Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.1 Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.1 Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.1 Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

2 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.2 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανότητας … Σε αντίθεση με μία διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, για μία συνεχής τυχαία μεταβλητή υποθέτουμε ένα μη-αριθμήσιμο αριθμό τιμών.  Δεν μπορούμε να καταγράψουμε τις πιθανές τιμές αφού υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αυτών.  Αφού υπάρχει ένας άπειρος αριθμός τιμών, η πιθανότητα κάθε ατομικής τιμής είναι ουσιαστικά 0.

3 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.3 Οι Πιθανότητες Σημείων Είναι Μηδέν  Αφού υπάρχει ένας άπειρος αριθμός τιμών, η πιθανότητα κάθε ατομικής τιμής είναι ουσιαστικά 0. Έτσι, μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα ενός διαστήματος τιμών μόνο. Π.χ. σε μία διακριτή τυχαία μεταβλητή όπως στο ρίξιμο ενός ζαριού, κάνει νόημα να μιλάμε για P(X=5), ας πούμε. Σε μία συνεχή τυχαία μεταβλητή (π.χ. με τον χρόνο ως μία τυχαία μεταβλητή, η πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής που μας ενδιαφέρει, ας πούμε το μήκος ενός καθήκοντος, να διαρκέσει ακριβώς 5 λεπτά είναι απειροελάχιστη μικρή, έτσι P(X=5) = 0 Κάνει νόημα να μιλάμε για P(X ≤ 5).

4 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.4 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανότητας … Μία συνάρτηση f(x) καλείται μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) (σε ένα διάστημα a ≤ x ≤ b εάν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: 1)f(x) ≥ 0 για όλα τα x μεταξύ a και b, και 2)Το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ a και b είναι 1.0 f(x) xba εμβαδόν=1

5 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.5 Ομοιόμορφη Κατανομή… Θεωρούμε την ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας (uniform probability distribution). Ορισμένες φορές καλείται ορθογώνια κατανομή πιθανότητας). Περιγράφεται από την συνάρτηση: f(x) xba εμβαδόν = μήκος x ύψος = (b – a) x = 1

6 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.6 Παράδειγμα 8.1(α)… Το ποσό της βενζίνης που πωλείται καθημερινώς σε ένα βενζινάδικο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο με ελάχιστο 2,000 γαλόνια και με μέγιστο 5,000 γαλόνια. Βρείτε την πιθανότητα ότι οι ημερήσιες πωλήσεις θα είναι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλόνια. Αλγεβρικά: πόσο είναι P(2,500 ≤ X ≤ 3,000); f(x) x5,0002,000

7 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.7 Παράδειγμα 8.1(α)… P(2,500 ≤ X ≤ 3,000) = (3,000 – 2,500) x =.1667 «υπάρχει περίπου 17% πιθανότητα ότι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλόνια θα πουληθούν σε μία μέρα» f(x) x5,0002,000

8 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.8 Παράδειγμα 8.1(β)… Το ποσό της βενζίνης που πωλείται καθημερινώς σε ένα βενζινάδικο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο με ελάχιστο 2,000 γαλόνια και με μέγιστο 5,000 γαλόνια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το βενζινάδικο θα πουλήσει τουλάχιστον 4,000 γαλόνια? Αλγεβρικά: πόσο είναι P(X ≥ 4,000) ; f(x) x5,0002,000

9 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.9 Παράδειγμα 8.1(β)… P(X ≥ 4,000) = (5,000 – 4,000) x =.3333 “Υπάρχει μία στις τρεις ευκαιρίες το βενζινάδικο να πουλήσει περισσότερο από 4,000 γαλόνια σε μία οποιαδήποτε ημέρα» f(x) x5,0002,000

10 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.1(γ)… Το ποσό της βενζίνης που πωλείται καθημερινώς σε ένα βενζινάδικο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο με ελάχιστο 2,000 γαλόνια και με μέγιστο 5,000 γαλόνια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το βενζινάδικο θα πουλήσει ακριβώς 2,500 γαλόνια; Αλγεβρικά: πόσο είναι P(X = 2,500) ; f(x) x5,0002,000

11 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.1(γ)… P(X = 2,500) = (2,500 – 2,500) x = 0 «Η πιθανότητα ότι το βενζινάδικο θα πουλήσει ακριβώς 2,500 γαλόνια είναι 0» f(x) x5,0002,000

