2o ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Παρουσίαση με θέμα: "2o ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 2o ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
«ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΩΣ ΣΗΜΕΡΑ» Συνεργάστηκαν: Γρηγοριάδης Γεώργιος, Μαθηματικός Πέτσας Νικόλαος, Φιλόλογος

2 Συνοπτικό διάγραμμα της ιστορίας της γεωμετρίας έως τον Ευκλείδη
Σύμφωνα με τις μαρτυρίες αρχαίων συγγραφέων η γεωμετρία είναι δημιούργημα των Αιγυπτίων. Οδηγήθηκαν στην ανακάλυψή τους αυτή από την ανάγκη μέτρησης της γης δίπλα στις όχθες του ποταμού Νείλου. Ύστερα από κάθε πλημμύρα του ποταμού και απομάκρυνση των υδάτων η γη έπρεπε πάντοτε να μετριέται ξανά για λόγους κτηματολογικούς και φορολογικούς.

3 Η δημιουργία της γεωμετρίας ως επιστήμης για την έρευνα των ιδιοτήτων του χώρου είναι αποκλειστικό έργο του ελληνικού πνεύματος και αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο, ο οποίος συγκαταλέγεται μεταξύ των επτά σοφών της αρχαιότητας. Μετά το Θαλή μνημονεύονται ως σπουδαίοι μαθηματικοί ο Μαμέρτιος, ο Αναξίμανδρος και ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, ο οποίος έδρασε στη Μεγάλη Ελλάδα.

4 Ήταν γνωστό το πυθαγόρειο θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα;
Ήταν γνωστό το πυθαγόρειο θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα;

5 1. Μεσοποταμία Στο σηµερινό Ιράκ, ένας µεγάλος αρχαίος πολιτισµός αναπτύχθηκε πριν από χρόνια: ο πολιτισµός της Μεσοποταμίας Μεταξύ των πινακίδων που έγιναν αντικείµενο ειδικής και λεπτοµερούς εξέτασης υπάρχει µία µε την απλή ονοµασία «YBC 7289».

6 Η πινακίδα YBC 7289 Αποδεικνύει ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν πώς να υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα ενός αριθµού µε αξιοθαύµαστη ακρίβεια (ίση µε αυτή µιας σύγχρονης αριθµοµηχανής οκτώ ψηφίων). Άρα, γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρημα.

7 2. Αίγυπτος Η κύρια πηγή πληροφοριών για τα μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων προέρχεται από τον Πάπυρο Rhind, μία συλλογή από 84 μαθηματικά προβλήματα αριθμητικής, γεωμετρίας και στοιχειώδους άλγεβρας, η οποία γράφηκε περί το 1650 π.Χ. Η απουσία οποιασδήποτε αναφοράς στο πυθαγόρειο θεώρημα υποδηλώνει με αρκετή βεβαιότητα ότι οι Αιγύπτιοι δεν το γνώριζαν.

8 3. Πυθαγόρας Σύμφωνα με την παράδοση, ο Πυθαγόρας γεννήθηκε γύρω
στο 570 π.Χ. στη Σάμο. Γύρω στο 530 π.Χ. ο Πυθαγόρας εγκατέλειψε τη Σάμο και εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα, μία ελληνική αποικία στην Κάτω Ιταλία. Εκεί ίδρυσε σχολή, στην ουσία μια μυστικιστική οργάνωση. Οι πυθαγόρειοι υιοθετούσαν την ανατολική παράδοση της προφορικής μεταβίβασης της γνώσης με αποτέλεσμα να μείνουν λιγοστές έως μηδαμινές γραπτές καταγραφές.

9 1η Απόδειξη από τον Πυθαγόρα
Ειδική περίπτωση του πυθαγόρειου θεωρήµατος για τρίγωνο με γωνίες 450, 450 και 900.

