Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 7: Κατευθυνόμενοι.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 7: Κατευθυνόμενοι."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 7: Κατευθυνόμενοι Γράφοι

2 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Κατευθυνόμενος γράφος-προσανατολισμένος Τόξα (arcs) Ουρά-κεφαλήπηγή-νεροχύτης Έσω-γειτονιά Ν -- (v)έξω-γειτονιά Ν + (v) Έσω-βαθμός d -- (v)έξω-βαθμός d + (v) Δίλημμα χειραψιών Σ d -- (v)= Σ d + (v) Ισορροπημένος-ισογράφος-ψευδοσυμμετρικός d -- (v)=d + (v), για κάθε v

3 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) ΑπλόςΑσυμμετρικός/αντισυμμετρικόςΣυμμετρικός ΥποκείμενοςΓράφος τουρνουάΑντίστροφος Αδύναμα Μονόπλευρα Ισχυρά συνδεδεμένος Προσανατολίσιμος

4 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι προσανατολίσιμος αν και μόνο αν κάθε ακμή περιέχεται σε ένα τουλάχιστον κύκλο Θεώρημα: Μία ακολουθία διατεταγμένων μη αρνητικών ακεραίων (d 1 -- (v), d 1 + (v)),(d 2 -- (v), d 2 + (v)),...,(d n -- (v), d n + (v)), όπου d 1 -- >=d 2 -- >=d n --, είναι γραφική αν και μόνο αν για κάθε ακέραιο k ισχύει d k --, d k + <=n-1, Σ d -- = Σ d + και Σ k=1..n d k -- <= Σ k=1..j min(j-1,d k + ) + Σ k=j+1..n min(j,d k + )

5 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γράφοι Τουρνουά (1) Κάθε ζεύγος κορυφών ενώνεται με ένα τόξο m=n(n-1)/2=Σd -- (v) Θεώρημα: Η μόνη μη φθίνουσα ακολουθία n μη αρνητικών ακεραίων που είναι γραφική ακολουθία σκορ ενός μεταβατικού γράφου-τουρνουά είναι η 0,1,2,...,n-1

6 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γράφοι Τουρνουά (2) Εφαρμογή σε αγώνες Σκορ = έξω βαθμός Θεώρημα: Η κορυφή με μέγιστο έξω-βαθμό έχει απόσταση 1 ή 2 από κάθε άλλη κορυφή Μεταβατικός γράφος τουρνουά (μεταβατική/κυκλική τριπλέτα)

7 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γράφοι Τουρνουά (3) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι μεταβατικός αν και μονο αν είναι άκυκλος Θεώρημα: Μία μη φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων που είναι γραφική ακολουθία σκορ αν και μόνο αν για κάθε j ισχύει Σ i=1..n d i >=comb(j,2) {4,4,4,2,1,1} {5,4,4,1,1,0}

8 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Κατευθυνόμενα Μονοπάτια & Κύκλοι Θεώρημα: Ένας ισχυρά συνδεδεμένος κατευθυνόμενος γράφος είναι Eulerian αν και μόνο αν είναι ισορροπημένος Πόρισμα: Ένας ισχυρά συνδεδεμένος κατευθυνομενος γράφος έχει Eulerian μονοπάτι αν υπάρχουν δύο κορυφές v και u, ώστε d -- (v)=d + (v)+1 και d -- (u)=d + (u)-1, ενώ για κάθε άλλη κορυφή ισχύει d -- (w)=d + (w) Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος κατευθυνόμενος γράφος είναι Hamiltonian αν d -- (v) >=n/2 και d + (v)>=n/2 για κάθε κορυφή Θεώρημα: Κάθε γράφος τουρνουά έχει Hamiltonian μονοπάτια Θεώρημα: Κάθε ισχυρά συνδεδεμένος γράφος-τουρνουά έχει κύκλους μήκους 3,4,…,n

9 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (1) Χρήση διαδικασίας DFS. Διακρίνονται 4 σύνολα ακμών –Δενδρικές Τ –Οπίσθιες Β (απόγονος προς απόγονο) –Εμπρόσθιες F (πρόγονος προς απόγονο) –Διασταυρωνόμενες C (όχι σχέση προγόνου-απογόνου)

10 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (2) Θεώρημα: Σε μια διασταυρωνόμενη ακμή (u,v) ισχύει dfi(u)>dfi(v)

11 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (3)

12 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (4) Αλγόριθμος γραμμικής πολυπλοκότητας Ο(min(|V|,|A|)) Συμπύκνωση (condensation): γράφος με κορυφές που αντιστοιχούν στις ισχυρά συνδεδεμένες συνιστώσες και ακμές που δείχνουν τις ενώσεις των συνιστωσών Θεώρημα: Κάθε συμπύκνωση είναι άκυκλος γράφος Θεώρημα: Κάθε συμπύκνωση περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή με έσω-βαθμό 0 και τουλάχιστον μία κορυφή με έξω-βαθμό 0

