Τα Μαθηματικά ορίζονται ως η επιστήμη των αριθμών, των σχημάτων, των ποσοτήτων, των δομών και των μεταβολών στο χώρο και το χρόνο. Η ανάγκη του ανθρώπου.

Παρουσίαση με θέμα: "Τα Μαθηματικά ορίζονται ως η επιστήμη των αριθμών, των σχημάτων, των ποσοτήτων, των δομών και των μεταβολών στο χώρο και το χρόνο. Η ανάγκη του ανθρώπου."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Τα Μαθηματικά ορίζονται ως η επιστήμη των αριθμών, των σχημάτων, των ποσοτήτων, των δομών και των μεταβολών στο χώρο και το χρόνο. Η ανάγκη του ανθρώπου να περιγράψει τον κόσμο γύρω του με ποσοτικές μεθόδους και σχήματα ξεκινάει από πολύ παλιά:

2 Παλαιοντολόγοι έχουν ανακαλύψει σε σπήλαιο της Νοτίου Αφρικής χαραγμένα γεωμετρικά σύμβολα τα οποία χρονολογούνται από το π.Χ. Ακόμη προϊστορικά ευρήματα στην Αφρική και στη Γαλλία τα οποία χρονολογούνται μεταξύ του π.Χ. δείχνουν τις πρώτες προσπάθειες του ανθρώπου να μετρήσει και να καταγράψει τον χρόνο.

3 Μεσοποταμίας -Βαβυλώνιοι (1800-500 π.Χ.),
Οι αρχαιότερες αναφορές στα μαθηματικά που είναι γνωστές στον σύγχρονο κόσμο προέρχονται από τον πολιτισμό της : Μεσοποταμίας -Βαβυλώνιοι ( π.Χ.), από τους Αιγύπτιους ( π.Χ.), από τους Ινδούς (900 π.χ.-200 μ.Χ.)

4 και των Ελλήνων μαθηματικών (550 π. Χ. -300 μ. Χ
και των Ελλήνων μαθηματικών (550 π.Χ.-300 μ.Χ.) που ήταν αυτοί που έθεσαν για πρώτη φορά κανόνες και μεθόδους που ήταν απαραίτητοι για την περαιτέρω ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης από τους Άραβες, τους Κινέζους, τους Ινδούς και εν συνεχεία το δυτικό πολιτισμό.

5 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ο ΣΑΜΙΟΣ Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος, αρχηγός αρχαίου θρησκευτικού και πολιτικού κινήματος. Γεννήθηκε το 580 π.Χ. στη Σάμο και πέθανε γύρω στα 500 π.Χ. στο Μεταπόντιο της Κάτω Ιταλίας. Με σύσταση του Σαμίου τυράννου Πολυκράτη, πήγε στην Αίγυπτο όπου έμαθε τη γλώσσα των Αιγυπτίων, μυήθηκε στα αιγυπτιακά άδυτα και μελέτησε τις Βίβλους τους. Είχε δάσκαλο τον Φερεκύδη, στην Λέσβο, και τον Αναξίμανδρο στη Μίλητο.

6 Η σχολή Γενικά ο βίος του και η διδασκαλία του περιβάλλεται από θρύλους,όπως και από σκληρή πειθαρχεία και σιωπή. Η σχολή ήταν κλειστή και οι γνώσεις ήταν αποκλειστικό κτήμα των μυστών, οι οποίοι με κανένα τρόπο δεν έπρεπε να γράφουν ή να διαδίδουν προφορικά τα μυστικά που διδάσκονταν και που ήταν κυρίως τα μαθηματικά. Ο Πυθαγόρας είχε πολλούς και πιστούς μαθητές. Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του, τους έλεγε να λένε τα εξής. Που έσφαλα; τι έκανα; τι έπρεπε να κάνω και δεν έκανα; Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας, οι μαθητές του, γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν δικαίωμα να τον βλέπουν.

