Prof. dr. sc. Pavao Marović

Παρουσίαση με θέμα: "Prof. dr. sc. Pavao Marović"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Prof. dr. sc. Pavao Marović
1. Uvod 1. Uvod Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala I

2 Prof.dr.sc. Pavao Marović, dipl.ing.građ.
Nastavnici Prof.dr.sc. Pavao Marović, dipl.ing.građ. Doc.dr.sc. Mirela Galić, dipl.ing.građ. Marko Bertolino, dipl.ing.građ. Otpornost materijala I Opći uvod

3 (vidi posebni list s pravilima i obavijestima)
Opće uvodne napomene (vidi posebni list s pravilima i obavijestima) Otpornost materijala I Opći uvod

4 Sadržaj predmeta: Uvod Analiza naprezanja Analiza deformacija
Deformabilne karakteristike čvrstih tijela Linijske konstrukcije – Djelovanje uzdužne sile Posmik – Djelovanje poprečne sile (Odrez) Torzija (uvrtanje) Savijanje ravnih štapova Otpornost materijala I Opći uvod

5 Literatura: [1] V. Šimić, Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 1. izdanje – 1992., 2. izdanje – 2001., 3. izdanje – 2007. [2] S.P. Timošenko, Otpornost materijala I, Građevinska knjiga, Beograd, 1964. [3] I. Alfirević, Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb, 1989. [4] D. Bazjanac, Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. [5] Z. Kostrenčić, Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1982. [1] Z. Kostrenčić, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala, Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1971. [2] P. Marović, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala I, Građevinski fakultet Sveučilišta u Splitu, Split, xxxx Otpornost materijala I Opći uvod

6 1. UVOD ♦ OM – Definicija i praktična svrha:
Definicija: Otpornost materijala je skup analitičkih metoda za analiziranje mehaničkog ponašanja čvrstih tijela uslijed djelovanja raznih utjecaja.  promjena stanja naprezanja i deformacija ili: Otpornost materijala je znanost o čvrstoći i krutosti elemenata inženjerskih konstrukcija. čvrstoća: najveće naprezanje kod kojeg dolazi do razaranja materijala krutost: otpor materijala prema deformacijama (promjene oblika i volumena) Otpornost materijala I 1. Uvod

7 “znanost o otpornosti materijala”
G. Galilei (1638) → → S.P. Timošenko (~1920) “znanost o otpornosti materijala” Praktična svrha: Određivanje naprezanja i deformacija u bilo kojoj točki konstrukcije koji nastaju uslijed djelovanja raznih utjecaja, radi dimenzioniranja elemenata konstrukcije. → sigurnost i ekonomičnost Razni utjecaji: statički - dinamički Otpornost materijala I 1. Uvod

8 1. Uvod 1. Uvod ♦ Osnovna ideja: Tijela nisu apsolutno kruta; tijela su deformabilna tj. udaljenost između pojedinih točaka tijela se mijenja pod djelovanjem raznih utjecaja, ali uvijek ovisno o fizikalnim karakteristikama materijala. F POMAK (dA) je promjena položaja jedne točke u prostoru (A u A1) DEFORMACIJA (DL) je promjena udaljenosti između dviju točaka (dužina AB u dužinu A1B) L0 d0 A B L1 ΔL=L0-L1 A1 B d1 Otpornost materijala I 1. Uvod

9 Osnovne pretpostavke u Otpornosti materijala
Pretpostavka o neprekinutosti materijala Materijal ispunjava cijeli oblik tijela → ako je tijelo u ravnoteži, onda je i svaki njegov dio u ravnoteži → možemo koristiti Metodu presjeka Pretpostavka o elastičnom ponašanju materijala po uklanjanju vanjskih uzroka, materijal se vraća u prvobitno stanje/položaj – uzima se da je veza između elastičnih deformacija čvrstog tijela i utjecaja koji uzrokuju te deformacije LINEARNA elastičnost – elastična def. – granica elastičnosti Otpornost materijala I 1. Uvod

10 3. Materijal je homogen i izotropan
HOMOGEN – materijal ima jednaka svojstva u svim točkama tijela u suprotnom je materijal NEHOMOGEN IZOTROPAN – materijal ima ista svojstva u svim smjerovima u suprotnom je materijal ANIZOTROPAN Ortotropan – ima jednaka, ali različita, svojstva u dva međusobno okomita smjera 4. Pretpostavka o malim deformacijama Deformacije su relativno male u odnosu na dimenzije tijela → jednadžbe ravnoteže postavljaju se na “kruto” – nedeformirano tijelo Otpornost materijala I 1. Uvod

