συστημάτων με κανονική κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης (M/G/1) δηλαδή έχουν το ίδιο τυπολόγιο με την διαφορά ότι η τυπική απόκλιση είναι πάντα 0. n Ποσοστό του χρόνου που το αλογάκι δεν χρησιμοποιείται = 15 παιδιά ανά ώρα = 15 παιδιά ανά ώρα  = 60/2 = 30 παιδιά ανά ώρα Ποσοστό χρησιμοποίησης (Utilization): p = /  = 15/30 =.5 Ποσοστό μη χρησιμοποίησης = 1 – Utilization = 1 – p = =.5 Παράδειγμα: Μηχανικό Αλογάκι!

37 37 Slide n Μέσος αριθμός παιδιών που περιμένουν ανέβουν στο αλογάκι L q = = =.25 παιδιά L q = = =.25 παιδιά 2μ(µ - ) 2(30)(30-15 ) 2μ(µ - ) 2(30)(30-15 ) n Μέσος χρόνος αναμονής μέχρι να ανέβει ένα παιδί στο αλογάκι; W q = = = ώρες W q = = = ώρες 2μ(µ - ) 2(30)(30-15 ) 2μ(µ - ) 2(30)(30-15 ) Παράδειγμα: Μηχανικό Αλογάκι! (ή 1 λεπτό)

38 38 Slide M / G / k Σύστημα Ουράς n Πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης n Poisson αφίξεις n Ακαθάριστοι χρόνοι εξυπηρέτησης n Δεν υπάρχει ουρά αναμονής n Απεριόριστος πληθυσμός n Παράδειγμα: τηλεφωνικό κέντρο με s γραμμές (όταν όλες οι γραμμές είναι απασχολημένες τα επιπλέον τηλεφωνήματα βρίσκουν το τηλέφωνο κατειλημμένο).

39 39 Slide Παράδειγμα: Χρηματιστηριακό Γραφείο A-B n M / G / k Σύστημα Ουράς Στο χρηματιστηριακό γραφείο (A-B) οι πελάτες τηλεφωνούν για την εκτέλεση των συναλλαγών τους. Αν το τηλέφωνο είναι κατειλημμένο οι πελάτες τηλεφωνούν σε άλλον χρηματιστή προκειμένου να εκτελέσουν άμεσα τις εντολές τους. Η A-B υπολογίζει ότι οι πελάτες τηλεφωνούν κάθε 2 λεπτά κατά μέσο χρόνο. Κάθε συναλλαγή διαρκεί κατά μέσο χρόνο 75 δευτερόλεπτα. Η A-B έχει τέσσερις υπαλλήλους που εξυπηρετούν τις τηλεφωνικές συναλλαγές. Θεωρήστε ότι οι πελάτες τηλεφωνούν σύμφωνα μα κατανομή Poisson.

40 40 Slide Παράδειγμα: Χρηματιστηριακό Γραφείο A-B Το πρόβλημα μοντελοποιείται ως M / G / s σύστημα με απώλεια των κατειλημμένων τηλεφωνημάτων: 1/ = 2 λεπτά= 2/60 ώρες 1/ = 2 λεπτά= 2/60 ώρες = 60/2 = 30 τηλ. ανά ώρα = 60/2 = 30 τηλ. ανά ώρα 1/ µ = 75 δευτερόλεπτα = 75/60 λεπτά = = 75/3600 ώρες 1/ µ = 75 δευτερόλεπτα = 75/60 λεπτά = = 75/3600 ώρες µ = 3600/75 = 48 ανά ώρα µ = 3600/75 = 48 ανά ώρα

41 41 Slide Παράδειγμα: Χρηματιστηριακό Γραφείο A-B n % των χαμένων πελατών λόγω απασχολημένης γραμμής Πρώτα, πρέπει να υπολογιστεί το P 0 όπου s = 4 όπου s = P 0 = =.536 P 0 = = (30/48)+(30/48)2/2!+(30/48)3/3!+(30/48)4/4! 1+(30/48)+(30/48)2/2!+(30/48)3/3!+(30/48)4/4! ( / µ ) 4 (30/48) 4 ( / µ ) 4 (30/48) 4 Τότε, P 4 = P 0 = (.536) =.003 Τότε, P 4 = P 0 = (.536) =.003 4! 24 4! 24 Άρα με 4 εξυπηρετητές χάνεται το 0.3% των πελατών

42 42 Slide Τέλος Ουρών Αναμονής


Κατέβασμα ppt "1 1 Slide Ουρές Αναμονής. 2 2 Slide Μοντέλα Ουρών Αναμονής n Η Δομή ενός Συστήματος Ουράς n Σύστημα Ουράς n Σύστημα Ουράς Χαρακτηριστικά Συντελεστών n."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google