12 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή (normal distribution) είναι η πιο σημαντική από όλες τις κατανομές πιθανοτήτων. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι η κανονική τυχαία μεταβλητή και δίνεται από: Μοιάζει σαν: Το Σχήμα της Καμπάνα, Συμμετρική ως προς την μέση τιμή …

13 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η Κανονική Κατανομή… Πράγματα που πρέπει να προσέξετε: Η κανονική κατανομή ορίζεται πλήρως με δύο παραμέτρους: την τυπική απόκλιση και την μέση τιμή Σε αντίθεση με το εύρος της ομοιόμορφης κατανομής (a ≤ x ≤ b) Για την Κανονική Κατανομή το εύρος από −∞ μέχρι +∞ Η κανονική κατανομή έχει το σχήμα της καμπάνας, και είναι συμμετρική ως προς την μέση τιμή

14 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η Τυπική Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή στην οποία η μέση τιμή είναι μηδέν και η τυπική απόκλιση είναι ίση με την μονάδα καλείται τυπική κανονική κατανομή. Όπως θα δούμε σύντομα, κάθε κανονική κατανομή μπορεί να μετατραπεί σε τυπική κανονική κατανομή με απλή άλγεβρα. Αυτό κάνει τους υπολογισμούς ευκολότερους

15 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή περιγράφεται με δύο παραμέτρους: την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Αυξάνοντας την μέση τιμή μετακινείται η καμπύλη προς το δεξιά… Ίδια διακύμανση και διαφορετικές μέσες τιμές.

16 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή περιγράφεται με δύο παραμέτρους: την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Αυξάνοντας την τυπική απόκλιση, η καμπύλη «απλώνεται» … Ίδιες Μέσες Τιμές, Διαφορετικές Τυπικές Αποκλίσεις

17 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση για να μπορέσουμε να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή μεταβλητή … Συμβουλή: πάντοτε κάντε διάγραμμα! 0

18 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση για να μπορέσουμε να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή … Αυτό μετακινεί την μέση τιμή της X στο 0 … 0

19 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση για να μπορέσουμε να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή μεταβλητή … Αυτό αλλάζει το σχήμα της καμπύλης … 0

20 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Παράδειγμα: Ο χρόνος που απαιτείται για την συναρμολόγηση ενός υπολογιστή είναι κανονικά κατανεμημένος με μέση τιμή 50 λεπτά και τυπική απόκλιση 10 λεπτά: Ποια είναι η πιθανότητα ένας υπολογιστής να συναρμολογηθεί σε χρόνο μεταξύ 45 και 60 λεπτά; Αλγεβρικά: πόσο είναι P(45 < X < 60) ; 0

21 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… P(45 < X < 60) ; 0 … με μέση τιμή 50 λεπτά και τυπική απόκλιση 10 λεπτά …

22 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Έχουμε μετατρέψει την P(45 < X < 60) για μία κανονική κατανομή με μέση τιμή = 50 και τυπική απόκλιση = 10 σε P(–.5 < Z < 1) [τυπική κανονική κατανομή με μέση τιμή = 0 και τυπική απόκλιση = 1] έτσι Πως συνεχίζουμε τώρα;!

23 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… P(–.5 < Z < 1) παριστάνεται ως: Η πιθανότητα είναι το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη … Προσθέτουμε τα δύο μέρη: P(–.5 < Z < 0) και P(0 < Z < 1) 0 –.5 … 1

24 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα G1 (see, Wooldridge, ή τους πίνακες της ιστοσελίδας του μαθήματος), για να βρούμε πιθανότητες P(Z < z) Μπορούμε να γράψουμε την P(–.5 < Z < 1) σε: P(Z < 1) - P(Z < -.5) και από τον Πίνακα G1 βρίσκουμε P(Z < 1) =.8413 και P(Z < -.5) = Επομένως P(–.5 < Z < 1)= =.5328 z μ=0 σ=1

25 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Πώς να χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα G1 … Αυτός ο Πίνακας δίνει πιθανότητες P( Z < z) Πρώτη στήλη = ακέραιος + πρώτο δεκαδικό ψηφίο Πρώτη γραμμή = δεύτερο δεκαδικό ψηφίο P(Z < 1)= P(Z < 0.5)= P(–.5 < Z < 1) = =.5328