11 Tipovi problema Linijski – štapni Ravninski Prostorni F F F1 F2 Fn
Otpornost materijala I 1. Uvod

12 Uzroci promjena stanja naprezanja i deformacija
Zapreminski uzroci Gravitacijske sile (vlastita težina) Inercijalne sile Promjena temperature Skupljanje Površinski uzroci Koncentrirane sile Kontinuirane sile VANJSKE SILE Otpornost materijala I 1. Uvod

13 Pojam unutarnjih sila Unutarnje sile se javljaju između pojedinih dijelova tijela na zamišljenim prerezima čvrstog tijela u napregnutom stanju. F1 F2 Fi Fn Vanjske sile su u ravnoteži. I II Otpornost materijala I 1. Uvod

14 x y z n Ty Nx Tz Mx My Mz unutarnje sile se reduciraju u težište poprečnog presjeka R – glavni vektor sila M – glavni moment R M F1 Fn I Unutarnje sile Način određivanja Nx - uzdužna sila Sx=0 Ty - poprečna sila Sy=0 Tz - poprečna sila Sz=0 Mx - moment torzije SM(x)=0 My - moment savijanja SM(y)=0 Mz - moment savijanja SM(z)=0 6 uvjeta ravno-teže Otpornost materijala I 1. Uvod

15 Pojam naprezanja ravnoteža vanjskih sila
x y z n ravnoteža vanjskih sila isječeni dio tijela je u ravnoteži zbog unutarnjih sila F1 Fn I II u v w M sn x-y-z globalni koordinatni sustav u-v-w lokalni koordinatni sustav Koordinatnu os v postavljamo u smjeru normale n Otpornost materijala I 1. Uvod

16 Naprezanje možemo shvatiti kao da je to
srednja vrijednost sile na nekoj površini Ako je vektor totalnog ili punog naprezanja Komponente vektora totalnog naprezanja: prvi indeks – smjer normale drugi indeks – smjer komponente Dimenzije: Otpornost materijala I 1. Uvod

17 Ostale teorije i metode
Imaju isti cilj kao i Otpornost materijala - Teorija elastičnosti Teorija plastičnosti (razni specifični modeli materijala) Analitičke metode – Numeričke metode (MKD, MKE, RI, itd.) Analiza naprezanja i deformacija: Dimenzioniranje < = > Projektiranje Otpornost materijala I 1. Uvod

18 Metode – postupci dimenzioniranja
Klasična metoda – koeficijent sigurnosti (dopuštena naprezanja) - preko kritičnog naprezanja - preko kritičnog opterećenja Otpornost materijala I 1. Uvod

19 Metode – postupci dimenzioniranja
2. Metoda loma – metoda graničnih stanja 3. Numeričke metode Otpornost materijala I 1. Uvod

20 2. ANALIZA NAPREZANJA 2.1 - Komponente naprezanja
1. Uvod 1. Uvod 2. ANALIZA NAPREZANJA 2.1 - Komponente naprezanja x y z n T x-y-z globalni k. sustav u-v-w lokalni k. sustav F1 Fn I II M sn u v w Slijedeća zadaća: Vektor punog naprezanja rastaviti u komponente u smjeru lokalnih i globalnih koordinatnih osi. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

21 Komponente vektora punog naprezanja u smjeru lokalnih koordinatnih osi
x y z u v w sn M snv snu snw prvi indeks – smjer normale drugi indeks – smjer komponente Predznaci komponenti naprezanja + , smjer komponente naprezanja poklapa se sa smjerom koordinatne osi Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

22 Komponente vektora punog naprezanja za presjeke u smjeru globalnih koord. osi
Npr. za n = x ; k = x, y, z x y z M sn snv snu snw Fn 1. indeks – smjer normale naprezanja 2. indeks – smjer komponente vektora naprezanja Jednaki indeksi – normalna n. Različiti indeksi – posmična n. n T u v w F1 Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

23 Tenzor naprezanja Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

24 2.2 – Homogeno stanje naprezanja
dy Diferencijalni element je u ravnoteži s 18 komponenti naprezanja (9 na vidljivim plohama i 9 na nevidljivim plohama) x y z dz dx Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

25 Homogeno stanje naprezanja za ravninske probleme
dy Ovaj prikaz je pozitivna (+) tenzorska notacija (smjer normale odnosno smjer komponente naprezanja poklapa se sa smjerom odgovarajuće koordinatne osi) dx x y Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

