Ο ΜΑΡΚ ΧΑΝΤΟΝ Κριτική στο Notices of American Mathematical Society (AMS) Μάρτιος 2006 Helmer ASLAKSEN associate professor of mathematics at the National.

Παρουσίαση με θέμα: "Ο ΜΑΡΚ ΧΑΝΤΟΝ Κριτική στο Notices of American Mathematical Society (AMS) Μάρτιος 2006 Helmer ASLAKSEN associate professor of mathematics at the National."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2

3 Ο ΜΑΡΚ ΧΑΝΤΟΝ

4 Κριτική στο Notices of American Mathematical Society (AMS) Μάρτιος 2006
Helmer ASLAKSEN associate professor of mathematics at the National University of Singapore.

5 AMS (2) Γιατί να κριτικάρουμε αυτό, το πραγματικά ευαίσθητο και συναρπαστικό, βιβλίο σε ένα μαθηματικό περιοδικό; Επειδή ο ήρωάς του είναι ένα παιδί θαύμα στα μαθηματικά, επειδή πάσχει από το σύνδρομο Asperger ή για κάποιον άλλο λόγο;

6 AMS (3) Το πορτρέτο των μαθηματικών στα λαϊκά μέσα ενημέρωσης συνήθως δεν είναι ιδιαίτερα κολακευτικό. Για παράδειγμα, το βιβλίο και η ταινία « A Beautiful Mind» δημιούργησε ανάμεικτα συναισθήματα στους μαθηματικούς: Ναι είναι σπουδαίο να βλέπεις μια ταινία στην οποία ο ήρωας είναι μαθηματικός και τον υποδύεται ένας σταρ του Hollywood, αλλά μήπως παράλληλα ενισχύεται το στερεότυπο που θέλει τους μαθηματικούς τελικά ως «τρελούς επιστήμονες»;

7 AMS (5) Νοιώθω ότι υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα στο «Ποιος σκότωσε τον σκύλο τα μεσάνυχτα» και στο «A Beautiful Mind». Η παρανοϊκή σχιζοφρένεια είναι μια ακραία κατάσταση και πολύ δύσκολα κάποιος μαθηματικός βλέπει στους συναδέλφους του ή στους φοιτητές του απεικονίσεις του John Nash. Ωστόσο, πιστεύω ότι πολλοί από εμάς θα σχετίζονται με κάποιες πλευρές της συμπεριφοράς του Christopher. Ευτυχώς, υπάρχουν ελάχιστοι μαθηματικοί που πάσχουν από βαριάς μορφής αυτισμό, ωστόσο πολλοί από εμάς έχουν μερικά από τα χαρακτηριστικά, σε κάποιο βαθμό, και μερικοί υποστηρίζουν ότι μια μικρή «ιδέα» αυτισμού είναι απαραίτητη για να πετύχει κανείς στα μαθηματικά.

8 Σύμφωνα με τον Joan James (στο βιβλίο του Autism in Mathematics, 2003) « Πολύ περιληπτικά, τα κριτήρια για το Asperger περιλαμβάνουν σοβαρή βλάβη στην αμοιβαία κοινωνική αλληλεπίδραση, απορρόφηση σε περιορισμένου εύρους ενδιαφέροντα, καταναγκαστική επιβολή ρουτινών και ενδιαφερόντων στον εαυτό τους και στους άλλους, προβλήματα στην ομιλία και στην γλώσσα και στην μη λεκτική επικοινωνία και, μερικές φορές, κινητική αδεξιότητα. Ο τυχαίος παρατηρητής μπορεί να παρατηρήσει μια απώθηση στην κατευθείαν επαφή με τα μάτια, ιδιαιτερότητες στην έκφραση, δυσκολία στον χειρισμό κοινωνικών καταστάσεων, και μια εμμονή με ένα συγκεκριμένο αντικείμενο όπως για παράδειγμα την επιστήμη των υπολογιστών.

9 AMS (6) Όταν η γυναίκα μου διάβασε το βιβλίο, μου είπε ότι ο Christopher της θύμισε εμένα. Δεν νοιώθω άσχημα γι’ αυτό. Είμαι μάλιστα ευτυχής που είναι μια σύζυγος που με κατανοεί και με υποστηρίζει και που μπορεί να εκτιμήσει κάποιον με υψηλό Systemizing quotient (συστηματοποιημένο – μεθοδευμένο δείκτη ευφυΐας)

10 Ένα πράγμα που θαυμάζω στην μαθηματική κοινότητα είναι η ανεκτικότητά μας απέναντι στην αντισυμβατική συμπεριφορά. Αυτό που μου άρεσε περισσότερο στο «A Beautiful Mind», ήταν ο τρόπος που η μαθηματική κοινότητα υποστήριξε τον Nash. Πρόσφατα επισκέφτηκα ένα πανεπιστήμιο στο οποίο ένας διάσημος καθηγητής είναι γνωστό ότι πάσχει από το σύνδρομο Asperger. Ρώτησα κάποιους φίλους μου εκεί πως τα πάει. Με κοίταξαν με μεγάλη έκπληξη. Τι εννοούσα «πως τα πάει ο καθηγητής Χ»; Πρόσφατα είχαν δείπνο στο σπίτι ενός από αυτούς και δεν υπήρξε τίποτα παράξενο με αυτόν τον καθηγητή που θα μπορούσαν να πουν. Απλά ήταν λίγο ατυχές το γεγονός ότι είχε περάσει την περισσότερη ώρα του δείπνου κάτω από το τραπέζι διαβάζοντας την Εγκυκλοπαίδεια Μπριτάνικα, αλλά δεν το σκέφτηκαν αυτό σαν κάποιο πρόβλημα. Έτσι, ενώ κάποιοι ίσως να τρομάζουν με κάποιες πλευρές της συμπεριφοράς του Christopher, οι περισσότεροι μαθηματικοί νοιώθουν πολύ άνετα με τις περισσότερες από αυτές. Ο Borcherds είχε πει σε μια συνέντευξη, ότι σε κάθε τμήμα που είχε επισκεφτεί είχε συναντήσει τουλάχιστον ένα άτομο ξεκάθαρα πιο παράξενο από αυτόν.

11 AMS (8) Γιατί λοιπόν το βιβλίο αυτό αξίζει να κριτικάρεται από το Notices; Κατά την άποψή μου το βιβλίο αυτό περιέχει κάποια πραγματικά μαθηματικά. Ο Mark Haddon σε μια συνέντευξή του είχε πει: « αν απολαμβάνεις τα μαθηματικά και γράφεις μυθιστορήματα είναι πολύ σπάνιο να έχεις την ευκαιρία να βάλεις τα μαθηματικά σου μέσα στο μυθιστόρημα. Άρπαξα την ευκαιρία» Και σίγουρα το έκανε!