26 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Ανακεφαλαίωση: Ο χρόνος που απαιτείται για την συναρμολόγηση ενός υπολογιστή είναι κανονικά κατανεμημένος με μέση τιμή 50 λεπτά και τυπική απόκλιση 10 λεπτά:  Ποια είναι η πιθανότητα ο υπολογιστής να συναρμολογηθεί μεταξύ 45 και 60 λεπτών; P(45 < X < 60) = P(–.5 < Z < 1) =.5328 «Λίγο πιο πάνω από τις μισές φορές, 53% περίπου, ένας υπολογιστής θα συναρμολογηθεί μεταξύ 45 λεπτών και μιας ώρας»

27 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Χρήση του Πίνακα G1 για την Κανονική … Πόσο είναι P(Z > 1.6); P(Z < 1.6) =.9452 P(Z > 1.6) = 1 – P(Z < 1.6) = 1 –.9452 =.0548 z

28 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Χρήση του Πίνακα G1 για την Κανονική … Άλλος τρόπος για P(Z > 2.23) ; P(0 < Z < 2.23) P(Z > 2.23) = P(Z < -2.23) (από τον Πίνακα G1) =.0129 z P(Z > 2.23) P(Z < -2.23)

29 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Χρήση του Πίνακα G1 για την Κανονική … Πόσο είναι P(0.9 < Z < 1.9) ; P(Z < 0.9) P(0.9 < Z < 1.9) = P(Z < 1.9) – P(Z < 0.9) =.9713 –.8159 =.1554 z 1.9 P(Z < 1.9)

30 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.2 Η απόδοση μιας επένδυσης ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 10% και τυπική απόκλιση 5%. Ποια είναι η πιθανότητα να χάσουμε χρήματα; Θέλουμε να υπολογίσουμε P(X < 0). Έτσι,

31 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.2 Εάν η τυπική απόκλιση είναι 10, ποια είναι η πιθανότητα να χάσουμε χρήματα; P(X < 0) Έτσι, όταν αυξάνεται η τυπική απόκλιση αυξάνει η πιθανότητα για να χάσουμε λεφτά, από το οποίο φαίνεται ότι η τυπική απόκλιση (ή η διακύμανση) είναι ένα μέτρο ρίσκου.

32 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Βρίσκοντας Τιμές για την Z… Συχνά μας ζητάν να βρούμε κάποια τιμή του Z για μία συγκεκριμένη πιθανότητα, δηλαδή δοθέντος ενός εμβαδού (Α) κάτω από την καμπύλη, ποια είναι η αντίστοιχη τιμή του z (z A ) στον οριζόντιο άξονα που δίνει αυτό το εμβαδόν; Δηλαδή: P(Z > z A ) = A

33 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Βρίσκοντας Τιμές για την Z… Ποια τιμή z αντιστοιχεί σε εμβαδόν, κάτω από την καμπύλη, ίσο με 2.5%? Δηλαδή, πόσο είναι το z.025 ; Εμβαδόν =.025 Εμβαδόν =.975 Εάν κάνουμε μία «αντίστροφη αναζήτηση» στο Πίνακα G1 για.975, θα βρούμε την αντίστοιχη z A = 1.96 Αφού P(z > 1.96) =.025, λέμε ότι: z.025 = 1.96

34 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Βρίσκοντας Τιμές για την Z… Άλλες Z τιμές είναι Z.05 = Z.01 = 2.33

35 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Βρίσκοντας Τιμές για την Z… Αφού z.025 = 1.96 και - z.025 = -1.96, μπορούμε να πούμε ότι P(-1.96 < Z < 1.96) =.95 Παρομοίως P( < Z < 1.645) =.90

36 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Τιμές και Πιθανότητες για την Κανονική Κατανομή … Οι πιθανότητες και οι τιμές μπορούν να υπολογιστούν από το EXCEL. Στις συναρτήσεις: (π.χ. z.05 =1.645) Ι) Functions f* > NORMINV >Probability = 0.95, Mean=0, & Standard_dev=1 >Αποτέλεσμα = ΙΙ) Functions f* > NORMDIST >X=1.645, Mean=0, Standard_dev=1 & Cumulative=TRUE > Αποτέλεσμα=0.95

37 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Άλλες Συνεχείς Κατανομές … Άλλες τρεις σημαντικές συνεχείς κατανομές οι οποίες θα χρησιμοποιούνται πολύ συχνά σε επόμενα κεφάλαια και στα μαθήματα της οικονομετρίας: Η t κατανομή (ή student), η χ 2 Κατανομή, και η F Κατανομή.