10 2η Απόδειξη από τον Πυθαγόρα
α2 β2 γ2

11 Μετά τον Πυθαγόρα Εν τω µεταξύ, µεγάλες πολιτικές αλλαγές αναδιαµόρφωναν τον αρχαίο κόσµο. Η περσική αυτοκρατορία αποκτούσε υπεροχή και σύντοµα διαδέχθηκε τη Βαβυλώνα, αναδεικνυόµενη σε κυρίαρχη δύναµη της ανατολικής Μεσογείου. Το 490 π.Χ. οι Αθηναίοι νίκησαν το στρατό των Περσών στον Μαραθώνα και η Αθήνα επέβαλε την πολιτική κυριαρχία της στις ελληνικές πόλεις - κράτη.

12 Ακολούθησε µισός αιώνας ειρήνης, κατά τη διάρκεια της οποίας η Αθήνα άνθησε ως κέντρο δηµοκρατίας και µάθησης. Ωστόσο, η περίοδος ηρεµίας έληξε µε τον Πελοποννησιακό Πόλεµο ( π.Χ.), στον οποίο η Αθήνα συνετρίβη στρατιωτικά από τη Σπάρτη. Έπειτα, το 371 π.Χ., η Σπάρτη νικήθηκε από τις πόλεις - κράτη που είχαν επαναστατήσει. Το κέντρο της µάθησης µεταφέρθηκε στον Τάραντα της Κάτω Ιταλίας, όπου οι πυθαγόρειοι ανασυντάχθηκαν υπό την ηγεσία του Αρχύτα.

13 Αλλά η Αθήνα άρχισε σταδιακά να επανακτά τον ηγετικό ρόλο της
Αλλά η Αθήνα άρχισε σταδιακά να επανακτά τον ηγετικό ρόλο της. Ορόσηµο αποτέλεσε το έτος 387 π.Χ., όταν ο µεγάλος φιλόσοφος Πλάτωνας ( π.Χ.) ίδρυσε την Ακαδηµία των Αθηνών, η οποία θα κυριαρχούσε στην ελληvική διανόηση για τα επόµενα xρόvια. Η επόµενη µεγάλη πολιτική αναταραχή ήρθε το 338 π.Χ, όταν ο βασιλιάς της Μακεδονίας Φίλιππος Β' καθυπόταξε όλη τη νότια Ελλάδα. Δύο χρόνια αργότερα, ο γιος του Φιλίππου, ο Αλέξανδρος ο Μέγας ( π.Χ.) ανέβηκε στο θρόνο και µέσα σε δέκα xρόvια κατέκτησε ολόκληρο σχεδόν τον αρχαίο κόσµο.

14 Το 323 π. Χ, ο Μέγας Αλέξανδρος πέθανε πρόωρα σε ηλικία 33 ετών
Το 323 π.Χ, ο Μέγας Αλέξανδρος πέθανε πρόωρα σε ηλικία 33 ετών. Οι έριδες των διαδόχων του οδήγησαν στη διάσπαση της αυτοκρατορίας του σε ξεχωριστά βασίλεια. Η Αίγυπτος περιήλθε στην εξουσία του Πτολεµαίου. Η ηγεµονία του Πτολεµαίου Α' ξεκίνησε το 306 π.Χ., µε την επιλογή της Αλεξάνδρειας ως πρωτεύουσας του κράτους του και την ίδρυση σχολής, η οποία θα γινόταν πνευµατική ηγέτιδα του αρχαίου κόσµου.

15 Η Αλεξάνδρεια διέθετε όλα τα εφόδια µιας σύγχρονης πανεπιστηµιούπολης: µεγαλοπρεπή κτήρια, κήπους και ένα περίφηµο µουσείο. Η διάσηµη βιβλιοθήκη της διέθετε αµέτρητα (πάνω από µισό εκατοµµύριο) βιβλία (με τη µορφή κυλίνδρων παπύρου), τα οποία είχαν αποκτηθεί – µερικές φορές παράνοµα και κατόπιν εξαναγκασµού – από οπουδήποτε µπορούσαν να βρεθούν. Μελετητές από κοντινές και µακρινές περιοχές έρχονταν στην Αλεξάνδρεια, όπου και διέµεναν για εκτεταµένες περιόδους µελέτης. Χάρη σε αυτoύς, ο ελληνικός πολιτισµός διαδόθηκε σε όλο τον αρχαίο κόσµο και η ελληνική γλώσσα έγινε η διεθνής γλώσσα της εποχής (ελληνιστική κοινή).