7 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε τριάδα (χ,ψ,ζ) αριθμών που επαληθεύουν τη σχέση χ2+ψ2=ζ2 αποτελούν πλευρές ορθογώνιου τριγώνου, σύμφωνα με τη σχέση του Πυθαγόρα (πυθαγόρειο θεώρημα).

8

9 ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ Αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και μαθηματικός ( π.Χ.), γεννήθηκε στη Μίλητο της Μ. Ασίας και καταγόταν από αριστοκρατική οικογένεια. Ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Βαβυλώνα, γνωρίζοντας από κοντά τους αρχαίους πολιτισμούς των λαών. Συναναστράφηκε με διάφορους ιερείς – σοφούς της Αιγύπτου. Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέμεινε άγαμος και αφοσιωμένος στην θεωρητική και πρακτική ενασχόληση με τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήμες.

10 Θεωρείται ως ο Ιδρυτής της Ιωνικής σχολής, ή της σχολής της Μιλήτου, διότι έθεσε πρώτος το πρόβλημα μιας γενικής αρχής όλων των πραγμάτων: η αρχή αυτή ήταν κατά το Θαλή το ύδωρ. Η κυριότερη προσφορά του Θαλή στην επιστήμη αυτή ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως, γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του «σκέπτεσθαι μέχρι εκείνη την εποχή.

11 ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ Εισήγαγε την έννοια των παραλλήλων ευθειών. Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματα. Μελέτησε τους Σκιοθηρικούς γνώμονες και τα τρίγωνά τους με τις σκιές τους Εισήγαγε την απόδειξη των γεωμετρικών προτάσεων, στηριγμένη σε ορισμούς, αξιώματα και κοινές έννοιες της Λογικής.

12 Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνων.
Ανακάλυψε το ομώνυμό του, Θεώρημα του Θαλή. Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο Ημικύκλιο. Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τριγώνου. Υπολόγισε με όμοια τρίγωνα το 'Yψος των Πυραμίδων (περί το 565 π.Χ.). Υπολόγισε με όμοια τρίγωνα την απόσταση πλοίου από το λιμάνι.

13

14 Ευκλείδης Για τη ζωή του Ευκλείδη είναι γνωστά λίγα πράγματα, γεννήθηκε περίπου το 325 π.Χ. και πέθανε το 265 π.Χ., ήταν σύγχρονος του Αρχιμήδη και πιθανόν να μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Η συνολική προσφορά του Ευκλείδη στα Μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες τέχνες τους υπήρξε σημαντικότατη και ταυτόχρονα βάση, από την οποία εξόρμησαν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί, γεωγράφοι και αστρονόμοι, για να οδηγηθούν στο τελικό μαθηματικό θαύμα της Ελληνικής Αρχαιότητας.

15 «Στοιχεία» Το κυριότερο σύγγραμμα του Ευκλείδη, με τον τίτλο που υποδιαιρείται σε 13 βιβλία, αποτελεί το σπουδαιότερο έργο των αρχαιοελληνικών Μαθηματικών και είναι ακόμα η βάση των σχολικών Μαθηματικών. Τα πρώτα έξι βιβλία καλύπτουν τη Γεωμετρία του επιπέδου, τα βιβλία επτά μέχρι εννέα την Αριθμητική και τη Θεωρία Αριθμών. Το δέκατο βιβλίο αναφέρεται στους άρρητους αριθμούς και τα τρία τελευταία βιβλία στη Στερεομετρία.

16 Ευκλείδεια γεωμετρία Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της «δυτικής» επιστήμης και τεχνικής και σ' αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά. Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ, Γκάους, Λομπατσέβσκι κ.ά.) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου, ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος, αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις, ταχύτητες, μάζες κτλ.) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η ευκλείδια Γεωμετρία, επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός! Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό, ελλειπτικό κ.ά. χώρο.

17 Αρχιμήδης Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μία από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυίες του κόσμου. Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες, την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας.Πιθανότατα ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία. Διασώθηκαν αρκετά συγγράμματά του, μερικά αποσπασματικά, «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», «Κύκλου μέτρησις», «Περί πολυέδρων», «Περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων», «Περί ελίκων», «Κέντρα βάρους επιπέδων», «Τετραγωνισμός παραβολής», «Κατοπτρικά», «Μηχανικά» κ.ά.