38 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η t κατανομή (ή student) … Εδώ το γράμμα t χρησιμοποιείται για να παραστήσει την τυχαία μεταβλητή, από το όνομα. Η συνάρτηση της πυκνότητας για την t κατανομή είναι η ακόλουθη … ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας, και Γ (η γάμα συνάρτηση) είναι Γ(k)=(k-1)(k-2)…(2)(1)

39 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η t κατανομή (ή student) … Όπως και στην τυπική κανονική κατανομή, η t κατανομή έχει το σχήμα του «βουνού» και είναι συμμετρική ως προς το μηδέν: Η μέση τιμή και η διακύμανση της t τυχαίας μεταβλητής είναι E(t) = 0 και V(t) = for > 2.

40 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η t κατανομή (ή student) … Με τον ίδιο τρόπο όπως μ και σ καθορίζουν την κανονική κατανομή, ν, οι βαθμοί ελευθερίας, καθορίζουν την t κατανομή: Καθώς ο αριθμός των βαθμών ελευθεριών αυξάνει, η t κατανομή προσεγγίζει την τυπική κανονική κατανομή. Σχήμα 8.1

41 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Καθορίζοντας τιμές για την t κατανομή… Η t κατανομή χρησιμοποιείται πάρα πολύ συχνά στην στατιστική συμπερασματολογία. Ο Πίνακας G.2 (βλ. Wooldridge ή στην ιστοσελίδα της τάξης), καταγράφει τιμές της t Α,ν. Δηλαδή, οι τιμές τις t τυχαίας μεταβλητής με ν βαθμούς ελευθερίας: Οι τιμές για A προκαθορίζονται εκ των προτέρων ως «κριτικές» τιμές, συνήθως ως 10%, 5%, 2.5%, 1% και 1/2%.

42 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Χρησιμοποιώντας τον πίνακα για t τιμές… Για παράδειγμα, εάν την t τιμή με 10 βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε το εμβαδόν κάτω από την t καμπύλη είναι.05: Εμβαδόν κάτω από καμπύλη (t A ) : ΣΤΗΛΗ Βαθμοί Ελευθερίας : ΓΡΑΜΜΗ t.05,10 t.05,10 =1.812

43 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Τιμές και Πιθανότητες για την t Κατανομή Οι πιθανότητες και οι τιμές μπορούν να υπολογιστούν από το EXCEL. Στις συναρτήσεις: (π.χ. t.05,10 =1.812) Ι) Functions f* > TINV >Probability = 0.10 & Deg_Freedom=10 (degrees of freedom – Βαθμοί Ελευθερίας) >Αποτέλεσμα = ΙΙ) Functions f* > TDIST >X=1.812, Deg_Freedom=10, & Tails=1 > Αποτέλεσμα=0.05 ή για Tails=2 > Αποτέλεσμα=0.1

44 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η Κατανομή χ 2 … Η συνάρτηση πυκνότητας χ 2 δίνεται από τον τύπο: Όπως πριν, η παράμετρος ν είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθεριών.

45 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η Κατανομή χ 2 … Παρατηρήσεις: Η χ 2 κατανομή δεν είναι συμμετρική Το τετράγωνο, χ 2, επιβάλει μη- αρνητικές τιμές (δηλαδή ο υπολογισμός P(χ 2 < 0) δεν έχει νόημα). Ο Πίνακας G.4 είναι βολικός για να υπολογίσουμε πιθανότητες της μορφής: P(χ 2 > ) = A:

46 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Για Παράδειγμα… Για να βρούμε το σημείο σε μία χ 2 κατανομή με 8 βαθμούς ελευθερίας, έτσι ώστε το εμβαδόν προς τα δεξιά να είναι.05, κοιτάμε την τομή της γραμμής με 8 βαθμούς ελευθερίας και της στήλης με α=0.05, η οποία είναι 15.51

