Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

2 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Εισαγωγή 2.Τύποι Εικόνων 3.Γεωμετρία Απεικόνισης 4.Όργανα Απεικόνισης 5.Απόκτηση Εικόνας 6.Αναπαράσταση Εικόνας

3 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 3 Σκοπός Του Μαθήματος (1/2)  Να μεταφέρει τις βασικές ιδέες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Εικόνας (ΨΕΕ) από μια λειτουργική όψη με κάποια επαφή στην θεωρία. Οι βασικές αυτές ιδέες είναι: - Ανάληψη: κάμερες, διασύνδεση, και υπολογιστές. - Επεξεργασία, αλγόριθμοι και θεωρία. - Πρακτικές εφαρμογές της ΨΕΕ. - Βασικοί αλγόριθμοι ανάλυσης εικόνας.  Κάνει προσιτή την ψηφιακή επεξεργασία εικόνας.  Παρουσιάζει το αντικείμενο με λογική μαθηματική ευκολία.  Παρουσιάζει τα αποτελέσματα πολλαπλών παραδειγμάτων οπτικών εικόνων στην μορφή της ακριβούς ΨΕΕ, όπως αυτά έχουν αναλυθεί στο Laboratory for Vision Systems στο University of Texas at Austin, και στο Τμήμα Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Κύπρου.

4 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 4 Να γίνονται ερωτήσεις όσον αφορά το αντικείμενο του μαθήματος Να μη διστάζουν οι φοιτητές να δείξουν τη μη κατανόηση κάποιου θέματος Να γίνονται σχόλια για την ταχύτητα διδαχής του μαθήματος Να γίνονται σχόλια για το επίπεδο διδαχής Σκοπός Του Μαθήματος (2/2)

5 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 5 Σχόλια Για Το Βιβλίο Το βιβλίο που καλύπτει την ύλη του μαθήματος είναι το: Digital Image Processing, R.C. Gonzalez and R.E. Woods  Πολύ ευπρόσιτο βιβλίο – Φιλικό προς το χρήστη  Πολύ καλά εικονογραφημένο - με χρήσιμα παραδείγματα εφαρμογών  Οι σημειώσεις της τάξης είναι αυτόνομες. Εντούτοις, το βιβλίο είναι καλό για διάβασμα.

6 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 6 Άλλα Προτεινόμενα Βιβλία Digital Image Processing, W.K. Pratt, Wiley, 1992, Encyclopedic, somewhat dated. There is a new edition. Digital Picture Processing, Rosenfeld & Kak, Academic 1982, Encyclopedic but readable Fundamentals of Digital Image Processing, Jain, Prentice 1989, Handbook-style, meant for advanced level. Machine Vision, Jain, Kasturi, and Schunk, McGraw-Hill, 1995, Beginner’s book on computer vision. Robot Vision, B.K.P. Horn, MIT Press, 1986, Advanced-level book on computer vision Digital Video Processing, M. Tekalp, Prentice-Hall, 1995, Only book devoted to digital video; high-level; excellent.

7 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 7 Δημοσιεύσεις - Journals · IEEE Transactions on: - Image Processing - Pattern Analysis and Machine Intelligence - Medical Imaging - Remote Sensing · Computer Vision, Graphics, and Image Processing - Image Understanding - Graphics and Image Processing · Pattern Recognition · Journal of Visual Communication and Image Representation · Image and Vision Computing

8 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 8 Εφαρμογές της ΨΕΕ (1/2)  Υπάρχουν αμέτρητες περιοχές εφαρμογών της ΨΨΕ, οι οποίες εξελίσσσονται ραγδαία. Θα δώσουμε πιο κάτω μερικές από αυτές.

9 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 9 Που χρησιμοποιείται? (2/2) ΨΨΕ – Μια επιστήμη με πολλές εφαρμογές:

10 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 10 Εξέλιξη της ΨΨΕ  Είναι σημαντική στις περιοχές με στοιχεία πολλών διαστάσεων  Η απεικόνιση είναι ανεκτίμητο μέσο και μετάφραση δεδομένων  Η όραση είναι η πιο σημαντική αίσθηση μας και είναι πανταχού παρών  Εφαρμογές σε σταθμούς εργασίας και προσωπικούς υπολογιστές  Σημαντική πρόοδος σε αλγορίθμους και επιπρόσθετα στοιχεία του υλικού των υπολογιστών Πλεονεκτήματα της ΨΨΕ σε σταθμούς εργασίας  Χειρισμός – κόστος των προσωπικών σταθμών εργασίας είναι ιδανικό για εργαστηριακή δουλειά  Τεράστια ικανότητα μείωσης χρόνου  Μπορεί να επιβλέπει και να ελέγχει πολλαπλές διεργασίες  Ικανότητα εντολών των σταθμών εργασίας για την καλπάζουσα ΨΕΕ

11 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 11 Τι Είναι οι Ψηφιακές Εικόνες?  Υπάρχουν τόσων ειδών εικόνες όσοι και οι τύποι της ακτινοβολίας και οι τρόποι που δείχνουν πώς η ακτινοβολία αντιδρά με τα αντικείμενα.

12 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 12 Γενικοί τύποι εικόνων (1/2)  Μπορούμε να διακρίνουμε τρεις τύπους εικόνας, οι οποίοι δημιουργούν διαφορετικούς τύπους πληροφορίας εικόνας.  Απεικόνιση Αντανάκλασης: Η πληροφορία της εικόνας είναι η πληροφορία της επιφάνειας, δηλαδή πως ένα αντικείμενο αντανακλά/απορροφά ακτινοβολία - Οπτική (ορατή, φωτογραφική, με βάση ακτίνων laser) - Radar - Sonar, ultrasound (non-EM) Υπέρηχοιultrasound - Electron microscopy Ηλεκτρονικό ΜικροσκόπιοElectron microscopy

13 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 13 Γενικοί τύποι εικόνων (2/2)  Απεικόνιση εκπομπής: Η πληροφορία εικόνας είναι εσωτερική πληροφορία, δηλαδή πως ένα αντικείμενο δημιουργεί ακτινοβολία. - Θερμική, υπέρυθρη (γεωφυσική, ιατρική, στρατιωτική) - Αστρονομία (άστρα, γαλαξίες, κλπ.) - Πυρηνική (εκπομπή σωματιδίων  Απεικόνιση Απορρόφησης: Η πληροφορία της εικόνας είναι εσωτερική πληροφορία, δηλαδή πως ένα αντικείμενο αλλάζει / απορροφά ακτινοβολία που περνά διαμέσου του. - Ακτίνες Χ σε πολλές χρήσεις - Οπτική μικροσκοπία σε χρήσεις εργαστηρίου - Τομογραφία στην ιατρική - “Vibro-Seis” στην γεωφυσική έρευνα

14 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 14 Ηλεκτρομαγνητική Ακτινοβολία (1/2)  Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα καλύπτει πολλές χρήσιμες ακτινοβολίες που χρησιμοποιούνται στην απεικόνιση:

15 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 15 Ηλεκτρομαγνητική Ακτινοβολία (2/2)  Μερικοί κλάδοι της επιστήμης, π.χ. αστρονομία, περιέχουν εικόνες απο όλο το φάσμα.  Συνήθως θα χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα εικόνων από το ορατό φάσμα.  Αυτό είναι ένα πολύ μικρό κομμάτι του φάσματος ακτινοβολίας!

16 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 16 Κλίμακες Απεικόνισης  Μεταβάλλονται ανάλογα με τις κλίμακες που υπάρχουν στην φύση:

17 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 17 Διαστάσεις Εικόνων  Οι εικόνες είναι πολύ-διαστατά σήματα (  2 διαστάσεις)  Ο αριθμός των διαστάσεων μιας εικόνας είναι ο αριθμός των συντεταγμένων που χρειάζονται για ένα σημείο

18 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 18 Γεωμετρία οπτικής εικονοληψίας (1/2) Απλοποιημένη γεωμετρία φωτογραφικής απεικόνισης

19 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 19 Γεωμετρία Οπτικής Απεικόνισης (2/2)  ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ 3-Δ ΣΕ 2-Δ Η απεικόνιση περιλαμβάνει μείωση διαστάσεων, έτσι κάποια 3-Δ πληροφορία χάνεται.

20 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 20 Προβολή: είναι η μείωση των διαστάσεων Σκηνογραφική προβολή: είναι η μείωση διαστάσεων από 3-Δ σε 2-Δ Συστήματα συντεταγμένων:  Συντεταγμένες πραγματικού χώρου (Χ,Υ,Ζ) : δηλώνουν σημεία στο 3-Δ χώρο Το σημείο αναφοράς (Χ,Υ,Ζ)=(0,0,0) χρησιμοποιείται σαν το κέντρο του φακού  Συντεταγμένες εικόνας (x,y) : δηλώνουν σημεία σε 2-Δ εικόνα Το πεδίο x - y είναι παράλληλο του πεδίου Χ – Υ Ο οπτικός άξονας περνά και από τα δυο σημεία αναφοράς Σκηνογραφική προβολή

21 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 21 Γεωμετρία προβολής οπής Ο φακός θεωρείται σαν μια οπή από την οποία περνούν όλες οι ακτίνες φωτός που κτυπούν το πεδίο εικόνας. Πρόβλημα: σε αυτό το μοντέλο, αλλά και στην πραγματικότητα η εικόνα είναι αντιστραμμένη. Έτσι, αλλάζουμε το μοντέλο.

22 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 22 Γεωμετρία αντεστραμμένης προβολής (1/3) Παρατήρηση: το διάγραμμα δεν είναι σε κλίμακα.

23 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 23 Γεωμετρία αντεστραμμένης προβολής (2/3)  Το πιο πάνω διάγραμμα δείχνει όλους τους άξονες συντεταγμένων

24 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 24 Γεωμετρία αντεστραμμένης προβολής (3/3) Το ισοδύναμο απλουστευμένο διάγραμμα περιέχει μόνο τα στοιχεία που σχετίζουν το (Χ,Υ,Ζ) = (A,B,C) με την προβολή (x,y) = (a,b).

25 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 25 Όμοια Τρίγωνα Δυο τρίγωνα είναι όμοια όταν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες Θεώρημα: τα όμοια τρίγωνα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες D = d, E = e, F = f E e F f D d

26 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 26 Λύση σκηνογραφικής προβολής (1/2) Χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα μπορούμε να βρούμε τη σχέση μεταξύ 3-Δ συντεταγμένων χώρου και 2-Δ συντεταγμένων εικόνας Ξανασχεδιάζουμε τη γεωμετρική εικόνα φανερώνοντας δυο ζεύγη από όμοια τρίγωνα

27 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 27 Λύση σκηνογραφικής προβολής (2/2) Από το θεώρημα των ομοίων τριγώνων συμπεραίνουμε: και ή (a,b) = f. (A,B) = (fA/C, fB/C) C

28 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 28 Εξίσωση Σκηνογραφικής Προβολής Έτσι, έχουμε την ακόλουθη σχέση: ( x,y) = f. (X,Y) Z όπου f = εστιακή απόσταση Η αναλογία f είναι ο συντελεστής μεγέθυνσης, ο οποίος μεταβάλλεται Ζ με την απόσταση Ζ από το κέντρο του φακού μέχρι το πεδίο του αντικειμένου

29 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 29 Παράδειγμα 1 Υπάρχει ένας άνθρωπος σε απόσταση 10 μέτρων μπροστά μας. Έχει 2 μέτρα ύψος. Η εστιακή απόσταση του ματιού μας είναι 17mm. Ερώτηση: ποιο είναι το ύψος Η της εικόνας που σχηματίζεται στη ρέτινα; Από τα όμοια τρίγωνα: 2 m = H 10 m 17mm H = 3.4 mm

30 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 30 Παράδειγμα 2 (1/3) Γιατί οι ευθείες (ή τμήματα ευθειών) σε 3-Δ χώρο προβάλλονται σε ευθεία γραμμή στη 2-Δ εικόνα;

31 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 31 Παράδειγμα 2 (2/3) Παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμές που περνούν από το κέντρο του φακού (σημείο αναφοράς) και την 3-Δ ευθεία πρέπει να είναι στο ίδιο επίπεδο (ένα σημείο και μια ευθεία προσδιορίζουν ένα επίπεδο). Η διασταύρωση αυτού του επιπέδου με το επίπεδο της εικόνας δίνει την προέκταση της ευθείας. Η διασταύρωση δυο οποιονδήποτε μη παράλληλων επιπέδων είναι μια ευθεία.

32 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 32 Παράδειγμα 2 (3/3) Έτσι, η προβολή μιας 3-Δ ευθείας είναι σε μια 2-Δ ευθεία.

33 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 33 Ψηφιοποίηση Εικόνας  Τι είναι;  Η μετατροπή μιας δυσδιάστατης φυσικής εικόνας (στην ουσία μιας κατανομής φωτεινοτήτων) σε ηλεκτρικό σήμα και έπειτα σε ψηφιακή πληροφορία  Αισθητήρες CCD (Charged Couple Devices)  Μετατρέπουν την φωτεινότητα σε ηλεκτρικό φορτίο  Οι πλείστες κάμερες αυτούς χρησιμοποιούν

34 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 34 Αισθητήρες Charged Couple Device (1/3)  Τα στοιχεία του CCD πίνακα φορτίζονται ανάλογα με την φωτεινότητα η οποία προσπίπτει επάνω τους  Κάθε παλμός του Vertical Scan Generator αναγκάζει τα φορτία από κάθε γραμμή του πίνακα να μετακινηθούν σε ένα Shift Register  Ο Shift Register μεταφέρει τα φορτία σε ένα ενισχυτή, γραμμή προς γραμμή. Για το παραπάνω παράδειγμα, ο Shift Register θα μεταφέρει στον ενισχυτή τα φορτία της πρώτης γραμμής, έπειτα της δεύτερης, της τρίτης κ.ο.κ

35 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 35 Αισθητήρες Charged Couple Devices (2/3) Κάθε CCD συσκευή διαθέτει τρεις «πηγές δυναμικού» (potential wells). Η μεσαία παράγει φορτίο (ροή ηλεκτρονίων) ανάλογα με το πλήθος των φωτονίων (δηλαδή την ένταση του φωτός) τα οποία προσπίπτουν επάνω της Έπειτα το φορτίο της μεσαίας πηγής μεταπηδά στις άλλες δύο. Τέλος καταλήγει στον Shift Register από όπου θα οδηγηθεί στον ενισχυτή

36 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 36 Αισθητήρες Charged Couple Devices (3/3) Με τον ίδιο τρόπο, το φορτίο του Shift Register μεταβιβάζεται στον ενισχυτή, ο οποίος παράγει ηλεκτρικό ρεύμα ανάλογο με την τάση του αριθμού ηλεκτρονίων που λαμβάνει:  Η έξοδος του ενισχυτή είναι μια γραμμή – προς – γραμμή αναλογική κυματομορφή η οποία συνήθως έχει προκαθορισμένη μορφή (NTSC: 525 γραμμές/πλαίσιο, 30 πλαίσια/sec, RS-170).  Τα τηλεοπτικά σήματα συνήθως ακολουθούν την NTSC  Οι ψηφιακές εικόνες που δημιουργούνται από εργαστηριακές κάμερες και κάμερες ασφαλείας είναι συνήθως της μορφής RS-170  Για να μπορεί να τύχει επεξεργασίας από υπολογιστή, η αναλογική εικόνα πρέπει να μετατραπεί σε ψηφιακό σήμα από μια συσκευή ADC – Analog to Digital Converter

37 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 37 Μετατροπέας Αναλογικού σε Ψηφιακού (Analog to Digital Converter – ADC)  Διεξάγει Δειγματοληψία και Κβαντοποίηση για να μετατρέψει μια συνεχής κυματομορφή τάσης σε διακριτές τιμές  σημαντική η Συχνότητα Δειγματοληψίας και το Διάστημα Κβαντοποίησης  Οι κάρτες ψηφιοποίησης βίντεο (video digitizer board) συνήθως μπορούν να ενωθούν με την βιντεοκάμερα  Οι νέες «εντελώς ψηφιακές» κάμερες περιλαμβάνουν ενσωματωμένο ADC