26 2.3 – Nehomogeno stanje naprezanja
Diferencijalni prirast naprezanja na dif. razmacima dx, dy, dz. Imamo komponente zaprem. sila (Fx, Fy, Fz) x y z dy Možemo postati 6 jedn. ili uvjeta ravnoteže: x= M(x)=0 y= M(y)=0 z= M(z)=0 dz dx Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

27 Npr. za x=0 (napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE)
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

28 Cauchy-jeva jednadžba ravnoteže ili diferencijalna jednadžba ravnoteže
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

29 Npr. za M(y)=0 (napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE)
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

30 σzx = σxz te analogno σxy = σyx i σyz = σzy
Nakon svih skraćivanja i zanemarivanja diferencijalnih prirasta (mali su u odnosu na σzx i – σxz) dobiva se: σzx = σxz te analogno σxy = σyx i σyz = σzy Zakon recipročnosti ili zakon uzajamnosti posmičnih naprezanja na međusobno okomitim plohama: σij = σji Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

31 Tenzor naprezanja je simetričan i ima samo 6 komponenti.
Posljedica: 3 i 3 komponente naprezanja u tenzoru naprezanja su jednake. Tenzor naprezanja je simetričan i ima samo 6 komponenti. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

32 2.4 – Jednadžbe transformacija
Uz poznatih 6 komponenti naprezanja (tenzor naprezanja) u tri ortogonalne ravnine može se izračunati naprezanje za presjek – ravninu pod bilo kojim kutem. Slijedeća zadaća: Prikazati komponente vektora punog naprezanja u smjerovima lokalnih osi u-v-w kao i globalnih osi x-y-z. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

33 Vektor punog naprezanja i njegove komponente
3 jedn. tipa M(i)=0 su zadovoljene zbog infinitezimalnih veličina krakova sila B) 3 jedn. tipa Fi=0 daju komponente σnx, σny, i σnz Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

34 Npr. za x=0 (napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE)
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

35 uz uvjet kompatibilnosti:
Slijedi: Opći oblik komponenata vektora punog naprezanja u smjerovima glavnih osi uz uvjet kompatibilnosti: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

36 Komponenta u smjeru osi v, n≡v
Slijedi: Određivanje komponenata vektora punog naprezanja u smjerovima lokalnih koordinatnih osi u-v-w Komponenta u smjeru osi v, n≡v Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru normale n (uz n≡v) Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

37 Razvijen i sređen, ovaj izraz glasi:
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

38 Komponenta vektora punog naprezanja u smjeru osi u Pravac (os) u┴v
Uvjet kompatibilnosti cos2(iu)=1 Uvjet ortogonalnosti cos(iv)cos(iu)=0 Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru osi u Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

39 Razvijen i sređen, ovaj izraz glasi:
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

40 Komponenta vektora punog naprezanja u smjeru osi w
Pravac (os) w┴v i pravac (os) w┴u Uvjet kompatibilnosti cos2(iw)=1 Uvjeti ortogonalnosti cos(iv)cos(iw)=0 cos(iu)cos(iw)=0 Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru osi u Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

41 Ako se pogledaju prethodna 3 razvijena izraza
Vidimo da su slični, pa iz toga možemo izvući opću jednadžbu transformacija komponenata vektora punog naprezanja: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

42 Tenzor vektora punog naprezanja:
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

43 2.5 – Jednadžbe transformacija u ravnini
Pomoću opće jednadžbe transformacija uz ograničenja: 1) σzz = σzx = σzy = 0 2) i,j = x,y 3) k,l = n,t Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

44 Uz oznake: kut (xn) ≡ kut  kut (yn) ≡ kut (90°-)
ili možemo uzeti diferencijalni element sa svim komponentama naprezanja i postavljati jednadžbe / uvjete ravnoteže  n’ t y x n σnn σnt σyy σxy σxx σyx Uz oznake: kut (xn) ≡ kut  kut (yn) ≡ kut (90°-) ds ds sin ds cos Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

45 odnosno, nakon sređivanja:
Postavljajući jednadžbe ravnoteže (ne za naprezanja, nego za sile), dobivamo za komponentu u smjeru normale: odnosno, nakon sređivanja: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

46 odnosno, nakon sređivanja:
Postavljajući jednadžbe ravnoteže (ne za naprezanja, nego za sile), dobivamo za komponentu u smjeru tangente: odnosno, nakon sređivanja: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

