Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 1 Παρεμβολή τιμών ΤΣ Στην πράξη, η γεωστατιστική μελετά αλγορίθμους οι οποίοι, βασιζόμενοι στις προαναφερθείσες.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 1 Παρεμβολή τιμών ΤΣ Στην πράξη, η γεωστατιστική μελετά αλγορίθμους οι οποίοι, βασιζόμενοι στις προαναφερθείσες."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 1 Παρεμβολή τιμών ΤΣ Στην πράξη, η γεωστατιστική μελετά αλγορίθμους οι οποίοι, βασιζόμενοι στις προαναφερθείσες παραδοχές σχετικά με την θεωρούμενη φύση του φαινομένου, επιτυγχάνουν την εκτίμηση της χωρικής κατανομής της μεταβλητής ενδιαφέροντος, κάνοντας αποδοτικότερη χρήση των δειγματοληπτικών δεδομένων. Στην πράξη, η γεωστατιστική μελετά αλγορίθμους οι οποίοι, βασιζόμενοι στις προαναφερθείσες παραδοχές σχετικά με την θεωρούμενη φύση του φαινομένου, επιτυγχάνουν την εκτίμηση της χωρικής κατανομής της μεταβλητής ενδιαφέροντος, κάνοντας αποδοτικότερη χρήση των δειγματοληπτικών δεδομένων. Έτσι, για την εκτίμηση της τιμής κάποιας μεταβλητής σε μία συγκεκριμένη θέση, εκτός από τις τιμές των γειτονικών λαμβάνονται έμμεσα υπόψη μέσω της συνάρτησης συνδιασποράς και οι τιμές όλων των υπολοίπων δειγμάτων. Έτσι, για την εκτίμηση της τιμής κάποιας μεταβλητής σε μία συγκεκριμένη θέση, εκτός από τις τιμές των γειτονικών λαμβάνονται έμμεσα υπόψη μέσω της συνάρτησης συνδιασποράς και οι τιμές όλων των υπολοίπων δειγμάτων.

2 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 2 Αλγόριθμος simple kriging Έστω Χ(s) μία ΤΣ η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή με: Έστω Χ(s) μία ΤΣ η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή με: μέση τιμή Ε{Χ(s)}=0 σε κάθε θέση, συνάρτηση συνδιασποράς Ε{Χ(s+h) Χ(s)}-m 2 = C(h), Τα πειραματικά δεδομένα τα οποία θα χρησιμοποιηθούν, αποτελούνται από τον πίνακα Χ=[ Χ(s 1 )... Χ(s n ) ] των ΤΜ Χ(s) στα σημεία s α, α=1,...,n Τα πειραματικά δεδομένα τα οποία θα χρησιμοποιηθούν, αποτελούνται από τον πίνακα Χ=[ Χ(s 1 )... Χ(s n ) ] των ΤΜ Χ(s) στα σημεία s α, α=1,...,n Ζητείται ο πίνακας Α=[λ 0 … λ n ] των n+1 συντελεστών λ α, α=0,...,n έτσι ώστε εάν εκτιμηθεί η άγνωστη ΤΜ Χ(s 0 ) σε δεδομένο σημείο s 0 με τον γραμμικό συνδυασμό Χ*(s 0 )=ΑΧ t +λ 0, Ζητείται ο πίνακας Α=[λ 0 … λ n ] των n+1 συντελεστών λ α, α=0,...,n έτσι ώστε εάν εκτιμηθεί η άγνωστη ΤΜ Χ(s 0 ) σε δεδομένο σημείο s 0 με τον γραμμικό συνδυασμό Χ*(s 0 )=ΑΧ t +λ 0, η TM e(s 0 )= Χ(s 0 )- Χ*(s 0 ) που εκφράζει το σφάλμα της εκτίμησης, να έχει την ελάχιστη διασπορά., (η καλύτερη κατά την μέση τετραγωνική έννοια), ενώ ταυτόχρονα η μέση τιμή της να είναι μηδέν (αμερόληπτη).

3 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 3 Λίγη γεωμετρία Τα παραπάνω διατυπώνονται στο σύστημα εξισώσεων που ακολουθεί, όπου υπενθυμίζεται ότι το σύμβολο «·» δηλώνει εσωτερικό γινόμενο: Τα παραπάνω διατυπώνονται στο σύστημα εξισώσεων που ακολουθεί, όπου υπενθυμίζεται ότι το σύμβολο «·» δηλώνει εσωτερικό γινόμενο: [Χ(s 0 )-Χ*(s 0 )] · [Χ(s α )]=0,  α=1,...,n Η επίλυση του συστήματος αυτού γίνεται στην επόμενη ενότητα. Η επίλυση του συστήματος αυτού γίνεται στην επόμενη ενότητα.

4 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 4 Πίσω στην… παλινδρόμηση Αν δούμε τώρα το ανωτέρω πρόβλημα υπό διαφορετικό πρίσμα, η ζητούμενη εκτίμηση δεν είναι παρά η παρεμβολή με παλινδρόμηση της ΤΜ Χ(s 0 ) από τις ΤΜ Χ(s α ). Αν δούμε τώρα το ανωτέρω πρόβλημα υπό διαφορετικό πρίσμα, η ζητούμενη εκτίμηση δεν είναι παρά η παρεμβολή με παλινδρόμηση της ΤΜ Χ(s 0 ) από τις ΤΜ Χ(s α ). Στην περίπτωση πχ, δύο ΤΜ έστω Χ, Υ με από κοινού κατανομή Ν(m x,m y,σ x 2,σ y 2 ) έχουμε δει ότι η γραμμή που δίνει τις υπό συνθήκη μέσες (και συγχρόνως πιθανότερες) τιμές του Y στο επίπεδο XYείναι η ευθεία: Στην περίπτωση πχ, δύο ΤΜ έστω Χ, Υ με από κοινού κατανομή Ν(m x,m y,σ x 2,σ y 2 ) έχουμε δει ότι η γραμμή που δίνει τις υπό συνθήκη μέσες (και συγχρόνως πιθανότερες) τιμές του Y στο επίπεδο XYείναι η ευθεία: mxmx mymy X Y A E{Y/X} Ο xoxo y* φ