16 4. Το Πυθαγόρειο θεώρημα στον Ευκλείδη
Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό για τη ζωή του Ευκλείδη. Ακόµα και η χρονολογία και ο τόπος γέννησής του είναι ασαφή, όµως πιθανότατα µεγάλωσε και µορφώθηκε στην Αθήνα. Στη συνέχεια εγκαταστάθηκε στην Αλεξάνδρεια και δίδαξε µαθηµατικά και γεωµετρία στο Μουσείο. Ήκμασε γύρω στο π.Χ.

17 Ο Ευκλείδης συνέγραψε πολλά βιβλία μαθηματικών, μερικά από τα οποία έφτασαν μέσω αραβικών μεταφράσεων μέχρι τις μέρες μας. Όμως το έργο του που άσκησε μακράν τη μεγαλύτερη επιρροή είναι τα Στοιχεία. Γραμμένο σε 13 «βιβλία» (σήμερα θα τα λέγαμε κεφάλαια) αποτελεί σύνοψη όλων των βασικών γνώσεων αριθµητικής και γεωµετρίας της εποχής του.

18 Αιτήµατα 1. Δοθέντων δύο σηµείων, δύναται να άγεται ευθεία µε άκρα τα δύο συγκεκριµένα σηµεία. 2. Κάθε ευθύγραµµο τµήµα δύναται να προεκτείνεται επ’ αόριστον προς αµφότερες τις κατευθύνσεις. 3. Με δεδοµένο οποιοδήποτε σηµείο και µε οποιαδήποτε ακτίνα, δύναται να γραφεί κύκλος. 4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι µεταξύ τους ίσες. 5. Εάν ευθεία τέµνουσα δύο ευθείες σχηµατίζει εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες αθροίσµατος µικρότερου των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόµενες επ’ άπειρον θα συµπέσουν προς το µέρος όπου σχηµατίζονται οι µικρότερες των δύο ορθών γωνίες.

19 Κοινές έννοιες 1. Τα τω αυτώ ίσα είναι µεταξύ τους ίσα. 2. Και εάν σε ίσα προστεθούν ίσα, τα προκύπτοντα είναι µεταξύ τους ίσα. 3. Και εάν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, τα υπόλοιπα είναι µεταξύ τους ίσα. 4. Και τα εφαρµόζοντα επ άλληλα είναι ίσα µεταξύ τους. 5. Και το όλον είναι µεγαλύτερο του µέρους.

20 Η απόδειξη του Ευκλείδη
Πρότασn I47 Σε ορθογώνια τρίγωνα, το τετράγωνο µε πλευρά αυτή που αντίκειται στnν oρθή γωνία (υποτείνουσα) είναι ίσο µε τα τετράγωνα που σχnµατίζονται µε πλευρές αυτές τnς ορθής γωνίας.

21 Γιατί τόσο πολύπλοκη απόδειξη;
Ένας αριθµός νοούνταν ως το µήκος κάποιου ευθύγραµµου τµήµατος. το γινόµενο δύο αριθµών νοούνταν ως το εµβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές τα ευθύγραµµα τµήµατα που αντιστοιχούν στους δύο αριθµούς. Το τετράγωνο ενός αριθµού α νοούνταν ως το εµβαδόν τετραγώνου πλευράς α (εξ αυτού η ποσότητα α2 αποκαλείται «τετράγωνο του α»). Έτσι, ήταν φυσικό οι Έλληνες µαθηµατικοί να θεωρούν το πυθαγόρειο θεώρηµα ως µια σχέση µεταξύ εµβαδών. Από αυτή την οπτική, ήταν απολύτως λογικό για τον Ευκλείδη να αποδείξει το θεώρηµα µε τον συγκεκριµένο τρόπο.