18 Το όνομα του Αρχιμήδη έχει συσχετιστεί με διάφορους θρύλους, π. χ
Το όνομα του Αρχιμήδη έχει συσχετιστεί με διάφορους θρύλους, π.χ. ότι πετάχτηκε από τη μπανιέρα του, μόλις αξιοποίησε πειραματιζόμενος την άνωση που εξασκεί το νερό και τρέχοντας γυμνός στους δρόμους, αναφωνούσε «Εύρηκα!», ότι έκαψε με συγκεντρωτικά κάτοπτρα πλοία των Ρωμαίων που πολιορκούσαν τις Συρακούσες, συγκεντρώνοντας πάνω τους την ηλιακή ακτινοβολία, ότι είπε σε Ρωμαίο στρατιώτη, ο οποίος τελικά και τον σκότωσε μετά την κατάληψη της πόλης το 212 π.Χ., «Μη μου τους κύκλους τάραττε!»

19 Διόφαντος ο Αλεξανδρινός
Ο Διόφαντος έζησε στην Αλεξάνδρεια τον 3ο μ.Χ. αιώνα και πέθανε σε μεγάλη ηλικία. Το γνωστότερο έργο του “Αριθμητικά” περιλαμβάνει 13 βιβλία από τα οποία έχουν σωθεί μόνο τα 10 (6 σε ελληνικά χειρόγραφα και 4 σε αραβική μετάφραση). Στο μνημειώδες αυτό έργο περιέχονται 189 αλγεβρικά προβλήματα τα οποία επιλύονται με την βοήθεια εξισώσεων, ανισώσεων και γραμμικών συστημάτων έως τρίτου βαθμού. Θεωρείτε ότι είναι ο πρώτος μαθηματικός που χρησιμοποίησε αλγεβρικά σύμβολα καθώς και την έννοια της άγνωστης μεταβλητής. Ένα από τα πιο γνωστά προβλήματα είναι η ανάλυση ενός τετράγωνου αριθμού σε άθροισμα δυο επίσης τετράγωνων αριθμών. Στα νεότερα μαθηματικά με τον όρο "Διοφαντικές Εξισώσεις" καλούμε εκείνες τις γραμμικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις μπορούν να παίρνουν μόνο ακέραιες τιμές. Άλλα γνωστά συγγράμματά του είναι τα “Περί Πολυγώνων Αριθμών”, το οποίο έχει σωθεί, τα “Μοριακά” και τα “Πορίσματα” τα οποία δυστυχώς δεν έχουν σωθεί. Η αξία του έργου του είναι πολύ μεγάλη και θεμελιώνει αρκετά πεδία της νεότερης μαθηματικής επιστήμης.

20 ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟΣ ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ
Υπολόγισε, για πρώτη φορά με μαθηματική μέθοδο, την απόσταση του Ήλιου και της Σελήνης από τη Γη. Έζησε στο διάστημα ( π.Χ.).

21 ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ο ΧΙΟΣ 'Eζησε στο διάστημα (470-400 π.Χ.).
Κατεξοχήν γεωμέτρης, παρακολούθησε περί το 430 π.Χ. μαθήματα Φιλοσοφίας και μαθηματικών στην Αθήνα, στην οποία αργότερα και δίδαξε. Ασχολήθηκε με το πρόβλημα του Διπλασιασμού του Κύβου το οποίο τότε περίπου είχε τεθεί, και το ανήγαγε σε πρόβλημα αναλογιών. Αυτός μάλλον θεώρησε όλους τους κύκλους ως όμοια σχήματα και πρότεινε δύο περίφημα θεωρήματα γι' αυτούς, τα παρακάτω: (1) "Τα εμβαδά των κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαμέτρων τους" (2) "Τα εμβαδά ομοίων κυκλικών τμημάτων (με ίσες επίκεντρες γωνίες) είναι ανάλογα των τετραγώνων των χορδών τους" Ευφυής γεωμέτρης κατέκτησε γρήγορα τις μέχρι τότε γεωμετρικές γνώσεις και συνέβαλε στην δρομολόγηση των λύσεων των προβλημάτων της Γεωμετρίας. .