5 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 5 Πίσω στην… παλινδρόμηση Η γραμμή όμως αυτή δεν είναι παρά η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για την εκτίμηση της μεταβλητής Υ από την μεταβλητή Χ. Συνεπώς, αν θέλουμε να εκτιμήσουμε την τιμή της Υ δεδομένου ότι Χ = x 0 τότε αρκεί να βρούμε την τομή της κάθετης στον άξονα x στο σημείο x 0 με την Ε{Y/X}. Το σημείο Α μας οδηγεί στην πιθανότερη τιμή y*. Η γραμμή όμως αυτή δεν είναι παρά η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για την εκτίμηση της μεταβλητής Υ από την μεταβλητή Χ. Συνεπώς, αν θέλουμε να εκτιμήσουμε την τιμή της Υ δεδομένου ότι Χ = x 0 τότε αρκεί να βρούμε την τομή της κάθετης στον άξονα x στο σημείο x 0 με την Ε{Y/X}. Το σημείο Α μας οδηγεί στην πιθανότερη τιμή y*. Εάν δηλαδή η ΤΣ είναι κανονική, τότε η εκτίμηση του simple Kriging ισοδυναμεί με την βέλτιστη δυνατή εκτίμηση που είναι η υπό συνθήκη μέση τιμή: Εάν δηλαδή η ΤΣ είναι κανονική, τότε η εκτίμηση του simple Kriging ισοδυναμεί με την βέλτιστη δυνατή εκτίμηση που είναι η υπό συνθήκη μέση τιμή: Χ*(s 0 ) = Ε{ Χ (s 0 )/ Χ (s 1 ),.., Χ (s n )} Χ*(s 0 ) = Ε{ Χ (s 0 )/ Χ (s 1 ),.., Χ (s n )} mxmx mymy X Y A E{Y/X} Ο xoxo y* φ

6 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 6 Αλγόριθμος ordinary kriging Έστω Χ(s) μία ΤΣ η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή με: Έστω Χ(s) μία ΤΣ η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή με: μέση τιμή Ε{Χ(s)} = m, μία άγνωστη σταθερά συνάρτηση ημιβαριογράμματος Ε{[Χ(s+h)- Χ(s)]2}/2 = γ(h). Τα πειραματικά δεδομένα τα οποία θα χρησιμοποιηθούν, αποτελούνται από τον πίνακα Χ=[ Χ(s 1 )... Χ(s n ) ] των ΤΜ Χ(s) στα σημεία s α, α=1,...,n Τα πειραματικά δεδομένα τα οποία θα χρησιμοποιηθούν, αποτελούνται από τον πίνακα Χ=[ Χ(s 1 )... Χ(s n ) ] των ΤΜ Χ(s) στα σημεία s α, α=1,...,n Ζητείται ο πίνακας Α=[λ 1 … λ n ] των συντελεστών λ α, α=1,...,n Ζητείται ο πίνακας Α=[λ 1 … λ n ] των συντελεστών λ α, α=1,...,n έτσι ώστε εάν εκτιμηθεί η άγνωστη ΤΜ Χ(s 0 ) σε δεδομένο σημείο s 0 με τον γραμμικό συνδυασμό Χ*(s 0 )=ΑΧ t, η TM e(s 0 )= Χ(s 0 )- Χ*(s 0 ) που εκφράζει το σφάλμα αυτής της εκτίμησης να έχει την ελάχιστη διασπορά.(βέλτιστη), και μηδενική μέση τιμή (αμερόληπτη).

7 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 7 Διαφορά από simple kriging Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση όπου τόσο στο προς εκτίμηση όσο και στα σημεία δειγματοληψίας ήταν γνωστή η μέση τιμή της ΤΣ Χ(s), οπότε με την βοήθεια της συνάρτησης συνδιασποράς C(h) ήταν δυνατή η κατασκευή της από κοινού κατανομής f(x 0,x 1,…x n ) και κατά συνέπεια ο υπολογισμός της υπό συνθήκη μέσης τιμής Ε{Χ 0 /Χ 1,…Χ n }, εδώ η μη γνώση της μέσης τιμής δεν επιτρέπει τον υπολογισμό αυτό. Πρέπει λοιπόν να προχωρήσουμε σε κάποιο συμβιβασμό. Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση όπου τόσο στο προς εκτίμηση όσο και στα σημεία δειγματοληψίας ήταν γνωστή η μέση τιμή της ΤΣ Χ(s), οπότε με την βοήθεια της συνάρτησης συνδιασποράς C(h) ήταν δυνατή η κατασκευή της από κοινού κατανομής f(x 0,x 1,…x n ) και κατά συνέπεια ο υπολογισμός της υπό συνθήκη μέσης τιμής Ε{Χ 0 /Χ 1,…Χ n }, εδώ η μη γνώση της μέσης τιμής δεν επιτρέπει τον υπολογισμό αυτό. Πρέπει λοιπόν να προχωρήσουμε σε κάποιο συμβιβασμό.