22 Το αντίστροφο του Πυθαγορείου
Σε ένα τρίγωνο, αν το τετράγωνο µε πλευρά µία από τις πλευρές του τριγώνου είναι ίσο µε τα τετράγωνα που έχουν πλευρές τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου, τότε n περιεχόµενn στις δύο αυτές πλευρές γωνία είναι oρθή.

23 Ονομασίες του Πυθαγορείου
Είναι γνωστό με πολλές ονομασίες: Ευκλείδnς Ι 47, διότι απαριθμείται ως Πρόταση 47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδη Θεώρnμα της υπoτείνoυσας Θεώρnμα του Πυθαγόρα Aνεμόμυλος, επειδή η σχηματική του αναπαράσταση μοιάζει με τα τρία ιστία ενός μύλου Kαρέκλα τnς νύφnς, για λόγους που γνωρίζει μόνο αυτός που πρότεινε αυτή την ονομασία!

24 Μεταφραστές και σχολιαστές
Το 641 μ.Χ. οι Άραβες κατέλαβαν την Αλεξάνδρεια και με διαταγή του χαλίφη κάηκε και πάλι ό,τι είχε απομείνει στη βιβλιοθήκη μετά την καταστροφική πυρκαγιά στη διάρκεια εξέγερσης των χριστιανών εναντίον των εθνικών το 389 μ.Χ. Παραδόθηκε στις φλόγες η ανεκτίμητης αξίας συλλογή των παπύρων – σχεδόν όλη η λογοτεχνική και επιστημονική κληρονομιά του αρχαίου κόσμου. Ωστόσο, μερικοί στοχαστές διατήρησαν ζωντανή αυτή την παράδοση της μάθησης· ανάμεσά τους ξεχωρίζουν δύο ονόματα: ο Θέων και ο Πρόκλος.

25 Ο Θέων ο Αλεξανδρεύς έζησε στο τέλος του 4ου αιώνα µ. Χ
Ο Θέων ο Αλεξανδρεύς έζησε στο τέλος του 4ου αιώνα µ.Χ. Περίπου το 390 συνέγραψε µια αναθεωρηµένη εκδοχή των Στοιχείων, η οποία θα αποτελούσε τη βάση για τις περισσότερες από τις µεταγενέστερες εκδόσεις τους· επίσης, έγραψε ένα Υπόµνnµα (σε έντεκα βιβλία) στην Αλµαγέστn του Πτολεµαίου. Το όνοµά του θα σχετίζεται για πάντα µε την κόρη του, την Υπατία (περίπου ), η οποία έγινε και η ίδια µαθηµατικός. Η Υπατία ήταν έξυπνη, ευφραδής και όµορφη. Αυτά τα χαρακτηριστικά – και κυρίως η διδασκαλία της – συγκέντρωσαν επάνω της την οργή ενός εξαγριωµένου όχλου χριστιανών· κατηγορήθηκε ότι δίδασκε τον παγανισµό και θανατώθηκε άγρια.

26 Ο Πρόκλος (περίπου µ.Χ.) γεννήθηκε στο Bυζάvτιo, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια, αργότερα δε έγινε επικεφαλής της πλατωνικής Ακαδηµίας των Αθηνών. Είναι κυρίως γνωστός για το Υπόµνnµα, ένα έργο που περιλαµβάνει τα σχόλιά του στο Βιβλίο Ι των Στοιχείων και µια ιστορική επισκόπηση της ελληνικής γεωµετρίας µέχρι την εποχή του Ευκλείδη

27 Το Πυθαγόρειο θεώρημα σε αραβικό κείμενο
ΤΕΛΟΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ!