Prof. dr. sc. Pavao Marović

Παρουσίαση με θέμα: "Prof. dr. sc. Pavao Marović"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Prof. dr. sc. Pavao Marović
Otpornost materijala II Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala II

2 6. IZVIJANJE Izvijanje je pojava gubitka pravolinijske ravnoteže i zauzimanje krivolinijske ravnoteže pod djelovanjem tlačne uzdužne sile. Ravnoteža vanjskih i unutarnjih sila može biti stabilna, labilna (nestabilna) i indiferentna. Da bi postigli punu sigurnost konstrukcije moraju biti zadovoljeni slijedeći uvjeti: 1) Uvjet čvrstoće (naprezanja): σmax ≤ σdop Vlačna sila 2) Uvjet krutosti (deformabilnosti): fmax ≤ fdop Tlačna sila 3) Uvjet stabilnosti (izvijanja): ? Otpornost materijala II 6. Izvijanje

3 Indiferentna r., Ep=konst. Labilna r., Ep=max
Navedene vrste ravnoteže možemo ilustrirati kuglom položenom na različite podloge ili štapom pritisnutim silom različitih intenziteta. Stabilna r., Ep=min Indiferentna r., Ep=konst. Labilna r., Ep=max F F F H H F<Fkr F=Fkr F>Fkr F F F Otpornost materijala II 6. Izvijanje (Slika 6.1, str. 257)

4 Pošto ne želimo da dođe do izvijanja, to znači da za uvjet stabilnosti možemo pisati:
Postupci određivanja kritične sile, Fkr : 1) analitički – statički: analizira se elastični sustav u ravnoteži pri deformiranom stanju (Euler) 2) energetski: promatra se promjena potencijalne energije pri malim odstupanjima iz osnovnog oblika Otpornost materijala II 6. Izvijanje

5 6.1 – Određivanje kritične sile pritisnutih štapova – Euler-ova kritična sila
a) Štap zglobno pričvršćen na oba kraja Kod određivanja kritične sile koristimo teoriju II. reda. wx F F x w – linija štapa u trenutku gubitka stabilnosti x w y Mx L Mx = F · wx Euler je za liniju štapa u trenutku gubitka stabilnosti uzeo elastičnu (progibnu) liniju nosača, čija diferencijalna jednadžba glasi: Imin Otpornost materijala II 6. Izvijanje

6 Kad jednadžbu sredimo, dobivamo:
Diferencijalna jednadžba elastične linije štapa zglobno pričvršćenog na oba kraja u trenutku gubitka stabilnosti Da bi pojednostavnili proračun, uvodimo oznaku: Homogena diferencijalna jednadžba II. reda, čije opće rješenje tražimo u obliku: Konstante integracije A i B određujemo iz rubnih uvjeta: 1) za x=0 imamo w=0 → → B = 0 Od rješenja nam ostaje: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

7 Ako je A=0, to je pravolinijski (neizvijeni) oblik štapa.
2) za x=L imamo w=0 → Ako je A=0, to je pravolinijski (neizvijeni) oblik štapa. Preostaje da je sinαL=0. Odatle dobivamo uvjet za kritično stanje štapa: odnosno: Za n=0 – ishodišni ravni (pravolinijski) oblik štapa. Konačno rješenje elastične linije štapa zglobno pričvršćenog na oba kraja u trenutku gubitka stabilnosti Otpornost materijala II 6. Izvijanje

8 Za odrediti kritičnu silu trebamo usporediti dva izraza gdje nam se javlja α:
Odavde dobivamo vrijednost sile pri kojoj nastupa izvijanje našeg štapa: U praksi nas zanima najmanja moguća vrijednost sile pri kojoj može nastupiti izvijanje štapa, tj. za n=1 : Euler-ova kritična sila izvijanja za štap zglobno pričvršćen na oba kraja Otpornost materijala II 6. Izvijanje

9 Diskusija: Kako se mijenja sila Fkr za razne n=1, 2, 3, ... .
(Tablica 6.1, str. 264) Otpornost materijala II 6. Izvijanje