47 2.6 – Cauchy-jeva ploha naprezanja
Promjenom položaja presječne ravnine mijenja se položaj normale a njime i veličine kosinusa kutova cos(in) i=x,y,z uz uvjet kompatibilnosti cos2(in)=1. → tada se mijenjaju i komponente naprezanja σvv, σvu i σvw . Ovo je Cauchy-jeva ploha naprezanja – jednadžba plohe drugog reda sa središte u ishodištu koordinatnog sustava x-y-z. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

48 2.7 – Smjerovi i veličine glavnih naprezanja
Ako u nekom presjeku nema posmičnih naprezanja (σij=0), onda za postojeća normalna naprezanja kažemo da su to glavna naprezanja. Položaj normale na takav presjek definira smjerove glavnih naprezanja. Glavna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti – najveće i najmanje. σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 σk0l0 → glavna naprezanja za k0 = l0 uz k0,l0 = u0, v0, w0 čime je definiran lokalni koordinatni sustav koji određuje smjerove glavnih naprezanja Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

49 cos2(ik0) = 1 3 uvjeta kompatibilnosti
Za odrediti smjerove i veličine glavnih naprezanja može se koristiti 9 uvjeta: cos2(ik0) = 1 3 uvjeta kompatibilnosti cos(ik0) cos(il0) = 0 3 uvjeta ortogonalnosti σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 3 uvjeta iz analize naprezanja ( σu0v0 = σv0w0 = σw0u0 = 0 ) Ovo je dovoljno za odrediti 9 nepoznanica – 9 kosinusa kutova cos(ik0) uz i=x,y,z, k0=u0,v0,w0 glavnih naprezanja. Ovaj postupak je veoma složen, te se koristi slijedeći: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

50 Komponente vektora punog naprezanja su: σnj=σijcos(in)
Pretpostavimo da se jedan od smjerova glavnih naprezanja poklapa sa smjerom normale na presjek. x y z n v0 σn = n σ m σ m Komponente vektora punog naprezanja su: σnj=σijcos(in) Za n = v0 imamo 3 jednadžbe Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

51 Za 4 nepoznanice (σm, cos(xv0), cos(yv0) i cos(zv0)) potrebna je još jedna jednadžba, a ta se uzima iz uvjeta kompatibilnosti cos2(iv0)=1 → (4) cos2(xv0)+cos2(yv0)+cos2(zv0)=1 Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

52 Kako su članovi na desnoj strani jednadžbe jednaki nuli, to je jedino moguće rješenje ako je determinanta sustava 3x3 jednaka nuli, iz čega se dobiva: σm3 - I1σm2 + I2σm - I3 = 0 Tri korijena (rješenja) ove jednadžbe trećeg reda uvijek su realna i predstavljaju veličine glavnih naprezanja u tri međusobno okomita smjera: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 Kako veličine glavnih naprezanja ne ovise o izboru koordinatnog sustava, to su veličine I1, I2 i I3 nepromjenjive odnosno invarijantne veličine koje se, u ovom slučaju, nazivaju invarijante naprezanja. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

53 Invarijante naprezanja
Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

54 2.8 – Glavna naprezanja u ravnini
Pomoću opće jednadžbe transformacija uz ograničenja: i,j = x,y i k,l = n,t i uvodeći oznake za: kut (xn) ≡ kut  i kut (yn) ≡ kut (90°-) dobivamo izraze: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

55 te iz (2) dobivamo izraz za smjerove glavnih naprezanja:
Za 0 → σn0t0 = 0 te iz (2) dobivamo izraz za smjerove glavnih naprezanja: 0=1 i 0 = 2 = 90+1 Za određene 0=1, 2 iz (1) dobivamo: σnn=σ1, σ2 pri čemu je σ1 ≥ σ2 y n 0=1 0=2 =90+1 t x Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

56 Otpornost materijala I
2. Analiza naprezanja

57 √(σxx-σyy)2+4σ2xy 2σxy 20 · σxx-σyy Otpornost materijala I
2. Analiza naprezanja

58 što pojednostavljeno pišemo u obliku:
Kad prethodni izraz sredimo, dobivamo izraze za veličine glavnih naprezanja u ravnini: što pojednostavljeno pišemo u obliku: Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

59 Zadano stanje naprezanja
σxx σyy σxy x y Glavna naprezanja σ1 σ2 1 2 Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