8 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 8 Και πάλι γεωμετρία Κατά την διαδικασία της προβολής στον χώρο Ηilbert, ο περιορισμός λ 1 +λ 2 =1 περιορίζει τον υποχώρο της προβολής στην ευθεία που ενώνει τα άκρα των διανυσμάτων Χ(s 1 ) και Χ(s 2 ), όπως μπορεί να αποδειχθεί. Επομένως έχουμε μία λίγο «χειρότερη» λύση από τον αλγόριθμο simple Kriging, πλην όμως έχουμε αποφύγει πιθανό μεγαλύτερο λάθος από την χρησιμοποίηση μίας αβέβαιης μέσης τιμής. Επιπλέον εξασφαλίζουμε και την αμεροληψία του εκτιμητή εφόσον δεν υπάρχει η δυνατότητα να εκφρασθεί ως υπό συνθήκη μέση τιμή, έτσι ώστε αυτή να ισχύει αυτόματα όπως στην περίπτωση του simple Kriging. Κατά την διαδικασία της προβολής στον χώρο Ηilbert, ο περιορισμός λ 1 +λ 2 =1 περιορίζει τον υποχώρο της προβολής στην ευθεία που ενώνει τα άκρα των διανυσμάτων Χ(s 1 ) και Χ(s 2 ), όπως μπορεί να αποδειχθεί. Επομένως έχουμε μία λίγο «χειρότερη» λύση από τον αλγόριθμο simple Kriging, πλην όμως έχουμε αποφύγει πιθανό μεγαλύτερο λάθος από την χρησιμοποίηση μίας αβέβαιης μέσης τιμής. Επιπλέον εξασφαλίζουμε και την αμεροληψία του εκτιμητή εφόσον δεν υπάρχει η δυνατότητα να εκφρασθεί ως υπό συνθήκη μέση τιμή, έτσι ώστε αυτή να ισχύει αυτόματα όπως στην περίπτωση του simple Kriging. H h x(s 1 ) x(s 2 ) λ 2 x(s 2 ) λ 1 x(s 1 ) x*(s 0 )=AX t x (s 0 ) e (s 0 )

9 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 9 Το σύστημα της λύσης Το «σύστημα Kriging» αναπτύσσεται αμέσως σε όρους της συνάρτησης ημιβαριογράμματος ως: Το «σύστημα Kriging» αναπτύσσεται αμέσως σε όρους της συνάρτησης ημιβαριογράμματος ως: όπου σημαίνει γενικά μέση τιμή της συνάρτησης γ(V α,V β ) όταν τα άκρα του διανύσματος sα-sβ διαγράφουν ανεξάρτητα τους όγκους V α,V β επάνω στους οποίους ορίζονται οι ΤΜ Χ(s α ) και Χ(s β ).

10 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 10 Για να θυμόμαστε Σε ευκολομνημόνευτη μορφή πινάκων το σύστημα Kriging έχει ως εξής: Σε ευκολομνημόνευτη μορφή πινάκων το σύστημα Kriging έχει ως εξής:

11 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 11 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης Σύμφωνα με τα ανωτέρω, ο αλγόριθμος της προβολής δεν έχει λύση όταν το διάνυσμα της ζητούμενης ΤΜ είναι κάθετο στα δεδομένα. Πράγματι, εφόσον καθετότητα στο χώρο Hilbert σημαίνει έλλειψη συσχέτισης, είναι λογικό να μην είναι δυνατή η εξαγωγή συμπερασμάτων για την ζητούμενη ΤΜ. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, ο αλγόριθμος της προβολής δεν έχει λύση όταν το διάνυσμα της ζητούμενης ΤΜ είναι κάθετο στα δεδομένα. Πράγματι, εφόσον καθετότητα στο χώρο Hilbert σημαίνει έλλειψη συσχέτισης, είναι λογικό να μην είναι δυνατή η εξαγωγή συμπερασμάτων για την ζητούμενη ΤΜ. Όταν τα δεδομένα είναι γραμμικά εξαρτημένα, δηλαδή κάποια από αυτά μπορούν να γραφούν σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να παραλειφθούν τα συγκεκριμένα δεδομένα. Όταν τα δεδομένα είναι γραμμικά εξαρτημένα, δηλαδή κάποια από αυτά μπορούν να γραφούν σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να παραλειφθούν τα συγκεκριμένα δεδομένα.

12 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 12 Άσκηση Έστω ότι επιθυμείται ο υπολογισμός των συντελεστών βαρύτητας του αλγορίθμου Kriging για το μπλόκ με κέντρο το σημείο s 0 από τα σημειακά δείγματα στα σημεία s 1 και s 2 όπως φαίνονται στο σχήμα. Οι αποστάσεις δίνονται σε μέτρα. Δίνεται επίσης και η συνάρτηση ημιβαριογράμματος. Έστω ότι επιθυμείται ο υπολογισμός των συντελεστών βαρύτητας του αλγορίθμου Kriging για το μπλόκ με κέντρο το σημείο s 0 από τα σημειακά δείγματα στα σημεία s 1 και s 2 όπως φαίνονται στο σχήμα. Οι αποστάσεις δίνονται σε μέτρα. Δίνεται επίσης και η συνάρτηση ημιβαριογράμματος.

13 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 13 Λύση Έχουμε:, l>2 Έχουμε:, l>2 Οπότε Οπότε

14 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 14 Αποτελέσματα Έτσι, το σύστημα Kriging γίνεται: Έτσι, το σύστημα Kriging γίνεται: και από το τελευταίο σύστημα προκύπτει: λ 1 =0,29 και λ 2 =0,71. Η τεχνητή μεταβλητή μ έχει την τιμή 0,23.

15 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 15 Χρήση εντροπίας Όπως έχει αναφερθεί στο κεφάλαιο 2, η πιθανότητα P(ζ) ενός ενδεχομένου ζ μπορεί να ερμηνευθεί ως μέτρο αβεβαιότητας για την υλοποίηση ή μη του ζ σε μία συγκεκριμένη επανάληψη του πειράματος. Η αβεβαιότητά μας είναι μέγιστη όταν P(ζ) = 0,5 Όπως έχει αναφερθεί στο κεφάλαιο 2, η πιθανότητα P(ζ) ενός ενδεχομένου ζ μπορεί να ερμηνευθεί ως μέτρο αβεβαιότητας για την υλοποίηση ή μη του ζ σε μία συγκεκριμένη επανάληψη του πειράματος. Η αβεβαιότητά μας είναι μέγιστη όταν P(ζ) = 0,5 Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε ένα μέτρο αβεβαιότητας για την υλοποίηση ή μη όχι ενός μεμονωμένου ενδεχομένου του, αλλά ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου ζ i ενός διαμερισμού του ΄, όπου υπενθυμίζουμε ότι ένας διαμερισμός είναι μία συλλογή αμοιβαία αποκλειόμενων γεγονότων των οποίων η ένωση δημιουργεί το. Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε ένα μέτρο αβεβαιότητας για την υλοποίηση ή μη όχι ενός μεμονωμένου ενδεχομένου του, αλλά ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου ζ i ενός διαμερισμού του ΄, όπου υπενθυμίζουμε ότι ένας διαμερισμός είναι μία συλλογή αμοιβαία αποκλειόμενων γεγονότων των οποίων η ένωση δημιουργεί το.

16 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 16 Τα αξιώματα Το μέτρο της αβεβαιότητας του θα συμβολίζεται με Η( ) και θα ονομάζεται εντροπία του διαμερισμού. Το μέτρο της αβεβαιότητας του θα συμβολίζεται με Η( ) και θα ονομάζεται εντροπία του διαμερισμού. Ο τελεστής Η( ) μπορεί να προκύψει από μία σειρά αξιωμάτων που προκύπτουν από την εμπειρική κατανόηση της αβεβαιότητας: Ο Η( ) είναι συνεχής συνάρτηση των p i = P(ζ i ), Ο Η( ) είναι συνεχής συνάρτηση των p i = P(ζ i ), Εάν p 1 = … = p Ν = 1/Ν, τότε ο Η( ) είναι αύξουσα συνάρτηση του Ν, Εάν p 1 = … = p Ν = 1/Ν, τότε ο Η( ) είναι αύξουσα συνάρτηση του Ν, Εάν δημιουργηθεί ένας νέος διαμερισμός υποδιαιρώντας ένα από τα σύνολα του, τότε Η( ) ≥ Η( ) Εάν δημιουργηθεί ένας νέος διαμερισμός υποδιαιρώντας ένα από τα σύνολα του, τότε Η( ) ≥ Η( )

17 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 17 Ορισμός της εντροπίας Μπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα Μπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα Η( ) = - p 1 log p 1 - … - p N log p N και μόνον αυτό ικανοποιεί τα προηγούμενα αξιώματα. Ο αριθμός Η( ) είναι ένα μέτρο της αβεβαιότητας για τα ενδεχόμενα ζ i του διαμερισμού, πριν από την εκτέλεση του πειράματος. Όταν το πείραμα πραγματοποιηθεί και τα αποτελέσματα που αφορούν στα ζ i γίνουν γνωστά, η αβεβαιότητα απομακρύνεται. Μπορούμε λοιπόν πούμε ότι το πείραμα παρέχει πληροφορία σχετικά με τα ζ i ίση με την εντροπία αυτού του διαμερισμού. Άρα, η αβεβαιότητα ισούται με την πληροφορία και αμφότερες μετρούνται με το ανωτέρω άθροισμα. Ο αριθμός Η( ) είναι ένα μέτρο της αβεβαιότητας για τα ενδεχόμενα ζ i του διαμερισμού, πριν από την εκτέλεση του πειράματος. Όταν το πείραμα πραγματοποιηθεί και τα αποτελέσματα που αφορούν στα ζ i γίνουν γνωστά, η αβεβαιότητα απομακρύνεται. Μπορούμε λοιπόν πούμε ότι το πείραμα παρέχει πληροφορία σχετικά με τα ζ i ίση με την εντροπία αυτού του διαμερισμού. Άρα, η αβεβαιότητα ισούται με την πληροφορία και αμφότερες μετρούνται με το ανωτέρω άθροισμα.

18 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 18 Αρχή μέγιστης εντροπίας Μία σημαντική εφαρμογή της εντροπίας, η οποία θα χρησιμοποιηθεί εκτενώς στην συνέχεια του κεφαλαίου, είναι ο υπολογισμός των πιθανοτήτων p i των ενδεχομένων ενός διαμερισμού, υπό την ισχύ περιορισμών, με χρήση της μεθόδου της μέγιστης εντροπίας (ΜΕΜ). Μία σημαντική εφαρμογή της εντροπίας, η οποία θα χρησιμοποιηθεί εκτενώς στην συνέχεια του κεφαλαίου, είναι ο υπολογισμός των πιθανοτήτων p i των ενδεχομένων ενός διαμερισμού, υπό την ισχύ περιορισμών, με χρήση της μεθόδου της μέγιστης εντροπίας (ΜΕΜ). Η μέθοδος αυτή υπαγορεύει ότι οι άγνωστες p i πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε να μεγιστοποιούν την εντροπία του με τους δεδομένους περιορισμούς. Εάν το θέσουμε διαφορετικά, η πληροφορία που θα πάρουμε από το σύστημα με τους δεδομένους περιορισμούς πρέπει να είναι η μέγιστη δυνατή. Η μέθοδος αυτή υπαγορεύει ότι οι άγνωστες p i πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε να μεγιστοποιούν την εντροπία του με τους δεδομένους περιορισμούς. Εάν το θέσουμε διαφορετικά, η πληροφορία που θα πάρουμε από το σύστημα με τους δεδομένους περιορισμούς πρέπει να είναι η μέγιστη δυνατή.