10 b) konzola (jedan kraj ukliješten, drugi slobodan)
F wx x M f x Mx F L y Uz zamjenu: Nehomogena dif. jedn. II. reda s konst. koeficijentom, s rješenjem oblika: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

11 Od rješenja nam ostaje:
Rubni uvjeti: 1) za x=0 imamo w=0 → → B = -f 2) za x=0 imamo w’=0 → A = 0 Od rješenja nam ostaje: 3) za x=L imamo w=f → cosαL = 0 odnosno: Kritičnu silu dobivamo za: Euler-ova kritična sila izvijanja za konzolni štap Otpornost materijala II 6. Izvijanje

12 c) nosač s jednim upetim a drugim pomičnim ležajem
F wx x F M Mx Av Bv x L-x L y Nehomogena dif. jedn. II. reda, čije rješenje tražimo u obliku: Uz zamjenu: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

13 wpart treba naći takvo da zadovoljava početne rubne uvjete.
Pretpostavimo da je wpart slijedećeg oblika: wpart i njegove derivacije trebaju zadovoljiti početnu jednadžbu: Konačno rješenje glasi: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

14 Rubni uvjeti: 1) za x=0 imamo w=0 → 2) za x=0 imamo w’=0
3) za x=L imamo w=0 Rješenje ove jednadžbe je najlakše odrediti grafičkim postupkom i ono glasi: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

15 Konačno za kritičnu silu dobivamo:
Euler-ova kritična sila izvijanja za štap na jednom kraju upet a na drugom zglobno pridržan Otpornost materijala II 6. Izvijanje

16 d) nosač ukliješten na oba kraja
F wx x F M0 M0 Mx x L y Kao u prethodnom slučaju, rješenje se sastoji od homogenog i partikularnog dijela. Pretpostavimo partikularno rješenje i provjerimo zadovoljenje rubnih uvjeta, nakon čega dobivamo rješenje u obliku: Uz zamjenu: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

17 Od rješenja nam ostaje:
Rubni uvjeti: 1) za x=0 imamo w=0 → 2) za x=0 imamo w’=0 Od rješenja nam ostaje: 3) za x=L imamo w=0 4) za x=L imamo w’=0 Rješenje je: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

18 Konačno za kritičnu silu dobivamo:
Euler-ova kritična sila izvijanja za štap ukliješten na oba kraja Otpornost materijala II 6. Izvijanje

19 pri čemu je gdje je n broj poluvalova sinusoide na dužini štapa.
Iz prethodna četiri izraza možemo izvući opći oblik izraza za kritičnu silu za sva četiri slučaja pričvršćenja koji glasi: pri čemu je gdje je n broj poluvalova sinusoide na dužini štapa. Otpornost materijala II 6. Izvijanje

20 Opći izraz za Euler-ovu kritičnu silu izvijanja:
Uzimamo da je udaljenost između dviju susjednih točaka infleksije duljina izvijanja: Opći izraz za Euler-ovu kritičnu silu izvijanja: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

21 Određivanje kritičnog naprezanja
Omjer: Vitkost štapa / koeficijent vitkosti Napomena: Oslabljenja poprečnog presjeka (otvori, rupe za zakovice i slično) do 20% ne utječu na Fkr pa se uzima brutoImin . Otpornost materijala II 6. Izvijanje

22 6.2 – Granice primjene Euler-ove sile
Kako je izvod Euler-ovog izraza temeljen na primjeni dif.jedn. elastične linije, to ga možemo primijeniti samo kada vrijedi Hooke-ov zakon odnosno samo za naprezanja manja od granice proporcionalnosti. λ σkr ε σ σR σR σP σP Euler-ova hiperbola λP λdop λP ≤ λ ≤ λdop Otpornost materijala II 6. Izvijanje

23 6.3 – Izvijanje štapova pri naprezanju većem od granice proporcionalnosti
T – tangentni modul λ σkr ε σ T (1)σK σR σR σP σP (2)TK Euler-ova hiperbola E (3)λK λP λdop Tetmayer - eksperimentalno Engesser - 1. krivulja Engesser-Jasinski-Karman - 2. krivulja ER – Karman-ov prividni modul plastičnosti Otpornost materijala II 6. Izvijanje