60 2.9 – Lame-ov elipsoid naprezanja
Postavimo koordinatni sustav x-y-z da bude u smjerovima glavnih osi (uvjet: σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 ). Komponente vektora punog naprezanja su: Iz uvjeta kompatibilnosti cos2(in)=1 dobiva se: Jednadžba elipsoida s poluosima σm Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

61 x y z σ1 σ2 σ3 n σnx σny σnz σn U ravnini elipsoid naprezanja degenerira u elipsu naprezanja (σ3=0, i=x,y): Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

62 y n A’ σnn A A’’ σny σn  x σnx σ1 O σnt σ2 Otpornost materijala I
2. Analiza naprezanja

63 2.10 – Mohr-ova kružnica naprezanja
Grafički postupak određivanja veličine i smjera glavnih naprezanja. x y σxx σyy σxy Ovaj prikaz je pozitivna (+) Mohr-ova notacija Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

64 σyy σxy σxx σxy (σxx+ σyy )/2 σxx  σ2 σ1 σ2 σyy 20 σxx x x  σyy S
σyy σxx σyy σxy σxx σ1 σ2  S (σxx+ σyy )/2 x σ2 σxy 20 σ1 x σyy  Moguća je i obrnuta zadaća da su zadana glavna naprezanja (σ1,σ2) te da se traže komponente naprezanja pod zadanim kutom . σxx-σyy Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

65 3. ANALIZA DEFORMACIJA 3.1 – Pomak i deformacija p r1 r j i k
1. Uvod 1. Uvod 3. ANALIZA DEFORMACIJA 3.1 – Pomak i deformacija Pomak definira veličinu promjene položaja jedne točke. Deformacija definira promjenu veličine međusobne udaljenosti dviju točaka. x y z i k j F1 Fn Fi M(x,y,z) r M1(x1,y1,z1) r1 p Vektor pomaka točke M Novi položaj točke M1 Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

66 Komponente vektora pomaka u u-v-w koordinatnom sustavu:
imajući na umu da je u=u(x,y,z) , v=v(x,y,z) i w=w(x,y,z) Pomak točke M je nastao uslijed: Translacije - Rotacije - Deformacije - Dakle: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

67 Translacija: Rotacija: Npr. ωz y P1 +ωz·x rxy·tgωz≈rxy· ωz P ωz
 ωz - ωz· rxy·sin=-ωz ·y y Deformacija: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

68 u = uo + (ωy·z - ωz·y) + uDEF v = vo + (ωz·x - ωx·z) + vDEF
Ukupne komponente vektora pomaka u = uo + (ωy·z - ωz·y) + uDEF v = vo + (ωz·x - ωx·z) + vDEF w = wo + (ωx·y - ωy·x) + wDEF POMACI KRUTOG TIJELA DEFORMACIJE Pomaci krutog tijela ne utječu na stanje naprezanja !!! Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

69 3.2 – Komponente deformacija
B1 x y z O A C P(x,y,z) B dx dy dz A1 p P1(x1,y1,z1) A dx Nedefor. dužine dx=PA dy=PB dz=PC Deform. dužine P1A1 P1B1 P1C1 C1 Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

70 Točka Koordinte Koordinate prije def. poslije deform.
Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

71 εxx - normalna relativna deformacija
Razmak PA se promijenio u P1A1 , pa se relativna promjena dužine PA može izraziti kao: εxx - normalna relativna deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

72 Nakon što prethodni izraz razvijemo u binomni red, možemo pisati:
Zanemarujemo članove viših redova, jer u teoriji linearnih deformacija možemo imati samo linearne članove! → Opći izraz za normalne relativne deformacije Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

73 εxy - posmična relativna deformacija
Osim promjena dužina PA u P1A1, PB u P1B1 i PC u P1C1 dolazi i do promjene kutova: P A B x y Veličina kuta: B1  a b  β ≡P1 ≡A1 εxy - posmična relativna deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

74 Uvrstimo li ovo u prethodni izraz, dobivamo:
Zanemarujući sve članove u nazivniku osim jedinica, dobiva se: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

75 Prethodni izraz sređujemo po teoriji linearne deformacije na:
posmična relativna deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

76 Imamo ukupno 6 komponenti deformacija
3 normalne komponente relativne deformacije 3 posmične komponente relativne deformacije Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

77 Otpornost materijala I
3. Analiza deformacija

78 3.3 – Tenzor deformacija 6 komponenti deformacija mogu se prikazati s 9 parcijalnih derivacija pomaka Izvan dijagonale: Kutovi zaokreta u pojedinim ravninama Na dijagonali: Normalne komponente relativnih deformacija Asimetrični tenzor deformacija Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