38 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 38 Εικόνα Από Δειγματοληψία (1/4)  Τα αποτελέσματα τα οποία προκύπτουν από τη δειγματοληψία αποθηκεύονται ως πίνακες από τιμές. Κάθε τιμή αντιπροσωπεύει τη φωτεινότητα της εικόνας στο συγκεκριμένο σημείο. Δίπλα απεικονίζεται ένας 10x10 πίνακας εικόνας  Κάθε ένα από τα κελιά του πίνακα ονομάζεται εικονοστοιχείο – (“pixel” από τις λέξεις «picture element»)  Στην ΨΕΕ συνήθως χρησιμοποιούμε τετραγωνικούς πίνακες NxN με διαστάσεις δύναμη του 2 (N=2 M ) - είναι πιο εύκολοι στον χειρισμό και μερικοί αλγόριθμοι είναι αποδοτικότεροι για τέτοιες διαστάσεις M=72 7 x 2 7 = 128 x 128σύνολο: 2 14 =16384pixels M= x 2 10 = 1024 x 1024σύνολο: 2 20 = pixels

39 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 39 Εικόνα Από Δειγματοληψία (2/4)  Η δειγματοληψία πρέπει να είναι επαρκώς πυκνή αλλιώς: μεγάλη απώλεια πληροφορίας  μεγάλη αλλοίωση της εικόνας  Παρακάτω απεικονίζονται οι προκύπτουσες ψηφιακές εικόνες με δειγματοληψία σε τρεις διαφορετικές συχνότητες – 600, 200 και 75 DPI)  Ποιά είναι κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας;  Θεώρημα Δειγματοληψίας του Nyquist (Nyquist Sampling Theorem)  Παρόμοια, το διάστημα κβαντοποίησης πρέπει να είναι αρκετά μικρό 600 DPI200 DPI75 DPI

40 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 40 Εικόνα Από Δειγματοληψία (3/4)  Κβαντοποίηση: η φωτεινότητα κάθε pixel παίρνει μια τιμή από ένα πεπερασμένο σύνολο K αριθμών (συνήθως ακεραίων, από 0 έως K-1)  Τυπικά, το πλήθος επιπέδων φωτεινότητας είναι δύναμη του 2: K=2 Β  Άρα με B bits μπορούμε να κρατάμε την φωτεινότητά σε κάθε pixel Στις εικόνες τόνων γκρίζου συνήθως B=8, άρα έχουμε 256 πιθανά επίπεδα φωτεινότητας (τιμές 0 έως 255) με 8 bit ανά pixel  Όπως και με την συχνότητα δειγματοληψίας, οι τιμές φωτεινότητας της εικόνας θα πρέπει να κβαντοποιηθούν επαρκώς πυκνά (μικρό διάστημα κβαντοποίησης) ώστε να μην χαθεί σημαντική πληροφορία φωτεινότητας 8-Bit Κβαντοποίηση 5-Bit Κβαντοποίηση3-Bit Κβαντοποίηση

41 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 41 Εικόνα Από Δειγματοληψία (4/4)  Αναπαράσταση εικόνας ως σύνολο επιπέδων bits =

42 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 42 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (1/4)  Χώρος που απαιτείται για αποθήκευση ψηφιακής εικόνας:  Ανάλυση εικόνας H x W pixels (Height, Width)  B bits για αποθήκευση της φωτεινότητας σε κάθε pixel  Χώρος = H x W x B (σε bits)  Για εικόνες τόνων γκρίζου, συνήθως:  Οι διαστάσεις είναι H = W = 2 M, Μ = 9 (512 x 512 pixels)  B = 8 (256 επίπεδα φωτεινότητας γκρίζου)  Χώρος = B x 2 M x 2 M = 8 x 2 18 = bits = 0.4 Mbytes  Για βίντεο, συνήθως έχουμε 30 πλαίσια (καρέ εικόνας) να μεταδίδονται ανά δευτερόλεπτο. Χρησιμοποιώντας μια τεχνική για μείωση των αναγκών σε bandwidth (Πεπλεγμένη Σάρωση 2:1 - Interlaced Scanning 2:1), μια κινούμενη γκρι εικόνα με τις παραπάνω διαστάσεις και επίπεδα φωτεινότητας απαιτεί περίπου 7.5 Mbytes για 1 δευτερόλεπτο βίντεο  Για μια έγχρωμη ταινία 2 ωρών χρειάζονται περίπου Mbytes. Η ποσότητα αυτή είναι υπερβολική. Για αυτό χρειάζονται τεχνικές μείωσης των αναγκών σε αποθηκευτικό χώρο και bandwidth  Συμπίεση (θα τη δούμε σε άλλα κεφάλαια)

43 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 43 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (2/4)  Τα συστήματα ΨΕΕ κατά κανόνα χρησιμοποιούν Καρτεσιανή (ορθογώνια) δειγματοληψία. Δηλαδή οι εικόνες αναπαριστούνται ως πίνακες με σειρές και στήλες. Τα pixels δεικτοδοτούνται με βάση τον αριθμό στήλης και γραμμής όπου βρίσκονται  Γιατί; Για απλοποίηση των αλγορίθμων  Εντούτοις, η «δειγματοληψία» στον αμφιβληστροειδή χιτώνα του ανθρώπινου ματιού προσεγγίζεται περισσότερο από εξαγωνική δειγματοληψία, όπου τα pixels είναι πιο συμπαγή μεταξύ τους  Εξαγωνικές εικόνες μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως πίνακες με σειρές και στήλες, αλλά οι άξονες δεν είναι ορθογώνιοι  Οι εξαγωνικές εικόνες έχουν πλεονεκτήματα: –Δεν υπάρχει αμφιλεγόμενη διασύνδεση (θα το δούμε στην επόμενη διαφάνεια) –Είναι ευκολότερη η υλοποίηση κυκλικά συμμετρικών τελεστών

44 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 44 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (3/4)  Παράδοξα Σύνδεσης (Connectivity Paradoxes)  Σύνδεση: αφορά τον τρόπο με τον οποίο αποφασίζουμε κατά πόσον ένα pixel είναι ενωμένο με κάποιο άλλο.  Τα Παράδοξα Σύνδεσης συχνά συγχύζουν αλγόριθμους οι οποίοι χρησιμοποιούν περιγράμματα.  Πως αποφασίζουμε αν ένα pixel είναι ενωμένο με κάποια άλλα; Δύο τρόποι:  4 – Connectivity: το pixel συνδέεται μόνο με τα 4 γειτονικά του pixel πάνω, κάτω, αριστερά και δεξιά.  8 – Connectivity: το pixel συνδέεται με τα 8 γειτονικά pixel που το περιτριγυρίζουν.

45 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 45 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (4/4)  Προβλήματα που Δημιουργούνται:  Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να διεξάγουμε κάποια λειτουργία στον διπλανό κύκλο βασιζόμενοι στο περίγραμμά του.  Χρησιμοποιώντας 4 – Connectivity: Η λειτουργία θα θεωρήσει τον κύκλο ως 4 ασύνδετα τμήματα  Χρησιμοποιώντας 8 – Connectivity: Τα μπλε pixels θεωρούνται συνδεδεμένα, όμως το ίδιο και τα άσπρα: επικάλυψη μεταξύ συνδεδεμένων τμημάτων !  Πιθανή λύση: 4-Connectivity στο φόντο, 8-Connectivity στον κύκλο 4-Connectivity8-Connectivity Η εξαγωνική δειγματοληψία δεν υποφέρει από τέτοιου είδους ασάφειες:

46 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 46 Χρώμα  Μια έγχρωμη εικόνα αναπαρίσταται ως διάνυσμα τιμών. Σε κάθε pixel έχουμε τρεις τιμές φωτεινότητας: Κόκκινο, Πράσινο και Μπλε.  Αυτό συνήθως εκφράζεται ως τρεις διαφορετικές εικόνες: μια για το Κόκκινο, μια για το Πράσινο και μια για το Μπλε χρώμα. Η αναπαράσταση αυτή ονομάζεται RGB. Υπάρχουν και άλλες, όπως η HSL και η CMYK. = + + Έγχρωμη Εικόνα  Μπλε Εικόνα  Πράσινη Εικόνα  Κόκκινη Εικόνα (Στις παραπάνω τρεις εικόνες το λευκό χρώμα είναι ψηλή φωτεινότητα, και το μαύρο χαμηλή)  Συνήθως επεξεργαζόμαστε την εικόνα συνολικής φωτεινότητας (intensity image) I = R + G + B.  Οι περισσότεροι αλγόριθμοι οι οποίοι χρησιμοποιούν χρώμα, επεξεργάζονται τις RGB εικόνες ξεχωριστά ως εικόνες τόνων γκρίζου και έπειτα τις προσθέτουν για να πάρουν το τελικό αποτέλεσμα.

47 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 47 Κάρτες Συλλογής Πλαισίων (Frame Grab Boards)  Υπάρχουν κάρτες συλλογής πλαισίων για μικρούς και μεγάλους υπολογιστές και για διαφορετικά περιβάλλοντα εργασίας  Κάρτες με FIFO Buffers – συνήθως 1 μέχρι 8 Kb μνήμη  Με ενσωματωμένη μνήμη – αρκετά Megabytes (Matrox Meteor II: 4MB SGRAM)  Τέτοιες κάρτες συνήθως υποστηρίζουν:  Είσοδο βίντεο RS-170  Συνεχής ψηφιοποίηση εικόνας στα 30 πλαίσια ανά δευτερόλεπτο  Επαναδιαμόρφωση ψηφιακού βίντεο για προβολή σε οθόνη  Αποθήκευση εικόνων σε ενσωματωμένη στην συσκευή μνήμη (on-board memory)  Διεξαγωγή ορισμένων βασικών λειτουργιών επεξεργασίας εικόνας  Μερικές εταιρείες:  Matrox (http://www.matrox.com/)http://www.matrox.com/  Imaging Technology, Inc.  Datacube  Data Translation

48 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 48 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (1/4)  Όπως είπαμε, μια εικόνα αποθηκεύεται συνήθως ως ένας πίνακας από ακέραιους αριθμούς  Χρήση πινάκων για αναπαράσταση ψηφιακής εικόνας  Έστω τετραγωνικός πίνακας εικόνας I = [ I(i, j); 0 ≤ i, j ≤ N-1 ] Ο δείκτης i αντιπροσωπεύει αριθμό γραμμής στον πίνακα Ο δείκτης j αντιπροσωπεύει αριθμό στήλης στον πίνακα  Αυτό είναι σε αντίθεση με την συνήθη σημειογραφία των μαθηματικών, όπου χρησιμοποιούμε συνήθως την σύμβαση I(x,y), με το x να υποδηλώνει τον αριθμό στήλης και το y να υποδηλώνει τον αριθμό γραμμής.  Το I(i,j) αντιπροσωπεύει την τιμή του pixel στην γραμμή i, στήλη j

49 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 49 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (2/4)  Μορφή Πίνακα Εικόνας Διαστάσεων NxN I =  Πίνακας Εικόνας Διαστάσεων NxN με Τιμές Pixel

50 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 50 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (3/4)  Ο αριθμός των Bits ανά pixel ο οποίος χρησιμοποιείται καθορίζει το πλήθος χρωμάτων (ή φωτεινότητας) τα οποία μπορεί να πάρει.  4 bits: εικόνες 16 χρωμάτων  8 bits: εικόνες 256 χρωμάτων ή εικόνες τόνων γκρίζου  16, 24, 32 bits: εικόνες πραγματικού χρώματος κλπ  2 bits ανά pixel: δυαδικές εικόνες (binary images)  Περιέχουν μόνο δύο χρώματα (συνήθως άσπρο και μαύρο)  Θα μας απασχολήσουν περισσότερο στο κεφάλαιο 2.

51 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 51 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (4/4) Μορφή πίνακα δυαδικής εικόνας (δεξιά) Εναλλακτικός τρόπος απεικόνισης πίνακα δυαδικής εικόνας (αριστερά)

52 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 52 Παρατηρήσεις  Οι εικόνες φωτεινότητας τόνων γκρίζου (grey-level images) τυγχάνουν χειρισμού ως πίνακες ακεραίων στους οποίους διεξάγονται αριθμητικές λειτουργίες  Οι δυαδικές εικόνες τυγχάνουν χειρισμού (συνήθως) ως λογικοί πίνακες πάνω στους οποίους εφαρμόζονται λογικοί τελεστές και λειτουργίες  Στις σημειώσεις του μαθήματος ακολουθείται η σύμβαση: –Λογική τιμή 1 = Μαύρο –Λογική τιμή 0 = Άσπρο  Στο MATLAB και στις πλείστες εφαρμογές ΨΕΕ χρησιμοποιείται το ανάποδο: 1 = Άσπρο, 0 = Μαύρο. –Αυτό μπορεί να αλλάξει με την κατάλληλη εντολή

53 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 53 Τέλος Πρώτου Κεφαλαίου 1. Εισαγωγή 2. Τύποι Εικόνων 3. Γεωμετρία Απεικόνισης 4. Όργανα Απεικόνισης 5. Απόκτηση Εικόνας 6. Αναπαράσταση Εικόνας

54 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 54 ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή

55 55 Δυαδική Επεξεργασία Εικόνας  Δημιουργία Δυαδικών Εικόνων  Λογικές Λειτουργίες  Χρωματισμός Μερών  Δυαδική Μορφολογία  Συμπίεση Δυαδικής Εικόνας Κεφάλαιο 2

56 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 56 Δυαδικές Εικόνες (1/4)  Μια ψηφιακή εικόνα είναι ένας πίνακας από αριθμούς: δείγματα από τη φωτεινότητα της εικόνας  Κάθε επίπεδο φωτεινότητας κβαντοποιείται: του δίνεται ένας αριθμός από κάποιο πεπερασμένο σύνολο αριθμών (γενικά ακέραιοι αριθμοί με δείκτες από 0 μέχρι K-1)

57 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 57 Πίνακας εικόνας 10 x 10 γκρι-επιπέδων φωτεινότητας Δυαδικές Εικόνες (2/4)

58 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 58  Υπάρχουν K = 2^Β πιθανά επίπεδα φωτεινότητας  Κάθε στίγμα αντιπροσωπεύεται από B bits  Οι δυαδικές εικόνες έχουν B = 1 Μια 10 x 10 δυαδική εικόνα Δυαδικές Εικόνες (3/4)

59 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 59  Πως εμφανίζονται οι δυαδικές εικόνες; Δυαδικό = δύο-τιμές ‘1’ = μαύρο ‘0’ = άσπρο Οι λογικές τιμές 0 ή 1 συνήθως δείχνουν την απουσία ή την παρουσία σε κάποιο χαρακτηριστικό της εικόνας σε μια εικόνα γκρι-επιπέδων φωτεινότητας:  Σημεία από υψηλή ή χαμηλή ένταση  Σημεία όπου ένα αντικείμενο είναι παρόν ή απόν  Αφηρημένα χαρακτηριστικά όπως ομαλότητα σε αντίθεση με μη ομαλότητα Δυαδικές Εικόνες (4/4)

60 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 60 Δημιουργία Δυαδικών Εικόνων (1/2) Είσοδος με Βάση Πινακίδα  Οι δυαδικές εικόνες μπορούν να παραχθούν από ένα απλό όργανο αίσθησης με δυαδική έξοδο  Απλούστερο παράδειγμα: πινακίδα, resistive pad με πέννα φωτός  Όλα τα στίγματα αρχικά παίρνουν την τιμή ‘0’ I = [I(i, j)], I(i, j) = '0' για όλα (i, j) = (γραμμές,στήλες)

61 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 61 Δημιουργία Δυαδικών Εικόνων (2/2)  Όταν πίεση η φως πέφτει πάνω στο (i0, j0), η εικόνα παίρνει την τιμή '1': I(i0, j0) = ‘1’  Αυτό συνεχίζεται μέχρι ο χρήστης τελειώσει το σχέδιο  Χρήσιμο για σχέδια μηχανικών, καταχώρηση χειρόγραφων χαρακτήρων, κλπ.