24 6.4 – Dimenzioniranje tlačnih štapova
Uvjet čvrstoće: Uvjet izvijanja: λ σkr σR σidop Uvijek je: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

25 6.5 – Vitki štapovi opterećeni tlačnom silom i momentom savijanja
Kod štapova male vitkosti utjecaj poprečnog opterećenja (q, Ti) i pripadajuće deformacije ne utječu na djelovanje uzdužne tlačne sile te se može koristiti princip nezavisnog djelovanja sila. Kod vitkih štapova to nije moguće → jedinstven proračun. q Ti F F x w0 Svo djelovanje treba analizirati zajednički: wF L y w0 – progib od popr. opt. (q, Ti) wF – progib od uzd. tlačne sile (F) Otpornost materijala II 6. Izvijanje

26 6.6 – Određivanje kritične sile pritisnutih štapova – energetska metoda
Kazali smo, promatra se promjena potencijalne energije ΔU pri malim odstupanjima iz osnovnog oblika (analogija s kuglicom): ΔU > 0 – stabilna ravnoteža ΔU = 0 – indiferentna ravnoteža ΔU < 0 – labilna ravnoteža Uvjet za određivanje kritičnog stanja Otpornost materijala II 6. Izvijanje

27 2) Promjene potencijalne energije unutarnjih sila U
Promjena potencijalne energije iz jednog u drugi oblik ravnoteže se sastoji od: 1) Promjene potencijalne energije vanjskih sila koja je jednaka radu vanjskih sila Fi na pomacima δi: 2) Promjene potencijalne energije unutarnjih sila U Za kritično stanje je: odnosno: Jednadžba stabilnosti elastičnog sustava Otpornost materijala II 6. Izvijanje

28 Postupak: usvaja se neki približni oblik, pa su i rezultati približni.
Nedostatak energetske metode: treba odabrati mogući oblik deformiranog sustava u trenutku gubitka stabilnosti. Postupak: usvaja se neki približni oblik, pa su i rezultati približni. Dobro je što su rezultati za kritičnu silu, Fkr, uvijek veći od stvarne zato jer je stvarna elastična linija izvijenog štapa uvijek ona koja odgovara najmanjem otporu štapa. Otpornost materijala II 6. Izvijanje

29 Promatrajmo štap zglobno pričvršćen na oba kraja F F x
δ L y Potencijalna energija unutarnjih sila je jednaka pot. en. savijanja: Kako je: to je pot. energija unutarnjih sila: Rad vanjskih sila je: Pomak δ možemo izrazi kao razliku dužina štapa u neopterećenom i opterećenom stanju, kao: Konačno, rad vanjskih sila je: Otpornost materijala II 6. Izvijanje

30 Jednadžba elastične stabilnosti odnosno uvjet za odrediti kritično stanje glasi:
Odavde dobivamo opći izraz za kritičnu silu izvijanja po energetskoj metodi: Vidimo da za odrediti kritičnu silu treba pretpostaviti jednadžbu elastične linije w u trenutku gubitka stabilnosti. Otpornost materijala II 6. Izvijanje

31 Primjer: štap zglobno pričvršćen na oba kraja
1) Pretpostavimo da je elastična linija u trenutku gubitka stabilnosti oblika sinusoide: Dobili smo točno rješenje zbog usvojene funkcije za liniju izvijanja Otpornost materijala II 6. Izvijanje

32 Primjer: štap zglobno pričvršćen na oba kraja
2) Pretpostavimo da je elastična linija u trenutku gubitka stabilnosti oblika parabole: Prekontroliramo da li su zadovoljeni rubni uvjeti: Dobili smo veću vrijednost jer nismo pretpostavili “točni” oblik Otpornost materijala II 6. Izvijanje

33 7. TEORIJA PLASTIČNOSTI Idealno elastično ponašanje materijala:
Metoda dopuštenih naprezanja Po ovoj metodi imamo neracionalno trošenje materijala. Naime, tzv. granično stanje konstrukcije (granično elastično stanje naprezanja) nastaje kada se u jednoj točki konstrukcije jave naprezanja σR (za elastoplastične mat.) ili σM (za krte mat.) dok nam svi ostali dijelovi konstrukcije nisu zanimljivi. σR Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