22 ΠΛΑΤΩΝ ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ 'Eζησε στο διάστημα (427-347 π.Χ.).
Αθηναίος φιλόσοφος, αριστοκρατικής καταγωγής, ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο του Ελληνισμού, την Ακαδημία, για 40 περίπου χρόνια, μέχρι τον θάνατό του. Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπε τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες, και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά, τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία. Η προτροπή αυτή φαίνεται, εκτός των άλλων, και στις απόψεις του ότι τα Μαθηματικά είναι "δόσις θεών εις ανθρώπους" και ότι "οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο".

23 ΥΠΑΤΙΑ Η Υπατία γεννήθηκε στην Αλεξάνδρεια το 370 μ.χ και πέθανε στην ίδια πόλη το 415. Ήταν η πρώτη γυναίκα που είχε μιά ουσιαστική συμβολή στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Η Υπατία ήταν κόρη του μαθηματικού και φιλοσόφου Θέωνα της Αλεξάνδρειας και είναι αρκετά σίγουρο ότι μελέτησε τα μαθηματικά κάτω από τη καθοδήγηση και την εκπαίδευση του πατέρα της. Είναι μάλλον αξιοπρόσεκτο ότι η Υπατία έγινε επικεφαλής της σχολής των Πλατωνιστών στην Αλεξάνδρεια περίπου το 400 μ.χ. Εκεί δίδαξε μαθηματικά και φιλοσοφία, ειδικότερα ασχολήθηκε με την διδασκαλία της φιλοσοφίας των Νεοπλατωνιστών. Η Υπατία βάσισε τις διδασκαλίες της στους Πλωτίνο, ιδρυτή του Νεοπλατωνισμού, και τον Ιάμβλιχο που ήταν ένας από τους υπεύθυνους για την ανάπτυξη του Νεοπλατωνισμού στο 300 μ.χ.

24 Θεωρία αριθμών οι πρώτοι οι τέλειοι οι τριγωνικοί
οι πυθαγόρειες τριάδες οι φιμπονάτσι

25  Οι τριγωνικοί Χρειάζεσαι τρία βότσαλα για να φτιάξεις ένα τρίγωνο κι αν θες να φτιάξεις ένα μεγαλύτερο έτσι που κάθε βότσαλο να ισαπέχει από τα γειτονικά του χρειάζεσαι έξι, ενώ για ένα ακόμα μεγαλύτερο θες δεκαπέντε. Oι πανάρχαιοι τριγωνικοί αριθμοί, είναι ο 3, ο 6, ο 10, ο 15, ο 21, ο 28, ο 36, ο 45, ο

26  Οι πρώτοι Ο  «6» είναι «γινόμενο» του «2» και του «3», «γίνεται» από τον 2 και τον 3. Ο «30» «γίνεται»  από τον  2, τον 3 και τον 5, ενώ ο 17 «δεν γίνεται» από κάποιους  άλλους αριθμούς. Ο «17» είναι ΠΡΩΤΟΣ , όπως και ο 13, ο 5, ο 7 και ο 11 , όπως και κάθε ακέραιος που δεν έχει διαιρέτη εκτός φυσικά από τον εαυτό του και από τον 1. Οι ΠΡΩΤΟΙ είναι οι «δομικοί λίθοι» των (ακέραιων) αριθμών και αυτό είναι κάτι που το διέκριναν οι Έλληνες όταν διαπίστωσαν ότι κάθε αριθμός μπορεί να «γίνει» από πρώτους αριθμούς.