62 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 62 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (1/24)  Συνήθως μια δυαδική εικόνα δημιουργείται από μια γκρι-επιπέδων εικόνα  Πλεονεκτήματα  B-fold μείωση στον χώρο αποθήκευσης  Απλή αφαιρετικότητα των πληροφοριών  Γρήγορη επεξεργασία – λογικές λειτουργίες  Μπορεί να συμπιεστεί περισσότερο

63 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 63 Απλή Κατωφλίωση  Η απλούστερη λειτουργία στην επεξεργασία εικόνας  Μια ακραία μορφή κβαντοποίησης γκρι-επιπέδων φωτεινότητας  Ορίζουμε ένα ακέραιο κατώφλι T (στην περιοχή της γκρι-κλίμακας επιπέδων φωτεινότητας)  Συγκρίνουμε την ένταση κάθε στίγματος με το T Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (2/24)

64 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 64 Κατωφλίωση  Ας υποθέσουμε ότι μια γκρι-επιπέδων εικόνα I έχει K γκρι-επίπεδα φωτεινότητας: 0, 1, 2,...., K-1  Επιλέγουμε το κατώφλι T T ανήκει { 0, 1, 2,...., K-1}  Συγκρίνουμε κάθε επίπεδο φωτεινότητας στην γκρι- επιπέδων εικόνα I με το T Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (3/24)

65 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 65  Ορίζουμε μια νέα δυαδική εικόνα J ως ακολούθως J(i, j) = '0' εάν I(i, j) ≥ T J(i, j) = '1' εάν I(i, j) < T  Μια νέα δυαδική εικόνα J δημιουργείται από την γκρι- επιπέδων εικόνα I Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (4/24)

66 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 66 Επιλογή Κατωφλίου  Η ποιότητα της δυαδικής εικόνας J που παίρνουμε από την κατωφλίωση της εικόνας I, εξαρτάτε πάρα πολύ από το κατώφλι T  Πραγματικά είναι πολύ χρήσιμο να παρατηρήσουμε τα αποτελέσματα κατωφλίωσης μιας εικόνας σε πολλά διαφορετικά επίπεδα σε σειρά  Διαφορετικά κατώφλια μπορούν να δημιουργήσουν διαφορετικές σημαντικές εικόνες αφαιρετικότητας Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (5/24)

67 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 67  Μερικές εικόνες δεν δίνουν ενδιαφέροντα αποτέλεσματα όταν κατωφλιώνονται με οποιοδήποτε Τ  Επομένως: Πως αποφασίζει κάποιος αν είναι δυνατή η κατωφλίωση;  Πως αποφασίζει κάποιος για το κατώφλι Τ;  Παράδειγμα κατωφλίωσης στο MATLAB I = imread(‘exampleim.tif’); b = im2bw(I,map,0.4); figure1,imshow(I,map); figure2, imshow(b); Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (6/24)

68 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 68 Ιστόγραμμα Γκρι-Επιπέδων Εικόνας  Το Ιστόγραμμα HI της εικόνας Ι είναι μια γραφική παράσταση κάθε πεδίου φωτεινότητας στην εικόνα Ι  Το HI είναι μια μονοδιάστατη συνάρτηση με πεδίο ορισμού 0,..., K-1  HI(k) = n αν I περιέχει ακριβώς n φορές το επίπεδο φωτεινότητας k, για κάθε k = 0,... K-1 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (7/24)

69 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 69 Εμφάνιση Ιστογράμματος  Η εμφάνιση του ιστογράμματος φανερώνει πολλά στοιχεία για την εικόνα Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (8/24)

70 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 70  Παράδειγμα ιστογράμματος σκοτεινής εικόνας Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (9/24)

71 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 71  Αυτά μπορεί να είναι τα ιστογράμματα από μια υποφωτισμένη - σκοτεινή και μια υπερφωτισμένη - φωτεινή εικόνα, αντίστοιχα Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (10/24)

72 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 72  Αυτό το ιστόγραμμα δείχνει καλύτερη χρήση της περιοχής της γκρι-κλίμακας πεδίων φωτεινότητας Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (11/24)

73 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 73  Παράδειγμα ιστογράμματος καλής κατανομής Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (12/24)

74 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 74 Ιστόγραμμα Δύο Κατανομών  Η κατωφλίωση συνήθως δουλεύει καλύτερα όταν υπάρχουν σκούρα αντικείμενα σε φωτεινό φόντο  Ή όταν υπάρχουν φωτεινά αντικείμενα σε ένα σκοτεινό φόντο  Οι εικόνες αυτού του τύπου τείνουν να έχουν ιστογράμματα με πολλές διακριτές κορυφές  Αν οι κορυφές είναι καλά χωρισμένες, η επιλογή του κατωφλίου είναι εύκολη Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (13/24)

75 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 75 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (14/24)

76 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 76  Παράδειγμα ιστογράμματος κακώς διαχωρισμένου Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (15/24)

77 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 77  Το κατώφλι T καθορίζεται κάπου μεταξύ των κορυφών. Μπορεί να είναι μια διαδικασία προσπάθειας και λάθους Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (16/24)

78 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 78  Παράδειγμα ιστογράμματος καλά διαχωρισμένου Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (17/24)

79 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 79 Επιλογή Κατωφλίου από το Ιστόγραμμα  Τοποθετώντας το κατώφλι T μεταξύ κορυφών μπορεί να οδηγήσει σε επιθυμητά αποτελέσματα  Ακριβώς που μεταξύ μπορεί να είναι δύσκολο να βρεθεί Κατωφλίωση Γκρι-Επιπέδων Φωτεινότητας (18/24)

80 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 80  Ένα ιστόγραμμα εικόνας μπορεί να περιέχει πολλές κορυφές. Τοποθετώντας το κατώφλι σε διαφορετικά σημεία δημιουργεί πολύ διαφορετικά αποτελέσματα. Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (19/24)

81 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 81  Το ιστόγραμμα μπορεί να είναι ‘επίπεδο’ κάνοντας την επιλογή κατωφλίου δύσκολη Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (20/24)

82 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 82 Συζήτηση για τους τύπους Ιστογράμματος  Θα επιστρέψουμε στο ιστόγραμμα μετά, μέσα στα πλαίσια των ποσοτικών ιδιοτήτων των γκρι-πεδίων φωτεινότητας.  Τα ιστογράμματα που περιέχουν δύο κατανομές συχνά δείχνουν αντικείμενα σε φόντο με σημαντική διαφορά στην μέση φωτεινότητα.  Τα ιστογράμματα που περιέχουν δύο περιοχές κατανομών κατωφλιώνονται πολύ εύκολα. Κατωφλίωση Γκρι-Επιπέδων Φωτεινότητας (21/24)

83 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 83  Το αποτέλεσμα της κατωφλίωσης ενός ιστογράμματος που περιέχει δύο κατανομές είναι ιδανικά, μια απλή δυαδική εικόνα που δείχνει τον διαχωρισμό του αντικειμένου με το φόντο  Παράδειγμα εικόνες από:  Εκτυπωτή  Κύτταρα αίματος σε διάλυμα  Μηχανικά εργαλεία σε μια γραμμή συναρμολόγησης Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (22/24)

84 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 84  Τα ιστογράμματα με πολλές περιοχές διαφορετικών κατανομών δημιουργούνται συχνά όταν η εικόνα περιέχει διαφορετικά αντικείμενα από διαφορετικούς μέσους όρους φωτεινότητας σε ένα ομογενές φόντο.  Τα επίπεδα ιστογράμματα συνήθως δηλώνουν πιο πολύπλοκες εικόνες, περιέχοντας λεπτομέρειες, με μη- ομοιογενές φόντο, κ.λ.π Κατωφλίωση Γκρι-Επιπέδων Φωτεινότητας (23/24)

85 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 85  Η κατωφλίωση σπάνια δίνει καλά αποτελέσματα. Συνήθως, μερικοί τύποι διόρθωσης μέρους της εικόνας πρέπει να χρησιμοποιηθούν  Θα μελετήσουμε τεχνικές διόρθωσης μέρους της εικόνας αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (24/24)

86 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 86 Λογικές Λειτουργίες Σε Δυαδικές Εικόνες Για τις δυαδικές εικόνες που θα χρησιμοποιήσουμε δεν χρειάζεται να δείξουμε την ψηφιοποίηση τους σε στίγματα.

87 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 87 Βασικές Λογικές Λειτουργίες (1/5) Λογικό Συμπλήρωμα: NOT(X1) = complement of X1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ

88 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 88 Λογικό ΚΑΙ: AND (X1, X2) = X1 Λ X2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ Βασικές Λογικές Λειτουργίες (2/5)

89 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 89 Λογικό Ή: OR (X1, X2) = X1 V X2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ Βασικές Λογικές Λειτουργίες (3/5)

90 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 90 Δυαδική Πλειοψηφία: (περιττός # μεταβλητών μόνο) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ Βασικές Λογικές Λειτουργίες (4/5)

91 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 91 Ιδιότητες Άλγεβρας Boole:  NOT [NOT(X)] = X  X1 Λ X2 Λ X3 = (X1 Λ X2) Λ X3 = X1 Λ (X2 Λ X3)  X1VX2VX3 = (X1VX2)VX3 = X1V(X2VX3)  X1 Λ X2 = X2 Λ X1  X1VX2 = X2VX1  (X1 Λ X2)VX3 = (X1VX3) Λ (X2VX3)  (X1VX2) Λ X3 = (X1 Λ X3)V(X2 Λ X3)  NOT(X1 Λ X2) = NOT(X1)VNOT(X2)  NOT(X1VX2) = NOT(X1) Λ NOT(X2) Βασικές Λογικές Λειτουργίες (5/5)

92 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 92 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (1/9) Το συμπλήρωμα μιας εικόνας: J1 = NOT( I1),if J1(i, j) = NOT[ I1(i, j) ] for all (i, j) Αυτό αντιστρέφει την αντίθεση - δημιουργεί ένα δυαδικό αρνητικό.

93 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 93 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (2/9) Η τομή δυο εικόνων: J2 = AND(I1, I2) = I1 Λ I2, if J2(i, j) = AND[ I1(i, j), I2(i, j) ] for all (i, j) Δείχνει την επικάλυψη των ΜΑΥΡΩΝ περιοχών στις εικόνες I1 και I2.

94 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 94 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (3/9) Η ένωση δυο εικόνων: J3 = OR(I1, I2) = I1 V I2, if J3(i, j) = OR[ I1(i, j), I2(i, j) ] for all (i, j) Δείχνει την επικάλυψη των ΛΕΥΚΩΝ περιοχών στις εικόνες I1 και I2.

95 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 95 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (4/9) Παράδειγμα: Μια γραμμή-συναρμολόγησης ελεγχόμενη από σύστημα εικόνας. Παρόμοιο με πολλά συστήματα της βιομηχανίας

96 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 96 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (5/9) Στόχος: Αριθμητική σύγκριση της αποθηκευμένης εικόνας Imodel και της εικόνας λήψης I. Παρατηρούμε ότι το αντικείμενο στην εικόνα I έχει μετακινηθεί πολύ λίγο.

97 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 97 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (6/9) Λογικό ΚΑΙ: Όπως φαίνεται και στο πιο κάτω σχήμα το λογικό ΚΑΙ θα μας δώσει την επικάλυψη:

98 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 98 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (7/9) Μια μέτρηση της μετακίνησης δίνεται από το exclusive or (XOR). XOR(I,Imodel)= OR{AND[Imodel,NOT(I)],AND[NOT(Imodel), I ]}

99 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 99 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (8/9) XOR(I, Imodel) Το XOR δείχνει που είναι το λάθος της μετακίνησης.

100 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 100 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (9/9) Για να αποφασίσουμε κατά πόσο υπάρχει πρόβλημα, ή ελάττωμα, έχουμε το λόγο ή την ποσοστιαία αναλογία: PERCENT = [#μαύρων στιγμάτων XOR(I, Imodel)] / [#άσπρων στιγμάτων Imodel] Αυτό το ποσοστό μπορεί να συγκριθεί με μια προ- υπολογισμένη ανοχή, έστω P, στο σφάλμα της εκατοστιαίας αναλογίας. Αν Percent > P, τότε το εξάρτημα μπορεί είτε να είναι ελαττωματικό, είτε λανθασμένα τοποθετημένο.

101 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 101 Blob Coloring Χρωματισμός Μερών Είναι μια απλή τεχνική για ταξινόμηση κάποιας περιοχής της εικόνας, καθώς επίσης και διόρθωσης της. Κίνητρο: Η κατωφλίωση εικόνων γκρι δημιουργεί συνήθως μια ατελή δυαδική εικόνα, όπου υπάρχουν:  Άσχετα μέρη ή οπές λόγο θορύβου.  Άσχετα μέρη από κατωφλίωση αντικειμένων μικρού ενδιαφέροντος.  Μη ομαλή ανάκλαση επιφάνειας αντικειμένου.

102 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 102 Χρωματισμός Μερών Συνήθως είναι επιθυμητό να εξάγουμε ένα μικρό αριθμό αντικειμένων ή ένα μόνο αντικείμενο μετά την κατωφλίωση.

103 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 103 Χρωματισμός Μερών (1/2) Αλγόριθμος: Έστω δυαδική εικόνα Ι.  Ορίζουμε σαν μια έγχρωμη περιοχή, τον πίνακα R: R(i, j) = αριθμός περιοχής από στίγματα I(i, j)  Αρχικά θέτουμε R = 0 και k = 1, όπου k = μετρητής αριθμού περιοχής  Στη συνέχεια θα σαρώσουμε την εικόνα μας από αριστερά προς δεξιά και από πάνω προς τα κάτω, και θα υπολογίσουμε τα εξής:

104 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 104 Χρωματισμός Μερών (2/2)  if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 0 and I(i-1, j) = 0 then set R(i, j) = k and k = k + 1;  if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 0 and I(i-1, j) = 1 then set R(i, j) = R(i-1, j);  if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 1 and I(i-1, j) = 0 then set R(i, j) = R(i, j-1);  if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 1 and I(i-1, j) = 1 then set R(i, j) = R(i-1, j); if R(i, j-1) ≠ R(i-1, j) then set R(i, j-1), R(i-1, j) as equals Ενημέρωση ολων των περιοχών που είναι ισοδύναμες

105 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 105 Χρωματισμός Μερών Παράδειγμα Από το παράδειγμα αυτό βλέπουμε ότι το χρώμα του μεγαλύτερου μέρους είναι το 2.

106 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 106 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (1/5)  Θέτουμε m = "χρώμα" της μεγαλύτερης περιοχής  Ενώ σαρώνουμε την εικόνα από αριστερά προς δεξιά και από πάνω προς τα κάτω υπολογίζουμε if I( i, j) = 1 and R( i, j) ≠ m then set I( i, j) = 0;

107 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 107 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (2/5) Μετά από την αφαίρεση των ασήμαντων περιοχών! Η διαδικασία δεν έχει τελειώσει ακόμα! Για να πάρουμε ένα συνεκτικό, συνδεδεμένο αντικείμενο επαναλαμβάνουμε την διαδικασία στα ΛΕΥΚΑ στίγματα.

108 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 108 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (3/5) Υπολογίζουμε το συμπλήρωμα του τελευταίου αποτελέσματος συμπλήρωμα

109 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 109 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (4/5)  Τότε επαναλαμβάνουμε όλα τα ίδια βήματα: ‘Χρώμα’ του μεγαλύτερου μέρους: 1

110 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 110 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (5/5) Συμπλήρωμα Απλό και αποτελεσματικό, αλλά δεν τα διορθώνει όλα! Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών

111 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 111 Δυαδική Μορφολογία (1/2)  Η πιο δυνατή τάξη από δυαδικές λειτουργίες εικόνων ονομάζεται μαθηματική μορφολογία  Οι μορφολογικές λειτουργίες επηρεάζουν το σχήμα των αντικειμένων και περιοχών στις δυαδικές εικόνες.  Όλη η επεξεργασία γίνεται σε τοπική βάση, δηλαδή περιοχές η μορφές αντικειμένων επηρεάζονται με τοπικό τρόπο.

112 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 112 Δυαδική Μορφολογία (2/2) Μορφολογικές λειτουργίες:  Μεγέθυνση - Διαστολή αντικειμένων (Dilate)  Σμίκρυνση – Συστολή αντικειμένων (Erode)  Ομαλοποίηση ορίων αντικειμένων και περιορισμός μικρών περιοχών η οπών  Γέμισμα κενών και περιορισμός ‘χερσονήσων’ Όλα κατορθώνονται χρησιμοποιώντας τοπικές λογικές λειτουργίες!