19 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 19 Παράδειγμα (α) Θέλουμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες p i των έξι πλευρών ενός ζαριού, χωρίς προηγούμενη πληροφορία. Σύμφωνα με την ΜΕΜ, τα p i πρέπει να έχουν τιμές που μεγιστοποιούν το άθροισμα (α) Θέλουμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες p i των έξι πλευρών ενός ζαριού, χωρίς προηγούμενη πληροφορία. Σύμφωνα με την ΜΕΜ, τα p i πρέπει να έχουν τιμές που μεγιστοποιούν το άθροισμα Η( ) = - p 1 log p 1 - … - p 6 log p 6 και εφόσον p 1 +… + p 6 = 1, καταλήγουμε ότι p 1 =… = p 6 = 1/6, το οποίο συμφωνεί με τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας

20 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 20 Παράδειγμα (β) Έστω τώρα ότι δίνεται η ακόλουθη πληροφορία: Ένας παίκτης στοιχηματίζει ένα ευρώ στα «περιττά» και κερδίζει, κατά μέσο όρο είκοσι λεπτά ανά παιχνίδι. Θέλουμε να υπολογίσουμε ξανά τις πιθανότητες p i με χρήση της ΜΕΜ, τώρα όμως θα πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισμοί: (β) Έστω τώρα ότι δίνεται η ακόλουθη πληροφορία: Ένας παίκτης στοιχηματίζει ένα ευρώ στα «περιττά» και κερδίζει, κατά μέσο όρο είκοσι λεπτά ανά παιχνίδι. Θέλουμε να υπολογίσουμε ξανά τις πιθανότητες p i με χρήση της ΜΕΜ, τώρα όμως θα πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισμοί: p 1 + p 3 + p 5 = 0,6p 2 + p 4 + p 6 = 0,4. Αυτό είναι αποτέλεσμα της πληροφορίας που διαθέτουμε εφόσον ένα μέσο κέρδος 20 λεπτών σημαίνει ότι P{περιττός} – P{άρτιος} = 0,2. Μεγιστοποιώντας την Η( ) υπό τους ανωτέρω περιορισμούς προκύπτει: p 1 = p 3 = p 5 = 0,2p 2 = p 4 = p 6 = 0, Το αποτέλεσμα συμφωνεί και πάλι με τον κλασσικό ορισμό, εάν εφαρμόσουμε την αρχή της ανεπαρκούς αιτίασης ξεχωριστά για τα ενδεχόμενα {άρτιος} και {περιττός}.

21 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 21 Άσκηση Στις περιπτώσεις (α) και (β) του παραδείγματος, επαληθεύστε τα αποτελέσματα μεγιστοποιώντας την εντροπία Η( ) με την βοήθεια του Microsoft Excel. Στις περιπτώσεις (α) και (β) του παραδείγματος, επαληθεύστε τα αποτελέσματα μεγιστοποιώντας την εντροπία Η( ) με την βοήθεια του Microsoft Excel.

22 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 22 Η χρησιμότητα της ΜΕΜ Στην συνέχεια θα θεωρήσουμε την πολύ σημαντική κατηγορία προβλημάτων, όπου ζητείται ο προσδιορισμός της κατανομής f(x) της ΤΜ Χ με τον περιορισμό ότι δίνονται οι μέσες τιμές m i, n γνωστών συναρτήσεων g i (X) Στην συνέχεια θα θεωρήσουμε την πολύ σημαντική κατηγορία προβλημάτων, όπου ζητείται ο προσδιορισμός της κατανομής f(x) της ΤΜ Χ με τον περιορισμό ότι δίνονται οι μέσες τιμές m i, n γνωστών συναρτήσεων g i (X) (γενικά, οι συναρτήσεις g(x) είναι ροπές της f(x)):

23 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 23 Προσδιορισμός κατανομής Στην περίπτωση αυτή η ΜΕΜ οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η f(x) πρέπει να είναι εκθετική της μορφής Στην περίπτωση αυτή η ΜΕΜ οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η f(x) πρέπει να είναι εκθετική της μορφής f(x) = Z -1 exp{-λ 1 g 1 (x) - … - λ n g n (x)} όπου τα λ i είναι n σταθερές που προσδιορίζονται από το σύστημα, ενώ το Ζ είναι η σταθερά κανονικοποίησης που εξασφαλίζει ότι η f(x) θα είναι συνάρτηση κατανομής και άρα:

24 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 24 Και πάλι η κανονική κατανομή Η ΜΕΜ μπορεί βεβαίως να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πυκνότητας κατανομής f(x) του τυχαίου διανύσματος x T = [x 1, …, x n ] υπό τους περιορισμούς Η ΜΕΜ μπορεί βεβαίως να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πυκνότητας κατανομής f(x) του τυχαίου διανύσματος x T = [x 1, …, x n ] υπό τους περιορισμούς Ε{g i (x)} =m i i = 1, …, n Στην περίπτωση που δίνεται μόνον ο πίνακας συνδιασποράς C n του τυχαίου διανύσματος x των n TM με μηδενική μέση τιμή, αποδεικνύεται ότι Στην περίπτωση που δίνεται μόνον ο πίνακας συνδιασποράς C n του τυχαίου διανύσματος x των n TM με μηδενική μέση τιμή, αποδεικνύεται ότι