79 Simetrični tenzor deformacija Antimetrični tenzor deformacija
Simetrični: normalne i posmične komponente deformacija Antimetrični: rotacije elastičnog tijela Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

80 Dokaz za komponente rotacije elastičnog tijela
x y z O dx dy ωz Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

81 Predznak rotacija + y x O z Otpornost materijala I
3. Analiza deformacija

82 Predznaci naprezanja odgovaraju predznacima deformacija.
σxx x y + σxy → + εxy 2εxy = β Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

83 3.4 – Jednadžbe kompatibilnosti (neprekinutosti)
Stanje deformacija određeno je sa 6 komponenti. Ako se traže komponente pomaka, pitamo se koji uvjeti moraju biti zadovoljeni. Matematički smisao: pomaci su određeni jednoznačno. Fizikalni smisao: susjedni dijelovi se zajedno deformiraju. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

84 Ova jednadžba povezuje normalne i posmične deformacije u ravnini
Ova jednadžba povezuje normalne i posmične deformacije u ravnini. Imamo ih 3. To su jednadžbe neprekinutosti u ravnini. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

85 Otpornost materijala I
3. Analiza deformacija

86 Dobivamo 3 ovakve jednadžbe čiji opći oblik glasi:
Ova jednadžba povezuje normalne i posmične komponente deformacija u prostoru. To su jednadžbe neprekinutosti u prostoru. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

87 3.5 – Deformacije u zadanom smjeru – jednadžbe transformacija
Slijedeća zadaća: Odrediti deformacije neke dužine definirane diferencijalnim radius vektorom (ne u smjeru ortog. osi). x y z i k j du dv dw dp dr dx dy dz Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

88 Relativna deformacija dužine |dr|
ili Pošto je u=u(x,y,z), totalni diferencijal du određen je s: ili Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

89 Komponente relativne deformacije u smjeru globalnih koord. osi:
odnosno uz:  a b Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

90 Vidimo sličnost s jednadžbom transformacija naprezanja
Sada transformiramo (projiciramo) relativnu deformaciju u željenom smjeru (zadanom smjeru r i t, pri čemu je t ┴ r) Vidimo sličnost s jednadžbom transformacija naprezanja Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

91 Opći oblik jednadžbi transformacija komponenata deformacija
Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

92 Raspisano, za komponentu deformacija u smjeru r:
Odnosno, ako umjesto parcijalnih derivacija pomaka uvrstimo komponente deformacija: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

93 Raspisano, za komponentu deformacija u smjeru t:
Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

94 U ravnini imamo: uz: εzz= εzx= εzy=0 y x  r t Otpornost materijala I
3. Analiza deformacija

95 3.6 – Smjer i veličina glavnih deformacija
dp Kada se smjer vektora pomaka (dp) poklapa sa smjerom radijus vektora (dr) dobivaju se glavne deformacije. Tada postoji samo promjena dužine pri deformaciji, dok se kut ne mijenja. y dv dr du dw dy j i x dz k dx z Uvjet kolinearnosti: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

96 Dobili smo sustav od 3 jednadžbe s 4 nepoznanice, te nam je potrebna još 1 jednadžba, a to je uvjet ortogonalnosti: Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

97 ( ) z i y x N zr cos yr xr e - = ε1, ε2 i ε3 su glavne deformacije,
z i y x N zr cos yr xr m zz yz xz yy xy xx e - = ε1, ε2 i ε3 su glavne deformacije, a G1, G2 i G3 su invarijante deformacija. Otpornost materijala I 2. Analiza naprezanja

98 Prva invarijanta deformacija (volumenska deformacija)
Kod homogenog i izotropnog materijala smjerovi glavnih deformacija poklapaju se sa smjerovima glavnih naprezanja. Glavne deformacije i njihovi smjerovi za ravninsko stanje: Nadalje, za deformacije vrijedi sve što smo prije kazali ili radili za naprezanja. Otpornost materijala I 3. Analiza deformacija

99 4. DEFORMABILNE KARAKTERISTIKE ČVRSTIH TIJELA – FIZIKALNE JEDNADŽBE
1. Uvod 1. Uvod 4. DEFORMABILNE KARAKTERISTIKE ČVRSTIH TIJELA – FIZIKALNE JEDNADŽBE Ako na tijelo djeluju vanjske sile, unutar tijela se javljaju unutarnje sile odnosno naprezanja. Treba utvrditi vezu između deformacija i naprezanja, ali za to trebamo poznavati mehanička svojstva materijala. Teorija elastičnosti ne unosi nikakve pretpostavke o materijalu, ali se služi matematičkim metoda koje nisu svakodnevno pristupačne. Otpornost materijala unosi pretpostavke o strukturi i ponašanju materijala, kao i o karakteru deformacija. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