113 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 113 Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα Structuring Elements or Windows  Ένα δομικό στοιχείο είναι μια γεωμετρική συσχέτιση μεταξύ στιγμάτων.  Μερικά παραδείγματα δομικών στοιχείων :

114 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 114  Οι μορφολογικές λειτουργίες ορίζονται από την μετακίνηση ενός παραθύρου πάνω στη συγκεκριμένη εικόνα, με τέτοιο τρόπο ώστε το παράθυρο να κεντράρεται πάνω σε κάθε ένα από τα στίγματα της  Συνήθως αυτό γίνεται σειρά προς σειρά, στήλη προς στήλη  Το δομικό στοιχείο συχνά αναφέρεται ως κινητό παράθυρο. Δυαδική Μορφολογία Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα

115 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 115  Όταν το δομικό στοιχείο κεντραριστεί πάνω σε μια περιοχή της εικόνας, μια λογική λειτουργία εκτελείται στα στίγματα που καλύπτει το δομικό στοιχείο, οδηγώντας σε μια δυαδική έξοδο πάνω στο κεντρικό στίγμα που καλύπτει το παράθυρο  Συνήθως τα δομικά στοιχεία ορίζονται να έχουν κυκλικά σχήματα, αφού είναι επιθυμητό ότι αντιδρούν με τον ίδιο τρόπο με ένα αντικείμενο ακόμα και αν το αντικείμενο περιστραφεί. Δυαδική Μορφολογία Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα

116 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 116 Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα (1/2) => => => => => => => ...

117 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 117 Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα (2/2) => ... Μετά από κάποια ενδιάμεσα βήματα =>=> => ......

118 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 118 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (1/4)  Χρησιμοποιείται επίσης αργότερα για επεξεργασία εικόνων γκρι και βίντεο.  Ένα παράθυρο είναι μια γεωμετρική συσχέτιση η οποία δημιουργεί μια σειρά από μικρογραφικές εικόνες καθώς περνά πάνω από την εικόνα διαδοχικά σειρά προς σειρά, στήλη προς στήλη (Ακολουθιακή Υλοποίηση).  Στην παράλληλη υλοποίηση, ένας μεγάλος αριθμός από παράθυρα θα καλύπτουν την εικόνα συγχρόνως.

119 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 119 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (2/4) Μερικά τυπικά Μονοδιάστατα Παράθυρα:  ROW(2M+1) και COL(2M+1).  Αυτά λειτουργούν σε Σειρές και Στήλες Μόνο  Ένα παράθυρο θα καλύπτει πάντα ένα περιττό αριθμό στιγμάτων 2M+1, διαγώνια συμμετρικά στίγματα με το κεντρικό στίγμα  Οι λειτουργίες φίλτρου ορίζονται συμμετρικά με αυτό τον τρόπο.

120 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 120 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (3/4) Μερικά τυπικά Δυσδιάστατα Παράθυρα:

121 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 121 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (4/4) Τυπικά Δυσδιάστατα Παράθυρα SQUARE(2M+1), CROSS(2M+1), CIRC(2M+1)  Αυτά είναι τα πιο κοινά σχήματα παραθύρων.  Και πάλι, 2M+1 δείχνει τον περιττό αριθμό στιγμάτων που καλύπτονται από το παράθυρο.  Μπορεί να γενικοποιηθεί σε παράθυρα οποιουδήποτε-μεγέθους που να καλύπτει 2M+1 στίγματα.

122 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 122 Συμβολισμός Παραθύρων (1/3) Ένα παράθυρο είναι:  Ένας τρόπος συγκέντρωσης τοπικών φωτεινοτήτων εικόνας.  Ένα σύνολο από μετακινήσεις συντεταγμένων Bi = (mi, ni) με κέντρο το (0,0):  B = {B1,..., B2M+1} = {(m1, n1),..., (m2M+1,n2M+1)}

123 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 123 Συμβολισμός Παραθύρων (2/3) Παραδείγματα Μονοδιάστατων Παραθύρων Β:  B = ROW(2M+1)= {(0, -M),..., (0, M)} = {(0, n); n = -M,..., M} π.χ B = ROW(3)= {(0, -1), (0, 0), (0, 1)}  B = COL(2M+1)= {(-M, 0),..., (M, 0)} = {(m, 0); m = -M,..., M} π.χ B = COL(3)= {(-1, 0), (0, 0), (1, 0)}

124 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 124 Συμβολισμός Παραθύρων (3/3) Παραδείγματα Δυσδιάστατων Παραθύρων Β:  B = SQUARE (9)= {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)}  B = CROSS(2M+1)= ROW(2M+1) και COL(2M+1) πχ B = CROSS(5)= { (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0) }

125 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 125 Σύνολο Παραθύρων (1/3) Δεδομένης μιας εικόνας Ι και ενός παραθύρου Β ορίζουμε το σύνολο παραθύρων στις συντεταγμένες εικόνας (i, j) ως: B.I( i, j ) = {I( I + m, j + n); όπου (m, n) Î B και ( i, j ) Î [0,n-1] } το οποίο είναι το σύνολο των στιγμάτων εικόνας που καλύπτεται από το παράθυρο όταν έχει κέντρο τις συντεταγμένες (i, j).

126 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 126 Σύνολο Παραθύρων (2/3) Παραδείγματα 1D:  B = ROW(3): B˚I( i, j ) = {I( i, j-1 ), I( i, j ), I( i, j+1 )}  B = COL(3): B˚I( i, j ) = {I( i-1, j ), I( i, j ), I( i+1, j )}

127 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 127 Σύνολο Παραθύρων (3/3) Παραδείγματα 2D:  B = SQUARE (9): B.I( i, j ) = {I( i-1, j-1 ), I( i-1, j ), I( i-1, j+1 ), I( i, j-1 ), I( i, j ), I( i, j+1 ), I( i+1, j-1 ), I( i+1, j ), I( i+1, j+1 )}  B = CROSS(5): B.I(i, j) = { I( i-1, j ), I( i, j-1 ), I( i, j ), I( i, j+1 ), I( i+1, j ) }

128 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 128 Γενικά Δυαδικά Φίλτρα  Δείχνουμε τις δυαδικές λειτουργίες G στο σύνολο παραθύρου B.I( i, j ) ως εξής: J( i, j ) = G {B.I( i, j )} = G{I( I + m, j + n ); όπου (m, n) Î B και ( i, j ) Î [0,n-1] }  Εφαρμόζοντας αυτήν σε κάθε στίγμα της εικόνας, δίνει μια φιλτραρισμένη εικόνα J = G[I, B] = [J( i, j ); 0 ≤ i, j ≤ N-1]

129 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 129 Επεξεργασία Στα Όρια Της Εικόνας Το παράθυρο καλύπτει ‘κενό χώρο’ Συνήθως γεμίζουμε τους κενούς χώρους του παραθύρου με την τιμή του κοντινότερου στίγματος της εικόνας. Αυτό λέγεται Επανάληψη.

130 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 130 Διαστολή, Συστολή Και Μέση Τιμή  Διαστολή - Καλείται έτσι επειδή αυτή η λειτουργία μεγαλώνει το μέγεθος των ΜΑΥΡΩΝ αντικειμένων στην δυαδική εικόνα.  Συστολή - Καλείται έτσι επειδή αυτή η λειτουργία μειώνει το μέγεθος των ΜΑΥΡΩΝ αντικειμένων στην δυαδική εικόνα.  Μέση τιμή - Στην πραγματικότητα πλειοψηφία. Μια ειδική περίπτωση του γκρι-επιπέδου μεσαίου φίλτρου. Κατέχει ποιοτικές ιδιότητες και των δυο, της διαστολής και της συστολής, αλλά γενικά δεν αλλάζει το μέγεθος του αντικειμένου η του φόντου.

131 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 131 Διαστολή, Συστολή Και Μέση Τιμή  Διαστολή – Δίδεται ένα παράθυρο Β και μια δυαδική εικόνα Ι  J1 = DILATE (I, B) αν J1(i, j) = OR {B˚I(i, j)} = OR {I(i-m, j-n); (m, n)  B}  Συστολή – Δίδεται ένα παράθυρο Β και μια δυαδική εικόνα Ι  J2 = ERODE (I, B) αν J2(i, j) = AND {B˚I(i, j)} = AND {I(i-m, j-n); (m, n)  B}  Μέση τιμή – Δίδεται ένα παράθυρο Β και μια δυαδική εικόνα Ι  J3 = MEDIAN (I, B) αν J3(i, j) = MAJ {B˚I(i, j)} = MAJ {I(i-m, j-n); (m, n)  B}

132 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 132 Διαστολή Παράδειγμα 1.

133 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 133 Διαστολή Παράδειγμα 2.

134 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 134 Συστολή Παράδειγμα 1.

135 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 135 Συστολή Παράδειγμα 2.

136 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 136 Μέση Τιμή Παράδειγμα 1. Το φίλτρο μεσαίου αφαίρεσε το μικρό αντικείμενο Α και την μικρή οπή Β, αλλά δεν άλλαξε το όριο (μέγεθος) της μεγαλύτερης περιοχής C.

137 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 137 Ποιοτικές Ιδιότητες Διαστολής 1. Αφαιρεί τις πολύ-μικρού μεγέθους οπές του αντικειμένου 2. Η διαστολή επίσης αφαιρεί πολύ-στενά κενά ή κόλπους

138 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 138 Ποιοτικές Ιδιότητες Διαστολής 3. Η διαστολή του ΜΑΥΡΟΥ μέρους της εικόνας είναι το ίδιο με την συστολή του ΛΕΥΚΟΥ μέρους!

139 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 139 Ποιοτικές Ιδιότητες Συστολής 1. Αφαιρεί αντικείμενα πολύ - μικρού μεγέθους 2. Η συστολή αφαιρεί επίσης πολύ-στενά ‘ακρωτήρια’

140 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 140 Ποιοτικές Ιδιότητες Συστολής 3. Η συστολή του ΜΑΥΡΟΥ μέρους της εικόνας είναι το ίδιο με την διαστολή του ΛΕΥΚΟΥ μέρους!

141 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 141 Συσχέτιση Συστολής Και Διαστολής  Η συστολή και η διαστολή είναι στην πραγματικότητα η ίδια λειτουργία – έχουν δυική (dual) λειτουργία αναφορικά με το συμπλήρωμα (complementation)  Η συστολή και η διαστολή είναι μόνο αντίστροφες κατά προσέγγιση η μια της άλλης  Η διαστολή μιας ήδη υπό συστολή εικόνας, πολύ σπάνια οδηγεί στην αρχική εικόνα. Κατ’ ακρίβεια η διαστολή δεν μπορεί να  Ξαναδημιουργήσει τις χερσονήσους που αφαίρεσε η συστολή,  Ξαναδημιουργεί μικρά αντικείμενα που αφαίρεσε η συστολή.

142 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 142 Συσχέτιση Συστολής και Διαστολής  Η συστολή μιας ήδη υπό διαστολή εικόνας πολύ σπάνια οδηγεί στην αρχική εικόνα. Κατ΄ ακρίβεια, η συστολή δεν μπορεί να  Αδειάσει οπές που γέμισαν από την διαστολή,  Ξαναδημιουργεί κενά η κόλπους που γέμισαν από την διαστολή.

143 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 143 Ποιοτικές Ιδιότητες Μέσης τιμής 1. Το φίλτρο μεσαίου αφαιρεί και αντικείμενα και οπές πολύ-μικρού μεγέθους 2. Το φίλτρο μεσαίου αφαιρεί κενά (κόλπους) και χερσονήσους πολύ-στενές

144 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 144 Ποιοτικές Ιδιότητες Μέσης τιμής 3. Το φίλτρο μεσαίου γενικά δεν αλλάζει το μέγεθος των αντικειμένων (παρόλο του ότι αλλάζει αυτά) 4. Το φίλτρο μεσαίου είναι η δυική λειτουργία του εαυτού του, αφού MEDIAN [ NOT(I) ] = NOT [ MEDIAN(I) ] 5. Έτσι, το φίλτρο μεσαίου απαλύνει το σχήμα. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε και άλλους μηχανισμούς απάλυνσης σχήματος.

145 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 145 Άνοιγμα-Κλείσιμο και Κλείσιμο-Άνοιγμα  Πολύ αποτελεσματικοί μηχανισμοί που απαλύνουν εικόνες μπορούν να δημιουργηθούν με την επαναλαμβανόμενη χρησιμοποιήσει των λειτουργιών του Ανοίγματος και του Κλεισίματος.  Για μια εικόνα Ι και ένα δομικό στοιχείο Β, ορίζουμε  OPEN-CLOS(I, B) = OPEN [CLOSE (I, B), B]  CLOS-OPEN(I, B) = CLOSE [OPEN (I, B), B]  Αυτές οι λειτουργίες είναι σχετικά όμοιες, όχι όμως μαθηματικά ταυτόσημες.

146 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 146 Open-Close and Close-Open  Και οι δυο αφαιρούν πολύ μικρά στοιχεία χωρίς να επηρεάζουν πολύ το μέγεθος  Και οι δυο είναι παρόμοιες με το φίλτρου μεσαίου όρου, με εξαίρεση το γεγονός απαλύνουν περισσότερο την εικόνα, (για ένα δεδομένο δομικό στοιχείο Β).

147 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 147 Open-Close and Close-Open  Αξιοσημείωτες διαφορές μεταξύ Ανοίγματος- Κλεισίματος και Κλεισίματος-Ανοίγματος  Το OPEN-CLOS τείνει να ενώσει γειτονικά αντικείμενα μεταξύ τους  Το CLOS-OPEN τείνει να ενώσει γειτονικές οπές μεταξύ τους

148 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 148 Open-Close and Close-Open Παράδειγμα 1.

149 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 149 Open-Close and Close-Open Παράδειγμα 2.

150 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 150 Σκελετοποίηση (1/10)  Η Σκελετοποίηση αποτελεί ένα τρόπος για να πάρουμε τον μεσαίο άξονα η σκελετό μιας εικόνας.  Δεδομένης μίας εικόνας I 0 και παραθύρου B, ο σκελετός είναι SKEL(Io, B).  Ορίζουμε  I n = ERODE [· · · ERODE [ERODE(Io, B), B], · · · B ], n διαδοχικές εφαρμογές του ERODE στην I 0 με δομικό στοιχείο το B.  N = max { n: In ≠  }  = empty set Ο μεγαλύτερος αριθμός συστολών πριν την εξαφάνιση της In  S n = I n  NOT[OPEN(I n, B)]

151 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 151 Σκελετοποίηση (2/10)  Τότε  SKEL(I 0, B) = S 1  S 2  …  S N  Το αποτέλεσμα είναι ο σκελετός, ή ο μετασχηματισμός μεσαίου άξονα, ή η συνάρτηση «φωτιά λιβαδιού» (prairie – fire transform).

152 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 152 Σκελετοποίηση (3/10) Παράδειγμα 1. Εικόνα Ι 0 : Δομικό Στοιχείο Β :

153 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 153 Σκελετοποίηση (4/10) SKEL( I 0, B):

154 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 154 Σκελετοποίηση (5/10) Τα βήματα της εκτέλεσης: Βήμα 1 ο Ι0Ι0 NOT[OPEN(I 0, B)] S0S0

155 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 155 Σκελετοποίηση (6/10) Βήμα 2 ο Ι1Ι1 NOT[OPEN(I 1, B)] S1S1

156 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 156 Σκελετοποίηση (7/10) Βήμα 3 ο NOT[OPEN(I 2, B)]Ι2Ι2 S2S2

157 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 157 Σκελετοποίηση (8/10) NOT[OPEN(I 3, B)] Ι3Ι3 S3S3 Βήμα 4 ο

158 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 158 Σκελετοποίηση (9/10) Βήμα 5 ο SKEL(I 0 )=S 1  S 2  S 3  S 4

159 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 159 Σκελετοποίηση (10/10) Παράδειγμα 2. δυαδική εικόνασκελετός (του φόντου)

160 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 160 Παράδειγμα εφαρμογής: Μέτρηση εμβαδού κυττάρων (1/3)  Απλά βήματα επεξεργασίας  Εύρεση γενικών περιοχών κυττάρων από απλή κατωφλίωση –Εφαρμογή τεχνικών διόρθωσης περιοχής nΧρωματισμός μερών –Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών –Κλείσιμο-Άνοιγμα  Απεικόνιση των ορίων του κυττάρου για επαλήθευση λειτουργίας

161 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 161 Παράδειγμα εφαρμογής:Μέτρηση εμβαδού κυττάρων (2/3)  Απλά βήματα επεξεργασίας  Υπολογισμός του εμβαδού των κυττάρων στην εικόνα με την μέτρηση των στιγμάτων.  Υπολογισμός του πραγματικού εμβαδού χρησιμοποιώντας προβολή  Η προηγούμενη χειρονακτική τεχνική μέτρησης χρειάζεται > 1 ώρα για την ανάλυση κάθε κύτταρου της εικόνας

162 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 162 Παράδειγμα εφαρμογής:Μέτρηση εμβαδού κυττάρων (3/3)  Ο αλγόριθμος τρέχει σε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο. Χρησιμοποιήθηκε σε > 50,000 εικόνες κύτταρων τα προηγούμενα χρόνια.  Δημοσιεύτηκε στο CRC Press’s Image Analysis in Biology ως η τυποποιημένη μέθοδος για την αυτόματη μέτρηση εμβαδού (Automated Area Measurement).

