Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

תחשיב הפסוקים חלק ו'. פירוש נסמן ע"י P את הקבוצה של כל הפסוקים האטומיים: P = {p 1,p 2,…}. פירוש V הוא קבוצה חלקית של P: V  P. הערה: השמה של ערכי אמת.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "תחשיב הפסוקים חלק ו'. פירוש נסמן ע"י P את הקבוצה של כל הפסוקים האטומיים: P = {p 1,p 2,…}. פירוש V הוא קבוצה חלקית של P: V  P. הערה: השמה של ערכי אמת."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 תחשיב הפסוקים חלק ו'

2 פירוש נסמן ע"י P את הקבוצה של כל הפסוקים האטומיים: P = {p 1,p 2,…}. פירוש V הוא קבוצה חלקית של P: V  P. הערה: השמה של ערכי אמת F ו- T היא הפונקציה האופיינית של פירוש, כלומר, השמה v : P  {F,T} מתאימה לפירוש V = { p  P : v(p) = T} ולהפך.

3 יחס ספיקות נגדיר יחס ╞ (יחס ספיקות) בין פירושים לבין נוסחאות בנויות היטב. ההגדרה של ספיקות נוסחה ע"י פירוש V, מסומן,V╞  היא באינדוקציה על מספר הקשרים הלוגיים שמופיעים ב -  : 1. אם  היא פסוק אטומי p, אזי V╞  אם ורק אם p  V. 2. V╞ ~  אם ורק אם V╞ . 3. V╞  אם ורק אם V╞  או V╞ . במילים אחרות, V╞  אם ורק אם הערך של  תחת ההשמה שמתאימה לפירוש V הוא T. / /

4 יחס ספיקות נוסחה  נקראת ספיקה אם קיים פירוש V כך ש - V╞  ונקראת תקפה אם עבור כל פירוש Vמתקיים V╞ . במילים אחרות, נוסחא  ספיקה אם ורק אם היא איננה סתירה, ותקפה אם ורק אם היא טאוטולוגיה.

5 יחס ספיקות יהי V פירוש ותהי  קבוצה של נוסחאות בנויות היטב. נאמר ש- V מספק את , ונסמן V╞  אם ורק אם עבור כל  מתקיים V╞ . משפט: אם  עקבית, אזי  ספיקה.

6 למה: אם Γ├ ~A, אזי Γ  {A} גם כן עקבית. הוכחה: נניח בשלילה ש - Γ  {A} אינה עקבית. אזי Γ  {A} ├ ~A ועל פי משפט הדדוקציה, Γ├ A  ~A. משום ש - A  ~A שקול ל- ~A, זו סתירה עם ההנחה Γ├ ~A. / /

7 למה: אם Γ עקבית מקסימלית, אזי A  Γ אם ורק אם Γ├ A. הוכחה: הקיוון "רק אם" הוא מיידי. נניח ש- Γ├ A ונניח בשלילה ש - A  Γ. אזי Γ  {A} עקבית ו- Γ  Γ  {A} בסתירה עם מקסימליות של Γ.

8 למה : תהי Γעקבית. אזי קיימת Γ' עקבית ומקסימלית (ביחס ל-  ) כך ש - Γ  Γ'. הוכחה: תהי B 1,B 2,… סדרת כל הנוסחאות. אנו נגדיר באינדוקציה סדרת קבוצות של נוסחאות Γ 0,Γ 1,…: Γ 0 = Γ. נניח כי הגדרנו את Γ n. אם Γ n ├ ~B n+1, אזי Γ n+1 =Γ n  {B n+1 }. אחרת Γ n+1 = Γ n  {~B n+1 }. תהי Γ' =  Γ n. אזי, Γ'  Γ. n=0  /

9 נוכיח כי Γ' היא עקבית. לשם כך מספיק להוכיח כי כל Γ n היא עקבית. ההוכחה היא באינדוקציה על n. בסיס: n = 0. אזי Γ 0 = Γ ו- Γ עקבית ע"פ תנאי הלמה. צעד האינדוקציה: נניח כי Γ n היא עקבית. אם Γ n ├ ~B n+1, אזי Γ n+1 =Γ n  {B n+1 } עקבית על פי הלמה הקודמת. אם Γ n ├ ~B n+1, אזי Γ n+1 = Γ n  {~B n+1 } היא עקבית על פי הנחת האינדוקציה (מדוע?). /

10 נוכיח כי Γ' מקסימלית. לשם כך נניח בשלילה שקיימת נוסחה A  Γ' כך שקבוצת נוסחאות Γ'  {A} עקבית. אזי קיים n≥0 כך ש-A הוא B n+1. אם Γ n ├ ~B n+1, אזי B n+1  Γ n+1. כיוון ש- Γ n+1  Γ', A ‘‘=’’ B n+1  Γ n+1, הגענו לסתירה עם A  Γ'. אחרת Γ n ├ ~B n+1, בסתירה עם העקביות של Γ'  {A}. הערה: על פי הבניה של Γ', עבור כל נוסחה A מתקיים: Γ'├ A או Γ'├ ~A. /

11 הוכחת המשפט תהי  קבוצה עקבית מקסימלית שמכילה את . נגדיר פרוש V כקבוצה של כל הפסוקים האטומיים ששייכים ל -  '. נוכיח באינדוקציה על האורך של נוסחה A ש- V╞ A אם ורק אם A . בסיס: A הוא נוסחה אטומית p. הטענה נובעת מן ההגדרה של V.

12 צעד האינדוקציה (לפי מקרים של צורת A): תהי A בצורה ~B. אזי V╞ A אם ורק אם V ╞ B, זאת אם ורק אם (ע"פ הנחת האינדוקציה) Γ' ├ B, וזאת אם ורק אם Γ'├A (כי Γ' עקבית מקסימלית). תהי A בצורה B → C. אזי V╞ A אם ורק אם V╞ C או V╞ B, שמתקיים אם ורק אם (ע"פ הנחת האינדוקציה) Γ'├ C או Γ'├ B, וזאת אם ורק אם Γ'├ C או Γ'├ ~B (כי Γ' עקבית מקסימלית), ששקול ל- Γ'├ A. / / / /

13 גרירה סמנטית תהי  קבוצת נוסחאות בנויות היטב ותהי A נוסחה בנויה היטב. נאמר ש -  גוררת סמנטית את A, ונסמן :  ╞ A אם ורק אם כל פירוש שמספק את  גם מספק את A. משפט (נאותות מורחבת) אם  ├ A, אזי  ╞ A. משפט (שלמות מורחבת) אם  ╞ A אזי  ├ A.

14 הוכחת משפט השלמות נניח ש -  ╞ A ונניח בסתירה ש -  ├ A. אזי  {~A} עקבית ולכן היא ספיקה. יהי V פירוש שמספק את  {~A}. אזי V╞  ו- V╞ ~A, בסתירה עם  ╞ A. /


Κατέβασμα ppt "תחשיב הפסוקים חלק ו'. פירוש נסמן ע"י P את הקבוצה של כל הפסוקים האטומיים: P = {p 1,p 2,…}. פירוש V הוא קבוצה חלקית של P: V  P. הערה: השמה של ערכי אמת."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google