47 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η F Κατανομή… Η συνάρτηση πυκνότητας της F κατανομής δίνεται από τον τύπο: F > 0. Δυο παράμετροι καθορίζουν την κατανομή, και όπως ήδη έχουμε δει αυτοί είναι ξανά οι βαθμοί ελευθερίας. ν 1 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του αριθμητή και ν 2 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του παρανομαστή

48 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Η μέση τιμή και η διακύμανση της F τυχαίας μεταβλητής δίνεται από τον τύπο: και Η F κατανομή, όπως και η χ 2, αρχίζει από το 0 (έιναι μη- αρνητική) και δεν είναι συμμετρική. Η F Κατανομή…

49 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Καθορίζοντας Τιμές για την F Κατανομή… Για παράδειγμα, ποια είναι η τιμή της F για 5% του εμβαδού της δεξιάς «ουράς» της καμπύλης, με βαθμούς ελευθερίας 3 και 12, του αριθμητή και του παρανομαστή αντίστοιχα. Λύση: χρησιμοποιούμε τον Πίνακα G.3a ; ή G.3b Βαθμοί ελευθερίας του παρανομαστή (denominator) : ΣΤΗΛΗ Βαθμοί ελευθερίας του αριθμητή (numerator) : ΓΡΑΜΜΗ F.05,3,12 Υπάρχουν διαφορετικοί πίνακες για διαφορετικές τιμές του A. Βεβαιωθείτε ότι χρησιμοποιείται τον σωστό πίνακα. F.05,3,12 =3.49 Α=.05

50 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Καθορίζοντας Τιμές για την F Κατανομή… Για εμβαδά κάτω από την καμπύλη στο αριστερό μέρος της καμπύλης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη σχέση: Δώστε προσοχή στη σειρά των όρων!

51 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Δειγματικές Κατανομές … Μία δειγματική κατανομή δημιουργείται, όπως προτείνεται και από το όνομα, από δειγματοληψία. Η μέθοδος βασίζεται σε κανόνες πιθανοτήτων και σε νόμους της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης για να εξάγουμε την δειγματική κατανομή. Για παράδειγμα, το ρίξιμο ενός ή δύο ζαριών …

52 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc x P(x)1/6 Δειγματική Κατανομή της Μέσης Τιμής … Ένα ισορροπημένο ζάρι ρίχνεται πολλές (άπειρες) φορές, Με μία τυχαία μεταβλητή X = αποτέλεσμα ριξίματος. Η κατανομή πιθανότητας της X είναι: …και η μέση τιμή και η διακύμανση υπολογίζονται ως:*-

53 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Δειγματική Κατανομή των Δύο Ζαριών … Η δειγματική κατανομή δημιουργείται κοιτώντας όλα τα δείγματα (samples) μεγέθους n=2 (π.χ. δύο ζάρια) και τις μέσες τιμές τους … Ενώ υπάρχουν 36 πιθανά δείγματα μεγέθους 2, υπάρχουν μόνο 11 τιμές για την μέση τιμή, και κάποιες (π.χ. η τιμή 3.5) επαναλαμβάνονται πιο συχνά από ότι οι άλλες (π.χ. την τιμή 1).

54 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Δειγματική Κατανομή των Δύο Ζαριών … Η δειγματική κατανομή της φαίνεται παρακάτω P( ) 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 P( )

55 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Συγκρίνεται… Συγκρίνεται την κατανομή της X… …με την δειγματική κατανομή της. Επίσης, σημειώστε ότι:

56 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Γενικεύοντας … Μπορούμε να γενικεύσουμε την μέση τιμή και την διακύμανση της δειγματοληψίας: …σε n-ζαριές: Η τυπική απόκλιση της δειγματικής κατανομής καλείται τυπικό σφάλμα:

57 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Κεντρικό Οριακό Θεώρημα … Η δειγματική κατανομή της μέσης τιμής ενός τυχαίου δείγματος, το οποίο εξάγεται από οποιοδήποτε πληθυσμό, είναι προσεγγιστικά κανονική για επαρκώς μεγάλο μέγεθος δείγματος. Όσο πιο μεγάλο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο πιο κοντά η δειγματική κατανομή της X θα μοιάζει με κανονική κατανομή.