100 4. Deformabilne karakteristike
4.1 – Opće pretpostavke u Otpornosti materijala Pretpostavka o neprekinutosti materijala Materijal potpuno ispunjava (tj. neprekinuto) cijelu formu ili oblik tijela → ako je tijelo u ravnoteži, onda je i svaki njegov dio u ravnoteži (vrijedi i obrnuto)→ možemo koristiti Metodu presjeka. F1 F2 Fi Fn Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

101 4. Deformabilne karakteristike
2. Materijal je homogen i izotropan HOMOGEN – materijal ima jednaka svojstva u svim točkama tijela (u suprotnom je materijal NEHOMOGEN) IZOTROPAN – materijal ima ista svojstva u svim smjerovima (u suprotnom je materijal ANIZOTROPAN) Ortotropan – ima jednaka, ali različita, svojstva u dva međusobno okomita smjera Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

102 4. Deformabilne karakteristike
3. Pretpostavka o elastičnom ponašanju materijala Pod djelovanjem vanjskih sila materijal se deformira. Kad uklonimo vanjske sile, materijal se vraća u prvobitno stanje/položaj odnosno deformacije iščeznu. To svojstvo materijala se naziva elastičnost, a takve deformacije – elastične deformacije (povratne). Sva tijela se ponašaju elastično samo do neke granice – granica elastičnosti. Uzima se da je veza između elastičnih deformacija čvrstog tijela i utjecaja koji uzrokuju te deformacije LINEARNA. Suprotnosti: neelastičnost – neelastične deformacije (nepovratne, trajne, plastične) Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

103 4. Deformabilne karakteristike
4. Pretpostavka o malim deformacijama Deformacije su relativno male u odnosu na dimenzije tijela tako da se može zanemariti promjena u raspodjeli vanjskog opterećenja uslijed deformacija samog tijela. → jednadžbe ravnoteže postavljaju se na “kruto” – nedeformirano tijelo Teorija I reda (linearna teorija): jedn. ravnoteže postavljamo na nedeformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo samo linearne članove. Teorija II reda: jedn. ravnoteže postavljamo na deformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo samo linearne članove. Teorija III reda: jedn. ravnoteže postavljamo na deformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo i nelinearne članove. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

104 4. Deformabilne karakteristike
5. Pretpostavka o ravnim presjecima Tijekom djelovanja vanjskih sila (deformiranja tijela) poprečni presjek štapa ostaje ravan i okomit na uzdužnu os štapa. F1 F2 Fi Fn I II F Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

105 4.2 – Fizikalne jednadžbe – Hooke-ov zakon
vanjska djelovanja → deformacije (εij) → naprezanja (σij) Deformacije će biti neka funkcija od naprezanja, a kakva je to funkcija ovisi o mehaničkim svojstvima materijala. Funkcionalnu vezu između deformacija i naprezanja odrediti ćemo eksperimentalnim ispitivanjem uzoraka, izrađenih od određenih materijala, u obliku dijagrama pri određenim uvjetima. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

106 4. Deformabilne karakteristike
F – ΔL dijagram Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

107 4. Deformabilne karakteristike
σ – ε dijagram Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

108 4. Deformabilne karakteristike
Young-ov modul elastičnosti Hooke-ov zakon za jedno-osno (1D) stanje naprezanja (1676.) Vidimo da je veza između deformacija i naprezanja linearna. Modul elastičnosti, E, je karakteristika materijala koja se određuje eksperimentalnim putem. Pošto je relativna deformacija, ε, bezdimenzionalna veličina, to modul elastičnosti, E, ima dimenziju naprezanja, σ. Ečelik = MPa Ebeton = MPa Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

109 4. Deformabilne karakteristike
Prilikom prethodnog eksperimenta možemo mjeriti i promjenu promjera štapa → suženje poprečnog presjeka štapa. Naime, promjer se od d0 smanjio na d1. Poprečna deformacija: Nakon serije mjerenja možemo uspostaviti odnos između poprečne i uzdužne relativne deformacije: ν – Poisson-ov koeficijent Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

