Χάος και Φράκταλ 8 Νοεμβρίου 2007: Παράγραφος 2.4 « Η Μυστηριώδης Νήσος του Mandelbrot » Αυτές οι σελίδες Powerpoint συμπληρώνουν το κείμενο του βιβλίου.

Παρουσίαση με θέμα: "Χάος και Φράκταλ 8 Νοεμβρίου 2007: Παράγραφος 2.4 « Η Μυστηριώδης Νήσος του Mandelbrot » Αυτές οι σελίδες Powerpoint συμπληρώνουν το κείμενο του βιβλίου."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Χάος και Φράκταλ 8 Νοεμβρίου 2007: Παράγραφος 2.4 « Η Μυστηριώδης Νήσος του Mandelbrot » Αυτές οι σελίδες Powerpoint συμπληρώνουν το κείμενο του βιβλίου. Τα έδειξα κατά τη διάρκεια του μαθήματος, και μ’ αυτό τον τρόπο μπορούν τώρα και οι φοιτητές που έχασαν το μάθημα λόγω συνέλευσης να δουν τι ειπώθηκε. Ο διδάσκων, Ιάκωβος βαν ντερ Βέιλε 8 Νοεμβρίου 2007

2 Η μυστηριώδης νήσος του Mandelbrot

3 Για ποιες τιμές του c είναι το σύνολο Julia της μιγαδικής απεικόνισης z n+1 = z n 2 + c συνεκτικό;

4 Απάντηση b a στο (a,b) επίπεδο : c = a + i b

5 a b c = a + i bc = a + i b Το νησί του Mandelbrot

6

7

8

9

10 Το νησί του Mandelbrot είναι κι αυτό το ίδιο ένα συνεκτικό φράκταλ!

11 Για να δούμε τώρα ένα ακρωτήρι του νησιού: c = i

12

13

14

15

16 Πράγματι ένα ακρωτήρι

17 Ποιο σύνολο Julia αντιστοιχεί στο ακρωτήρι c = i ; Δηλαδή, ψάχνουμε το σύνολο των αρχικών σημείων z 0 που δεν καταλήγουν στο άπειρο υπό την επίδραση της απεικόνισης z n+1 = z n 2 + i

18 x y

19

20

21

22 χρειαζόμαστε περισσότερα βήματα

23 όλο και περισσότερα βήματα

24 και πάλι περισσότερα βήματα Μόλις συνεκτικό... όπως περιμέναμε

25 Ποια θα είναι η διάσταση D c της ακτής του νησιού ;

26

27

28

29

30

31

32

33

34 Σημείο συμπύκνωσης

35 Χάρη στα σημεία συμπύκνωσης στις « ουρές του ιππόκαμπου » : D c = 2 Η μέγιστη τιμή για μια ακτή Ζήτω ο Mandelbrot! Shishikura, 1991

36 Πώς εξηγείται το σχήμα του νησιού ;

37 12 3 3 4 4 5 5 7 5 5 6 6 7 7 7 7 7 2+1 3+1 2+3 4+1 5+1 6+1 3+4 2+5

38 Από τα πολλά πολλά μυστικά που κρύβει ακόμα η Νήσος του Mandelbrot, εμείς διαλέγουμε μόνο ένα: την ξακουστή ακολουθία διπλασιασμού περιόδων

39 124 8 16 32 κλπ Ακολουθία διπλασιασμού περιόδων

40 Όπως θα δούμε στα επόμενα μαθήματα, αυτή η ακολουθία είναι πολύ σημαντική: μετάβαση από Τάξη σε Χάος.

41 Tέλος