58 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Κεντρικό Οριακό Θεώρημα … Εάν ο πληθυσμός είναι κανονικός, τότε η X είναι κανονικά κατανεμημένη για όλες τις τιμές του n. Εάν ο πληθυσμός είναι μη-κανονικός, τότε η X είναι προσεγγιστικά κανονική μόνο για μεγάλες του n. Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις, ένα μέγεθος δείγματος ίσο με 30 ενδέχεται να είναι επαρκώς μεγάλο ώστε να επιτρέπει την χρήση της κανονικής κατανομής ως προσέγγιση για την δειγματική κατανομή της X.

59 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Δειγματική Κατανομή της Μέσης Τιμής … Εάν X είναι κανονική, τότε και η X είναι κανονική. Εάν η X είναι μη-κανονική, η X είναι προσεγγιστικά κανονική για επαρκώς μεγάλα δείγματα. Σημειώστε: ο ορισμός του «επαρκώς μεγάλου» εξαρτάται από το βαθμό της μη-κανονικότητας της x (π.χ. πολύ λοξή, η αρκετές κορυφές)

60 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Πεπερασμένοι Πληθυσμοί … Οι Στατιστικοί έχουν δείξει ότι η μέση τιμή της δειγματικής κατανομής είναι πάντοτε ίση με την μέση τιμή του πληθυσμού και ότι το τυπικό σφάλμα είναι ίσο με για απείρους μεγάλους πληθυσμούς. Ωστόσο, εάν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένος το τυπικό σφάλμα είναι Όπου N είναι το μέγεθος του πληθυσμού Ο συντελεστής καλείται ο παράγοντας διόρθωσης του πεπερασμένου πληθυσμού. Εάν το μέγεθος του πληθυσμού είναι μεγάλο σε σχέση ως το μέγεθος του δείγματος ο παράγοντας διόρθωσης του πεπερασμένου πληθυσμού είναι κοντά στο 1 και μπορεί να αγνοηθεί.

61 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Πεπερασμένοι Πληθυσμοί … Ως χοντρικό κανόνα θα θεωρούμε κάθε πληθυσμό ο οποίος είναι 20 φορές μεγαλύτερος από το μέγεθος του δείγματος ως μεγάλο. Αυτό έχει ως συνέπεια να παραλείπουμε συνήθως τον παράγοντα διόρθωσης του πεπερασμένου πληθυσμού. Υπάρχουν αρκετές εφαρμογές οι οποίες αναλύουν μικρούς πληθυσμούς.

62 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.3(α)… Ο προϊστάμενος ενός εργοστασίου αναψυκτικών έχει παρατηρήσει ότι το ποσό της σόδας σε κάθε μπουκάλι “32- ουγκιών” καταρχήν κατανέμεται ως κανονική τυχαία μεταβλητή, με μέση τιμή 32.2 ουγκιές και τυπική απόκλιση.3 ουγκιές. Εάν ένας πελάτης αγοράσει ένα μπουκάλι, ποια είναι η πιθανότητα το μπουκάλι να περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές;

63 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.3(a)… Θέλουμε να βρούμε P(X > 32), όπου X είναι κανονικά κατανεμημένα με μ=32.2 και σ=.3 (P(Z>-.67)=1- P(Z<-.67)= =.7486 «υπάρχει περίπου 75% πιθανότητα ότι ένα μπουκάλι σόδας περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές»

64 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.3(a)… Ο προϊστάμενος ενός εργοστασίου αναψυκτικών έχει παρατηρήσει ότι το ποσό της σόδας σε κάθε μπουκάλι “32- ουγκιών” καταρχήν κατανέμεται ως κανονική τυχαία μεταβλητή, με μέση τιμή 32.2 ουγκιές και τυπική απόκλιση.3 ουγκιές. Εάν ένας πωλητής ένα πακέτο με τέσσερα μπουκάλια, ποια είναι η πιθανότητα ότι η μέση τιμή της ποσότητας των τεσσάρων μπουκαλιών θα είναι μεγαλύτερη από 32 ουγκιές;