12 AMS (9) Είμαι φανατικά υπέρ της διάδοσης των μαθηματικών και μπορώ να πω ότι ο Christopher είναι ταλαντούχος σε αυτό. Πολλοί μαθηματικοί μιλούν με ενθουσιασμό για την ομορφιά των μαθηματικών, αλλά όταν τους ζητάς να μοιραστούν αυτή την ομορφιά με ένα ευρύ κοινό, τείνουν να χρησιμοποιούν φράσεις όπως: « Έστω χ μια προβολική πολλαπλότητα πάνω στο πεδίο μιας χαρακτηριστικής p». Πραγματικά με ενοχλεί που μερικοί μαθηματικοί δεν ενδιαφέρονται αρκετά για να προσπαθήσουν να βρουν κάποια σύνδεση μεταξύ αυτού που κάνουν επαγγελματικά και αυτού που το κοινό έχει την ικανότητα να κατανοήσει. Ένας από τους κύριους στόχους μου στην μαθηματική προσέγγιση, είναι να δείξω ότι η ομορφιά των μαθηματικών βρίσκεται παντού γύρω μας. Δεν πρέπει να φοβόμαστε να μιλάμε για τα μαθηματικά οποτεδήποτε και στον οποιονδήποτε. Ενδιαφέρεσαι να μάθεις πώς να διαλέγεις το σωστό θέμα και στο σωστό επίπεδο και να το παρουσιάζεις με ένα καθαρό και κατανοητό τρόπο; Τότε το βιβλίο αυτό είναι κατάλληλο για σένα. Απλά κάντο με τον τρόπο που το κάνει ο Christopher.

13 AMS (10) Το «Ποιος σκότωσε τον σκύλο τα μεσάνυχτα» δεν είναι απλά μια ακόμα ιστορία για έναν «τρελό» μαθηματικό, αλλά μια συμπαθητική ιστορία της προσέγγισης των μαθηματικών.

14 Η επεξεργασία του βιβλίου
ΙΔΕΕΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΛΕΣΧΗ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ

15 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) -Τι σημαίνουν τα σχήματα της σελίδας 12 ; Είναι κατανοητά από τον ήρωα του βιβλίου και αφηγητή μας; (Τ.Μ.: Όχι διότι τα παιδιά αυτά δεν μπορούν να αποκρυπτογραφήσουν εκφράσεις, μορφασμούς ή το χιούμορ.)

16 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (2) -Τι σας κάνει εντύπωση στη σελίδα 19 αλλά και σε όλη την διήγηση του Κρίστοφερ; (Η μεγάλη παρατηρητικότητά του και οι λεπτομερείς περιγραφές του). ( Τ.Μ.: έχουν φωτογραφική μνήμη και με ένα κοίταγμα μπορούν να περιγράψουν με λεπτομέρεια ότι βλέπουν γύρω τους, όπως ακριβώς είναι, χωρίς ανάλυση και προεκτάσεις.)

17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (3) - Ποια είναι η ευκολία του στα μαθηματικά και πως αρίθμησε τα κεφάλαια του βιβλίου του; (σελ. 25,26) (Τ.Μ.: όσοι έχουν ΑΥΛ έχουν μια εμμονή και ευκολία σε ότι χρειάζεται να δουλεύουν πολύ το μυαλό τους και από εκεί ξεκινά η αγάπη τους για τα μαθηματικά γιατί είναι επίπεδα, χωρίς αυξομειώσεις, χωρίς ερεθίσματα από το εξωτερικό περιβάλλον, στα οποία αποδίδουν γρήγορα και μηχανικά. Αυτά τα άτομα κάνουν μόνο ότι τους έχουν εκπαιδεύσει και ότι τους έχουν πει ότι πρέπει. Δεν χρησιμοποιούν την πρότερη γνώση. Η μνήμη τους είναι τεράστια, αλλά λειτουργεί διαφορετικά.)

18 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (4) Πως το παιδί επικοινωνούσε με τον πατέρα του, πως έδειχνε την αγάπη του και την χαρά του; (σελ.32) (Τ.Μ.: δεν μπορούν να επεξεργασθούν τα συναισθήματά τους, διότι έχουν χαμηλή συναισθηματική νοημοσύνη, παρόλο που έχουν υψηλό I.Q. Αισθάνονται μόνο χαρά ή λύπη αλλά δεν μπορούν να την εκφράσουν.)

19 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (5) Πότε ο Κρίστοφερ έχει βίαιη συμπεριφορά και πως την εκδηλώνει; (σελ. 56,57) (Τ.Μ.: Τα άτομα αυτά έχουν άλλοτε μεγάλη υπερακοΐα ή υποακοΐα και ακούνε τις φωνές πολύ δυνατά. Όταν δε ο τόνος της φωνής αλλάζει, δεν μπορούν να αποκωδικοποιήσουν το διαφορετικό και αρχίζουν να γίνονται βίαια και να ουρλιάζουν. Έχουν επίσης ευαισθησία στα χέρια και στα πόδια και δεν θέλουν να τους αγγίζει κανείς. Όταν έχουν πολλές πληροφορίες, ερεθίσματα, κλείνονται στον εαυτό τους, απομονώνονται και ουρλιάζουν γιατί έτσι δεν ακούν τα εξωτερικά ερεθίσματα. )

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΚΑΙΡΑ

21 1η δραστηριότητα ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

22 «Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθμοί, γι’ αυτό αρίθμησα με πρώτους τα κεφάλαια».
«Οι πρώτοι αριθμοί είναι αυτό που απομένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα» «Εγώ πιστεύω ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι σαν την ζωή: είναι πολύ λογικοί αλλά δεν θα μπορούσες ποτέ να επεξεργαστείς τους κανόνες τους ακόμα και αν έτρωγες όλον σου τον καιρό να τους σκέφτεσαι». Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΒΑΣΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ «ΙΔΕΕΣ πρώτοι αριθμοί» ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΟΝ ΦΑΚΕΛΟ «ΠΡΩΤΟΙ»

23 Οι πρώτοι από το 1 έως το 76.800 (οι μαύρες κουκίδες)
Οι πρώτοι από το 1 έως το (οι μαύρες κουκίδες) Ακολουθούν κάποια κανονικότητα ή όχι;

24 Πόσοι πρώτοι υπάρχουν που είναι μικρότεροι του 200;
ΒΡΕΣ ΠΡΩΤΟΥΣ Φτιάξτε το κόσκινο του Ερατοσθένη για τους αριθμούς από το 2 έως το 200. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός του οποίου τα πολλαπλάσια πρέπει να διαγράψετε; Πόσοι πρώτοι υπάρχουν που είναι μικρότεροι του 200; -Δες και στο αναζήτηση: πρώτος αριθμός. Στο Animation (ΔΕΣ ΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ ΣΕ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ) που περιέχεται στην σελίδα με το κόσκινο του Ερατοσθένη μέχρι τον 120, μπορούν οι μαθητές να δουν ότι αρκεί να διαγράψουμε μέχρι και τα πολλαπλάσια του 10. Πολύ καλή και η ίδια ιστοσελίδα στα Αγγλικά. - Ενδιαφέρουσα ιστοσελίδα και η: -Μπορείτε να τυπώσετε για τους μαθητές και τον πίνακα που θα βρείτε στο αρχείο «πρώτοι» -

25 Ένα παράδειγμα

26 Κριτήρια διαιρετότητας
Ποια κριτήρια διαιρετότητας γνωρίζεται; Μπορείτε να τα αποδείξετε; Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένας αριθμός διαιρείται με τον 11 αν και μόνο αν ξεκινώντας από το πιο δεξιό ψηφίο και αφαιρώντας και προσθέτοντας εναλλάξ τα ψηφία του προκύπτει αριθμός διαιρούμενος με τον 11. Για παράδειγμα, ο δεν διαιρείται με τον 11 αφού = 2 δεν διαιρείται με τον 11. α) Δείξτε το πιο πάνω για έναν τετραψήφιο αριθμό 1000α + 100b + 10c + d. β) Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο αυτή για να ελέγξετε τις εξής διαιρέσεις: 71544:11, :11, :11. - Για την απόδειξη των γνωστών κριτηρίων διαιρετότητας δες το αρχείο ΙΔΕΕΣ πρώτοι αριθμοί, στον φάκελο πρώτοι. Παρόμοια είναι η απόδειξη και για το 11.