27  Οι τέλειοι Ο Πυθαγόρας πίστευε ότι ορισμένοι αριθμοί, όπως ο 6, πρέπει να θεωρούνται «τέλειοι». Τέλειος λέγεται  κάθε αριθμός ο  οποίος είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του. Ο 6 είναι ΤΕΛΕΙΟΣ διότι είναι ίσος με το άθροισμα των 1, 2 και 3 και οι 1,2,3 είναι οι τρεις διαιρέτες του (6=1+2+3) Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι πάντοτε γινόμενο μιας δύναμης του 2 επί την επόμενη δύναμη του 2 μείον 1 6 = 21.(22-1 )              28 = 22.(23-1 )       496 = 23.(24-1 )  Μπορούμε τώρα να βρούμε τον – μετά τον 496 – αμέσως μεγαλύτερο τέλειο  αριθμό. Είναι ο  8128 = 24.(25-1)  .

28 Οι Πυθαγόρειες τριάδες
  Οι Πυθαγόρειες τριάδες Ο Πυθαγόρας όταν  άρχισε να εφαρμόζει το πυθαγόρειο θεώρημα, εντύπωση του έκανε η τριάδα «3, 4 ,5» ως μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Δοκίμασε και με την τριάδα 2, 3, 4 για να διαπιστώσει εύκολα ότι δεν μπορούσε να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. Το ίδιο έγινε και με την τριάδα 4, 5 ,6. Αναρωτήθηκε «ποιες άλλες τριάδες φυσικών αριθμών θα μπορούσαν να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου»  και η πρώτη βέβαια επιλογή ήταν «όλα τα πολλαπλάσια των «3, 4 ,5» δηλαδή οι τριάδες «6, 8 ,10» «9, 12, 15» «15, 20 ,25» «18, 24, 30» και οι υπόλοιπες. Υπάρχουν άλλες τριάδες εκτός από αυτές; Σε γλώσσα άλγεβρας τριάδες φυσικών αριθμών α,  β,  γ, που ικανοποιούν τη σχέση α2 + β2 = γ2 .

29  Οι φιμπονάτσι Η ακολουθία Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται.  αν = αν-1 + αν-2 . Ο Leonardo από την Πίζα - Leonardo Pisano, αποκαλούμενος Fibonacci, γιος του Bonacci, - ο μεγαλύτερος ίσως ευρωπαίος μαθηματικός του Μεσαίωνα, είχε καταλήξει σε αυτή την ακολουθία παρακολουθώντας τις συνήθειες των κουνελιών όταν ζευγαρώνουν. Οι «αριθμοί  Fibonacci» -στη φύση : Πόσα είναι τα πέταλα των λουλουδιών; Αν τα μετρήσουμε θα καταλήξουμε σε αριθμό Fibonacci. Σε κάθε κουκουνάρι υπάρχουν έλικες. Πόσες είναι οι έλικες σε ένα τυχαίο κουκουνάρι; Αν τις μετρήσουμε θα βρούμε κάποιον αριθμό Fibonacci. Η ανάπτυξη των οστράκων μέσα στον χρόνο βρίσκεται επίσης σε αντιστοιχία με τους αριθμούς Fibonacci.

30

31

32

33 Ο Χρυσός Κανόνας Ο Χρυσός Κανόνας, που αναπαριστάται με το ελληνικό γράμμα [φ], προς τιμή του γλύπτη Φειδία, είναι ένας αριθμός (ή ένας από τους αριθμούς) ο οποίος φαίνεται ότι πηγάζει από και σχετίζεται με τη βασική δομή του κόσμου μας. Ο χρυσός κανόνας εμφανίζεται πολύ συχνά σε καταστάσεις, αντικείμενα και διαδικασίες των οποίων η λειτουργία εξελίσσεται σε βήματα, αλλά όχι πάντα και απαραίτητα. Ο εν λόγω αριθμός έχει να κάνει και με την αρμονία, γι' αυτό και συχνά συναντάται στην τέχνη ή στη γεωμετρία. Ένα παράδειγμα, για να κατανοήσουμε καλύτερα τη φύση του αριθμού, είναι η ακολουθία Fibonacci, όπου από έναν δοσμένο αριθμό, κάθε καινούργιος αριθμός αποτελεί το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Ας πάρουμε μια βασική ακολουθία Fibonacci: Αν υπολογίσουμε το λόγο ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο διαδοχικούς αριθμούς της ακολουθίας: 1/1 = 1 2/1 = 2 3/2 = /3 = /5 = /8 = /13 = /21 = Συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός στον οποίο τείνει να καταλήξει αυτός ο λόγος είναι το [φ]. Πάρτε για παράδειγμα το λόγο 34/21. Το πηλίκο διαφέρει από το [φ] μόνο κατά 0,001 περίπου.