34 Opterećenje može i dalje rasti. σR σR
Međutim, kod elasto-plastičnih materijala, kod savijanja i torzije, u jednom presjeku neće doći do loma ako je: σmax=σR . Opterećenje može i dalje rasti. σR σR Naime, ako je konstrukcija statički neodređena, onda ona ima još rezerve do graničnog stanja. Treba odrediti dopušteno opterećenje kao dio graničnog opterećenja. Metoda proračuna prema graničnom stanju Metoda proračuna prema graničnom stanju se temelji na analizi konstrukcije koja prelazi u granično stanje kad kao cjelovita konstrukcija izgubi otpor prema vanjskim utjecajima te postaje kinematski labilna. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

35 Pojam: plastični zglob – to je poprečni presjek u konstrukciji gdje su naprezanja maksimalno iskorištena te se za povećanje opterećenja taj presjek ponaša kao zglob. U plastičnom zglobu moment nije jednak nuli već je jednak tzv. plastičnom momentu. Proračun prema graničnim stanjima s koeficijentom sigurnosti ne osigurava pojavu plastičnih deformacija. Zbog toga, ako nije moguć razvoj plastičnih deformacija, proračun treba provesti po metodi dopuštenih naprezanja. Proračun prema graničnim stanjima nije dozvoljen kada djeluju dinamička opterećenja. Upotreba proračuna prema graničnim stanjima ovisi o: (1) mehaničkim svojstvima materijala (elasto-plastični / krti); (2) karakteru opterećenja (statičko / dinamičko); (3) konstruktivnom sustavu (određen / neodređen). Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

36 7.1 – Pojam idealno plastičnog materijala
σ-ε dijagram Idealizirani σ-ε dijagram ε σ σP σR ε σ σR = σP Prandtl-ov idealni elasto-plastični materijal Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

37 7.2 – Uvjeti plastičnosti Uvjeti plastičnosti definiraju nivo naprezanja u nekoj točki konstrukcije da bi se u njoj pojavile plastične deformacije. Pošto se plastične deformacije mogu pojaviti samo kod elasto-plastičnih materijala to pojednostavljeno možemo kazati da su uvjeti plastičnosti odgovarajuće teorije čvrstoće za elasto-plastične materijale uz zamjenu σekv sa σR. F 1D σ1 σ1 F Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

38 III. Teorija čvrstoće – Mohr-Coulomb
σ2 σ3 3D σ1 σ1 σ3 σ1 > σ2 > σ3 σ2 III. Teorija čvrstoće – Mohr-Coulomb V. Teorija čvrstoće – von Mises-Hencky odnosno: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

39 7.3 – Torzija štapa okruglog popr. presjeka
τ ρ (Mt)R Maksimalni moment torzije po teoriji dopuštenih naprezanja – stanje naprezanja kada počinje plastično deformiranje: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

40 Konačna vrijednost elasto-plastičnog momenta je:
τρ granični elastični moment elasto- plastični moment granični moment pune plastičnosti τ ρ r1 (Mt)*R Konačna vrijednost elasto-plastičnog momenta je: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

41 Konačna vrijednost graničnog momenta pune plastičnosti je:
τρ granični elastični moment elasto- plastični moment granični moment pune plastičnosti τ (Mt)pl Konačna vrijednost graničnog momenta pune plastičnosti je: odnosno: Iz usporedbe gornja dva izraza slijedi da je: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

42 T τρ τ (Mt)R (Mt)*R (Mt)pl
granični elastični moment elasto- plastični moment granični moment pune plastičnosti τ (Mt)R (Mt)*R (Mt)pl Odnos graničnog momenta pune plastičnosti i graničnog elastičnog momenta je: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

43 Pogledajmo što se istovremeno događa s kutom zaokreta poprečnog presjeka
Kut zaokreta poprečnog presjeka u elastičnom području dx γ Kad nastupi plastifikacija poprečnog presjeka, onda dio presjeka koji se plastificirao ne pruža otpor zaokretanju. r r1 plastificirano Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