27 (Ευκλείδης). Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Αρχίζοντας με τον 2, σε κάθε βήμα θέτουμε Ν = Ρ + 1 οπού Ρ είναι το γινόμενο όλων των πρώτων που έχουν παραχθεί μέχρι τότε. Ο εν λόγω Ν είναι ο ίδιος πρώτος ή μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως γινόμενο νέων πρώτων. Αυτό συμβαίνει διότι ο Ν δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο που είχε παραχθεί ως εκείνο το σημείο. Δείχνουμε τα τρία πρώτα βήματα του αλγόριθμου, και σας ζητάμε να κάνετε το τέταρτο σαν Άσκηση: ποιοι (2 νέοι) πρώτοι παράγονται στο 4ο βήμα;. Ν = = 3, ο αλγόριθμος δίνει τον νέο πρώτο 3. Ν = 2 · =7, ο αλγόριθμος δίνει τον νέο πρώτο 7. Ν = 2 · 3 · = 43, ο αλγόριθμος δίνει τον νέο πρώτο 43 Η απόδειξη, της απειρίας των πρώτων, βρίσκεται και στο αρχείο ΙΔΕΕΣ πρώτοι αριθμοί, στον φάκελο πρώτοι. Δες και το έγγραφο: «Η απολογία ενός μαθηματικού» «Απάντηση» στην άσκηση: αρχικά Ν = 2*3*7*43 +1 = 1807. Ο 1807 είναι πρώτος; Στην ιστοσελίδα Βλέπω ότι 1807 = 13*139 Συνεχίζω: Ν = 2*3*7*13*43 +1 = = 53*443 Ν = 2*3*7*43* = = 5*50207 Συνεχίζω το ψάξιμο, βάζοντας σαν παράγοντες και τους νέους πρώτους που προκύπτουν, μέχρι να βρω πρώτους

28 JAVA APPLET

29 Άλλα θέματα Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 4κ + 3.
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Δές: αρχείο ΙΔΕΕΣ πρώτοι αριθμοί, στον φάκελο πρώτοι.

30 2η δραστηριότητα ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ

31 ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ (ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση)
(Κρυπτογραφία = μέθοδοι κωδικοποίησης) (Κρυπτανάλυση = Τρόποι αποκωδικοποίησης) Η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΥΤΗ ΒΑΣΙΖΕΤΑΙ ΣΤΑ ΑΡΧΕΙΑ «ΚΡΥΠΤΟΓ. ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ» ΚΑΙ «ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ» ΣΤΟΝ ΦΑΚΕΛΟ «ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ»

32 Η μέθοδος του Ιουλίου Καίσαρα
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΗΣΤΕ ΤΟ ΜΗΝΥΜΑ: THIS IS CAESARS WAY (WKLVLVFDHVDUVZDB) αντικαθιστώντας κάθε γράμμα με τον τρίτο διάδοχό του στο αγγλικό αλφάβητο (μέθοδος κρυπτογράφησης με μετάθεση γραμμάτων) ΔΕΣ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ «ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ» θα προκύψει: WKLVLVFDHVDUVZDB

33 Αποκρυπτογράφηση Αποκρυπτογραφήστε το μήνυμα:
WOBBIMRBSCDWKC (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το java applet που θα βρείτε στην σελίδα: Αποκρυπτογραφήστε το μήνυμα: WOBBIMRBSCDWKC (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το java applet που θα βρείτε στην σελίδα: ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΣΤΟ ΑΡΧΕΙΟ «ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ»

34 ΜΕΤΑΚΙΝΟΥΝ ΤΙΣ ΚΟΚΚΙΝΕΣ ΜΠΑΡΕΣ ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΠΡΟΚΥΨΕΙ (ΠΑΝΩ ΔΕΞΙΑ) ΦΡΑΣΗ ΠΟΥ ΝΑ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ.

35 Τι είναι αυτές οι μπλε και κόκκινες μπάρες;
ΔΕΣ ΑΡΧΕΙΟ «ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ»

36 Άσκηση Να λυθεί πρώτα στο χαρτί και μετά στο Java applet με χρήση της συχνότητας εμφάνισης των γραμμάτων DRKYVDRKZTJTREYVCGJFCMVKYVNFICUJGIFSCVDJ λύση: MATHEMATICS CAN HELP SOLVE THE WORLDS PROBLEMS

37 Πιο σύγχρονη μέθοδος Η ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΤΟΥ ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΚΛΕΙΔΙΟΥ
Η ΜΕΘΟΔΟΣ RSA (1978): Η ασφάλειά της οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ είναι εύκολο να βρεθούν μεγάλοι πρώτοι αριθμοί, είναι δύσκολο αν πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους, να βρεθούν ξανά από το γινόμενο τους. Για παράδειγμα είναι εύκολο να ελέγξετε ότι οι 191 και 283 είναι πρώτοι, αν όμως σας δοθεί ο και σας ζητηθεί να τον αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, είναι δύσκολο να διαπιστώσετε ότι είναι το γινόμενο 191∙283. δες ΑΡΧΕΙΟ «ΚΡΥΠΤΟΓ. ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ»

38 ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΜΕ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
3η δραστηριότητα ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΜΕ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

39 Το πρόβλημα του Μόντι Χολ
Ο Μόντι Χολ παρουσίαζε το παιχνίδι Let’s make a Deal στην Αμερικανική τηλεόραση την δεκαετία του 70. (Βασιζόμαστε στην ιστοσελίδα: ) Για να ενημερωθούμε ώστε να παρουσιάσουμε στους μαθητές το πρόβλημα, διαβάζουμε πρώτα το κείμενο στην παραπομπή Click here for an explanation of the game , της πρώτης σελίδας. Εκεί περιέχει και το: Α. Let’s make a Deal: Μας δίνει πληροφορίες για τον Μόντι Χολ και το παιχνίδι του. Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε με ένα από τα παιχνίδια του.(δες επόμενη διαφάνεια)

40 Let’s make a Deal Πίσω από μία από αυτές τις τρεις είναι ένα αυτοκίνητο. Πίσω από τις υπόλοιπες δύο είναι μια κατσίκα Διάλεξε την πόρτα πίσω από την οποία πιστεύεις ότι βρίσκεται το αυτοκίνητο Αν έχουμε σύνδεση ιντερνετ, μπορούμε να πάμε στην διεύθυνση: και να παίξουμε το παιχνίδι. Θα διαλέγουμε μια πόρτα και στη συνέχεια θα μας αποκαλύπτεται μια άλλη. Κατόπιν θα μας ζητάνε να επιλέξουμε μια από τις δυο κλειστές πόρτες. Θα έχουμε το δίλημμα να επιλέξουμε την πόρτα που είχαμε διαλέξει αρχικά ή να επιλέξουμε την άλλη πόρτα. Όταν θα κάνουμε την τελική μας επιλογή θα βλέπουμε αφενός αν κερδίσαμε το αυτοκίνητο και αφετέρου τα ποσοστά των παικτών που κέρδισαν ενώ άλλαξαν την αρχική επιλογή τους και αυτών που κέρδισαν χωρίς να αλλάξουν την αρχική τους επιλογή.

