Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Markov, Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson 26-3-2012.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Markov, Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson 26-3-2012."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Markov, Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson

2 ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (1): Π αράμετροι συστημάτων αναμονής –Ένταση φορτίου (traffic intensity) •Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) –Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec •Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες (σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας- Grade of Service - GoS) (σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ •Επανάληψη (2): Παράμετροι συστημάτων αναμονής –Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη •Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γ Ποσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ –Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) •Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή u = γ/μ

4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ •Επανάληψη (3): Παράμετροι συστημάτων αναμονής –Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) –Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} –Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ •Παράμετροι συστημάτων αναμονής – Τύπος Little –n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής –n q (t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή –n s (t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση –n(t) = n q (t) + n s (t) –E{n(t)} = E{n q (t)} + E{n s (t)} –Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s) –Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little)

6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ •Κατάταξη ουρών αναμονής A/S/N/K –A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών –S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης –Ν: Αριθμός εξυπηρετητών –Κ : Χωρητικότητα συστήματος αναμονής •Παραδείγματα –Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, αλλά με άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) –Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές, μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή.

7 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η εκθετική κατανομή •Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: •F χ (t) = 1-exp(-λt), f Χ (t) = λ exp(-λt) •E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ 2 •Ιδιότητα έλλειψης μνήμης –P[X>t+s/X>t]=P[X>s] •Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων –Χ 1 : με παράμετρο λ 1 –Χ 2 : με παράμετρο λ 2 –Χ=min{Χ 1,Χ 1 } είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = (λ 1 +λ 1 )

8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ •Στοχαστικές διαδικασίες •Ανεξάρτητες διαδικασίες •Στάσιμες διαδικασίες •Διαδικασίες Markov •P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n,X(t n-1 )=x n-1,…,X(t 1 )=X 1 ]= =P[X(t n+1 )=X n+1 /X(t n )=x n ] •Εργοδικότητα •Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις •Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων •Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

9 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η κατανομή Poisson: •n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα •P n (T) = e –λT (λΤ) n / k ! •E T (n) = λT •Var T (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

10 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: •Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ •Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ 1, λ 2  διαδικασία Poisson λ = λ 1 + λ 2 •Διάσπαση διαδικασίας Poisson λ με πείραμα Bernoulli p, q = 1-p  ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ 1 = p λ λ 2 = q λ


Κατέβασμα ppt "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Markov, Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson 26-3-2012."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google