65 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.3(a)… Θέλουμε να βρούμε P(X > 32), όπου η X είναι κανονικά κατανεμημένη με μ=32.2 και σ=.3. Γνωρίζουμε ότι: 1)X είναι κανονικά κατανεμημένη, συνεπώς έτσι θα είναι και η X. 2) = )

66 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.3(a)… Εάν ένας πωλητής ένα πακέτο με τέσσερα μπουκάλια, ποια είναι η πιθανότητα ότι η μέση τιμή της ποσότητας των τεσσάρων μπουκαλιών θα είναι μεγαλύτερη από 32 ουγκιές; (P(Z>-1.33)=1- P(Z<-1.33)= =.9082 «υπάρχει περίπου 91% πιθανότητα ότι η μέση τιμή της ποσότητας των τεσσάρων μπουκαλιών σόδας περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές»

67 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Σκεπτόμενοι Γραφικά … Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα μπουκάλι θα περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές; Ποια είναι η πιθανότητα ότι η μέση τιμή τεσσάρων μπουκαλιών θα περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές; Μέση τιμή=32.2

68 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.4 … Ο Κοσμήτορας ενός Κολεγίου Οικονομικών υποστηρίζει ότι ο μέσος μισθός των πτυχιούχων του κολεγίου, ένα χρόνο μετά την αποφοίτηση είναι $800 την εβδομάδα με τυπική απόκλιση $100. Ένας δευτεροετής φοιτητής θα ήθελε να ελέγξει εάν η υπόθεση της μέσης τιμής είναι σωστή. Ο φοιτητής κάνει μία έρευνα με 25 αποφοίτους πριν από ένα χρόνο και καθορίζει τον εβδομαδιαίο τους μισθό. Ανακαλύπτει ότι η δειγματική μέση τιμή είναι $750. Για να ερμηνεύσει τα ευρήματα του χρειάζεται να υπολογίσει την πιθανότητα ότι το δείγμα των 25 αποφοίτων θα είχε μέση τιμή $750 ή μικρότερη όταν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι $800 και η τυπική απόκλιση είναι $100.

69 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.4 … Θέλουμε να υπολογίσουμε Αν και η κατανομή της X είναι πιθανώς λοξή, είναι πιθανό ότι η κατανομή της είναι κανονική. Η μέση τιμή της είναι Η τυπική απόκλιση είναι

70 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Παράδειγμα 8.4 … Η πιθανότητα να παρατηρήσουμε μία δειγματική μέση τιμή μικρότερη του $750, όταν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι $800, είναι πολύ μικρή. Αφού το ενδεχόμενο είναι αρκετά απίθανο, θα συμπεραίναμε ότι η υποστήριξη του Κοσμήτορα δεν δικαιολογείται.

71 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Τυποποιώντας την Μέση Τιμή … Η δειγματική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με τις παραμέτρους του πληθυσμού. Για να το επιτύχουμε, η μέση τιμή μπορεί να τυποποιηθεί σε τυπική κανονική κατανομή χρησιμοποιόντας τον ακόλουθο τύπο:

72 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Άλλος Ένας Τρόπος να Εκφράσουμε την Πιθανότητα… Από την τυπική κανονική κατανομή γνωρίζουμε ότι P(-1.96 < Z < 1.96) =.95 Από την δειγματική κατανομή της μέσης τιμής έχουμε Αντικαθιστώντας αυτόν τον ορισμό της Z στον τύπο της πιθανότητας παίρνουμε ότι

73 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Άλλος Ένας Τρόπος να Εκφράσουμε την Πιθανότητα… Με λίγες αλγεβρικές πράξεις ξαναγράφουμε τον τύπο της πιθανότητας ως Ομοίως Γενικά Όλες οι μορφές της πιθανότητας σχετικά με την θα χρησιμοποιηθούν στην επαγωγική στατιστική (στην Στατιστική ΙΙ)

74 Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc Επιστροφή στο Παράδειγμα 8.4 … Αντικαθιστώντας, μ = 800, σ = 100, n = 25, και α =.05, παίρνουμε Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος να ελέγξουμε την υποστήριξη του Κοσμήτορα. Η πιθανότητα ότι θα πέσει μεταξύ και είναι 95%. Είναι απίθανο ότι θα παρατηρήσουμε μία μέση τιμή μικρότερη του $750 όταν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι $800.


Κατέβασμα ppt "Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. 8.1 Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google