41 JAVA APPLET

42 Η διαμάχη (να αλλάξω την αρχική επιλογή μου ή όχι;)
«Αν όλοι αυτοί οι δόκτορες έκαναν λάθος, η χώρα μας θα βρισκόταν σε πολύ δεινή θέση». Περιγράφουμε, (εμείς ή οι μαθητές μας) την ιστορία όπως αναφέρεται στο βιβλίο στις σελίδες 90 – 92. Μπορούμε επίσης να διαβάσουμε στην ιστοσελίδα που αναφέρουμε στην πρώτη διαφάνεια, το: The Controversy Κι όμως κάνουν λάθος! Marilyn Vos Savant

43 Στην περίπτωση που ο Μόντι ανοίγει πάντα την πόρτα που δεν βρίσκεται το αυτοκίνητο
Με αυτό το σχήμα, το οποίο μπορούμε να τυπώσουμε και να κολλήσουμε σε χαρτόνι, δίνουμε μια άλλη εξήγηση, από αυτές που έχει το βιβλίο, για το πρόβλημα. Η εσωτερική ρόδα αντιπροσωπεύει τον αριθμό της πόρτας πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο. Η μεσαία ρόδα αντιπροσωπεύει την πόρτα που επιλέγει ο διαγωνιζόμενος. Η εξωτερική ρόδα αντιπροσωπεύει την πόρτα που ο Μόντι Χολ μπορεί να ανοίξει. Το κόκκινο χρώμα σημαίνει ότι προκειμένου να νικήσει ο παίκτης πρέπει να αλλάξει την αρχική του επιλογή ενώ το μπλέ ότι δεν πρέπει να την αλλάξει. Παρατηρούμε ότι το κόκκινο χρώμα υπερτερεί.

44 Στην περίπτωση που ο Μόντι μπορεί να ανοίξει την πόρτα που είτε έχει το αυτοκίνητο είτε όχι
Την περίπτωση όμως που εξετάζουμε σε αυτήν την διαφάνεια δεν μας την αναφέρει το βιβλίο. Εδώ η διαίσθησή μας δικαιώνεται! Εδώ δεν είναι δεδομένο ότι ο Μόντι Χολ θα ανοίξει μια πόρτα που δεν περιέχει το αυτοκίνητο. Η εσωτερική ρόδα αντιπροσωπεύει τον αριθμό της πόρτας πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο. Η μεσαία ρόδα αντιπροσωπεύει την πόρτα που επιλέγει ο διαγωνιζόμενος. Η εξωτερική ρόδα αντιπροσωπεύει την πόρτα που ο Μόντι Χολ μπορεί να ανοίξει. Το κόκκινο χρώμα σημαίνει ότι προκειμένου να νικήσει ο παίκτης πρέπει να αλλάξει την αρχική του επιλογή ενώ το μπλε ότι δεν πρέπει να την αλλάξει. Στο μαύρο χρώμα χάνει. Παρατηρούμε ότι το κόκκινο χρώμα υπάρχει στην ίδια ποσότητα με το μπλε. Αυτό σημαίνει ότι δεν έχει σημασία αν ο παίκτης αλλάξει την αρχική του επιλογή ή όχι.

45 4η δραστηριότητα ΛΟΓΙΚΗ

46 Το ξυράφι του ΄Οκαμ «Το πλήθος των πραγμάτων δεν πρέπει να επεκτείνεται πέρα από το αναγκαίο» Αξίωμα της λογικής γνωστό και ως νόμος της θείας οικονομίας ή «νόμος της φειδούς» που φέρει το όνομα του φιλοσόφου του Μεσαίωνα Ουίλιαμ Οκαμ, όχι γιατί το διατύπωσε αλλά γιατί το χρησιμοποιούσε ευρύτατα. Το αξίωμα αυτό ήταν, σύμφωνα με τον Οκαμ ένα κοφτερό όπλο στα χέρια του σκεφτόμενου ανθρώπου, γι’αυτό και το ονόμασε «ξυράφι» Η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΥΤΗ ΒΑΣΙΖΕΤΑΙ ΣΕ ΜΕΓΑΛΟ ΜΕΡΟΣ ΣΤΟ ΑΡΘΡΟ ΤΗΣ ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΞΥΡΑΦΙ ΤΟΥ ΟΚΑΜ

47 William of Ockham (c. 1280 - c. 1349) Φιλόσοφος
Γεννήθηκε στην πόλη Οκαμ κοντά στο Λονδίνο Δεν τελείωσε τις θεολογικές του σπουδές στο Oxford University γιατί κατηγορήθηκε από το δικαστήριο του Πάπα σαν αιρετικός Έγινε εχθρός του Παπισμού Θεωρούσε τον εαυτό του συνεχιστή του Αριστοτέλη Πολιτικός ακτιβιστής ΠΟΛΛΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΚΑΜ (ΣΤΑ ΑΓΓΛΙΚΑ): [Στο βιβλίο του Ουμπέρτο Έκο «Το όνομα του ρόδου», ο μοναχός Guillaume de Baskerville, είναι πολύ κοντά στον Guillaume d’ Ockham].

48 Παραλλαγές του «ξυραφιού»
«Κανείς δεν θα πρέπει να προβαίνει σε περισσότερες εικασίες από όσες είναι απαραίτητες» «Όταν δυο θεωρίες παρέχουν εξίσου ακριβείς προβλέψεις, πάντα επιλέγουμε την απλούστερη» «Οι οντότητες δεν θα πρέπει να πολλαπλασιάζονται πέραν του απολύτως απαραίτητου» Δεν αποδεχόμαστε περισσότερες αιτίες για φυσικά φαινόμενα από όσες είναι ταυτόχρονα αληθείς και επαρκείς όσον αφορά την δικαιολόγηση της ύπαρξής τους. (Νεύτωνας)

49 Παραδείγματα Σε ένα πρώτο επίπεδο, το «ξυράφι του Οκαμ» είναι απλά κοινή λογική: Υποθέστε ότι κινήστε με το αμάξι σας και ξαφνικά σταματάει, ενώ παράλληλα ο δείκτης της βενζίνης είναι στο κάτω όριο. Θα ήταν ανόητο να υποθέσετε ότι και η βενζίνη τελείωσε και τα λάδια (ή ότι έπαθε κάποια άλλη βλάβη). Χρειάζεστε μόνο μία υπόθεση για να εξηγήσετε τι συνέβη. ΒΕΒΑΙΑ ΚΑΠΟΙΟΙ ΘΑ ΙΣΧΥΡΙΣΤΟΥΝ ΌΤΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΟΚΑΜ ΔΕΝ ΕΓΓΥΑΤΑΙ ΠΑΝΤΑ ΤΗΝ ΑΛΗΘΕΙΑ. ΚΑΙ ΣΤΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΠΟΡΕΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΝΑ ΕΧΕΙ ΜΕΙΝΕΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΛΑΔΙΑ.