163 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 163 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (1/7)  Ο αριθμός των bits που χρειάζονται για την αποθήκευση μιας N  N δυαδικής εικόνα είναι N 2. Σε πολλές περιπτώσεις, αυτό μπορεί να μειωθεί σημαντικά.  Η κωδικοποίηση μήκους διαδρομών είναι γενικά αποδοτική όταν οι ΛΕΥΚΕΣ και ΜΑΥΡΕΣ περιοχές δεν είναι μικρές.

164 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 164 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (2/7)  Πως δουλεύει η κωδικοποίηση μήκους διαδρομών (Run – Length Coding):  Οι δυαδικές εικόνες αποθηκεύονται (η μεταφέρονται) γραμμή-προς-γραμμή (σειρά-προς- σειρά).

165 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 165 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (3/7)  Πώς δουλεύει η κωδικοποίηση μήκους διαδρομών (Συνέχεια)  Για κάθε γραμμή της εικόνας, που αριθμείται με m: –Αποθηκεύουμε την τιμή του πρώτου στίγματος ('0' η '1') στην σειρά m για αναφορά –Θέτουμε τον μετρητή c = 1 –Για κάθε στίγμα στην εικόνα: nΕξετάζουμε το επόμενο στίγμα στα δεξιά nΑν είναι το ίδιο με το τρέχον στίγμα, θέτουμε c = c + 1 nΑν είναι διαφορετικό με το τρέχον στίγμα, αποθηκεύουμε το c και θέτουμε c = 1 nΣυνεχίζουμε μέχρι να φτάσουμε το τέλος της γραμμής

166 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 166 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (4/7)  Κάθε μήκος-διαδρομών αποθηκεύεται χρησιμοποιώντας b bits. Παράδειγμα 1. ‘1’75831

167 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 167 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (5/7)  Σχόλια για την κωδικοποίηση μήκους διαδρομών  Σε μερικές εικόνες μπορεί να δώσει εξαιρετική συμπίεση χωρίς απώλειες πληροφοριών.  Αυτό θα συμβεί αν η εικόνα περιέχει πολλές διαδρομές του 1's και 0's.

168 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 168 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (6/7)  Αν η εικόνα περιέχει μόνο πολύ μικρές διαδρομές, τότε ο κώδικας μήκους-διαδρομών μπορεί να μεγαλώσει τον χώρο αποθήκευσης. Παράδειγμα 2. ‘1’

169 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 169 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (7/7)  Σε αυτή την χειρότερη περίπτωση η αποθήκευση πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό b.  Κανόνας: Ο μέσος όρος μήκους διαδρόμων L πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: L > b.

170 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 170 Αντιπροσώπευση Περιγράμματος Και Κώδικας Αλυσίδας (1/3)  Μπορούμε να διαχωρίσουμε δυο γενικούς τύπους διάδικων εικόνων:  εικόνες περιοχών  εικόνες περιγραμμάτων Εικόνα ΠεριοχώνΕικόνα Περιγραμμάτων

171 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 171 Αντιπροσώπευση Περιγράμματος Και Κώδικας Αλυσίδας (2/3)  Για τις εικόνες περιγραμμάτων απαιτούμε ειδικότερα:  Κάθε ΜΑΥΡΟ στίγμα στην εικόνα περιγράμματος πρέπει να έχει το πολύ δυο ΜΑΥΡΑ από τα 8 – γειτονικά στίγματα Ένα ΜΑΥΡΟ στίγμα και 8 - γείτονες

172 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 172 Αντιπροσώπευση Περιγράμματος Και Κώδικας Αλυσίδας (3/3)  Μία εικόνα περιγράμματος περιέχει μόνο ευθείες και καμπύλες που έχουν πλάτος ένα στίγμα ή και απλά σημεία ενός στίγματος.

173 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 173 Κώδικας Αλυσίδας (1/7)  Ο κώδικας αλυσίδας είναι μια μέθοδος κωδικοποίησης περιγράμματος υψηλής απόδοσης.  Παρατηρείστε ότι αν οι αρχικές συντεταγμένες (i, j) ενός 8-συνδεδεμένου περιγράμματος είναι γνωστές, τότε τα υπόλοιπα στοιχεία του περιγράμματος μπορούν να κωδικοποιηθούν δίνοντας τις κατευθύνσεις στην οποία το περίγραμμα διαδίδεται.

174 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 174 Κώδικας Αλυσίδας (2/7) Παράδειγμα 1. ΠερίγραμμαΑρχικό σημείο και Κατευθύνσεις

175 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 175 Κώδικας Αλυσίδας (3/7)  Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη κωδικοποίηση 8-κατευθύνσεων.

176 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 176 Κώδικας Αλυσίδας (4/7)  Δεδομένου ότι οι αριθμοί, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 μπορούν να κωδικοποιηθούν με τα δυαδικά ισοδύναμα τους των 3-bit : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, η τοποθεσία κάθε σημείου σε ένα περίγραμμα μετά το αρχικό σημείο μπορεί να κωδικοποιηθεί με 3 bits.

177 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 177 Κώδικας Αλυσίδας (5/7) Παράδειγμα 1.

178 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 178 Κώδικας Αλυσίδας (6/7)  Ο κώδικας αλυσίδας για το παράδειγμα (μετά την καταγραφή των αρχικών συντεταγμένων (i 0, j 0 ):  Στο δεκαδικό: 1, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4  Στο δυαδικό: 001, 000, 001, 001, 001, 001, 011, 011, 011, 100, 100, 101, 100  Η συμπίεση που έχουμε είναι σημαντική: κωδικοποίηση του περιγράμματος από M-bit συντεταγμένες (M = 9 για 512 x 512 εικόνες) χρειάζεται 6 φορές την αρχική μνήμη.

179 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 179 Κώδικας Αλυσίδας (7/7)  Για κλειστά περιγράμματα, οι αρχικές συντεταγμένες μπορούν να επιλεχθούν τυχαία. Αν το περίγραμμα είναι ανοικτό, τότε συνήθως είναι ένα τελικό σημείο (ενός γείτονα στο σύστημα 8 – κατευθύνσεων.  Η τεχνική αυτή είναι αποτελεσματική σε πολλές εφαρμογές μηχανικής όρασης και ανάγνωσης προτύπων π.χ. ανάγνωση χαρακτήρων.

180 180 Κεφάλαιο 3 Ιστόγραμμα Εικόνας και Λειτουργίες Σημείου ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

181 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 181 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (1/4)  Το διάνυσμα είναι ένας μονοδιάστατος πίνακας. Τα διανύσματα θα θεωρούνται ότι είναι στήλες διανυσμάτων (N x 1). Για παράδειγμα, το μοναδιαίο διάνυσμα είναι: e = (N x 1)

182 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 182 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (2/4)  Η ανάστροφος (transpose) είναι μια σειρά διανυσμάτων (1 x N), και δεικνύετε :  Μια δυαδική εικόνα είναι ένας πίνακας η μήτρα από ακέραιους αριθμούς =  Δεικνύουμε ένα (τετραγωνικό) πίνακα εικόνας I = [I(i, j); 0 ≤ i, j ≤ N-1]

183 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 183 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (3/4) I = I T =  Ο ανάστροφος (transpose) του πίνακα δεικνύετε

184 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 184 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (4/4)  Οι σειρές της I T είναι οι στήλες της I και οι στήλες της I T είναι οι στήλες της I. Σημειώστε ότι [I T ] T = I.  Ένας συμμετρικός πίνακας ικανοποιεί την σχέση I T = I.

185 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 185 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (1/9)  Θεωρούμαι μόνο διανύσματα και τετράγωνους πίνακες (N x N), αλλά όλα τα υπόλοιπα μπορούν να προεκταθούν σε μη-τετράγωνους πίνακες (N x M)  Το εσωτερικό γινόμενο (N x 1) δυο διανυσμάτων a και b είναι K = = a(i)b(i)  Το οποίο είναι μονόμετρος (αριθμός) (όχι διάνυσμα)

186 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 186 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (2/9)  Το γινόμενο δυο πινάκων (N x N) : I = J =  είναι: K = IJ

187 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 187 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (3/9)  Τα στοιχεία του γινομένου των πινάκων K είναι: K(i, j) = I(i, n)J(n, j).  Αυτό είναι απλά το εσωτερικό γινόμενο της ith στήλης του διανύσματος ii της I T και της στήλης διανύσματος jj της J: K(i, j) = ii T jj.

188 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 188 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (4/9) Σημαντικές Σημειώσεις  Δυο τετραγωνικοί πίνακες πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος για να πάρουμε το γινόμενο τους.  Στο γινόμενο των πινάκων δεν επιτρέπεται η αντιμετάθεση (commute). Δηλαδή δεν είναι γενικά αληθές ότι : IJ = JI.

189 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 189 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (5/9) Πίνακας Ταυτότητας  Ο (N x N) πίνακας ταυτότητας είναι 1 =  Καλείται έτσι επειδή το γινόμενο της 1 με κάθε N x N πίνακα J 1J = J1 = J

190 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 190 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (6/9) Αντιστροφή Πίνακα  Σημειώστε ότι I-1 αντιμετατίθεται με το I.  Η αντιστροφή ενός N x N πίνακα I είναι ένας άλλος N x N πίνακας που δεικνύετε I-1 II -1 = I -1 I = 1  Καλείται Αντίστροφος πίνακας επειδή:

191 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 191 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (7/9) Αντιστροφή Πίνακα (συνέχεια)  Πότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας; Πότε είναι σταθερός;  Ο αντίστροφος του αντίστροφου δίνει πίσω τον αρχικό πίνακα: [I -1 ] -1 = I

192 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 192 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (8/9) Αντιστροφή Πίνακα  Παράδειγμα: I = I -1 =  Ο υπολογισμός του αντίστροφου ενός πίνακα με το χέρι είναι μια σκληρή αλγεβρική διαδικασία, ειδικά για μεγάλους πίνακες.

193 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 193 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (9/9) Αντιστροφή Πίνακα  Δεν θα δώσουμε τις λεπτομέρειες εδώ. Οι πιο πολλές βιβλιοθήκες σε μαθηματικά προγράμματα υπολογιστών έχουν την εντολή αντιστροφής πινάκων διαθέσιμη (π.χ., Matlab, Labview, IDL, IMSL).

194 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 194 Aπλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (1/6)  Θυμηθείτε: το ιστόγραμμα πεδίων φωτεινότητας H I μιας εικόνας I είναι μια γραφική παράσταση της συχνότητας ύπαρξης κάθε πεδίου φωτεινότητας στην I  HI είναι μια μονοδιάστατη συνάρτηση με πεδίο ορισμού 0,..., K-1 : H I (k) = n αν το πεδίο φωτεινότητας k υπάρχει (ακριβώς) n φορές στην I, Για κάθε k = 0,... K-1.

195 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 195 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (2/6)  Το ιστόγραμμα H I δεν περιέχει πληροφορίες του χώρου της I – μόνο πληροφορίες για την σχετική συχνότητα φωτεινότητας.

196 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 196 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (3/6)  Ωστόσο:  Χρήσιμες πληροφορίες μπορούν να παρθούν από το ιστόγραμμα.  Η ποιότητα της εικόνας επηρεάζεται (βελτίωση ποιότητας, τροποποίηση) με την αλλαγή του ιστογράμματος.

197 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 197 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (4/6) Μέση Τιμή Οπτικής Πυκνότητας - Average Optical Density  Η μέτρηση μέσης τιμής φωτεινότητας μιας εικόνας I: AOD(I) = =

198 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 198 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (5/6)  Μπορεί να υπολογιστεί και από το ιστόγραμμα επίσης kH I (k) όπου ο kος όρος = (επίπεδο φωτεινότητας k) x (# ύπαρξης του k) Μέση Τιμή Οπτικής Πυκνότητας

199 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 199 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (6/6)  Παρατηρώντας το ιστόγραμμα μπορεί να αποκαλυφθούν πιθανά λάθη στην επεξεργασία εικόνας: Μέση Τιμή Οπτικής Πυκνότητας Low AOD High AOD  Τρόποι διόρθωσης τέτοιων λαθών χρησιμοποιούν το ιστόγραμμα.

200 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 200 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (1/8)  Η λειτουργία απλού σημείου σε μία εικόνα Ι είναι μια συνάρτηση f η οποία χαρτογραφεί ή προσδιορίζει την εικόνα Ι σε μια άλλη εικόνα J με τη λειτουργία της στο κάθε στίγμα της I: J(i, j) = f[I(i, j)], 0 ≤ i, j ≤ N-1  Η ίδια συνάρτηση f εφαρμόζεται σε όλες τις συντεταγμένες της εικόνας.  Αυτό είναι διαφορετικό από τις τοπικές λειτουργίες όπως ΑΝΟΙΚΤΌ, ΚΛΕΙΣΤΟ, κ.λπ., δεδομένου ότι αυτές είναι συναρτήσεις και του Ι (ι, j) και των γειτόνων του.

201 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 201 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (2/8)  Οι λειτουργίες απλού στίγματος δεν αλλάζουν τις σχέσεις χώρου μεταξύ των στιγμάτων. Αλλάζουν το ιστόγραμμα της εικόνας, και έτσι την ολική εμφάνιση της εικόνας.  Οι γραμμικές λειτουργίες απλού σημείου είναι η απλούστερη τάξη λειτουργιών απλού σημείου. Μετατοπίζουν και κλιμακώνουν τα πεδία φωτεινότητας της εικόνας.

202 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 202 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (3/8)  Θεωρούμαι ότι το L πέφτει στο πεδίο -(K-1) ≤ L ≤ K-1 (± την κανονικοποιημένη κλίμακα γκρί) Μετατόπιση Εικόνας - Image Offset J(i, j) = I(i, j) + L, for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Έτσι, η ίδια σταθερά L προστίθεται στην τιμή κάθε στίγματος εικόνας.

203 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 203 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (4/8) Μετατόπιση Εικόνας  Αν L > 0, J θα είναι η εικόνα I φωτεινότερη. Αλλιώς η εμφάνιση της θα είναι ουσιαστικά η ίδια.  Αν L < 0, J θα είναι η σκοτεινότερη εκδοχή της εικόνας I.  Η πρόσθεση του L μετατοπίζει το ιστόγραμμα με την τιμή L στα αριστερά η δεξιά

204 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 204 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (5/8) Μετατόπιση Εικόνας Histograms of additive image offsets  Η είσοδος και έξοδος του ιστογράμματος συσχετίζονται με: H J (k) = H I (k-L)

205 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 205 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (6/8) Παράδειγμα:  Θεωρούμαι ότι είναι επιθυμητό να συγκρίνουμε πολλαπλές εικόνες I1, I2,..., In της ίδιας σκηνής. Ωστόσο, οι εικόνες πάρθηκαν από διαφορετικές συνθήκες φωτεινότητας.  Μια λύση: ισοστάθμιση των AOD's των εικόνων.  Αν η κλίμακα πεδίων φωτεινότητας της εικόνας είναι 0,..., K-1, ένα λογικό AOD είναι K/2.

206 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 206 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (7/8) Παράδειγμα (συνέχεια):  Θέτουμε Lm = AOD(Im), για m = 1,..., n. Τότε ορίζουμε την ‘ισοστάθμιση- AOD’ εικόνων J1, J2,..., Jn σύμφωνα με Jm(i, j) = Im(i, j) - Lm + K/2, for 0 ≤ i, j ≤ N-1

207 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 207 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (8/8) Παράδειγμα (συνέχεια):  Το αποτέλεσμα:. etc.

208 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 208 Κλιμάκωση Εικόνας (1/5)  Θεωρούμαι P > 0 (όχι απαραίτητα ακέραιος). Η κλιμάκωση εικόνας ορίζεται από την συνάρτηση J(i, j) = P· I(i, j), for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Έτσι, Ρ πολλαπλασιάζει κάθε τιμή στίγματος της εικόνας. Στην πράξη: J(i, j) = INT[ P· I(i, j) ], for 0 ≤ i, j ≤ N-1 όπου INT[ R ] = ο πλησιέστερος ακέραιος που είναι ≤ R.