44 7.4 – Statički neodređeni slučaj kod torzije
Mt MtA MtB 1 2 A B a 2a L MtB MtA τmax → 1 Pri čemu je koeficijent sigurnosti prema granici popuštanja τR jednak: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

45 Proračun po metodi graničnog stanja
MtB (MtB)pl (MtA)pl MtA Mt=? Pri čemu je koeficijent sigurnosti: Ovo znači da je moment torzije ako računamo po metodi graničnih stanja 78% veći nego da smo radili po metodi dopuštenih naprezanja. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

46 7.5 – Savijanje prizmatičnog štapa – pojam plastičnog zgloba
y σR M M z x Granična vrijednost u elastičnom stanju je: odakle slijedi granični mom. u elast. stanju: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

47 Granična vrijednost za punu plastičnost iznosi:
plastificirano y σR σR σR z Granična vrijednost za punu plastičnost iznosi: Odnos graničnog momenta pune plastičnosti i graničnog elastičnog momenta: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

48 Presjek s jednom osi simetrije i moment otpora plastičnosti
y σR M M z T x Neutralna os nije u težištu poprečnog presjeka. Odrediti ćemo je iz ravnoteže uzdužnih sila: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

49 To nas dovodi do graničnog momenta:
Iz gornjeg izraza slijedi: Za simetričan presjek obzirom na os z imamo: Nadalje, možemo napisati da je: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

50 7.6 – Savijanje s poprečnom silom – plastični zglob
F x h b L/2 L/2 (Slika 8.17, str. 438) Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

51 F’ σR σR x L/2 L/2 Plastificirano M<MR M<MR MR M=MR M>MR
Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

52 Kinematski labilan sustav.
x F’ L/2 MR σR Plastificirano F’’ Disk 1 Disk 2 σR U ovom presjeku, uz moment pune plastičnosti, pojavio se plastični zglob. Kinematski labilan sustav. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

53 Vidjeli smo da se u presjeku pune plastičnosti stvorio plastični zglob
Vidjeli smo da se u presjeku pune plastičnosti stvorio plastični zglob. U tom je trenutku iscrpljena nosivost grede te se ona pretvorila u mehanizam s plastičnim zglobom odnosno u kinematski labilan sustav. Proračun po graničnim stanjima (po metodi plastičnosti) provodi se na opisani način uz prihvaćanje male greške jer u stvarnosti konstrukcija gubi moć nošenja nešto drukčije. Naime, može se pokazati, iz uvjeta ravnoteže elementa konstrukcije pri slobodnom rubu, da su posmična naprezanja u plastičnoj zoni jednaka nuli. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

54 Do sloma konstrukcije dolazi po posmiku.
τmax τmax h he b Plastifikacija. Ovo je stanje naprezanja dok nije nigdje došlo do plastifikacije. Do sloma konstrukcije dolazi po posmiku. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

55 7.7 – Proračun štapnih sustava prema teoriji plastičnosti – granična nosivost statički neodređenih sustava Statički određeni štapni sustavi gube sposobnost nošenja kada se pojavi prvi plastični zglob u kritičnom presjeku – štap tada prelazi u kinematski mehanizam. Statički neodređeni štapni sustavi ne gube sposobnost nošenja pojavom prvog plastičnog zgloba već im se samo smanjuje statička neodređenost za jedan. Općenito, ako je statički sustav n puta statički neodređen, onda se pojavom n plastičnih zglobova sustav pretvara u statički određen, koji je stabilan i koji i dalje može preuzeti opterećenja. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

56 To je onda granično stanje za statički neodređen sustav.
Da bi n puta statički neodređen sustav postao statički labilan potrebno je da se u njemu pojavi n+1 plastičnih zglobova. Znači, tek pojavom n+1 plastičnih zglobova, statički neodređeni sustav postaje statički labilan i gubi sposobnost nošenja te se pretvara u kinematski mehanizam. To je onda granično stanje za statički neodređen sustav. Za ovo granično stanje određujemo granično opterećenje, tj. ono opterećenje koje zadani sustav pretvara u mehanizam. Mogući problem: tu može biti nekoliko varijanti pojave kinematskog mehanizma (redoslijed pojave plastičnih zglobova). Za svaku varijantu mehanizma trebamo odrediti granično opterećenje, a mjerodavno je ono koje je najmanje. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