25 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 25 Θεωρία ΒΜΕ Η θεωρία ΒΜΕ (Bayesian Maximum Entropy) αποτελεί εφαρμογή των όσων επιγραμματικά αναφέρθηκαν για την εντροπία στα θέματα χωροχρονικής παρεμβολής (χαρτογράφησης) στην περιοχή των γεωεπιστημών. Όπως θα δούμε παρακάτω, η θεωρία αυτή είναι πολύ γενική, ενώ μπορεί να αποδειχθεί ότι οι αλγόριθμοι Kriging που περιγράφηκαν αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της. Η θεωρία ΒΜΕ (Bayesian Maximum Entropy) αποτελεί εφαρμογή των όσων επιγραμματικά αναφέρθηκαν για την εντροπία στα θέματα χωροχρονικής παρεμβολής (χαρτογράφησης) στην περιοχή των γεωεπιστημών. Όπως θα δούμε παρακάτω, η θεωρία αυτή είναι πολύ γενική, ενώ μπορεί να αποδειχθεί ότι οι αλγόριθμοι Kriging που περιγράφηκαν αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της.

26 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 26 Πρότερο Στάδιο Κατά το «Πρότερο Στάδιο», επιδιώκεται η συγκέντρωση της «Γενικής Γνώσης» G για την ΤΣ, με στόχο τον υπολογισμό της από κοινού συνάρτησης κατανομής f G. Ο υπολογισμός γίνεται βάσει των διαθέσιμων ροπών με χρήση της ΜΕΜ. Κατά το «Πρότερο Στάδιο», επιδιώκεται η συγκέντρωση της «Γενικής Γνώσης» G για την ΤΣ, με στόχο τον υπολογισμό της από κοινού συνάρτησης κατανομής f G. Ο υπολογισμός γίνεται βάσει των διαθέσιμων ροπών με χρήση της ΜΕΜ. Όταν διατίθενται μόνον δεδομένα μετρήσεων, οι ροπές υπολογίζονται από αυτά. Στην περίπτωση που η γενική γνώση αποτελείται από έναν ή περισσότερους φυσικούς νόμους, μπορούμε με βάση αυτούς να δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε τις ροπές. Όταν διατίθενται μόνον δεδομένα μετρήσεων, οι ροπές υπολογίζονται από αυτά. Στην περίπτωση που η γενική γνώση αποτελείται από έναν ή περισσότερους φυσικούς νόμους, μπορούμε με βάση αυτούς να δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε τις ροπές.

27 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 27 Μετα - Πρότερο Στάδιο Κατά το «Μετα - Πρότερο Στάδιο» γίνεται η οργάνωση της «Ειδικής Γνώσης» S σε κατάλληλες μορφές, έτσι ώστε να μπορεί να ενσωματωθεί στην δομή της ΒΜΕ. Ειδικότερα, το σύνολο των δεδομένων που διατίθεται ως ειδική γνώση χωρίζεται σε δύο κύριες κατηγορίες: Κατά το «Μετα - Πρότερο Στάδιο» γίνεται η οργάνωση της «Ειδικής Γνώσης» S σε κατάλληλες μορφές, έτσι ώστε να μπορεί να ενσωματωθεί στην δομή της ΒΜΕ. Ειδικότερα, το σύνολο των δεδομένων που διατίθεται ως ειδική γνώση χωρίζεται σε δύο κύριες κατηγορίες: τα «σκληρά» δεδομένα (δηλ. ακριβείς μετρήσεις που παίρνονται σε πραγματικό χρόνο) τα «σκληρά» δεδομένα (δηλ. ακριβείς μετρήσεις που παίρνονται σε πραγματικό χρόνο) τα «μαλακά» δεδομένα (αβέβαιες παρατηρήσεις εκφρασμένες σε όρους τιμών «από- έως» ή και γενικότερων πιθανοτικών εκφράσεων). τα «μαλακά» δεδομένα (αβέβαιες παρατηρήσεις εκφρασμένες σε όρους τιμών «από- έως» ή και γενικότερων πιθανοτικών εκφράσεων).

28 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 28 Ύστερο Στάδιο Κατά το «Ύστερο Στάδιο» της ανάλυσης ΒΜΕ επιδιώκεται ο υπολογισμός της ενημερωμένης πυκνότητας πιθανότητας του η οποία θα πρέπει να περιλαμβάνει τόσο την γενική όσο και την ειδική γνώση, όπου K = G  S. Κατά το «Ύστερο Στάδιο» της ανάλυσης ΒΜΕ επιδιώκεται ο υπολογισμός της ενημερωμένης πυκνότητας πιθανότητας του η οποία θα πρέπει να περιλαμβάνει τόσο την γενική όσο και την ειδική γνώση, όπου K = G  S. Στην περίπτωση σκληρών δεδομένων, η ύστερη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο προς εκτίμηση σημείο x k υπολογίζεται με απλή αντικατάσταση των δεδομένων τιμών στην εξίσωση της. Στην περίπτωση σκληρών δεδομένων, η ύστερη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο προς εκτίμηση σημείο x k υπολογίζεται με απλή αντικατάσταση των δεδομένων τιμών στην εξίσωση της. Στην περίπτωση μαλακών δεδομένων, η ύστερη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας υπολογίζεται με ολοκλήρωση των δεδομένων αυτών στα διαστήματα ορισμού τους Στην περίπτωση μαλακών δεδομένων, η ύστερη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας υπολογίζεται με ολοκλήρωση των δεδομένων αυτών στα διαστήματα ορισμού τους