209 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 209 Κλιμάκωση Εικόνας (2/5)  Αν P > 1, J θα έχει πιο πλατύ πεδίο φωτεινότητας από την εικόνα Ι.  Αν P < 1, J θα έχει πιο στενό πεδίο φωτεινότητας από την εικόνα I.

210 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 210 Κλιμάκωση Εικόνας (3/5)  Πολλαπλασιάζοντας την σταθερά Ρ επεκτείνει ή στενεύει το ‘πλάτος’ του ιστογράμματος της εικόνας με κάποιο συντελεστή Ρ:

211 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 211 Κλιμάκωση Εικόνας (4/5)  Σχόλια :  Μια εικόνα η οποία έχει συμπιεσμένη κλίμακα πεδίων φωτεινότητας γενικά έχει χαμηλή οπτική αντίθεση.  Μια τέτοια εικόνα μπορεί να έχει «ξεθωριασμένη» εμφάνιση.

212 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 212 Κλιμάκωση Εικόνας (5/5)  Μια εικόνα με φαρδύ πεδίο φωτεινότητας γενικά έχει υψηλή οπτική αντίθεση.  Μια τέτοια εικόνα μπορεί να έχει πιο κτυπητή, ορατή εμφάνιση.

213 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 213 Αποκοπή (1/2)  Γενικά, η διαθέσιμη κλίμακα φωτεινότητας της μετασχηματισμένης εικόνας J είναι η ίδια όπως αυτή της αρχικής εικόνας I: {0,..., K-1}.  Όταν κάνουμε τον μετασχηματισμό J(i, j) = P· I(i, j) + L, for 0 ≤ i, j ≤ N-1 πρέπει να φροντίζουμε η μέγιστη και ελάχιστη τιμή Jmax and Jmin να ικανοποιεί : Jmax ≤ K-1 και Jmin ≥ 0.

214 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 214 Αποκοπή (2/2)  Στην καλύτερη περίπτωση, οι τιμές έξω απ’ αυτή την κλίμακα θα “ψαλιδιστούν”.  Στην χειρότερη περίπτωση, καταστάσεις υπερχείλισης (overflow) ή λανθασμένου πρόσημου (sign-error) συνθήκες μπορεί να εμφανιστούν. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή της κλίμακας φωτεινότητας που δίνεται σε ένα λανθασμένο στίγμα θα είναι πολύ απροσδιόριστη.

215 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 215 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (1/4)  Είναι πιο κοινή γραμμική λειτουργία στίγματος. Θεωρούμαι ότι η Ι έχει ένα συμπιεσμένο ιστόγραμμα:

216 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 216 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (2/4) Ι  Ορίζουμε το Α και Β να είναι το min και max επίπεδο φωτεινότητας στην Ι. Ορίζουμε :  J(i, j) = P·I(i, j) + L έτσι ώστε :  P·A+L = 0P·B + L = (K-1).  P·A+L = 0 και P·B + L = (K-1).

217 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 217 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (3/4)  Το αποτέλεσμα της λύσης του συστήματος 2 εξισώσεων με 2 άγνωστους (P, L) είναι μια εικόνα J η οποία έχει ιστόγραμμα που οι τιμές του ανήκουν σε όλη την κλίμακα φωτεινοτήτων:

218 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 218 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (4/4)  Η λύση στις πιο πάνω εξισώσεις είναι : και ή J (i,j) = [ I ( i,j) – A ]

219 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 219 Μη Γραμμικές Λειτουργίες Στίγματος  Μια μη-γραμμική λειτουργία στίγματος στην εικόνα Ι είναι μια σημειακή συνάρτηση f που σχετίζει την I με την J: J(i, j) = f [I (i, j) ] for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Όπου f είναι μια μη-γραμμική συνάρτηση.

220 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 220 Μη Γραμμικές Λειτουργίες Στίγματος  Αυτή είναι μια πολύ μεγάλη τάξη συναρτήσεων.  Ωστόσο, μόνο μερικές χρησιμοποιούνται συχνά:  J(i, j) = |I(i, j)| (absolute value or magnitude)  J(i, j) = [I(i, j)]2 (square-law)  J(i, j) = sqrt [ I (i, j) ](square root)  J(i, j) = log[1+I (i, j) ] (logarithm)  J(i, j) = exp[I (i, j)] = (i, j)(exponential)

221 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 221 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (1/5)  Κίνητρο: Μια εικόνα μπορεί να περιέχει πλούσιες πληροφορίες, απαλή εναλλαγή χαμηλών φωτεινοτήτων – και πολύ μικρές φωτεινές περιοχές.  Τα φωτεινά στίγματα θα κυριαρχήσουν την ορατή αντίληψη που έχουμε για την εικόνα.

222 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 222 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (2/5)  Ένα τυπικό Ιστόγραμμα.

223 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 223 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (3/5)  Ο λογαριθμικός μετασχηματισμός : J(i, j) = log[1+I(i, j)] συμπιέζει μη-γραμμικά και ισοσταθμίζει τα επίπεδα φωτεινότητας.  Οι φωτεινές εντάσεις συμπιέζονται πολύ περισσότερο – έτσι οι ασθενές λεπτομέρειες αναδύονται.

224 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 224 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (4/5)  Το τέντωμα αντίθεσης πλήρους κλίμακας χρησιμοποιεί μετά όλο το πεδίο φωτεινοτήτων. Λογαριθμικός μετασχηματισμός τέντωσε τις αντιθέσεις.

225 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 225 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (5/5)  Χρήσιμο για εύρεση ασθενών κοσμικών αντικειμένων:  Χρήσιμο για να δείχνουμε εικόνες μετασχηματισμού Fourier.

226 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 226 Αλλαγή Μορφής Και Ταύτιση Ιστογράμματος  Θα εξετάσουμε τώρα μεθόδους για αλλαγή μορφής ιστογράμματος.  Επιτυγχάνεται με λειτουργίες απλού στίγματος: η μορφή αντικειμένων και η τοποθεσία δεν αλλάζουν.

227 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 227 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος  Μια εικόνα με ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα κάνει πλούσια χρήση των διαθέσιμων πεδίων φωτεινότητας. Αυτή μπορεί να είναι μια εικόνα με : 1.Απαλές διαβαθμίσεις στην κλίμακα φωτεινότητας που να καλύπτουν πολλαπλά επίπεδα φωτεινότητας γκρι. 2.Πολλαπλή υφή που να καλύπτει πολλαπλά επίπεδα φωτεινότητας.

228 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 228 Ιστόγραμμα Κανονικότητας (1/3) Ορισμός: κ=0,1,…., K-1 Αθροίζοντας: όπου είναι η πιθανότητα του επιπέδου φωτεινότητας κ να υπάρχει (σε οποιοδήποτε δεδομένο στίγμα)

229 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 229 Ιστόγραμμα Κανονικότητας (2/3) Το συσσωρευτικό ιστόγραμμα είναι: για r=0,1,2,…., K-1 όπου μια αύξουσα συνάρτηση με

230 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 230 Ιστόγραμμα Κανονικότητας (3/3) (i, j): Άρα, για όλα τα σημεία (i, j): Επίσης… για r=0,…, K-1

231 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 231 Συνεχές Ιστόγραμμα p(x)P(x) Έστω οτι τα p(x) και P(x) είναι συνεχή: (μπορεί να θεωρηθούν σαν συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (pdf) και συσσωρευτική διανομή (cdf)). Τότε: p(x) = dP(x)/dx Σημείωση:  υπάρχει η μπορεί να οριστεί κατά σύμβαση.

232 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 232 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (1/5) Ι, p(x), P(x) q(x), Q(x).  Μετασχηματίζουμε τα (συνεχή): Ι, p(x), P(x) σε J, q(x), Q(x).  Η ακόλουθη εικόνα θα έχει ένα ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα: J = P(I) (J(i, j) = P[I(i, j)] για κάθε (i, j))

233 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 233 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (2/5) QJ Το συσσωρευτικό ιστόγραμμα Q της J:

234 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 234 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (3/5) έτσι: Q(x) = dQ(x)/dx = 1 for 0 < x < 1 Τι παρατηρούμε?  Χρειάζεται τέντωμα αντίθεσης

235 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 235 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (4/5) q(x),Q(x). Έστω ότι παίρνουμε κάποια τυχαία q(x),Q(x). Τότε ορίζουμε: για όλα τα (i,j)

236 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 236 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (5/5) Το συσσωρευμένό ιστόγραμμα της J είναι: Σημείωση: Τα πιο πάνω μπορούν να προσεγγιστούν μόνο με διακριτά ιστογράμματα

237 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 237 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος (1/3) Ι Έστω η εικόνα Ι: J 1 = P(I)  Ορίζουμε το συσσωρευτικό ιστόγραμμα εικόνας J 1 = P(I) όπου

238 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 238 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος (2/3) Παρατηρήσεις:  Σε κάθε στίγμα, αυτό είναι το συσσωρευτικό ιστόγραμμα που υπολογίζεται στα επίπεδα φωτεινότητας του στίγματος. J 1  Τα στοιχεία της συσσωρευτικής πιθανότητας της εικόνας J 1 θα κατανεμηθούν γραμμικά κατά προσέγγιση μεταξύ 0 και 1.

239 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 239 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος (3/3) J 1 0,..., κ-1 J Κλιμακώνουμε το J 1 για να καλύψει την κλίμακα 0,..., κ-1, δημιουργώντας εικόνα ισοσταθμισμένου ιστογράμματος J: J(i, j) = int [ (K-1)·J 1 (i, j) ]

240 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 240 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (1/7) 4 x 4Ι Δίνεται μια 4 x 4 εικόνα Ι με επίπεδα φωτεινότητας {0,..., 15} (K-1 = 15): I =

241 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 241 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (2/7) Το ιστόγραμμα της είναι: k H(k)

242 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 242 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (3/7) Κανονικοποίηση Ιστογράμματος: k p(k)

243 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 243 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (4/7) J 1 Υπολογισμός ενδιάμεσης εικόνας J 1 : J 1 J 1 = 3/16 9/1611/16 6/1613/169/166/16 15/163/1615/166/16 11/1613/169/1616/16

244 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 244 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (5/7) J Υπολογισμός ‘ισοσταθμισμένης’ εικόνας J: J J =

245 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 245 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (6/7) Το νέο, ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα μοιάζει με το ακόλουθο: k H(k)

246 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 246 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (7/7) Δημιουργία Ιστογράμματος:

247 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 247 Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (συνέχεια…) Τα ύψη H(k) δεν μπορούν να μειωθούν, απλώς μετακινούνται έτσι:  Η ισοστάθμιση ψηφιακού ιστογράμματος δεν ‘ισοσταθμίζει’ στην πραγματικά το ιστόγραμμα, απλώς το κάνει πιο ‘κολακευτικό’ με την εξάπλωση του ιστογράμματος.  Ο χώρος που δημιουργείται είναι πολύ χαρακτηριστικός του ‘ισοσταθμισμένου’ ιστογράμματος, ειδικά όταν το αρχικό ιστόγραμμα είναι πολύ συμπιεσμένο.

248 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 248 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος στο ΜatLab I = imread(‘exampleim.tif’); J = histeq(I); figure,subplot(2,1,1),imshow(I); subplot(2,1,2), imhist(J subplot(2,1,2), imhist(J);

249 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 249 Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (1/3) J Δημιουργεί μια αλλαγμένη εικόνα J με μια κατά προσέγγιση προσδιορισμένη μορφή ιστογράμματος, όπως τρίγωνο ή καμπύλη μορφής καμπάνας. Ορίζουμε το να είναι η επιθυμητή μορφή ιστογράμματος με τις αντίστοιχες κανονικές τιμές (πιθανότητες).

250 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 250 Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (2/3) 1.Ορίζουμε το συσσωρευτικό ιστόγραμμα εικόνας όπως πριν: 2.Επίσης ορίζουμε τις συσσωρευτικές πιθανότητες:

251 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 251 Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος - Αλγόριθμος (3/3) n(i, j) Ορίζουμε n(i, j) να δεικνύει την μικρότερη τιμή του n ώστε: Τότε παίρνουμε: J(i, j) = n(i, j) Αυτό είναι μια τυπικότητα για:

252 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 252 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (1/7) Υποθέστε ότι έχουμε την ίδια εικόνα με το προηγούμενο παράδειγμα Ι Ι =

253 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 253 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (2/7) J 1 Υπολογισμός ενδιάμεσης εικόνας J 1 : J 1 J 1 = 3/16 9/1611/16 6/1613/169/166/16 15/163/1615/166/16 11/1613/169/1616/16

254 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 254 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (3/7) Το εφαρμόζουμε στο ακόλουθο (τριγωνικό) ιστόγραμμα: k H (k) p (k) J J

255 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 255 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (4/7) Δημιουργία Ιστογράμματος:

256 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 256 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (5/7) Πιο κάτω είναι οι συσσωρευμένες (αθροιστικές) πιθανότητες που συνδέονται μαζί του: J 00 n P (n)

257 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 257 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (6/7) J 1 Προσεκτική ορατή παρατήρηση της J 1 μας οδηγεί στο φτιάξιμο της νέας εικόνας: J J =

258 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 258 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (7/7) Το νέο Ιστόγραμμα είναι: H (k) J k

259 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 259 Ταύτιση Ιστογράμματος (1/2)  Μια ειδική περίπτωση της αλλαγής μορφής ιστογράμματος. Ι I´  Διαφορά: το ιστόγραμμα της αρχικής εικόνας Ι ταυτίζεται με το ιστόγραμμα μιας άλλης εικόνας I´ I´  Αλλιώς η διαδικασία είναι η ίδια, όταν οι συσσωρευμένες πιθανότητες υπολογιστούν για την μοντελοποιημένη εικόνα I´

260 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 260 Ταύτιση Ιστογράμματος (2/2) Χρήσιμη εφαρμογή: Σύγκριση όμοιων εικόνων της ίδιας σκηνής που πάρθηκε κάτω από διαφορετικές συνθήκες (π.χ. φωτός, ώρα της ημέρας, κλπ). AOD Προεκτείνεται η έννοια της ισοστάθμισης AOD που περιγράψαμε πιο πριν.

261 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 261 Βασικές Αλγεβρικές Λειτουργίες Εικόνας (1/3)  Οι αλγεβρικές λειτουργίες εικόνας (μεταξύ εικόνων) είναι κάπως απλές. N x NI 1 I 2  Θεωρούμε ότι έχουμε δυο N x N εικόνες I 1 και I 2. Οι τέσσερις βασικές αλγεβρικές λειτουργίες (όπως αυτές της υπολογιστικής σας) είναι:

262 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 262 Βασικές Αλγεβρικές Λειτουργίες Εικόνας (2/3)  Σημειακή Πρόσθεση Πινάκων J = I 1 + I 2 J = I 1 + I 2 if J(i, j) = I 1 (i, j) + I 2 (i, j) if J(i, j) = I 1 (i, j) + I 2 (i, j) for 0 ≤ i, j ≤ N-1 for 0 ≤ i, j ≤ N-1  Σημειακή Αφαίρεση πινάκων J = I 1 – I 2 if J(i, j) = I 1 (i, j) – I 2 (i, j) for 0 ≤ i, j ≤ N-1 for 0 ≤ i, j ≤ N-1

263 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 263 Βασικές Αλγεβρικές Λειτουργίες Εικόνας (3/3)  Σημειακός Πολλαπλασιασμός Πινάκων J = I 1 Ä I 2 J = I 1 Ä I 2 if J(i, j) = I 1 (i, j) x I 2 (i, j) for 0 ≤ i, j ≤ N-1  Σημειακή Διαίρεση Πινάκων J = I 1 D I 2 J = I 1 D I 2 if J(i, j) = I 1 (i, j) / I 2 (i, j) for 0 ≤ i, j ≤ N-1 * Ειδική σήμανση για σημείο προς σημείο (σημειακό) πολλαπλασιασμό και διαίρεση πινάκων αφού υπάρχει και άλλος ορισμός για πολλαπλασιασμό πινάκων. * Οι λειτουργίες Ä και D είναι πολύ χρήσιμες όταν επεξεργαζόμαστε πίνακες μετασχηματισμών Fourier.