57 Postupci određivanja graničnog opterećenja:
1) Postupak neposrednog praćenja stvaranja plastičnih zglobova da bi se sustav pretvorio u kinematski mehanizam. Veličinu graničnog opterećenja određujemo iz jednadžbi ravnoteže i uvjeta da je u presjeku plastičnog zgloba moment savijanja jednak graničnom momentu (momentu pune plastifikacije). 2) Statičkim postupkom gdje statički neodređeni sustav ubacivanjem zglobova pretvaramo u statički određen sustav nakon čega zbrajamo momente savijanja na statički određenom sustavu zbog vanjskog opterećenja s oslobođenim momentima. 3) Kinematskim postupkom, primjenom principa virtualnog rada, pri čemu je rad vanjskih sila na mogućim pomacima pozitivan, a rad graničnih momenata negativan jer su oni usmjereni suprotno kutu zaokreta. Napomena: U graničnom stanju, smjer momenata slijedi iz oblika elastične linije, koja se najlakše odredi temeljem dijagrama momenata savijanja u elastičnom području. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

58 Primjer (rješenje po sva 3 postupka):
F Primjenom tromomentne jednadžbe u elastičnom području dobivamo: A C D B L/2 L/2 L L Za granično elastično stanje imamo: Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

59 Za plastično stanje imamo:
Ad. 1) Sada postavljamo jednadžbe ravnoteže: F Mpl Mpl A C D B Mpl Mpl RD RA RC L/2 L/2 L odakle slijedi: Sada postavimo sumu momenata svih sila obzirom na točku C: gdje uvrstimo izraze za RA i RD, te dobivamo: odnosno: Reakciju RC možemo naći iz uvjeta: ∑V=0 Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

60 Za pravokutni presjek imamo:
odakle slijedi: Veličina dopuštenog opterećenja sada iznosi: Odnos između graničnog opterećenja po metodi plastičnosti i metodi elastičnosti iznosi: Vidimo da metoda proračuna prema graničnom stanju daje veličinu dopuštenog opterećenja za 83% veću nego metoda proračuna po dopuštenim naprezanjima uz jednaki koeficijent sigurnosti. Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

61 Ad. 2) F Mpl Mpl A C D B L/2 L/2 L - +
Za granično stanje treba biti (postavljajući statičke jednadžbe ravnoteže): F Mpl Mpl A C D B L/2 L/2 L - odakle slijedi: + Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

62 Ad. 3) F Mpl Mpl A C D B Mpl Mpl L/2 L/2 L F Mpl Mpl Mpl θ θ θ
Primijenimo li princip virtualnog rada, dobivamo: L/2 L/2 L F Mpl Mpl Mpl θ odakle slijedi: θ θ Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

63 7.8 – Statički i kinematički teoremi
Statički teorem (teorem sigurnosti) kaže da je opterećenje koje odgovara statički mogućem stanju, manje od graničnog opterećenja. Statičkim teoremom se približavamo graničnom opterećenju odozdo (s donje strane) – donja granica. Promatramo li različita statički moguća stanja, možemo odrediti opterećenje koje je manje od graničnog. Najveće od njih biti će najbliže graničnom opterećenju s donje strane (statička metoda). Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

64 Kinematički teorem (teorem nesigurnosti) kaže da je opterećenje koje odgovara kinematički mogućem stanju, veće od graničnog opterećenja. Kinematičkim teoremom se približavamo graničnom opterećenju odozgo (s gornje strane) – gornja granica. Promatramo li različita kinematički moguća stanja, možemo odrediti opterećenje koje je veće od graničnog. Najmanje od njih biti će najbliže graničnom opterećenju s gornje strane (kinematička metoda). Otpornost materijala II 7. Teorija plastičnosti

65 Kraj Otpornost materijala II