29 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 29 Τα εργαλεία μας Στις περιπτώσεις όπου η γενική γνώση αποτελείται από ροπές μέχρι και δεύτερης τάξης ενώ η ειδική γνώση από σκληρά ή/και μαλακά δεδομένα, η τυπική εφαρμογή της θεωρίας ΒΜΕ μπορεί να γίνει με χρήση του προγράμματος SEKS-GUI το οποίο διατίθεται ελεύθερα. Στο πρόγραμμα αυτό, για απλοποίηση της διαδικασίας, αρχικά γίνεται μία προεπεξεργασία που περιλαμβάνει αφαίρεση της τάσης της ΤΣ η οποία και μετατρέπεται σε ομοιογενή με μέση τιμή μηδέν και στη συνέχεια μετασχηματισμό της σε κανονική. Στις περιπτώσεις όπου η γενική γνώση αποτελείται από ροπές μέχρι και δεύτερης τάξης ενώ η ειδική γνώση από σκληρά ή/και μαλακά δεδομένα, η τυπική εφαρμογή της θεωρίας ΒΜΕ μπορεί να γίνει με χρήση του προγράμματος SEKS-GUI το οποίο διατίθεται ελεύθερα. Στο πρόγραμμα αυτό, για απλοποίηση της διαδικασίας, αρχικά γίνεται μία προεπεξεργασία που περιλαμβάνει αφαίρεση της τάσης της ΤΣ η οποία και μετατρέπεται σε ομοιογενή με μέση τιμή μηδέν και στη συνέχεια μετασχηματισμό της σε κανονική.

30 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 30 Στοχαστικά ή αιτιοκρατικά; Σε όλα τα προηγούμενα αναφερθήκαμε σε μεθοδολογίες παρεμβολής με στόχο την χαρτογράφηση μίας φυσικής μεταβλητής, στις οποίες γενικά η φυσική αυτή μεταβλητή αναπαρίσταται από την μαθηματική έννοια της ΤΣ. Από την άλλη μεριά, η επιστήμη της πληροφορικής ασχολείται με το ίδιο πρόβλημα όταν ένα σήμα πρόκειται να ανακατασκευασθεί από δείγματά του. Σε όλα τα προηγούμενα αναφερθήκαμε σε μεθοδολογίες παρεμβολής με στόχο την χαρτογράφηση μίας φυσικής μεταβλητής, στις οποίες γενικά η φυσική αυτή μεταβλητή αναπαρίσταται από την μαθηματική έννοια της ΤΣ. Από την άλλη μεριά, η επιστήμη της πληροφορικής ασχολείται με το ίδιο πρόβλημα όταν ένα σήμα πρόκειται να ανακατασκευασθεί από δείγματά του.

31 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 31 Το θεώρημα της δειγματοληψίας Σύμφωνα με το θεώρημα της δειγματοληψίας, η πλήρης ανακατασκευή ενός σήματος είναι εφικτή μόνον όταν αυτό είναι συχνοτικά περιορισμένο, δηλαδή το φάσμα του μηδενίζεται έξω από ένα πεπερασμένο διάστημα. Επίσης, θα πρέπει η συχνότητα δειγματοληψίας να είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της μέγιστης συχνότητας που περιλαμβάνεται στο σήμα. H κρίσιμη αυτή συχνότητα ονομάζεται συχνότητα Nyquist. Σύμφωνα με το θεώρημα της δειγματοληψίας, η πλήρης ανακατασκευή ενός σήματος είναι εφικτή μόνον όταν αυτό είναι συχνοτικά περιορισμένο, δηλαδή το φάσμα του μηδενίζεται έξω από ένα πεπερασμένο διάστημα. Επίσης, θα πρέπει η συχνότητα δειγματοληψίας να είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της μέγιστης συχνότητας που περιλαμβάνεται στο σήμα. H κρίσιμη αυτή συχνότητα ονομάζεται συχνότητα Nyquist.

32 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 32 Ανακατασκευή με συνέλιξη H ανακατασκευή του αρχικού σήματος μπορεί να γίνει με συνέλιξη της ακολουθίας δειγμάτων με την γνωστή συνάρτηση sinc H ανακατασκευή του αρχικού σήματος μπορεί να γίνει με συνέλιξη της ακολουθίας δειγμάτων με την γνωστή συνάρτηση sinc

33 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 33 Στο χώρο των συχνοτήτων Το φάσμα μίας ακολουθίας δειγμάτων από ένα συχνοτικά περιορισμένο σήμα αποτελείται από μία περιοδική επανάληψη του αρχικού φάσματος. Το φάσμα μίας ακολουθίας δειγμάτων από ένα συχνοτικά περιορισμένο σήμα αποτελείται από μία περιοδική επανάληψη του αρχικού φάσματος. Εάν δεν υπάρχει επικάλυψη των φασμάτων, (συχνότητα δειγματοληψίας μεγαλύτερη από κρίσιμη), τότε το αρχικό σήμα μπορεί να ανακατασκευασθεί επακριβώς από τα δείγματα με φιλτράρισμα, μέσω του οποίου θα αποκοπεί μόνον το κομμάτι του δειγματικού φάσματος, το οποίο είναι ίδιο με του αρχικού σήματος. Εάν δεν υπάρχει επικάλυψη των φασμάτων, (συχνότητα δειγματοληψίας μεγαλύτερη από κρίσιμη), τότε το αρχικό σήμα μπορεί να ανακατασκευασθεί επακριβώς από τα δείγματα με φιλτράρισμα, μέσω του οποίου θα αποκοπεί μόνον το κομμάτι του δειγματικού φάσματος, το οποίο είναι ίδιο με του αρχικού σήματος. Εφόσον η συνάρτηση μεταφοράς της συνάρτησης sinc είναι ο τετραγωνικός παλμός, η συνέλιξη της με την ακολουθία δειγμάτων θα αναπαράγει το αρχικό σήμα. Άρα, η συνάρτηση sinc είναι το ιδανικό φίλτρο παρεμβολής. Εφόσον η συνάρτηση μεταφοράς της συνάρτησης sinc είναι ο τετραγωνικός παλμός, η συνέλιξη της με την ακολουθία δειγμάτων θα αναπαράγει το αρχικό σήμα. Άρα, η συνάρτηση sinc είναι το ιδανικό φίλτρο παρεμβολής.