264 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 264 Εφαρμογές Των Αλγεβρικών Λειτουργιών Παρ’οτι απλές, οι αλγεβρικές λειτουργίες αποτελούν την σπονδυλική στήλη για την ψηφιακή επεξεργασία εικόνων. Θα εξετάσουμε δυο απλές αλλά σημαντικές εφαρμογές αλγεβρικών λειτουργιών σε εικόνες:  Μέσος όρος πλαισίου για μείωση θορύβου  Εντοπισμός κίνησης

265 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 265 Μέσος Όρος Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (1/3) J Μια εικόνα J συχνά είναι ‘μολυσμένη’ με αθροιστικό θόρυβο:  Διασκόρπιση επιφάνειας ακτινοβολίας  Θόρυβος στην κάμερα  Θερμικός θόρυβος στα υπολογιστικά κυκλώματα  Θόρυβος καναλιών επικοινωνίας

266 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 266 Μέσος Όρος Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (2/3) Μπορούμε να κάνουμε μοντέλα για τέτοιες εικόνες με θόρυβο σαν το άθροισμα μιας πρωτότυπης, ‘αμόλυντης’ ΙΝ εικόνας Ι και μιας εικόνας θορύβου Ν J = I + N J = I + N N(i, j)N όπου τα στοιχεία N(i, j) του N είναι τυχαίες μεταβλητές. Δεν θα εξετάσουμε τους μαθηματικούς ορισμούς των τυχαίων μεταβλητών (ακόμα).

267 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 267 Μέσος Όρος Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (3/3) Απλώς θα θεωρήσουμε ότι ο θόρυβος έχει μηδενική μεσαία τιμή (εργοδική), που σημαίνει ότι το δείγμα Μ μεσαίου Μ πινάκων θορύβου τείνει προς το μηδέν όταν το Μ Μ μεγαλώνει [ N 1 + · · · + N M ] ≈ 0 (matrix of zeros) Υπολογίζοντας τον μέσο όρο πολλών δειγμάτων μηδενικού-μέσου όρου δίνει μια τιμή κοντά στο μηδέν. Θα ορίσουμε το μηδενικό μέσο όρο πιο προσεκτικά αργότερα.

268 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 268 Υπολογισμός του Μέσου Όρου Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (1/3) ΜJ 1,..., J M Θεωρούμε ότι παίρνουμε Μ εικόνες J 1,..., J M της ίδιας σκηνής:  Σε μια γρήγορη ακολουθία, χωρίς να υπάρχει κίνηση μεταξύ πλαισίων  Ή να μην υπάρχει καθόλου κίνηση. Ωστόσο, τα πλαίσια είναι θορυβώδη: for i = 1,..., M.

269 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 269 Υπολογισμός του Μέσου Όρου Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (2/3) Θεωρούμε ότι παίρνουμε τον μέσο όρο των πλαισίων: I 1 = I 2 = · · · = I M = I Ωστόσο αφού I 1 = I 2 = · · · = I M = I, τότε και από πριν Έτσι περιμένουμε ότι J ≈ I + 0 ≈ I M (αν από αρκετά πλαίσια (M) παρθεί ο μέσος όρος)

270 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 270 Υπολογισμός του Μέσου Όρου Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (3/3)  Η επεξεργασία εικόνας ενδιαφέρεται κυρίως για την διόρθωση η καλυτέρευση των εικόνων του προγραμματικού κόσμου.  Τα γραφικά υπολογιστών ενδιαφέρονται κυρίως για την δημιουργία εικόνων κάποιου μη-πραγματικού κόσμου.

271 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 271 Εντοπισμός Κίνησης (1/2) Συχνά είναι ενδιαφέρον να εντοπίσουμε κίνηση αντικειμένων μεταξύ πλαισίων. Εφαρμογές: Συμπίεση βίντεο Αναγνώριση στόχου και παρακολούθησης Κάμερες ασφάλειας Επίβλεψη Αυτόματος έλεγχος κλπ.

272 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 272 Εντοπισμός Κίνησης (2/2) Πιο κάτω δίδεται μια απλή προσέγγιση: I 1 I 2 Ορίζουμε I 1, I 2 ως δυο διαδοχικά πλαίσια που πάρθηκαν σε πολύ σύντομο χρόνο, π.χ. από μια βίντεο κάμερα. J = |I 1 – I 2 | Από την εικόνα απόλυτης διαφοράς J = |I 1 – I 2 | ε εφαρμόζουμε τέντωμα αντίθεσης πλήρους κλίμακας J στην J το οποίο έχει ως αποτέλεσμα ένα πιο δραματικό οπτικό αποτέλεσμα.

273 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 273 Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας Οι γεωμετρικές λειτουργίες εικόνας είναι κάπως πιο περίπλοκες από τις αλγεβρικές λειτουργίες, και χρησιμοποιούνται λιγότερο (στην επεξεργασία εικόνων). Πολλές από τις ιδέες επίσης συμπίπτουν πολύ με σημαντικά στοιχεία των γραφικών υπολογιστών. Έτσι θα ξοδέψουμε λίγο χρόνο σε αυτά.

274 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 274 Βασικές Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας  Οι γεωμετρικές λειτουργίες εικόνας είναι αντίθετες των λειτουργιών απλού στίγματος: αλλάζουν την τοποθεσία των στιγμάτων αλλά όχι την τιμή τους.  Μια γεωμετρική λειτουργία γενικά χρειάζεται δυο βήματα:

275 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 275 Βασικές Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας Μια ταύτιση χώρου των συντεταγμένων της εικόνας μας δίνει μια νέα συνάρτηση εικόνας J: J(i, j) = I(i´, j´ ) = I[a(i, j), b(i, j) Οι συντεταγμένες a(i, j) and b(i, j) δεν είναι γενικά ή Οι συντεταγμένες a(i, j) and b(i, j) δεν είναι γενικά ή συνήθως ακέραιοι! συνήθως ακέραιοι! Για παράδειγμα: a(i, j) = i/3.5, b(i, j) = j/4.5 Για παράδειγμα: a(i, j) = i/3.5, b(i, j) = j/4.5 J(i, j) = I(i/3.5, j/4.5), Τότε J(i, j) = I(i/3.5, j/4.5), το οποίο έχει απροσδιόριστες συντεταγμένες ! Έτσι συνεπάγεται η ανάγκη δεύτερης λειτουργίας:

276 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 276 Βασικές Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας a(i, j)b(i, j)J Πλαστογραφούμε τις μη-ακραίες συντεταγμένες a(i, j) και b(i, j) σε ακέραιες τιμές, έτσι ώστε το J να μπορεί να παραστεί σε μορφή σειρών-στηλών (πίνακα)

277 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 277 Παρεμβολή Πλησιέστερου Γείτονα Με απλή σκέψη: Οι γεωμετρικά μετασχηματισμένες συντεταγμένες ταυτίζονται στις πλησιέστερες ακέραιες συντεταγμένες: J(i, j) = I{INT[a(i, j)+0.5], INT[b(i, j)+0.5]} J(i, j) = I{INT[a(i, j)+0.5], INT[b(i, j)+0.5]} Σοβαρό μειονέκτημα: Ξαφνικές αλλαγές της φωτεινότητας έχουν σαν αποτέλεσμα τις σπασμένές ακμές.

278 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 278 Προειδοποίηση Για κάποια συντεταγμένη (i, j) είτε INT[a(i, j)+0.5] < 0INT[b(i, j)+0.5] < 0 INT[a(i, j)+0.5] < 0 ή INT[b(i, j)+0.5] < 0 είτε INT[a(i, j)+0.5] > N-1INT[b(i, j)+0.5] > N-1 INT[a(i, j)+0.5] > N-1 ή INT[b(i, j)+0.5] > N-1 J(i, j) = I{INT[a(i, j)+0.5], INT[b(i, j)+0.5]} τότε J(i, j) = I{INT[a(i, j)+0.5], INT[b(i, j)+0.5]} δεν μπορεί να προσδιοριστεί. J(i, j) = 0 Συνήθως θέτουμε το J(i, j) = 0 για αυτές τις τιμές.

279 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 279 Διγραμμική Παρεμβολή  Δημιουργία μιας πιο ομαλής παρεμβολής από την προσέγγιση του πλησιέστερου γείτονα. I(i 0, j 0 ), I(i 1, j 1 ), I(i 2, j 2 ),I(i 3, j 3 ),J(i, j)  Δίδονται τέσσερις συντεταγμένες I(i 0, j 0 ), I(i 1, j 1 ), I(i 2, j 2 ), και I(i 3, j 3 ), η νέα εικόνα J(i, j) υπολογίζεται ως ακολούθως: J(i, j) = A 0 + A 1 · i + A 2 ·j + A 3 · i·j A0, A1, A2A3 όπου τα διγραμμικά βάρη A0, A1, A2, και A3 είναι το αποτέλεσμα της λύσης της πιο κάτω εξίσωσης:

280 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 280 Ένας γραμμικός συνδυασμός των τεσσάρων πλησιέστερων τιμών. Το πιο καλό ταίριασμα επιπέδου στις τέσσερις πλησιέστερες τιμές. A 0 A 1 A 2 A 3 = i i i i j 0 j 1 j 2 j 3 i 0 i 1 i 2 i 3 j 0 j 1 j 2 j I(i, j ) Διγραμμική Παρεμβολή

281 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 281 Οι Βασικοί Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί  Οι πιο βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι: - Translation (Μετατόπιση) - Rotation (Περιστροφή) - Zooming (Μεγέθυνση)

282 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 282 Μετατόπιση  Η μετατόπιση είναι η πιο απλή γεωμετρική λειτουργία και δεν χρειάζεται παρεμβολή. Ορίζουμε a(i, j) = i - i0, b(i, j) = j - j0 a(i, j) = i - i0, b(i, j) = j - j0 (i0, j0) όπου (i0, j0) είναι σταθερές. J(i, j) = I(i - i0, j - j0) Σε αυτή την περίπτωση J(i, j) = I(i - i0, j - j0) μια μετακίνηση ή μετατόπιση της εικόνας με μέγεθος i0 στην κατακόρυφη (σειρά) διεύθυνση και μεγέθους j0 στην οριζόντια διεύθυνση.

283 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 283 Περιστροφή  Η περιστροφή της εικόνας με την γωνία q σε σχέση με τον αξονα-x επιτυγχάνετε από τον ακόλουθο μετασχηματισμό: a(i, j) = i cos( q ) - j sin( q ) b(i, j) = i sin( q ) + j cos( q )

284 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 284  Απλές περιπτώσεις: q = 90° : [a(i, j), b(i, j)] = (-j, i) q = 180° : [a(i, j), b(i, j)] = (-i, -j) q = 180° : [a(i, j), b(i, j)] = (-i, -j) q = -90° : [a(i, j), b(i, j)] = (j, -i) q = -90° : [a(i, j), b(i, j)] = (j, -i)  Οι περιστρεφόμενες εικόνες συνήθως χρειάζονται μετατόπιση μετέπειτα για να πάρουν τιμές συντεταγμένων στο επιθυμητό πεδίο. Περιστροφή

285 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 285 Μεγέθυνση  Η μεγέθυνση μεγαλώνει μια εικόνα με την συνάρτηση ταύτισης a(i, j) = i / cb(i, j) = j / d a(i, j) = i / c και b(i, j) = j / d c ≥ 1d ≥ 1 όπου c ≥ 1 και d ≥ 1.

286 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 286  Για μεγάλη μεγέθυνση, η μεγεθυσμένη εικόνα θα φαίνεται ‘θολή’ αν χρησιμοποιηθεί απλή παρεμβολή πλησιέστερου γείτονα. Η διγραμμική παρεμβολή δουλεύει καλύτερα. original Αυτοί είναι πολύ απλοί μετασχηματισμοί. Ένα παράδειγμα πιο έξυπνου γεωμετρικού μετασχηματισμού ! 2x zoomed Μεγέθυνση

287 287 Κεφάλαιο 4 ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΠΛ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

288 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 288 Περιεχόμενα oΗμιτονικές εικόνες oΔιακριτός Μετασχηματισμός Fourier oΣημασία των Συχνοτήτων Εικόνας oΘεώρημα Δειγματοληψίας

289 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 289 Ημιτονικές Εικόνες (1/5)  Θα κάνουμε συχνή αναφορά σε αυτό το κεφάλαιο για το περιεχόμενο συχνοτήτων μιας εικόνας.  Πρώτα θα εξετάσουμε τις εικόνες οι οποίες έχουν το απλούστερο περιεχόμενο συχνοτήτων.  Μια ψηφιακή ημιτονική εικόνα Ι1 είναι μια εικόνα η οποία έχει στοιχεία  Μια ψηφιακή συνημιτονική εικόνα Ι2 είναι μια εικόνα η οποία έχει στοιχεία

290 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 290  Τα u και v αποτελούν τις ακέραιες συχνότητες στην i και j κατεύθυνση και μετρώνται σε κύκλους ανά εικόνα (cycles per image).  Η ακτινωτή συχνότητα Ω μιας εικόνας (το πόσο γρήγορα η εικόνα ταλαντεύεται στην κατεύθυνση της διάδοσης) ορίζεται ως:  Η γωνία θ του κύματος (ως προς τον άξονα i) ορίζεται ως: Ημιτονικές Εικόνες (2/5)

291 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 291 Ημιτονικές Εικόνες (3/5)  Παράδειγμα: Έστω ότι Ν=16 και v=0 (κύκλοι ανά εικόνα) για μια συνημιτονική εικόνα Ι. Επομένως ισχύει ότι Αυτό είναι ένα κύμα συνημίτονου το οποίο διαδίδεται μόνο στην κατεύθυνση i (Όλες οι γραμμές είναι οι ίδιες) με συχνότητα u. Στην επόμενη διαφάνεια δείχνουμε τις τιμές της συνάρτησης Ι(i) για κάποια συγκεκριμένα u. Το i-οστό εικονοστοιχείο κάθε γραμμής της εικόνας μας θα έχει τιμή Ι(i).

292 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 292 Ημιτονικές Εικόνες (4/5) Η συνάρτηση για διάφορες τιμές του u:

293 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 293 Ημιτονικές Εικόνες (5/5)  Παρατηρήστε ότι Αυτό σημαίνει ότι το κύμα με την μεγαλύτερη συχνότητα λαμβάνει χώρα όταν και το N είναι άρτιος στην συγκεκριμένη περίπτωση. Αυτό θα είναι σημαντικό αργότερα.

294 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 294 Μιγαδικές εκθετικές εικόνες  Θα χρησιμοποιήσουμε μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις για να ορίσουμε αργότερα τον μετασχηματισμό Fourier μιας ψηφιακής εικόνας.  Ως εκ τούτου ορίζουμε την δυσδιάστατη μιγαδική εκθετική συνάρτηση ως ακολούθως:  Το είναι ο γνήσιος φανταστικός αριθμός όπου  Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση δίνει την δυνατότητα μιας εύκολης και βολικής αναπαράστασης και χειρισμού των συχνοτήτων, όπως θα δούμε παρακάτω.

295 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 295 Μιγαδικοί Αριθμοί (1/3)  Ένας μιγαδικός αριθμός Χ έχει την μορφή: όπου το Α αποτελεί το πραγματικό μέρος και το αποτελεί το φανταστικό μέρος του αριθμού.  Ένας μιγαδικός αριθμός Χ χαρακτηρίζεται από το μέγεθος ( ) και την φάση του ( ) όπου

296 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 296 Μιγαδικοί Αριθμοί (2/3)  Ένας μιγαδικός αριθμός Χ μπορεί να αναπαρασταθεί συναρτήσει του μεγέθους και της φάσης του ως ακολούθως:  Ο μιγαδικός συζυγής ή απλά συζυγής του Χ ορίζεται ως ακολούθως:

297 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 297 Μιγαδικοί Αριθμοί (3/3)  Ισχύει η εξής ιδιότητα μεταξύ ενός μιγαδικού αριθμού Χ και του συζυγούς του Χ* :

298 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 298 Ιδιότητες Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας (1/3)  Θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό για την μιγαδική εκθετική εικόνα, όπου το Ν αποτελεί το μέγεθος της εικόνας.  Άρα βάσει του συμβολισμού μας έπεται ότι

299 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 299 Ιδιότητες Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας (2/3)  H ταυτότητα Euler έχει ως ακολούθως:  Επομένως αφού έπεται ότι

300 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 300 Ιδιότητες Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας (3/3)  Επιπρόσθετα ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

301 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 301 Μέγεθος & Φάση Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας  Το μέγεθος και η φάση της μιγαδικής εκθετικής εικόνας αντίστοιχα είναι τα ακόλουθα:

302 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 302 Μιγαδικές Εκθετικές Εικόνες - Σχόλια  Η ανάπτυξη του μετασχηματισμού Fourier (πεδίο συχνοτήτων) χωρίς την βοήθεια των μιγαδικών αριθμών είναι δυνατή. Όμως τα μαθηματικά τα οποία θα χρησιμοποιηθούν θα είναι περισσότερα.  Η χρήση του για αναπαράσταση μιας συνιστώσας συχνότητας η οποία ταλαντώνεται σε u κύκλους ανά μήκους εικόνας και σε v κύκλους ανά μήκους εικόνα στις κατευθύνσεις i και j αντίστοιχα, απλοποιεί σε ένα ικανοποιητικό βαθμό τα πράγματα.  Επομένως είναι πολύ βοηθητικό να θεωρούμε το ως αναπαράσταση της κατεύθυνσης και συχνότητας της ταλάντωσης.