34

35 Η Χρυσή Τομή Τι ακριβώς είναι  η χρυσή τομή; Ας πάρουμε μια ευθεία π.χ. 18 cm (α). Αν κάνουμε τη διαίρεση: 18/φ έχουμε το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα που φαίνεται στην εικόνα (β). Ο όρος "χρυσή τομή" αναφέρεται στην περίπτωση (γ), τη διαίρεση, δηλαδή, ενός ευθύγραμμου τμήματος σε αναλογίες του [φ].

36 Αν πάρουμε ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές, αν διαιρεθούν, μας δίνουν τον αριθμό [φ] (για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 13 x 8), αυτό το ορθογώνιο ονομάζεται "χρυσό ορθογώνιο". Αυτό έχει την εξής ενδιαφέρουσα ιδιότητα: Αν σχεδιάσουμε ένα νέο ορθογώνιο με μήκος το άθροισμα των διαστάσεων του ορθογωνίου που έχουμε, το καινούργιο ορθογώνιο είναι και αυτό χρυσό. Στη συγκεκριμένη περίπτωση (13 x 8), το νέο ορθογώνιο έχει διαστάσεις ( =)21 x 13.

37 Αν ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο (1 x 1) και αρχίσουμε να περιστρέφουμε τις πλευρές για να φτιάξουμε ορθογώνια, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα: Καταλήγουμε σε χρυσά ορθογώνια, οι διαστάσεις των οποίων διαδοχικά είναι οι εξής: 1 x 1 2 x 1 3 x 2 5 x 3 8 x x x x Μήπως σας θυμίζει την ακολουθία Fibonacci; Η αρχαία αρχιτεκτονική είναι γεμάτη από χρυσά ορθογώνια, και γενικά από αναλογίες του χρυσού κανόνα.

38

39

40

41 Tα μαθηματικά της φύσης
Η φύση αποτελεί ένα απέραντο εργαστήριο μαθηματικής ανάλυσης.

42 Για τους περισσότερους από εμάς ένα ποτάμι δεν είναι παρά ένα ποτάμι.
Για αρκετούς μαθηματικούς όμως αποτελεί ένα πραγματικό θαύμα υπολογισμού της φύσης, ενώ ακόμα και ο Αϊνστάιν είχε ασχοληθεί με τη συνεχή αυτή ροή νερού, στην οποία εντόπιζε μια μικρογραφία της αέναης σύγκρουσης που παρατηρείται στο σύμπαν μεταξύ του χάους και της τάξης.

43 Τα μαγικά ποτάμια Ο Χανς Χένρικ Στέλουμ, καθηγητής γεωλογίας στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, υποστήριξε ότι κάθε ποτάμι «κρύβει» τον αριθμό 3,14 τον περίφημο λόγο π που προκύπτει αν διαιρέσουμε την περίμετρο ενός κύκλου με τη διάμετρό του. Για να καταλήξει σε αυτό το συμπέρασμα, ο Στέλουμ διαίρεσε το συνολικό μήκος δεκάδων ποταμών με την απόσταση που χωρίζει (σε ευθεία γραμμή) την πηγή με τις εκβολές τους. Ο λόγος αυτός ήταν σχεδόν πάντα λίγο μεγαλύτερος από τρία και τις περισσότερες φορές προσέγγιζε τον «μαγικό» αριθμό 3,14.