34 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 34 Απλουστεύσεις Η χρήση βέβαια της ανωτέρω συνάρτησης είναι περισσότερο θεωρητική, ενώ στην πράξη άλλες συναρτήσεις χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση για την παρεμβολή των δειγματικών τιμών σε μία ή δύο διαστάσεις: Η χρήση βέβαια της ανωτέρω συνάρτησης είναι περισσότερο θεωρητική, ενώ στην πράξη άλλες συναρτήσεις χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση για την παρεμβολή των δειγματικών τιμών σε μία ή δύο διαστάσεις: H απλούστερη μέθοδος είναι αυτή όπου η συνάρτηση sinc προσεγγίζεται με έναν τετραγωνικό παλμό H απλούστερη μέθοδος είναι αυτή όπου η συνάρτηση sinc προσεγγίζεται με έναν τετραγωνικό παλμό

35 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 35 Φιλτράρισμα στις γεωεπιστήμες; Στην περίπτωση των γεωεπιστημών, έχει αποδειχθεί (Modis and Papaodysseus, 2006) ότι εάν το υπό μελέτη φαινόμενο είναι ομοιογενές και η συνάρτηση βαριογράμματος εμφανίζει ακτίνα επιρροής α, τότε η TΣ που αναπαριστά την υπό μελέτη φυσική μεταβλητή είναι κατά προσέγγιση συχνοτικά περιορισμένη με κρίσιμο μήκος δειγματοληψίας α/2. Σε περίπτωση ανομοιογένειας, μπορεί βέβαια να προηγηθεί αφαίρεση της τάσης. Με τον τρόπο αυτό, καθίσταται εφικτή η εφαρμογή του θεωρήματος δειγματοληψίας, ενώ η ύπαρξη περισσότερων της μίας διαστάσεων στο αρχικό σήμα δεν αποτελεί εμπόδιο. Στην περίπτωση των γεωεπιστημών, έχει αποδειχθεί (Modis and Papaodysseus, 2006) ότι εάν το υπό μελέτη φαινόμενο είναι ομοιογενές και η συνάρτηση βαριογράμματος εμφανίζει ακτίνα επιρροής α, τότε η TΣ που αναπαριστά την υπό μελέτη φυσική μεταβλητή είναι κατά προσέγγιση συχνοτικά περιορισμένη με κρίσιμο μήκος δειγματοληψίας α/2. Σε περίπτωση ανομοιογένειας, μπορεί βέβαια να προηγηθεί αφαίρεση της τάσης. Με τον τρόπο αυτό, καθίσταται εφικτή η εφαρμογή του θεωρήματος δειγματοληψίας, ενώ η ύπαρξη περισσότερων της μίας διαστάσεων στο αρχικό σήμα δεν αποτελεί εμπόδιο.

36 Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 36 Και η γεωστατιστική; Τι γίνεται όμως, παραμένοντας στην περίπτωση των γεωεπιστημών, όταν η δειγματοληψία είναι αραιότερη από την κρίσιμη τιμή; Τι γίνεται όμως, παραμένοντας στην περίπτωση των γεωεπιστημών, όταν η δειγματοληψία είναι αραιότερη από την κρίσιμη τιμή; Συμπερασματικά μπορούμε να αναφέρουμε (Modis et al, 2008) ότι όταν η πλευρά του ερευνητικού κανάβου είναι μικρότερη από το μισό της ακτίνας επιρροής, απλές τεχνικές παρεμβολής όπως γραμμική, διγραμμική ή δικυβική μπορούν να εφαρμοσθούν με την ίδια ακρίβεια όπως οι πιο πολύπλοκοι αλγόριθμοι της γεωστατιστικής. Αντιθέτως, όσο η δειγματοληψία γίνεται αραιότερη και οι αιτιοκρατικές μέθοδοι αποδεικνύονται λιγότερο ακριβείς, οι στοχαστικοί αλγόριθμοι ελάχιστου τετραγωνικού σφάλματος της γεωστατιστικής αποτελούν σαφώς καλύτερη επιλογή. Συμπερασματικά μπορούμε να αναφέρουμε (Modis et al, 2008) ότι όταν η πλευρά του ερευνητικού κανάβου είναι μικρότερη από το μισό της ακτίνας επιρροής, απλές τεχνικές παρεμβολής όπως γραμμική, διγραμμική ή δικυβική μπορούν να εφαρμοσθούν με την ίδια ακρίβεια όπως οι πιο πολύπλοκοι αλγόριθμοι της γεωστατιστικής. Αντιθέτως, όσο η δειγματοληψία γίνεται αραιότερη και οι αιτιοκρατικές μέθοδοι αποδεικνύονται λιγότερο ακριβείς, οι στοχαστικοί αλγόριθμοι ελάχιστου τετραγωνικού σφάλματος της γεωστατιστικής αποτελούν σαφώς καλύτερη επιλογή.


Κατέβασμα ppt "Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 7) 1 Παρεμβολή τιμών ΤΣ Στην πράξη, η γεωστατιστική μελετά αλγορίθμους οι οποίοι, βασιζόμενοι στις προαναφερθείσες."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google