50 Παραδείγματα Όταν όμως το «ξυράφι του Οκαμ» χρησιμοποιείται από τους επιστήμονες οδηγεί σε θαυμαστά αποτελέσματα. Για παράδειγμα στο βιβλίο του «A Brief History of Time», ο Stephen Hawking αποδίδει την ανακάλυψη της κβαντικής μηχανικής στο «ξυράφι του Οκαμ» ΛΟΓΩ ΚΑΙ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ, ΙΣΩΣ ΝΑ ΗΤΑΝ ΚΑΛΟ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΛΙΓΟ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ ΜΕ ΤΟΝ Stephen Hawking

51 «Αντί-ξυράφια» (1) «Εάν τρεις θέσεις δεν επαρκούν για να επιβεβαιώσουν μία καταφατική πρόταση για κάποιο ζήτημα, τότε πρέπει να προστεθεί και μια τέταρτη, και ούτω καθ'εξής». (Walter του Chatton) «Ο Θεός δημιούργησε τον κόσμο με τον μέγιστο δυνατό αριθμό διαφορετικών πλασμάτων». (Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς) «Η ποικιλία των οντοτήτων δεν θα πρέπει να μειώνεται αβασάνιστα». (Εμμάνουελ Κάντ)

52 «Αντί-ξυράφια» (2) Ο «Νόμος κατά της Τσιγκουνιάς»: «Οι οντότητες δεν θα πρέπει να μειώνονται σε βαθμό ανεπάρκειας», ή, αλλιώς, «είναι μάταιο να περιορίζουμε στο λίγο αυτό που χρειάζεται πολύ». (Κάρλ Μένγκερ) Η Παταφυσική: «το κάθε συμβάν εντός του σύμπαντος είναι εντελώς μοναδικό και διέπεται από δικούς του ιδιαίτερους νόμους» ΠΑΤΑΦΥΣΙΚΗ: Ο αργεντίνος συγγραφέας Χόρχε Λουίς Μπόρχες, ανέπτυξε αργότερα παραλλαγές σε αυτό το θέμα στο διήγημά του/ψευδοδιατριβή Tlön, Uqbar, Orbis Tertius. Επιπλέον, υπάρχει και το Ρόπαλο του Κάμπτρι, του οποίου η κυνική διατύπωση υπαγορεύει: «Δεν μπορεί να υφίσταται σύνολο αμοιβαία ασυνεπών παρατηρήσεων, για το οποίο η ανθρώπινη διάνοια να μην μπορεί να συλλάβει μία συνεκτική εξήγηση, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκη θα είναι αυτή». Η 'Παταφυσική (στα γαλλικά ’pataphysique με απόστροφο πριν από τη λέξη) είναι η επιστήμη που επινοήθηκε από το συγγραφέα Αλφρέντ Ζαρί ως η « επιστήμη των φανταστικών λύσεων, που αποδίδει συμβολικά σε γενικές γραμμές τις ιδιότητες των περιγραφομένων αντικειμένων από την πιθανότητα τους. » [1] Πρόκειται για μία παρωδία της σύγχρονης επιστήμης με στόχο τη μελέτη των φαινομένων πέρα από τα μεταφυσικά. Ο όρος άλλωστε προέρχεται ως παραφθορά από το ελληνικό «ἐπὶ τὰ μετὰ τὰ φυσικά». (ΔΕΣ ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ) H λέξη 'Παταφυσική εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο θεατρικό έργο του Ζαρί «Γκινιόλ» (Guignol) που δημοσιεύτηκε στις 28 Απριλίου 1893

53 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ «ξυραφιού» στην ΕΠΙΣΤΗΜΗ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ «ξυραφιού» στην ΕΠΙΣΤΗΜΗ «κάθε δράση έχει μία ίση αντίδραση» Ισαάκ Νεύτωνας ή «για κάθε δράση υπάρχει μία αντίδραση κατά το ήμισυ της αρχικής, ενώ ταυτόχρονα καλοπροαίρετα αόρατα πλάσματα ενισχύουν την αντίδραση με δική τους ενέργεια, ώστε η αντίδραση να γίνεται ίση με την δράση. Όλα αυτά τα πλάσματα θα πεθάνουν το έτος 2055 και τότε η φύση του παρατηρήσιμου σύμπαντος θα αλλάξει» ;;; Δεν μας είναι δυνατόν να επιλέξουμε μέσω άμεσων αποδείξεων οποιαδήποτε θεωρία μέχρι το 2055

54 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ «ξυραφιού» στην ΕΠΙΣΤΗΜΗ (2)
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ «ξυραφιού» στην ΕΠΙΣΤΗΜΗ (2) Επειδή υπάρχει ένας άπειρος αριθμός θεωριών οι οποίες αντιστοιχούν σε κάθε σύνολο παρατηρήσεων εξίσου καλά και οι προβλέψεις της καθεμίας είναι εξίσου πρωτότυπες, εάν η επιστήμη είναι ανίκανη να επιλέξει μεταξύ τους, τότε ποτέ δεν θα κατορθώσει να καθορίσει την χρήσιμη θεωρία. Μέχρι τώρα, ο μόνος γνωστός τρόπος για να επιλέγεται η χρήσιμη θεωρία μεταξύ των απείρων θεωριών που αντιστοιχούν σε ένα σύνολο παρατηρήσεων είναι το Ξυράφι του Όκαμ. Για αυτόν τον λόγο, το Ξυράφι του Όκαμ αποτελεί απαραίτητο στοιχείο της επιστήμης, χωρίς το οποίο η επιστήμη παύει να λειτουργεί. ΠΟΛΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗ ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ

55 Στη Βιολογία Οι μοσχοβόες (Μεγαλόσωμο θηλαστικό που μοιάζει και με πρόβατο και με βόδι), όταν απειλούνται από λύκους, σχηματίζουν ένα κύκλο με τα αρσενικά στην εξωτερική μεριά και τα θηλυκά και τα μικρά τους στο εσωτερικό. Αυτό είναι ένα παράδειγμα συμπεριφοράς των αρσενικών που φαίνεται να είναι αλτρουιστική. Αυτή η συμπεριφορά είναι δυσμενής για τα αρσενικά ως μεμονωμένα ζώα, αλλά ευεργετική για το σύνολο και συνεπώς πολλοί θεώρησαν ότι υποστηρίζει την θεωρία της ομαδικής επιλογής.

56 Στη Βιολογία (2) Παρ'όλα αυτά, μία πολύ καλύτερη εξήγηση προσφέρεται εάν κάποιος θεωρήσει ότι η φυσική επιλογή λειτουργεί στα γονίδια. Αν ο μοσχόβους φύγει, αφήνοντας τους απογόνους του εκτεθειμένους στους λύκους, τα γονίδιά του δεν θα προωθηθούν. Αν, όμως, παλέψει για την προστασία τους, τότε τα γονίδια θα διαφυλαχθούν στους απογόνους. Και έτσι το αντίστοιχο γονίδιο το οποίο επιτάσσει αυτή τη συμπεριφορά πολλαπλασιάζεται. Αυτό είναι ένα παράδειγμα φυσικής επιλογής μέσω γονιδίων και μαζικής μακροπρόθεσμης αλλαγής, το οποίο είναι μία γενική αρχή που προσφέρει μία πολύ απλούστερη εξήγηση, χωρίς να καταφεύγει σε ειδικές αρχές όπως την ομαδική επιλογή.