110 4. Deformabilne karakteristike
Vidimo da imamo zadano naprezanje u jednom smjeru, a da se istovremeno javlja deformacija u drugom smjeru (okomitom). Poisson-ov koeficijent – 0 ≤ ν ≤ 0,5 Pluto ν = 0 Beton ν = 0,14 – 0,20 Čelik ν = 0,27 – 0,33 Parafin ν = 0,50 U plastičnom području je za sve materijale ν = 0,50 Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

111 4. Deformabilne karakteristike
4.3 – Princip superpozicije Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, vrijedi Hooke-ov zakon, deformacije su male. Definicija: Princip superpozicije kaže da je zbroj dvaju ili više stanja naprezanja (deformacija)(pomaka) uslijed dvaju ili više stanja opterećenja jednak stanju naprezanja (deformacija) (pomaka) uslijed zbroja stanja opterećenja. σ1 O1 σ2 O2 + = O=O1+O2 σ=σ1+σ2 Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

112 4. Deformabilne karakteristike
Izuzetak: Princip superpozicije ne vrijedi kada jedno opterećenje utječe na stanje naprezanja i deformacija od drugog opterećenja. F H + ≠ Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

113 4. Deformabilne karakteristike
4.4 – St. Venant-ov princip Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male. Definicija: St. Venant-ov princip nam kaže da se stanje naprezanja (deformacija) (pomaka) razlikuje samo na relativno malom dijelu elastičnog tijela, u pravilu oko mjesta djelovanja vanjskog opterećenja, ako zadano opterećenje zamijenimo sa statički ekvivalentnim, dok će na dovoljno udaljenim dijelovima tijela od mjesta djelovanja vanjskog opterećenja, stanje naprezanja (deformacija) (pomaka) biti praktički jednako. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

114 4. Deformabilne karakteristike
Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

115 4. Deformabilne karakteristike
4.5 – Hooke-ov zakon u ravnini Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male. σxx =σ1 σyy =σ2 Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

116 4. Deformabilne karakteristike
Obrnuta zadaća/veza: Jednadžbe koje povezuju deformacije i naprezanja i obrnuto nazivamo fizikalne jednadžbe. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

117 4. Deformabilne karakteristike
4.6 – Hooke-ov zakon u prostoru Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

118 4. Deformabilne karakteristike
Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

119 4. Deformabilne karakteristike
4.7 – Volumenska deformacija Volumen prije deformiranja: V0=1·1·1=1 1 1+εxx 1+εyy 1+εzz Volumen nakon deformiranja: V1=(1+εxx)·(1+εyy)·(1+εzz) = V1=1+εxx+εyy+εxx εyy+εzz+ εxx εzz+ εyy εzz+ εxx εyy εzz V1=1+εxx+εyy+εzz Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

120 4. Deformabilne karakteristike
Veza između G1 i I1: Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

121 4. Deformabilne karakteristike
Promatrajmo izraz: Ako je ( σxx, σyy, σzz ) > 0 imamo povećanje volumena, εv>0. Slijedi da je (1-2ν) > 0 odnosno da je ν ≤ 0,5. Prema tome, imamo granične vrijednosti Poisson-ovog koeficijenta 0 ≤ ν ≤ 0,5. Ako je εV = 0 (nema promjene volumena), onda je ν = 0,5 što vrijedi za plastično područje. Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

122 4. Deformabilne karakteristike
Specijalni slučaj: Na svim stranicama elementa djeluje jednaki pritisak p (hidrostatski pritisak): σxx = σyy = σzz = -p Uvodimo modul kompresije ili zapreminski modul elastičnosti te imamo: Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

123 4. Deformabilne karakteristike
4.8 – Postupak rješavanja zadaća u OM Problem promatramo sa statičkog gledišta: postavljamo jednadžbe ravnoteže (rabimo metodu presjeka); Problem promatramo s geometrijskog gledišta: uvodeći određene pretpostavke (ravni presjeci) postavljamo geometrijske jednadžbe tražeći što jednostavniju vezu između deformacija i pomaka; Problem promatramo s fizikalnog gledišta: postavljamo odgovarajuće fizikalne jednadžbe utvrđujući vezu između deformacija i naprezanja; Rješavamo postavljeni sustav jednadžbi te dobivamo odnos između opterećenja i deformacija kao i opterećenja i naprezanja (zadaća je riješena u matematičkom smislu); Provodimo odgovarajuće kontrole: (1) matematička (ispravno rješavanje); (2) fizikalna (dobivene deformacije i naprezanja su u granicama dozvoljenih). Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike

124 Nastavak slijedi u idućem file-u.
Otpornost materijala I 4. Deformabilne karakteristike