13 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Το Πρόβλημα Του Λαβυρίνθου Hampton Court Palace – Γουλιέλμος 3ος της Οράνγκης – 1690 Πρόβλημα εύρεσης Eulerian κυκλώματος σε γράφο που προκύπτει –Διασταυρώσεις σε κορυφές –Διαδρομές σε ακμές –Αγνοούμε κορυφές με d=2 εκτός εισόδου/εξόδου –Θεωρούμε παράλληλες ακμές (κατευθυνόμενος συμμετρικός γράφος) –Βάζουμε ειδικά σημάδια όταν φτάνουμε σε κάθε διασταύρωση Κόστος διπλάσιο από το συνολικό μήκος των ακμών

14 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (1) 1ος τρόπος: με Hamiltonian μονοπάτια

15 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (2) 2ος τρόπος: με λιγότερες παραβιάσεις όμως όχι μοναδική λύση έχει 2 παραβιάσεις Εξαντλητικός αλγόριθμος Ο(n!) Έχει 2 παραβιάσεις (3,5) (3,6) Έχει 3 παραβιάσεις (1,3) (2,3) (4,3) Έχει 6 παραβιάσεις (1,3) (4,3) (4,2) (6,2) (6,5) (3,5)

16 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (3) 3ος τρόπος: με σύγκριση σκορ Αν ο γράφος είναι ισχυρά συνδεδεμένος και οι αθλητές τουλάχιστον 4, τότε η κατάταξη συγκλίνει ο επίπεδο ο επίπεδο ο επίπεδο ο επίπεδο ο επίπεδο ο επίπεδο

17 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (1) Markov process, Markov chain: προχωρημένη στατιστική, στοχαστικές διαδικασίες Παριστάνεται με κατευθυνόμενο γράφο Ε ΣΥΡΙΑΚΟ ΚΙΝΕΖΙΚΟ  1/210m  1/3  10m  1/6  - (0, 0, 0, 1, 0, 0 ) (0, 0,1/2, 1/6,1/3, 0 ) (0,1/4,1/6,13/36,1/9,1/9)

18 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (2) Πώς μοντελοποιείται; ½1/61/3000 ½1/61/3 ½1/61/3 ½1/61/3 1

19 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (3) γράφος μετάβασης πίνακας μετάβασης διάνυσμα πιθανοτήτων Σ p ij πιθανότητα μετάβασης p ij  κατάσταση  πεπερασμένη Markov chain  στοχαστικός πίνακας p  p k επίσης στοχαστικός

20 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (4) Θεώρημα: Η πιθανότητα μετάβασης μετά από k βήματα από το state i  j ισούται με το ij-οστό στοιχείο του πίνακα p k Παράδειγμα: –Π(0) = (0, 0, 0, 1, 0, 0 ) –Π(1) = Π(0)*P = (0, 0,1/2, 1/6,1/3, 0 ) –Π(2) = Π(1)*P = (0,1/4,1/6,13/36,1/9,1/9)

21 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (5) Αποροφώσα κατάσταση, παγιδεύουσα Μη ελαττώσιμη [irreducable] (μετάβαση από οποιαδήποτε προς οποιαδήποτε) Περιοδική κατάσταση με περίοδο t [  απεριοδική] Επίμονη-αναδρομική [  μεταβατική ] (πιθανότητα 1 να ξαναγυρίσει) Εργοδικη = επίμονη και απεριοδική

22 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (6) P= P 15 = P 17 =P 18 =P 19 =P 20 =

23 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (7) Αυτό συμβαίνει για την τακτική (regular) M.c., που σημαίνει ότι από κάθε ακμή προς κάθε ακμή υπάρχει μονοπάτι μήκους k Τότε φτάνει σε steady state και δεν φαίνεται η επίδραση της αρχικής κατάστασης

24 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλληλουχία Εργασιών J 1, J 2, …, J n t ij : χρόνος προετοιμασίας αν από J i  J j Μορφή TSP και εύρεση Hamiltonian κύκλου με μικρότερο βάρος Ευριστική λύση: γράφος τουρνουά –τόξο (i,j) αν t ij <= t ji –ο γράφος έχει Hamiltonian μονοπάτι Παράδειγμα: J 1  6  3  4  5  2

25 Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Κρυπτογραφία Ποιο είναι το μήκος κυκλικής ακολουθίας έτσι ώστε καμια υπακολουθία από r ψηφία να μην εμφανίζεται περισσότερο από μία φορά Σχεδιάζεται γράφος με 2 r-1 κορυφές με labels υπακολουθίες r-1 ψηφία Οι κορυφές αυτές έχουν d - =d + =2: ισορροπημένες Αν α 1 = α 2 = …= α r-1 =0/1, τότε βρόχος Υπάρχει Eulerian μονοπάτι 2 r που χαρακτηρίζεται από το πρώτο ψηφίο κάθε κορυφής


Κατέβασμα ppt "Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 7: Κατευθυνόμενοι."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google