57 ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Η οικονομική είναι επιστήμη ακριβώς επειδή οδηγείται στην κατασκευή θεωριών μέσα από την παρατήρηση (της συμπεριφοράς των οικονομούντων ατόμων, οργανισμών, της κοινωνίας). Για παράδειγμα, ο οικονομολόγος που παρατηρεί γρήγορες αυξήσεις τιμών σε μια οικονομία, μπορεί να οδηγηθεί στη διατύπωση και ανάπτυξη της θεωρίας του πληθωρισμού. Στη συνέχεια, για να ελέγξει τη θεωρία συλλέγει και αναλύει δεδομένα τιμών και κυκλοφορίας χρήματος για πολλές χώρες. Συνήθως, τέτοιες αναλύσεις γίνονται μέσω υποδειγμάτων: θεωρητικών σχημάτων και των διαγραμματικών απεικονίσεων των οικονομικών μεγεθών και, μέσω εξισώσεων. Εάν προκύψει θετική σχέση μεταξύ των δυο μεγεθών, τότε η θεωρία του επιβεβαιώνεται. Δες ΑΡΧΕΙΟ: ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΟΝ ΦΑΚΕΛΟ OCCAM'S RAZOR Και γενικά στην μοντελοποίηση

58 ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ (2) Ας υποθέσουμε ένα απλό στατικό (δηλαδή ανεξάρτητο του χρόνου, δηλαδή όχι δυναμικό) σύστημα: p∙x = a∙R όπου p είναι η τιμή της σοκολάτας, x είναι η αγορασμένη ποσότητα της σοκολάτας και R είναι το εισόδημα του καταναλωτή που ξόδεψε μέρος ίσο με a του εισοδήματός του για να αγοράσει σοκολάτα. (Λέμε ότι κατασκευάσαμε ένα υπόδειγμα (model) του οικονομικού φαινομένου που μελετάμε). Ένα υπόδειγμα είναι ένα αφηρημένο σύστημα, το οποίο βοηθάει στη μελέτη, αναλογικά, ενός συγκεκριμένου οικονομικού συστήματος με τρόπο, ώστε να εστιάζεται η προσοχή του ερευνητή στα ουσιαστικά χαρακτηριστικά της πραγματικότητας. Σκεφτείτε ότι θα μπορούσαμε να βρούμε αναρίθμητους παράγοντες που θα μπορούσαν να επηρεάσουν την αγορά σοκολάτας ή το μέρος των χρημάτων μας που δαπανούμε για την αγορά της.

59 ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ (3) Η λέξη «απλό» είναι σημαντική, εδώ. Έχει την έννοια ότι το υπόδειγμα αποτελεί αναπαράσταση της πολύπλοκης οικονομικής πραγματικότητας, δεν είναι, όμως, η ίδια η πραγματικότητα. Πράγματι, σκεφτείτε πόσο άχρηστος θα ήταν ένας χάρτης σε κλίμακα 1:1. Με άλλα λόγια, ένα καλό υπόδειγμα απορρίπτει τις περιττές λεπτομέρειες και εστιάζει στα ουσιαστικά χαρακτηριστικά της οικονομικής πραγματικότητας. Αυτή η αρχή είναι γνωστή σαν Ockham’s razor.

60 Στο ιντερνετ Αναζητήσαμε στο Google την λέξη Chaos και βρήκαμε περίπου αποτελέσματα. Πως μπορεί να μας βοηθήσει εδώ ο «κύριος ξουράφης» ή Οκαμ; Ίσως βάζοντας τον καλό καθηγητή μας να μας υποδείξει τα πιο σημαντικά…(Να ένας ρόλος και για εμάς)

61 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ
5η δραστηριότητα ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

62 Η «λογιστική» εξίσωση «Μερικές φορές ένας ολόκληρος πληθυσμός βατραχιών, σκουληκιών ή ανθρώπων μπορεί να πεθάνει χωρίς κανέναν ιδιαίτερο λόγο, μόνο και μόνο γιατί έτσι λειτουργούν οι αριθμοί»

63 Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΣΤΟΝ ΧΡΟΝΟ
Εικόνα: Η παράλληλη εξέλιξη του πληθυσμού λύκων και λαγών όπως φαίνεται από χρονοσειρές που σχηματίζουν οι δύο πληθυσμοί. Στον οριζόντιο άξονα είναι ο χρόνος. Σ' κατακόρυφο άξονα είναι ο πληθυσμός του κάθε ζώου. Ο πληθυσμός των λαγών αρχικά αυξάνει καθώς μειώνεται ο πληθυσμός των λύκων. Στη συνέχεια ο πληθυσμός των λύκων αυξάνεται κατά συνέπεια μειώνεται ο πληθυσμός των λαγών. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται καθώς περνάει ο χρόνος. Ας δούμε πώς λειτουργεί το παραπάνω σύστημα. Ονομάζουμε το ζώο - θύτη Α και το ζώο-θύμα Β. Δίνουμε τις αρχικές συνθήκες στο σύστημα αφήνοντας στο νησί ένα αριθμό λύκων και ένα αριθμό λαγών. Αφού περάσει αρκετός καιρός οι λύκοι θα πολλαπλασιαστούν και θα φάνε τους λαγούς. Στη συνέχεια, οι λαγοί θα έχουν μειωθεί τόσο ώστε, να αποτελούν δύσκολο θήραμα για τους λύκους. Οι λύκοι χωρίς τροφή θα μειωθούν, αφού δε θα έχουν τροφή και, οι λαγοί θα την ευκαιρία να αναπαραχθούν με μεγαλύτερη ευκολία, επειδή οι λύκοι θα είναι λίγοι. Αφού θα αρχίσουν να αναπαράγονται και να πληθαίνουν οι λαγοί, οι λύκοι θα βρίσκουν πιο εύκολα τροφή και θα αρχίσουν να αναπαράγονται και να πληθαίνουν με γρήγορους ρυθμούς. Ο κύκλος τελείωσε και αν κάνουμε μια μέτρηση των πληθυσμών θα διαπιστώσουμε ότι βρίσκονται κοντά στις αρχικές συνθήκες. ( Η εικόνα είναι παρμένη από το βιβλίο «Χάος Ανάλυση και πρόβλεψη χρονοσειρών» Κ. Συριόπουλος, Α. Λεοντίτσης Εκδόσεις ΑΝΙΚΟΥΛΑ, Θεσσαλονίκη 2000.)

64 Είναι τα πράγματα τυχαία;
Στην πραγματικότητα, σε πολλές τουλάχιστον περιπτώσεις, το μέγεθος ενός πληθυσμού σε κάθε χρονική στιγμή περιγράφεται από την εξίσωση: Ννέος = λ∙ Νπαλιός∙(1 – Νπαλιός) ή Χν+1 = λ∙ Χν∙(1 – Χν) (Μελετήθηκε το 1976 από δύο βιολόγους) Όπου: λ = ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού, που είναι διαφορετικός για κάθε περίπτωση πληθυσμού Το Ν είναι ο πληθυσμός κανονικοποιημένος (δηλαδή έχει διαιρεθεί με κάποιον κατάλληλο αριθμό. Όπως για παράδειγμα στον συντελεστή μεταβλητότητας στην σταστιστική διαιρούμε με την μέση τιμή και έτσι κανονικοποιούμε την τυπική απόκλιση) Π.χ αν Ν ο πληθυσμός των ΗΠΑ διαιρεμένο με Δηλώνει το ποσοστό του πληθυσμού ως προς μια ορισμένη θεωρητική τιμή. Το Ν κυμαίνεται μεταξύ 0 και 1.