44

45 Η «φυσική» επιβολή της τάξης
Όπως εξηγούσε ο Αϊνστάιν η φύση κινείται παράλληλα και για την επιβολή της τάξης, ακολουθώντας μια αντίστροφη διαδικασία. Aπό τη γεωλογία, όταν η ροή ενός ποταμού σχηματίζει μεγάλες διαδοχικές καμπύλες σχήματος S παρατηρείται το εξής φαινόμενο: Αρκετές από αυτές τις καμπύλες αποκόπτονται και δημιουργούν μικρές λίμνες ενώ το ποτάμι συνεχίζει ευθύγραμμη πορεία. Το αποτέλεσμα είναι ότι οι δυνάμεις που οδηγούν σε περισσότερο σπειροειδή σχήματα αντισταθμίζονται από δυνάμεις που τείνουν να μετατρέψουν το ποτάμι σε ευθεία γραμμή. Σύμφωνα με τον Στέλουμ, παρά τη συνεχή αυτή «διαπάλη», ο λόγος μεταξύ του μήκους και της απόστασης σε ευθεία γραμμή παραμένει σταθερός και προσεγγίζει τον αριθμό π.

46

47 Τα ζώα και τα... ανώτερα μαθηματικά
Ζώα, όπως οι πυγολαμπίδες και τα τζιτζίκια μας εισάγουν σε ανώτερα μαθηματικά. Εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών, όπως ο Στίβεν Στρόγκατζ από το πανεπιστήμιο Κορνέλ.

48 Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης
«Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ενα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» λεει χαρακτηριστικά ο ίδιος ο Στρόγκατζ, ο οποίος στήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού. Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης πρωτοεμφανίστηκε το 17ο αιώνα, όταν μαθηματικοί της εποχής παρατήρησαν πως δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονταν στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, άρχιζαν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ενα προς το άλλο μέσω του τοίχου! Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού τα οποία δεν έχουν εξηγηθεί πλήρως παρατηρούνται αρκετές φορές και σε τζιτζίκια και άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους.

49 Fractals Συνδυάζοντας αρχές γεωμετρίας δικτύων και υδροδυναμικής, οι επιστήμονες ανακάλυψαν και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η σχέση μεταβολισμού και μάζας εξαρτάται από τη δομή του δικτύου διανομής ενέργειας και τροφής που διαθέτει κάθε οργανισμός και το οποίο έχει μορφή fractal. Κύριο χαρακτηριστικό των fractals είναι ότι κάθε τμήμα του, σε όποια κλίμακα και αν το εξετάσουμε, αποτελεί μικρογραφία του συνόλου.

50

51 Επίλογος Τα μαθηματικά ανακηρύχθηκαν σε βασίλισσα των επιστημών, το μαγικό κλειδί που ανοίγει όλες τις πόρτες στο σύμπαν. Οι πραγματικοί επιστήμονες γνωρίζουν ότι τα καθαρά μαθηματικά δεν είναι «απόλυτη σκέψη», δεν υπάρχουν «αμόλυντα» από την υλική πραγματικότητα. Γνωρίζουν ότι η γεωμετρία αναπτύχθηκε από την ανάγκη «μέτρησης της Γης», ότι το δεκαδικό σύστημα επικράτησε επειδή έχουμε δέκα δάχτυλα και ότι τα σύμβολα + και - δεν ήταν παρά τα σημάδια που χρησιμοποιούσαν οι έμποροι του μεσαίωνα για να υπολογίσουν το πλεόνασμα και το έλλειμμα των προϊόντων στις αποθήκες τους. Γνωρίζουν με λίγα λόγια ότι τίποτα δεν επιβλήθηκε από κάποια ανώτερη δύναμη, αλλά απλώς χρησιμοποιήθηκε για την κατανόηση της πραγματικότητας. Είναι λοιπόν η φύση που υπάρχει στα μαθηματικά και όχι τα μαθηματικά στη φύση.