303 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 303 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (1/4)  Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση αποτελεί μια αναπαράσταση της συχνότητας συναρτήσει του εκθέτη ui.  H ελάχιστη φυσική συχνότητα, λαμβάνει χώρα περιοδικά όταν u = kN όπου τα i, k είναι ακέραιοι αριθμοί. Συγκεκριμένα ισχύει ότι

304 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 304 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (2/4) Απόδειξη της προαναφερθείσας πρότασης:

305 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 305 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (3/4)  H μέγιστη φυσική συχνότητα, λαμβάνει χώρα περιοδικά όταν u = kN + Ν/2 όπου τα i, k είναι ακέραιοι αριθμοί και το Ν είναι άρτιος. Συγκεκριμένα ισχύει ότι Ακολουθεί τη απόδειξη της παραπάνω πρότασης.

306 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 306 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (4/4) Απόδειξη της προαναφερθείσας πρότασης:

307 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 307 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (1/4)  Για τον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier συνήθως χρησιμοποιούμε την συντομογραφία DFT από τον αντίστοιχο αγγλικό όρο Discrete Fourier Transform.  O Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier μας προσφέρει την δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο χώρου μιας εικόνας (spatial domain) στο αντίστοιχο πεδίο συχνοτήτων της (frequency domain).  Αυτή η δυνατότητα είναι πολύ σημαντική. Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο αυτό αλλά και σε επόμενα κεφάλαια, η επέμβαση στο πεδίο συχνοτήτων μιας εικόνας είναι ένας από τους σημαντικότερους τρόπους τροποποίησης και επεξεργασίας της.

308 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 308 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (2/4)  Ο μαθηματικός τύπος για τον DFT είναι ο ακόλουθος: Προσοχή: Πρέπει να τονιστεί ότι τα (i, j) αποτελούν συντεταγμένες χώρου ενώ τα (u, v) αποτελούν συντεταγμένες συχνοτήτων οι οποίες εκφράζονται σε κύκλους ανά εικόνα.

309 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 309 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (3/4)  Το αποτέλεσμα του DFT μιας εικόνας είναι ένας πίνακας διαστάσεων Ν x N (όπως η αρχική μας εικόνα). Επομένως  O Αντίστροφος Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (IDFT - Inverse DFT) μας βοηθά να ανακτήσουμε την αρχική μας εικόνα από το πεδίο συχνοτήτων της. Ο μαθηματικός του τύπος είναι ο ακόλουθος

310 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 310 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (4/4) Αν έχω ένα πεπερασμένο αριθμό εικόνων Ι 1... Ι Μ τότε ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: Τα α 1... α Μ είναι πραγματικοί αριθμοί και DFT(I Κ ) = όπου 1  Κ  Μ. DFT[ α 1 Ι α Μ Ι Μ ] = α 1 DFT[ Ι 1 ] α Μ DFT[ Ι Μ ]

311 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 311 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier - Σχόλια  Από τον τύπο του ΙDFT παρατηρούμε ότι μια εικόνα Ι δυνατόν να εκφραστεί ως ένα άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού μιγαδικών εκθετικών εικόνων πολλαπλασιαζόμενων με κάποιο συντελεστή βάρους (weighted sum).  Για τον υπολογισμό του DFT μιας εικόνας, στις πλείστες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος FFT (Fast Fourier Transform), ένας αποδοτικός αλγόριθμος και ένας από τους πλέον δημοφιλείς και χρησιμοποιούμενους αλγορίθμους !...

312 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 312 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier - Σχόλια  Το αποτέλεσμα του IDFT είναι μια μιγαδική εικόνα J όπου το φανταστικό μέρος του κάθε στοιχείου της εικόνας είναι της μορφής = 0. Επομένως θα πρέπει να απομονώσουμε το πραγματικό μέρος και μόνο αυτό να απεικονίσουμε.

313 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 313 Ιδιότητες του πίνακα DFT (1/3)  Μπορούμε να κατανοήσουμε τον πίνακα DFT καλύτερα μελετώντας μερικές ιδιότητες του.  Κάθε εικόνα Ι που μελετούμε, αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς ή ακεραίους.  Ωστόσο, το DFT της είναι γενικά μιγαδικό.  To DFT μιας εικόνας μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα μιας πραγματικής και μιας φανταστικής εικόνας.

314 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 314 Ιδιότητες του πίνακα DFT (2/3)  Μπορεί να γραφτεί στην μορφή: όπου και

315 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 315 Ιδιότητες του πίνακα DFT (3/3) δηλαδή,  Τα πιο πάνω υπολογίστηκαν απ΄ευθείας από την αρχική εξίσωση DFT.  Έτσι η έχει μέγεθος και φάση.

316 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 316 Μέγεθος του DFT  Το μέγεθος του DFT είναι ένας πίνακας με στοιχεία: τα οποία είναι τα μεγέθη των μιγαδικών στοιχείων της

317 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 317 Φάση του DFT  Η φάση του DFT είναι ένας πίνακας με στοιχεία: τα οποία είναι η φάση των μιγαδικών στοιχείων της

318 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 318 DFT της εικόνας Ι  Έτσι… Μέγεθος Φάση

319 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 319 Συμμετρία (1/5)  Το DFT μιας εικόνας έχει συμμετρική συζυγία.  Απόδειξη Στην απόδειξη θα χρησιμοποιηθούν οι πιο κάτω ισότητες: 1. 2.

320 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 320 Συμμετρία (2/5)  Συνεχίζουμε με την απόδειξη…

321 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 321 Συμμετρία (3/5)  Αποδεικνύοντας το πιο πάνω συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας DFT περιέχει πλεονασμό, δηλαδή έχουμε τις ίδιες πληροφορίες περισσότερες από μία φορές (συμμετρία).  Τετριμμένα ισχύει:

322 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 322 Συμμετρία (4/5)  Απεικόνιση της συμμετρίας του DFT (μέγεθος).  Συμμετρία και στις δύο κατευθύνσεις (u-κατεύθυνση και v-κατεύθυνση).  Οι μονάδες μέτρησης είναι cycles/image (κύκλοι/εικόνα).

323 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 323 Συμμετρία (5/5)  Οι ψηλότερες συχνότητες αναπαριστάνονται κοντά στο (u, v) = (N/2, N/2), δηλαδή στο κέντρο.

324 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 324 Περιοδικότητα του DFT (1/4)  Ορίζουμε τον πίνακα DFT ώστε να έχει πεπερασμένη προέκταση με διαστάσεις N x N.  Ωστόσο, αν οι συντελεστές επιτραπούν να πάρουν τιμές έξω από την κλίμακα 0 ≤ u, v ≤ N-1, βρίσκουμε ότι το DFT είναι περιοδικό και στην u- και στην v-κατεύθυνση, με περίοδο Ν

325 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 325 Περιοδικότητα του DFT (2/4)  Απόδειξη Στην απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί η πιο κάτω ισότητα: 1.  Συνεχίζουμε με την απόδειξη…

326 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 326 Περιοδικότητα του DFT (3/4)  Αυτό ονομάζεται περιοδική προέκταση του DFT. Ορίζεται για όλες τις ακέραιες συχνότητες u,v.

327 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 327 Περιοδικότητα του DFT (4/4)  Περιοδική προέκταση του DFT

328 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 328 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (1/4)  Εφαρμόζοντας την IDFT εξίσωση στο DFT μιας εικόνας Ι, θα πάρουμε την αρχική μας εικόνα Ι, έτσι και η I προεκτείνεται περιοδικά.  Απόδειξη Στην απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί η πιο κάτω ισότητα: 1.

329 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 329 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (2/4)  Συνεχίζουμε με την απόδειξη…

330 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 330 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (3/4)  Κατά τη χρήση του DFT υπονοείται ότι η εικόνα Ι είναι ήδη περιοδική.  Αυτό θα είναι πολύ χρήσιμο όταν θα μελετήσουμε την συνέλιξη (κυκλική συνέλιξη).

331 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 331 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (4/4)  Περιοδική προέκταση της εικόνας Εικόνα Ι

332 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 332 Παρουσίαση του DFT (1/6)  Συνήθως το DFT αναπαρίσταται με την κεντρική του συντεταγμένη (u, v) = (0, 0) στο κέντρο της εικόνας.  Με αυτό τον τρόπο, οι πληροφορίες που αφορούν χαμηλές συχνότητες (οι οποίες συνήθως είναι κυρίαρχες στην εικόνα) επικεντρώνονται στη μέση της οθόνης.

333 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 333 Παρουσίαση του DFT (2/6)  Αυτό μπορεί να επιτευχθεί στην πράξη με το να πάρουμε το DFT της εναλλασσόμενης εικόνας (για σκοπούς αναπαράστασης μόνο).  Παρατηρήστε ότι:  οπότε χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω…

334 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 334 Παρουσίαση του DFT (3/6)

335 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 335 Παρουσίαση του DFT (4/6)  Μια απλή μετατόπιση του DFT στο μισό μήκος του και στις δυο κατευθύνσεις παρουσιάζεται πιο κάτω: Centered DFT

336 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 336 Παρουσίαση του DFT (5/6)  Επειδή το DFT είναι μιγαδικής μορφής, το μέγεθος και η φάση μπορούν να αναπαρασταθούν σαν ξεχωριστή εικόνα.  Για να αναπαρασταθεί το μέγεθος, συνήθως είναι καλύτερα να το συμπιέσουμε λογαριθμικά με την εξής εφαρμογή: πριν την αναπαράσταση, επειδή οπτικά οι χαμηλού μεγέθους συχνότητες θα είναι δυσδιάκριτες.

337 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 337 Παρουσίαση του DFT (6/6)  Μετά το λογάριθμο, είναι αναγκαίο να χρησιμοποιήσουμε γραμμική λειτουργία απλού στίγματος για να επεκτείνουμε την αντίθεση, επειδή οι τιμές του λογαρίθμου θα είναι πολύ μικρές.  ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ DFT Ι = imread(‘exampleim.tif’); F = fft2(I); F1 = log(1+abs(F)); imshow(I); figure, imshow(F1) I

338 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 338 Πίνακας Εκθετικών Μιγαδικών  Ορίζουμε ένα πίνακα των DFT εκθετικών μιγαδικών.  Αυτός είναι ένας συμμετρικός πίνακας.

339 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 339 Πίνακας Εκθετικών Μιγαδικών  Ο αντίστροφος πίνακας του είναι ο εξής συζυγής μιγαδικός:

340 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 340 Πίνακας Εκθετικών Μιγαδικών  Στην προηγούμενη εξίσωση, το στοιχείο καθορίζεται από τον εξής πίνακα: όπου

341 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 341 Μορφή γινομένου πινάκων των λειτουργιών DFT  Μπορούμε τώρα να ξαναγράψουμε τις DFT και IDFT εξισώσεις σαν γινόμενο πινάκων: DFT: IDFT:

342 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 342 Απόδειξη εξισώσεων γινομένου πινάκων των λειτουργιών DFT

343 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 343 Μορφή γινομένου πινάκων των λειτουργιών DFT  Δεν υπάρχει κανένα μυστήριο σχετικά με τη μορφή του πίνακα DFT – είναι απλά ένας εύκολος και βολικός τρόπος καταγραφής στοιχείων και αθροισμάτων υπό μορφή πολλαπλασιασμού πινάκων.  Θα μας είναι πολύ χρήσιμο αργότερα σαν συντόμευση όταν θα χρησιμοποιούμε το DFT εκτενώς.

344 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 344 Υπολογισμός του DFT  Οι γρήγοροι αλγόριθμοι για το DFT αναφέρονται συλλογικά σαν αλγόριθμοι γρήγορων μετασχηματισμών Fourier (FFT – Fast Fourier Transform).  Δεν θα ερευνήσουμε τη σχεδίασή τους, αφού είναι διαθέσιμοι στα περισσότερα προγράμματα μαθηματικών βιβλιοθηκών.

345 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 345 Υπολογισμός του DFT  Συνήθως ένας αλγόριθμος αρκεί για τον υπολογισμό και του DFT και του IDFT, αφού η δομή των μετασχηματισμών είναι παρόμοια.  Στις εξισώσεις πινάκων του DFT – IDFT, θυμηθείτε ότι διαφέρουν μόνο στη χρήση του W αντί του.  Έτσι ένα πρόγραμμα χρειάζεται να γνωρίζει μόνο ένα ψηφίο ελέγχου (flag bit), το οποίο θα δεικνύει κατά πόσο οι μιγαδικές τιμές θα πρέπει να είναι συζυγείς ή όχι.

346 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 346 Το Νόημα Της Συχνότητας Εικόνας  Μερικές φορές είναι εύκολο να χάσουμε την έννοια του DFT και του περιεχομένου συχνότητας της εικόνας σε όλα αυτά τα μαθηματικά.  Το DFT είναι ακριβώς αυτό – μια περιγραφή της περιεχόμενης συχνότητας.  Κοιτάζοντας το DFT ή το φάσμα μιας εικόνας (ειδικά το μέγεθός της), μπορούμε να προσδιορίσουμε πολλά στοιχεία σχετικά με την εικόνα.

347 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 347 Ποιοτικές ιδιότητες του DFT  Μπορούμε να θεωρήσουμε το DFT σαν μια εικόνα περιεχομένου συχνότητας.  Οι φωτεινές περιοχές στην DFT “εικόνα” αντιστοιχούν στις συχνότητες οι οποίες έχουν μεγάλο μέγεθος στην πραγματική εικόνα.  Είναι διαισθητικά λογικό να σκεφτούμε την περιεχόμενη συχνότητα της εικόνας σε συσχέτιση με την κοκκυκότητα (κατανομή της ακτινωτής συχνότητας) και τον προσανατολισμό της.

348 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 348 Granularity  Μεγάλες τιμές κοντά στο κέντρο του DFT αντιστοιχούν σε μεγάλες ομαλές περιοχές της εικόνας ή σε δυνατό φόντο.  Από τη στιγμή που οι εικόνες είναι θετικές (υπονοώντας μια προσθετική μετατόπιση), κάθε εικόνα έχει μια μεγάλη κορυφή στο (u, v) = (0, 0).

349 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 349 Χρήση μασκών στο DFT  Θεωρούμε ότι ορίζουμε διαφορετικές εικόνες με τιμές 0 και 1 (δυαδικές εικόνες).  Σημείωση: Οι μάσκες πρέπει να εφαρμόζονται πάνω σε shifted εικόνες. Low passMid passHigh pass

350 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 350 Χρήση μασκών στο DFT  Η χρησιμοποίηση μασκών στο DFT παράγει IDFT εικόνες με μόνο χαμηλές, μέσες ή υψηλές εναπομείναντες συχνότητες.  Φυσικά η πρόσθεση των αποτελεσμάτων μας επαναφέρει στην αρχική εικόνα.  Προσανατολισμός (Directionality): Αν το DFT είναι φωτεινότερο κατά μήκος κάποιας κατεύθυνσης, η εικόνα περιλαμβάνει ψηλά στοιχεία προσανατολισμού προς αυτή την κατεύθυνση.

351 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 351 Χρησιμοποιώντας μάσκες στο DFT  Ορίζουμε μερικές εικόνες προσανατολισμού μηδενός – ενός:

352 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 352 Χρησιμοποιώντας μάσκες στο DFT  Η χρησιμοποίηση μασκών θα παράξει ΙDFT εικόνες μόνο με απομεινάρια υψηλών προσανατολισμένων συχνοτήτων( διαφάνειες).  Πάλι αν προσθέσουμε τα αποτελέσματα θα πάρουμε πίσω την αρχική εικόνα.

353 Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής 353 Εικόνες