65 Για λ < 1, ο πληθυσμός εξοντώνεται
Στο αρχείο (EXCEL) Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ θα βρείτε τον ακριβή τρόπο που κατασκευάστηκαν τα διαγράμματα. Δώσαμε 200 διαδοχικές τιμές στο χ Επίσης, για την διδακτική διάσταση του θέματος μπορείτε να δείτε το αρχείο «για την δραστηριότητα» (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο)

66 Αν 1< λ <3, ο πληθυσμός αυξάνεται και μετά μένει σταθερός.
Ερώτηση για τους μαθητές: να βρουν με την βοήθεια του : να βρουν με την βοήθεια του EXCEL: ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΑΝ λ = 1 ΚΑΙ όταν λ = 3;

67 Όταν 3 < λ < 3,57 ο πληθυσμός κινείται περιοδικά
Περίεργο το δεύτερο διάγραμμα!!!!!!!

68 Όταν λ > 3,57 ο πληθυσμός γίνεται χαοτικός
Χαοτικός πληθυσμός: με την έννοια: όχι προβλέψιμος, τυχαίος, άναρχος, με απότομες μεταβολές. Ένας μαθηματικός ορισμός του χάους θα ήταν κάτι σαν «αιτιοκρατούμενη συμπεριφορά που φαίνεται τυχαία

69 Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες
Μελετώντας και τα αντίστοιχα νούμερα στο EXCEL βλέπουμε ότι ενώ αρχικά παρατηρούμε μεγάλη συμφωνία μεταξύ των δυο χρονοσειρών, στην συνέχεια σιγά- σιγά χάνεται η συμφωνία αυτή. Στις τελευταίες τιμές οι δύο χρονοσειρές χάνουν κάθε συσχέτιση. Θα μπορούσαμε να ζητήσουμε από τους μαθητές να βρουν πληροφορίες για «το φαινόμενο της πεταλούδας» και τον Έντουαρντ Λόρεντζ (ιδρυτής της θεωρίας του χάους) [ενδεικτικά: 1) 2) αναζήτηση: Φαινόμενο της πεταλούδας Επίσης στο βιβλίο «Η Φύση και η Δύναμη των Μαθηματικών» στις σελίδες 341 – 344]

70 ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ «το φαινόμενο της πεταλούδας» (1963)
και ο Έντουαρντ Λόρεντζ δες: James Gleick: ΧΑΟΣ. ΜΙΑ ΝΕΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗ, Κάτοπτρο ιστοσελίδα Θαλής και φίλοι Υλικό βιβλίων

71 6η δραστηριότητα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ

72 Οι στρατιώτες του Κόνγουεϊ
John Horton Conway BornDecember 26, 1937 ) Liverpool, Merseyside, England Game theory - Group theory - Algorithmics Cambridge – Princeton University Έλυσε το πρόβλημα που θα εξετάσουμε στην συνέχεια, το 1961.

73 Το παιχνίδι Solitaire

74 Το παιχνίδι Solitaire Advanced
Στην διπλανή εικόνα βλέπετε τον αριθμό και την διάταξη των στρατιωτών που χρειαζόμαστε για να προχωρήσουμε μία και δύο σειρές αντίστοιχα. Προσπάθησε να επαληθεύσεις τα προηγούμενα και να βρεις τον αριθμό των στρατιωτών και την διάταξη για να προχωρήσουμε 3 και 4 σειρές. Δούλεψε με τα πούλια ενός ταβλιού σε μια σκακιέρα ή με την βοήθεια του java applet στην ιστοσελίδα: Στο παιχνίδι Solitaire Advanced, με το οποίο ασχολήθηκε ο Κόνγουεϊ, τοποθετούμε έναν «στρατό» από πούλια κάτω από μια νοητή γραμμή μιας «άπειρης» σκακιέρας και προσπαθούμε με τις κατάλληλες κινήσεις να φτάσουμε ένα από τα πούλια όσο πιο πάνω από την γραμμή μπορούμε.

75

76 Προτεινόμενες λύσεις. Μπορούν να βρουν και άλλες λύσεις (δες :

77 Ο Κόνγουεϊ απέδειξε ότι:
Όσους «στρατιώτες» και να τοποθετήσουμε, κανείς τους δεν μπορεί να προχωρήσει πάνω από τέσσερις γραμμές. Θα βρείτε την απόδειξη στο φάκελο «Οι στρατιώτες του Κόνγουεϊ». Διαβάστε το «Conway's Soldiers» και την ιστοσελίδα για να δείτε τον συμβολισμό, πριν προχωρήσετε στην επόμενη διαφάνεια και τελικά στην γενική απόδειξη η οποία απαιτεί γνώσεις Β΄ Λυκείου.

78 «Ψήγματα» της απόδειξης
Το 1 είναι η θέση που θέλουμε να φτάσουμε. Ο εκθέτης του χ δηλώνει πόσες θέσεις από την επιθυμητή απέχει μια άλλη θέση.

79 Ερωτήσεις Μπορείς να βρεις την τιμή του χ; (χ > 0)
Μπορείς να επαληθεύσεις και τις άλλες δυο περιπτώσεις (των σχημάτων της προηγούμενης διαφάνειας) (Η ΤΕΤΑΡΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΙ ΔΥΚΟΛΙΕΣ…) ΜΕΤΑ Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΝΕΙ ΤΗΝ ΓΕΝΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

80 Η γενική απόδειξη

81 7η δραστηριότητα ΨΗΦΙΔΩΤΟ

82 «Αναρωτήθηκα πώς μπορείς να φτιάξεις ένα μωσαϊκό από σταυρούς και κατέληξα στο ήταν δυνατόν, με την βοήθεια αυτής της εικόνας που έφτιαξα στο μυαλό μου»:

83 Να φτιάξουμε έναν σταυρό
μ 15 δ 90 α 90 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ (ΔΕΣ ΤΗΝ ΕΚΤΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ ΑΥΤΗΣ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ)

84 Πιο σύντομα για σταυρός :α επανάλαβε 3[μ :α δ 90 μ :α δ 90 μ :α α 90]
επανάλαβε 3[μ :α δ 90 μ :α δ 90 μ :α α 90] μ 15 δ 90 μ 15 δ 90 μ 15 τέλος σβγ σταυρός 15

85 Μετακινούμε την χελώνα και επαναλαμβάνουμε. Για 4 επαναλήψεις εντάξει!
επανάλαβε 4[ σταυρός 15 σπ α 180 μ 15 δ 90 σκ α 90]

86 Μέχρι εδώ έφτασα ΣΥΝΕΠΩΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΠΡΟΦΑΝΕΣ ΤΟ ΝΑ ΦΤΙΑΞΟΥΜΕ ΈΝΑ ΜΩΣΑΙΚΟ ΜΕ ΣΤΑΥΡΟΥΣ! ΒΕΒΑΙΑ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ ΨΑΞΙΜΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ…

87 Που να βρω το λογισμικό ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ
Ελληνικά 7ο ΠΑΚΕ Υλικό Λογισμικά: Αβάκιο Επίσης: Εγχειρίδια Λογισμικών: ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ

88 Άλλα θέματα Παράδοξα (+ συζήτηση: πόση «ασφάλεια – σιγουριά» μπορούμε τελικά να νοιώθουμε με τα μαθηματικά;) Μαθησιακές δυσκολίες – Ειδικές ανάγκες Οι νεράιδες του Κότινγκλι Το τεστ του Τούρινγκ και ο ανθρώπινος εγκέφαλος - Τεχνητή νοημοσύνη Ο χρόνος – το διάστημα Σέρλοκ Χολμς (Το σκυλί των Μπάσκερβιλ, βιβλίο – ταινίες)

89 ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΝ ΜΕ ΤΟΝ ΚΡΙΣΤΟΦΕΡ;
ΤΕΛΙΚΑ ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΝ ΜΕ ΤΟΝ ΚΡΙΣΤΟΦΕΡ;

90 Τι εντύπωση σας έκανε το βιβλίο; Σας άρεσε, ναι, όχι και γιατί;
Ειρήνη: Μου έκανε την καλύτερη εντύπωση. Μόνο το άκουσμα του τίτλου μου προκάλεσε ενδιαφέρον. Τι μπορούσε να κρύβεται πίσω από αυτόν τον τίτλο; Τελικά η έκπληξη ήταν ευχάριστη. Ο συγγραφέας χρησιμοποιεί το 1ο πρόσωπο με αποτέλεσμα να προσδίδει στο κείμενο χαρακτήρα προσωπικής εξομολόγησης.

91 Ποια είναι η κεντρική ιδέα του βιβλίου; Γιατί ο συγγραφέας το έγραψε;
Δημήτρης: Πιστεύω ότι ο συγγραφέας το έγραψε για να δείξει ότι ένα παιδί με «ειδικές ανάγκες» μπορεί να υπερασπιστεί και μόνο του τον εαυτό του.

92 Τι γνώμη είχατε για τα άτομα με «ειδικές ανάγκες» πριν διαβάσετε το βιβλίο;
Στέλιος: Πριν διαβάσω το βιβλίο νόμιζα πως αυτά τα παιδιά είχαν πολλά μειονεκτήματα. Τώρα πιστεύω πως κάθε άτομο με «ειδικές ανάγκες» έχει ένα ή περισσότερα διαφορετικά χαρίσματα όπως ο Κρίστοφερ!

93 Ποια η γνώμη σας για τον τρόπο γραφής του βιβλίου, σύντομα κεφάλαια, διαφορετική αρίθμηση, εικόνες;
Ειρήνη: Τα μικρά κεφάλαια έδωσαν στο κείμενο μια ζωντάνια, μια παραστατικότητα και κράτησαν το ενδιαφέρον ως την τελευταία λέξη. Η διαφορετική αρίθμηση μου άρεσε και απορώ γιατί δεν την χρησιμοποιούν και άλλοι συγγραφείς.

94 Θα το συστήνατε σε άλλα παιδιά της ηλικίας σας και εάν ναι, τι θα τους λέγατε για αυτό;
Χρήστος: Θα το σύστηνα σε άλλα παιδιά της ηλικίας μου γιατί αυτό το βιβλίο συγκεντρώνει πολλές ενδιαφέρουσες πλευρές όπως, περιγραφή, περιπέτεια, αγωνία, προσωπική ζωή, αλλά κυρίως συναισθήματα και συγκίνηση που θα τους ενθουσιάσουν

95 Μάρκ Χάντον Μάρκ: Αναρωτήθηκα «ποιος στην ευχή θα ήθελε να διαβάσει ένα βιβλίο για έναν δεπαντάχρονο με αναπηρία που ζει σε μια επαρχιακή πόλη μαζί με τον πατέρα του;» Και σκέφτηκα: «καλύτερα να κάνω καλή την πλοκή». Θέλησα να αιχμαλωτίσω τους αναγνώστες στην πρώτη σελίδα και να έχω μια μεγάλη κρίσιμη καμπή στη μέση, όπως και υπάρχει, και να κατασκευάζω το όλο πράγμα όπως ένα τρενάκι του λούνα πάρκ επειδή οι αναγνώστες δεν θα ενδιαφέρονταν απαραιτήτως για τη αντίληψη του κόσμου από τον Christopher. Παρόλα αυτά(κατά ειρωνικό τρόπο), όταν μιλώ στους ανθρώπους που τους άρεσε το βιβλίο, αυτοί μιλούν για τη φωνή του Christopher και το χαρακτήρα και την κατάστασή του και κανένας δεν αναφέρει καθόλου την πλοκή.

96 Θωμάς Βελισσάρης (Σκηνοθέτης)
«Κάτι το οποίο δεν λαμβάνεται υπʼ όψιν , ιδιαίτερα στην ελληνική κοινωνία, είναι πως ο ανθρώπινος εγκέφαλος αποτελεί το πιο αξιοθαύμαστο και ταυτόχρονα το πιο ευάλωτο «μέλος» του σώματός μας (για να μην αναφερθώ στο χιλιοειπωμένο «ανεξερεύνητο» του μυαλού). Το να ενδιαφερθεί κανείς να καταλάβει τον Κρίστοφερ είναι σαν να δίνει το περιθώριο στον ίδιο του τον εαυτό, να τον ανακαλύψει ξανά απʼ την αρχή.

97 Θωμάς Βελισσάρης (2) Η ιδιαιτερότητα του Κρίστοφερ έγκειται στο γεγονός πως η επαφή μαζί του δεν έχει τίποτε δεδομένο, όπως στις περισσότερες ανθρώπινες σχέσεις -  στις οποίες λανθασμένα χρησιμοποιούμε «δεδομένους» τρόπους επαφής. Η επαφή με τον Κρίστοφερ, η θέληση για κατανόηση του τρόπου σκέψης του, ο σεβασμός των επιθυμιών και των αναγκών του, η εκ των πραγμάτων παραχώρηση προσωπικού χώρου και χρόνου στον Κρίστοφερ, θα μπορούσε να μας διδάξει να ήμαστε υπομονετικοί, να πλησιάζουμε με σεβασμό τους άλλους, και κυρίως να σεβόμαστε και τις δικές μας ιδιαιτερότητες, να σεβόμαστε το σώμα και το πνεύμα μας και να δίνουμε χώρο και χρόνο στις επιθυμίες και τις επιλογές μας. «Ασθενής» δεν είναι αυτός που δεν μπορούμε να κατανοήσουμε, αλλά εμείς που δεν αποδεχόμαστε πως ένας άνθρωπος αντιμετωπίζει την ύπαρξή του μέσα από μία μοναδική οπτική.

98 Πού να σου εξηγώ πως έτσι σαν κουφάρι μένω να μετρώ το χρόνο που θα χρειαστώ να χωνέψω τη λογική. Δε με υπολόγισες καλά. Όφειλες ξέρεις. Τον χρόνο θα τον πάρω και τότε θα γελάσω δυνατά. Τα άδεια σου μηχανουργήματα θα τα ξεσκίσω και θα τα στείλω πίσω. Σ' ένα φάκελο γεμάτο σκόνη. Θα μάθω για σένα όλες τις γλώσσες του κόσμου ετούτου και θα καθίσω μαζί σου ατελείωτες ώρες δίπλα στο παράθυρο του τρένου, να δούμε τον κόσμο από άλλη μεριά. Μια Έλλη, μια Ιθάκη, μια Αμέρικα...

99